适用：数一
地位：多元积分学的收尾内容，直接支撑高斯公式、斯托克斯公式、通量与环流量
核心任务：掌握散度、旋度、通量、环流量的计算，理解场论基本概念
定义：
若在空间区域 $\Omega$ 内每一点 $(x,y,z)$ 都对应一个向量
$$ \vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)) $$
则称 $\vec{F}$ 为 $\Omega$ 上的一个向量场。
其中 $P$、$Q$、$R$ 称为向量场的分量函数。
常见向量场：
定义：
设向量场
$$ \vec{F}=(P,Q,R) $$
$P$、$Q$、$R$ 有连续的一阶偏导数，则称
$$ \frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
为向量场 $\vec{F}$ 的散度，记作
$$ \text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
算子表示：
$$ \text{div}\vec{F}=\nabla\cdot\vec{F} $$
其中
$$ \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) $$
物理意义：
散度表示向量场在某点的“源”或“汇”的强度：
性质：
（1）线性性质：
$$ \text{div}(\alpha\vec{F}+\beta\vec{G}) =\alpha\text{div}\vec{F}+\beta\text{div}\vec{G} $$
（2）乘积法则：
$$ \text{div}(f\vec{F})=f\text{div}\vec{F}+\nabla f\cdot\vec{F} $$
其中 $f$ 为数量函数。
（3）散度与梯度：
$$ \text{div}(\nabla f)=\Delta f $$
其中
$$ \Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$
称为拉普拉斯算子。
定义：
设向量场
$$ \vec{F}=(P,Q,R) $$
$P$、$Q$、$R$ 有连续的一阶偏导数，则称向量
$$ \left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) $$
为向量场 $\vec{F}$ 的旋度，记作
$$ \text{rot}\vec{F}=\nabla\times\vec{F} $$
即：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
展开：
$$ \text{rot}\vec{F} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\vec{k} $$
物理意义：
旋度表示向量场在某点的旋转强度：
性质：
（1）线性性质：
$$ \text{rot}(\alpha\vec{F}+\beta\vec{G}) =\alpha\text{rot}\vec{F}+\beta\text{rot}\vec{G} $$
（2）乘积法则：
$$ \text{rot}(f\vec{F})=f\text{rot}\vec{F}+\nabla f\times\vec{F} $$
（3）旋度与梯度：
$$ \text{rot}(\nabla f)=\vec{0} $$
即梯度场是无旋场。
（4）散度与旋度：
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F})=0 $$
即旋度场是无源场。
定义：
设 $\Sigma$ 是向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 中的一张有向曲面，则称
$$ \Phi=\iint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} $$
为向量场 $\vec{F}$ 通过曲面 $\Sigma$ 的通量。
计算公式：
$$ \Phi=\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
法向量形式：
$$ \Phi=\iint_\Sigma \vec{F}\cdot\vec{n}dS $$
其中 $\vec{n}$ 为 $\Sigma$ 的单位法向量。
高斯公式：
若 $\Sigma$ 是闭曲面外侧，$\Omega$ 是 $\Sigma$ 围成的区域，则
$$ \Phi=\oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega\text{div}\vec{F}dV $$
物理意义：
通量表示单位时间通过曲面 $\Sigma$ 的流量。
定义：
设 $\Gamma$ 是向量场 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 中的一条有向闭曲线，则称
$$ \Gamma=\oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} $$
为向量场 $\vec{F}$ 沿曲线 $\Gamma$ 的环流量。
计算公式：
$$ \Gamma=\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz $$
斯托克斯公式：
若 $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的有向曲面，则
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma(\text{rot}\vec{F})\cdot d\vec{S} $$
即：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
物理意义：
环流量表示向量场沿曲线 $\Gamma$ 的旋转趋势。
（1）无源场：
若
$$ \text{div}\vec{F}=0 $$
则称 $\vec{F}$ 为无源场。
（2）无旋场：
若
$$ \text{rot}\vec{F}=\vec{0} $$
则称 $\vec{F}$ 为无旋场。
（3）调和场：
若
$$ \text{div}\vec{F}=0,\quad \text{rot}\vec{F}=\vec{0} $$
则称 $\vec{F}$ 为调和场。
（4）梯度场：
若存在数量函数 $u$，使得
$$ \vec{F}=\nabla u $$
则称 $\vec{F}$ 为梯度场（保守场）。
重要结论：
$$ \text{rot}(\nabla u)=\vec{0} $$
即梯度场一定是无旋场。
（5）旋度场：
若存在向量场 $\vec{A}$，使得
$$ \vec{F}=\text{rot}\vec{A} $$
则称 $\vec{F}$ 为旋度场。
重要结论：
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{A})=0 $$
即旋度场一定是无源场。
梯度：
$$ \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right) $$
散度：
