《考研数学核心考点公式大全》

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1 百分冲刺复习计划

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2 函数、极限与连续

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3 一元函数微分学

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4 一元函数积分学

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5 多元函数微分学

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6 多元函数积分学

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7 常微分方程

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8 行列式

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9 矩阵

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10 向量

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11 线性方程组

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12 特征值与特征向量

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13 二次型

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14 随机事件与概率

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15 随机变量及其分布

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16 数字特征

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17 数理统计

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18 附录

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定位：考场速查，按分布类型编排，便于冲刺阶段快速回顾
用法：先默写，再对照；重点看分布律/密度、期望、方差和适用条件

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C.1 离散型分布

C.1.1 0-1 分布

记号：

$$ X\sim B(1,p) $$

分布律：

$$ P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p $$

分布函数：

$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<0\\ 1-p, & 0\le x<1\\ 1, & x\ge1 \end{cases} $$

期望与方差：

$$ E(X)=p $$

$$ D(X)=p(1-p) $$

适用条件：

• 一次试验只有两个结果；
• 成功概率为 $p$。

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C.1.2 二项分布

记号：

$$ X\sim B(n,p) $$

分布律：

$$ P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots,n $$

期望与方差：

$$ E(X)=np $$

$$ D(X)=np(1-p) $$

适用条件：

• $n$ 重伯努利试验；
• 每次成功概率为 $p$；
• 各次试验相互独立。

重要结论：

• 当 $n=1$ 时，退化为 0-1 分布；
• 当 $n$ 充分大时，可用正态分布近似：

$$ X\overset{\text{近似}}{\sim}N(np,np(1-p)) $$

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C.1.3 泊松分布

记号：

$$ X\sim P(\lambda) $$

分布律：

$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\cdots $$

期望与方差：

$$ E(X)=\lambda $$

$$ D(X)=\lambda $$

适用条件：

• 描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数；
• 事件独立。

重要结论：

• 当 $n$ 充分大、$p$ 充分小、$np=\lambda$ 时，二项分布可用泊松分布近似：

$$ B(n,p)\overset{\text{近似}}{\sim}P(np) $$

• 泊松分布具有可加性：

若 $X\sim P(\lambda_1)$，$Y\sim P(\lambda_2)$，且独立，则

$$ X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2) $$

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C.1.4 几何分布

记号：

$$ X\sim G(p) $$

分布律：

$$ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\cdots $$

期望与方差：

$$ E(X)=\frac1p $$

$$ D(X)=\frac{1-p}{p^2} $$

适用条件：

• 独立重复试验；
• 首次成功所需的试验次数。

重要结论：

• 几何分布具有无记忆性：

$$ P(X>m+n|X>m)=P(X>n) $$

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C.1.5 超几何分布

记号：

$$ X\sim H(N,M,n) $$

分布律：

$$ P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} $$

期望与方差：

$$ E(X)=\frac{nM}{N} $$

$$ D(X)=\frac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)} $$

适用条件：

• 从 $N$ 个产品中不放回抽取 $n$ 个；
• 其中有 $M$ 个次品；
• $X$ 为抽到的次品数。

重要结论：

• 当 $N$ 充分大时，超几何分布可用二项分布近似。

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C.2 连续型分布

C.2.1 均匀分布

记号：

$$ X\sim U(a,b) $$

概率密度：

$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$

分布函数：

$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<a\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x<b\\ 1, & x\ge b \end{cases} $$

期望与方差：

$$ E(X)=\frac{a+b}{2} $$

$$ D(X)=\frac{(b-a)^2}{12} $$

适用条件：

• 随机变量在区间 $[a,b]$ 上等可能取值。

重要结论：

• 标准均匀分布：

$$ X\sim U(0,1) $$

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C.2.2 指数分布

记号：

$$ X\sim E(\lambda) $$

概率密度：

$$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\le0 \end{cases} $$

分布函数：

$$ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\le0 \end{cases} $$

期望与方差：

$$ E(X)=\frac1\lambda $$

$$ D(X)=\frac{1}{\lambda^2} $$

适用条件：

• 描述寿命、等待时间等；
• 具有无记忆性。

重要结论：

无记忆性：

$$ P(X>s+t|X>s)=P(X>t) $$

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C.2.3 正态分布

记号：

$$ X\sim N(\mu,\sigma^2) $$

概率密度：

$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty<x<+\infty $$

期望与方差：

$$ E(X)=\mu $$

$$ D(X)=\sigma^2 $$

标准正态分布：

$$ X\sim N(0,1) $$

密度：

$$ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$

分布函数：

$$ \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(t)dt $$

重要结论：

标准化：

$$ \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$

对称性：

$$ \Phi(-x)=1-\Phi(x) $$

常用值：

$$ \Phi(0)=0.5 $$

$$ \Phi(1.96)\approx0.975 $$

$$ \Phi(1.645)\approx0.95 $$

$$ \Phi(2.576)\approx0.995 $$

$3\sigma$ 原则：

$$ P(|X-\mu|<3\sigma)\approx0.9974 $$

适用条件：

• 大量独立随机因素叠加；
• 中心极限定理。

重要结论：

• 线性变换：

$$ aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2) $$

• 可加性：

若 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，且独立，则

$$ X+Y\sim N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) $$

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C.3 抽样分布

C.3.1 $\chi^2$ 分布

记号：

$$ \chi^2\sim\chi^2(n) $$

定义：

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 相互独立，且都服从 $N(0,1)$，则

$$ \chi^2=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_n^2\sim\chi^2(n) $$

期望与方差：

$$ E(\chi^2)=n $$

$$ D(\chi^2)=2n $$

可加性：

若 $\chi_1^2\sim\chi^2(n_1)$，$\chi_2^2\sim\chi^2(n_2)$，且独立，则

$$ \chi_1^2+\chi_2^2\sim\chi^2(n_1+n_2) $$

重要结论：

• 正态总体样本方差：

$$ \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1) $$

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C.3.2 $t$ 分布

记号：

$$ t\sim t(n) $$

定义：

设 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且 $X$、$Y$ 相互独立，则

$$ t=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) $$

性质：

• 关于 $0$ 对称；
• 当 $n\to\infty$ 时，$t(n)\to N(0,1)$；
• $E(t)=0$（$n>1$）；
• $D(t)=\dfrac{n}{n-2}$（$n>2$）。

重要结论：

• 正态总体均值检验：

$$ \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1) $$

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C.3.3 $F$ 分布

记号：

$$ F\sim F(m,n) $$

定义：

设 $X\sim\chi^2(m)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且 $X$、$Y$ 相互独立，则

$$ F=\frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n) $$

性质：

• 若 $F\sim F(m,n)$，则 $\dfrac1F\sim F(n,m)$；
• $E(F)=\dfrac{n}{n-2}$（$n>2$）。

重要结论：

• 两个正态总体方差比：

$$ \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(m-1,n-1) $$

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C.4 常用分布汇总表

分布	记号	分布律或密度	期望	方差
0-1 分布	$B(1,p)$	$P(X=1)=p$	$p$	$p(1-p)$
二项分布	$B(n,p)$	$P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$	$np$	$np(1-p)$
泊松分布	$P(\lambda)$	$P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$	$\lambda$	$\lambda$
几何分布	$G(p)$	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$	$\dfrac1p$	$\dfrac{1-p}{p^2}$
超几何分布	$H(N,M,n)$	$P(X=k)=\dfrac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$	$\dfrac{nM}{N}$	$\dfrac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$
均匀分布	$U(a,b)$	$f(x)=\dfrac{1}{b-a}$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$
指数分布	$E(\lambda)$	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$	$\dfrac1\lambda$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$
正态分布	$N(\mu,\sigma^2)$	$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$	$\mu$	$\sigma^2$
$\chi^2$ 分布	$\chi^2(n)$	—	$n$	$2n$
$t$ 分布	$t(n)$	—	$0$	$\dfrac{n}{n-2}$
$F$ 分布	$F(m,n)$	—	$\dfrac{n}{n-2}$	—