$$ \nabla\cdot\vec{F} =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
旋度：
$$ \nabla\times\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
拉普拉斯算子：
$$ \Delta f=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2} $$
重要恒等式：
$$ \text{rot}(\nabla f)=\vec{0} $$
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F})=0 $$
$$ \text{div}(\nabla f)=\Delta f $$
$$ \nabla\cdot(f\vec{F})=f\nabla\cdot\vec{F}+\nabla f\cdot\vec{F} $$
$$ \nabla\times(f\vec{F})=f\nabla\times\vec{F}+\nabla f\times\vec{F} $$
位置向量场：
$$ \vec{r}=(x,y,z) $$
$$ \text{div}\vec{r}=3 $$
$$ \text{rot}\vec{r}=\vec{0} $$
距离场：
$$ r=|\vec{r}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
$$ \nabla r=\frac{\vec{r}}{r} $$
$$ \nabla\left(\frac1r\right)=-\frac{\vec{r}}{r^3} $$
$$ \Delta\left(\frac1r\right)=0,\quad r\neq0 $$
中心力场：
$$ \vec{F}=\frac{\vec{r}}{r^3} $$
$$ \text{div}\vec{F}=0,\quad r\neq0 $$
$$ \text{rot}\vec{F}=\vec{0} $$
例1
设
$$ \vec{F}=(x^2,y^2,z^2) $$
求 $\text{div}\vec{F}$。
解：
$$ \text{div}\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(x^2)+\frac{\partial}{\partial y}(y^2)+\frac{\partial}{\partial z}(z^2) $$
$$ =2x+2y+2z $$
例2
设
$$ \vec{F}=(xy,yz,zx) $$
求 $\text{div}\vec{F}$。
解：
$$ \text{div}\vec{F} =\frac{\partial}{\partial x}(xy)+\frac{\partial}{\partial y}(yz)+\frac{\partial}{\partial z}(zx) $$
$$ =y+z+x $$
例3
设
$$ \vec{F}=(e^x\sin y,e^x\cos y,z) $$
求 $\text{div}\vec{F}$。
解：
$$ \text{div}\vec{F} =e^x\sin y-e^x\sin y+1 =1 $$
例4
设
$$ \vec{F}=\frac{\vec{r}}{r^3} $$
其中
$$ \vec{r}=(x,y,z),\quad r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
求 $\text{div}\vec{F}$。
解：
$$ \vec{F}=\left(\frac{x}{r^3},\frac{y}{r^3},\frac{z}{r^3}\right) $$
$$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{r^3}\right) =\frac{r^3-x\cdot3r^2\cdot\frac xr}{r^6} $$
$$ =\frac{r^3-3rx^2}{r^6} =\frac{r^2-3x^2}{r^5} $$
同理：
$$ \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{r^3}\right)=\frac{r^2-3y^2}{r^5} $$
$$ \frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{z}{r^3}\right)=\frac{r^2-3z^2}{r^5} $$
所以：
$$ \text{div}\vec{F} =\frac{3r^2-3(x^2+y^2+z^2)}{r^5} =\frac{3r^2-3r^2}{r^5} =0 $$
即：
$$ \text{div}\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right)=0,\quad r\neq0 $$
例5
设
$$ \vec{F}=(x^2y,y^2z,z^2x) $$
求 $\text{div}\vec{F}$。
解：
$$ \text{div}\vec{F} =2xy+2yz+2zx $$
例6
设
$$ \vec{F}=(x^2,y^2,z^2) $$
求 $\text{rot}\vec{F}$。
解：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ x^2 & y^2 & z^2 \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial z^2}{\partial y}-\frac{\partial y^2}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial x^2}{\partial z}-\frac{\partial z^2}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial y^2}{\partial x}-\frac{\partial x^2}{\partial y}\right)\vec{k} $$
$$ =(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(0-0)\vec{k} =\vec{0} $$
例7
设
$$ \vec{F}=(yz,zx,xy) $$
求 $\text{rot}\vec{F}$。
解：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ yz & zx & xy \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial(xy)}{\partial y}-\frac{\partial(zx)}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial(yz)}{\partial z}-\frac{\partial(xy)}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial(zx)}{\partial x}-\frac{\partial(yz)}{\partial y}\right)\vec{k} $$
$$ =(x-x)\vec{i}+(y-y)\vec{j}+(z-z)\vec{k} =\vec{0} $$
例8
设
$$ \vec{F}=(-y,x,z) $$
求 $\text{rot}\vec{F}$。
解：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ -y & x & z \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial z}{\partial y}-\frac{\partial x}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial(-y)}{\partial z}-\frac{\partial z}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial(-y)}{\partial y}\right)\vec{k} $$
$$ =(0-0)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(1+1)\vec{k} =2\vec{k} $$
即：
$$ \text{rot}\vec{F}=(0,0,2) $$
例9
设
$$ \vec{F}=(x^2y,y^2z,z^2x) $$
求 $\text{rot}\vec{F}$。
解：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ x^2y & y^2z & z^2x \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial(z^2x)}{\partial y}-\frac{\partial(y^2z)}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial(x^2y)}{\partial z}-\frac{\partial(z^2x)}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial(y^2z)}{\partial x}-\frac{\partial(x^2y)}{\partial y}\right)\vec{k} $$
$$ =(0-y^2)\vec{i}+(0-z^2)\vec{j}+(0-x^2)\vec{k} $$
即：
$$ \text{rot}\vec{F}=(-y^2,-z^2,-x^2) $$
例10
计算向量场
$$ \vec{F}=(x,y,z) $$
通过球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=1+1+1=3 $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$
例11
计算向量场
$$ \vec{F}=(x^2,y^2,z^2) $$
通过立方体 $0\le x\le1$、$0\le y\le1$、$0\le z\le1$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=2x+2y+2z $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\iiint_\Omega(2x+2y+2z)dV $$
$$ =2\int_0^1dx\int_0^1dy\int_0^1(x+y+z)dz $$
$$ =2\int_0^1dx\int_0^1dy\left(xy+\frac12\right) $$
$$ =2\int_0^1\left(\frac x2+\frac12\right)dx =2\cdot\frac34 =\frac32 $$
例12
计算向量场
$$ \vec{F}=(x^3,y^3,z^3) $$
通过球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=3x^2+3y^2+3z^2=3r^2 $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2)dV $$
用球坐标：
$$ =3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho $$
$$ =3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{a^5}{5} =\frac{12\pi a^5}{5} $$
例13
计算向量场
$$ \vec{F}=(x,y,z) $$
通过上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与平面 $z=0$ 围成的闭曲面外侧的通量。
解：
由高斯公式：
$$ \Phi=\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac23\pi a^3 =2\pi a^3 $$
例14
计算向量场
$$ \vec{F}=(-y,x,z) $$
沿圆周 $x^2+y^2=a^2$、$z=0$ 的环流量，取正向。
解：
$$ \Gamma=\oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\oint_\Gamma -ydx+xdy+zdz $$
在 $\Gamma$ 上，$z=0$，$dz=0$。
参数方程：
$$ x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ dx=-a\sin tdt,\quad dy=a\cos tdt $$
$$ -ydx+xdy =-a\sin t\cdot(-a\sin t)dt+a\cos t\cdot a\cos tdt $$
$$ =a^2(\sin^2t+\cos^2t)dt=a^2dt $$
所以：
$$ \Gamma=\int_0^{2\pi}a^2dt=2\pi a^2 $$
例15
计算向量场
$$ \vec{F}=(y,z,x) $$
沿圆周 $x^2+y^2=1$、$z=0$ 的环流量，取正向。
解：
$$ \Gamma=\oint_\Gamma ydx+zdy+xdz $$
在 $\Gamma$ 上，$z=0$，$dz=0$。
参数方程：
$$ x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ dx=-\sin tdt,\quad dy=\cos tdt $$
$$ ydx+zdy+xdz =\sin t\cdot(-\sin t)dt+0+\cos t\cdot0 $$
$$ =-\sin^2tdt $$
所以：
$$ \Gamma=\int_0^{2\pi}(-\sin^2t)dt=-\pi $$
例16
计算向量场
$$ \vec{F}=(z,y,x) $$
沿圆周 $x^2+y^2=1$、$z=1$ 的环流量，取正向。
解：
$$ \Gamma=\oint_\Gamma zdx+ydy+xdz $$