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C.5 常用分位点

C.5.1 标准正态分布

$$ z_{0.05}=1.645 $$

$$ z_{0.025}=1.96 $$

$$ z_{0.01}=2.326 $$

$$ z_{0.005}=2.576 $$

C.5.2 $t$ 分布

$$ t_{0.05}(n) $$

$$ t_{0.025}(n) $$

C.5.3 $\chi^2$ 分布

$$ \chi^2_{\alpha}(n) $$

C.5.4 $F$ 分布

$$ F_{\alpha}(m,n) $$

注意：

• $z_{\alpha}$ 表示上 $\alpha$ 分位点；
• $\Phi(z_{\alpha})=1-\alpha$；
• $\chi^2$ 分布和 $F$ 分布不对称。

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C.6 常用关系与近似

C.6.1 分布之间的关系

二项分布与泊松分布：

当 $n$ 充分大、$p$ 充分小、$np=\lambda$ 时，

$$ B(n,p)\overset{\text{近似}}{\sim}P(np) $$

二项分布与正态分布：

当 $n$ 充分大时，

$$ B(n,p)\overset{\text{近似}}{\sim}N(np,np(1-p)) $$

泊松分布与正态分布：

当 $\lambda$ 充分大时，

$$ P(\lambda)\overset{\text{近似}}{\sim}N(\lambda,\lambda) $$

超几何分布与二项分布：

当 $N$ 充分大时，

$$ H(N,M,n)\overset{\text{近似}}{\sim}B\left(n,\frac MN\right) $$

C.6.2 正态分布与 $\chi^2$ 分布

若 $X\sim N(0,1)$，则

$$ X^2\sim\chi^2(1) $$

若 $X_1,\cdots,X_n$ 独立同分布 $N(0,1)$，则

$$ \sum_{i=1}^nX_i^2\sim\chi^2(n) $$

C.6.3 正态分布与 $t$ 分布

若 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且独立，则

$$ \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) $$

C.6.4 正态分布与 $F$ 分布

若 $X\sim\chi^2(m)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且独立，则

$$ \frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n) $$

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C.7 常用结论汇总

C.7.1 期望与方差

$$ B(n,p):\quad E=np,\quad D=np(1-p) $$

$$ P(\lambda):\quad E=\lambda,\quad D=\lambda $$

$$ G(p):\quad E=\frac1p,\quad D=\frac{1-p}{p^2} $$

$$ U(a,b):\quad E=\frac{a+b}{2},\quad D=\frac{(b-a)^2}{12} $$

$$ E(\lambda):\quad E=\frac1\lambda,\quad D=\frac{1}{\lambda^2} $$

$$ N(\mu,\sigma^2):\quad E=\mu,\quad D=\sigma^2 $$

$$ \chi^2(n):\quad E=n,\quad D=2n $$

C.7.2 无记忆性

指数分布：

$$ P(X>s+t|X>s)=P(X>t) $$

几何分布：

$$ P(X>m+n|X>m)=P(X>n) $$

C.7.3 可加性

泊松分布：

$$ P(\lambda_1)+P(\lambda_2)=P(\lambda_1+\lambda_2) $$

正态分布：

$$ N(\mu_1,\sigma_1^2)+N(\mu_2,\sigma_2^2)=N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2) $$

$\chi^2$ 分布：

$$ \chi^2(n_1)+\chi^2(n_2)=\chi^2(n_1+n_2) $$

C.7.4 标准化

$$ X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$

C.7.5 对称性

$$ \Phi(-x)=1-\Phi(x) $$

$$ t(n)\text{ 关于 }0\text{ 对称} $$

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使用建议：
1. 先默写分布律或密度，再对照；
2. 重点记期望、方差和适用条件；
3. 考前每天花 10 分钟快速过一遍。

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