在 $\Gamma$ 上，$z=1$，$dz=0$。
参数方程：
$$ x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ dx=-\sin tdt,\quad dy=\cos tdt $$
$$ zdx+ydy+xdz =1\cdot(-\sin t)dt+\sin t\cos tdt+0 $$
$$ =-\sin tdt+\sin t\cos tdt $$
所以：
$$ \Gamma=\int_0^{2\pi}(-\sin t+\sin t\cos t)dt $$
$$ =-\int_0^{2\pi}\sin tdt+\int_0^{2\pi}\sin t\cos tdt =0+0=0 $$
例17
用高斯公式计算
$$ \oiint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x^2,\quad Q=y^2,\quad R=z^2 $$
$$ \text{div}\vec{F}=2x+2y+2z $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy =\iiint_\Omega 2(x+y+z)dV $$
由对称性：
$$ \iiint_\Omega xdV=\iiint_\Omega ydV=\iiint_\Omega zdV=0 $$
所以：
$$ \oiint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=0 $$
例18
用高斯公式计算
$$ \oiint_\Sigma (x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x+y,\quad Q=y+z,\quad R=z+x $$
$$ \text{div}\vec{F}=1+1+1=3 $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$
例19
用高斯公式计算
$$ \oiint_\Sigma (x^2+y^2)dydz+(y^2+z^2)dzdx+(z^2+x^2)dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x^2+y^2,\quad Q=y^2+z^2,\quad R=z^2+x^2 $$
$$ \text{div}\vec{F}=2x+2y+2z $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega 2(x+y+z)dV $$
由对称性：
$$ \iiint_\Omega xdV=\iiint_\Omega ydV=\iiint_\Omega zdV=0 $$
所以：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy=0 $$
例20
用斯托克斯公式计算
$$ \oint_\Gamma ydx+zdy+xdz $$
其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面的交线，取正向。
解：
$$ \vec{F}=(y,z,x) $$
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ y & z & x \end{vmatrix} $$
$$ =(0-1)\vec{i}+(0-1)\vec{j}+(0-1)\vec{k} =(-1,-1,-1) $$
取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限部分，取上侧。
单位法向量：
$$ \vec{e}_n=\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right) $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma\text{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S} $$
$$ =\iint_\Sigma(-1,-1,-1)\cdot\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)dS $$
$$ =-\frac3{\sqrt3}\iint_\Sigma dS =-\sqrt3\cdot S_\Sigma $$
$\Sigma$ 为等边三角形，边长 $\sqrt2$，面积：
$$ S_\Sigma=\frac{\sqrt3}{4}\cdot2=\frac{\sqrt3}{2} $$
所以：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =-\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =-\frac32 $$
例21
用斯托克斯公式计算
$$ \oint_\Gamma (z-y)dx+(x-z)dy+(y-x)dz $$
其中 $\Gamma$ 为圆周 $x^2+y^2=1$、$z=0$，取正向。
解：
$$ \vec{F}=(z-y,x-z,y-x) $$
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ z-y & x-z & y-x \end{vmatrix} $$
$$ =(1+1)\vec{i}+(1+1)\vec{j}+(1+1)\vec{k} =(2,2,2) $$
取 $\Sigma$ 为圆盘 $x^2+y^2\le1$、$z=0$，取上侧。
法向量：
$$ \vec{n}=(0,0,1) $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma(2,2,2)\cdot(0,0,1)dS =2\iint_\Sigma dS =2\pi $$
例22
用斯托克斯公式计算
$$ \oint_\Gamma (y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz $$
其中 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，取正向。
解：
$$ \vec{F}=(y^2+z^2,z^2+x^2,x^2+y^2) $$
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ y^2+z^2 & z^2+x^2 & x^2+y^2 \end{vmatrix} $$
$$ =(2y-2z)\vec{i}+(2z-2x)\vec{j}+(2x-2y)\vec{k} $$
取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=0$ 上的圆盘 $x^2+y^2+z^2\le a^2$。
平面 $x+y+z=0$ 的单位法向量：
$$ \vec{e}_n=\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right) $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma\text{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S} $$
$$ =\iint_\Sigma\left[(2y-2z)\frac1{\sqrt3}+(2z-2x)\frac1{\sqrt3}+(2x-2y)\frac1{\sqrt3}\right]dS $$
括号内：
$$ (2y-2z)+(2z-2x)+(2x-2y)=0 $$
所以：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r}=0 $$
例23
设
$$ \vec{F}=(x^2+y^2,z^2+x^2,y^2+z^2) $$
求 $\text{div}\vec{F}$ 和 $\text{rot}\vec{F}$。
解：
$$ \text{div}\vec{F} =\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial x} +\frac{\partial(z^2+x^2)}{\partial y} +\frac{\partial(y^2+z^2)}{\partial z} $$
$$ =2x+0+2z=2x+2z $$
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ x^2+y^2 & z^2+x^2 & y^2+z^2 \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial(y^2+z^2)}{\partial y}-\frac{\partial(z^2+x^2)}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial z}-\frac{\partial(y^2+z^2)}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial(z^2+x^2)}{\partial x}-\frac{\partial(x^2+y^2)}{\partial y}\right)\vec{k} $$
$$ =(2y-2z)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(2x-2y)\vec{k} $$
即：
$$ \text{rot}\vec{F}=(2y-2z,0,2x-2y) $$
例24
证明
$$ \text{rot}(\nabla f)=\vec{0} $$
证明：
设
$$ \nabla f=(f_x,f_y,f_z) $$
则：
$$ \text{rot}(\nabla f) = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ f_x & f_y & f_z \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial f_z}{\partial y}-\frac{\partial f_y}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial f_x}{\partial z}-\frac{\partial f_z}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial f_y}{\partial x}-\frac{\partial f_x}{\partial y}\right)\vec{k} $$
由混合偏导数相等：
$$ f_{zy}=f_{yz},\quad f_{xz}=f_{zx},\quad f_{yx}=f_{xy} $$
所以：
$$ \text{rot}(\nabla f)=\vec{0} $$
例25
证明
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F})=0 $$
证明：
设
$$ \vec{F}=(P,Q,R) $$
$$ \text{rot}\vec{F} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) $$
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F}) =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) $$
$$ =\frac{\partial^2R}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2Q}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2P}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2R}{\partial y\partial x} +\frac{\partial^2Q}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2P}{\partial z\partial y} $$
由混合偏导数相等，各项相消：
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F})=0 $$
例26
设
$$ \vec{F}=(2xy,x^2+z,y) $$
判断 $\vec{F}$ 是否为梯度场。
解：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ 2xy & x^2+z & y \end{vmatrix} $$
$$ =\left(\frac{\partial y}{\partial y}-\frac{\partial(x^2+z)}{\partial z}\right)\vec{i} +\left(\frac{\partial(2xy)}{\partial z}-\frac{\partial y}{\partial x}\right)\vec{j} +\left(\frac{\partial(x^2+z)}{\partial x}-\frac{\partial(2xy)}{\partial y}\right)\vec{k} $$
$$ =(1-1)\vec{i}+(0-0)\vec{j}+(2x-2x)\vec{k} =\vec{0} $$
所以 $\vec{F}$ 是无旋场。
在单连通区域上，$\vec{F}$ 是梯度场。
求原函数 $u$：
$$ u_x=2xy\Rightarrow u=x^2y+\varphi(y,z) $$
$$ u_y=x^2+\varphi_y=x^2+z\Rightarrow\varphi_y=z\Rightarrow\varphi=yz+\psi(z) $$
$$ u_z=y+\psi'(z)=y\Rightarrow\psi'(z)=0\Rightarrow\psi=C $$
所以：
$$ u=x^2y+yz+C $$
即：
$$ \vec{F}=\nabla u $$
例27
计算
$$ \int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)}(2xy)dx+(x^2+z)dy+ydz $$
解：
由例26，原函数为：
$$ u=x^2y+yz $$
所以：
$$ \int_{(0,0,0)}^{(1,1,1)} =u(1,1,1)-u(0,0,0) =1+1-0=2 $$
例28
设
$$ \vec{F}=(x^2+y^2,z^2+x^2,y^2+z^2) $$
求 $\vec{F}$ 通过球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=2x+2z $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\iiint_\Omega(2x+2z)dV $$
由对称性：
$$ \iiint_\Omega xdV=\iiint_\Omega zdV=0 $$
所以：
$$ \Phi=0 $$
例29
设
$$ \vec{F}=(x^3,y^3,z^3) $$
求 $\vec{F}$ 通过球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧的通量。
解：
由例12：
$$ \Phi=\frac{12\pi a^5}{5} $$
例30
设
$$ \vec{F}=(x,y,z) $$
求 $\vec{F}$ 通过上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 的上侧的通量。
解：
补面：平面 $z=0$，$x^2+y^2\le a^2$，取下侧，记为 $\Sigma_1$。
则 $\Sigma+\Sigma_1$ 为闭曲面外侧。
由高斯公式：
$$ \oiint_{\Sigma+\Sigma_1}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac23\pi a^3 =2\pi a^3 $$
计算 $\Sigma_1$ 上的积分：
$\Sigma_1$：$z=0$，取下侧。
$$ \iint_{\Sigma_1}\vec{F}\cdot d\vec{S} =\iint_{\Sigma_1}zdxdy =0 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma\vec{F}\cdot d\vec{S} =2\pi a^3 $$
例31
设
$$ \vec{F}=(-y,x,z) $$
求 $\vec{F}$ 沿圆周 $x^2+y^2=a^2$、$z=0$ 的环流量。
解：
由例14：
$$ \Gamma=2\pi a^2 $$
例32
设
$$ \vec{F}=(y,z,x) $$
求 $\vec{F}$ 沿圆周 $x^2+y^2=1$、$z=0$ 的环流量。
解：
由例15：
$$ \Gamma=-\pi $$
例33
设
$$ \vec{F}=(z,y,x) $$
求 $\vec{F}$ 沿圆周 $x^2+y^2=1$、$z=1$ 的环流量。
解：
由例16：
$$ \Gamma=0 $$
$$ \text{div}\vec{F} =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
注意是加号。
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
注意第一行是单位向量，第二行是偏导算子，第三行是分量。
$$ \text{rot}\vec{F} =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) $$
注意每项的顺序。
高斯公式要求 $\Sigma$ 取外侧。
若取内侧，结果为负。
$\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的侧符合右手法则。
要求 $f$ 有二阶连续偏导数。
要求 $\vec{F}$ 有二阶连续偏导数。
在单连通区域上，无旋场等价于梯度场。
若 $P$、$Q$、$R$ 在 $\Omega$ 内有奇点，不能直接使用高斯公式。
$$ \vec{F}=\frac{\vec{r}}{r^3} $$
$$ \text{div}\vec{F}=0,\quad r\neq0 $$
常见形式：
$$ \text{div}\vec{F}=? $$
处理方法：
常见形式：
$$ \text{rot}\vec{F}=? $$
处理方法：
常见形式：
$$ \Phi=\iint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \Gamma=\oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \vec{F}\text{ 是否为梯度场？} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
处理方法：
常见形式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
梯度：
$$ \nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right) $$
散度：
$$ \text{div}\vec{F} =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
旋度：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
通量：
$$ \Phi=\iint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
环流量：
$$ \Gamma=\oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz $$
高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega\text{div}\vec{F}dV $$
斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma(\text{rot}\vec{F})\cdot d\vec{S} $$
重要恒等式：
$$ \text{rot}(\nabla f)=\vec{0} $$
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F})=0 $$
$$ \text{div}(\nabla f)=\Delta f $$
特殊向量场：
无源场：
$$ \text{div}\vec{F}=0 $$
无旋场：
$$ \text{rot}\vec{F}=\vec{0} $$
调和场：
$$ \text{div}\vec{F}=0,\quad\text{rot}\vec{F}=\vec{0} $$
常用结论：
$$ \text{div}\vec{r}=3 $$
$$ \text{rot}\vec{r}=\vec{0} $$
$$ \nabla r=\frac{\vec{r}}{r} $$
$$ \nabla\left(\frac1r\right)=-\frac{\vec{r}}{r^3} $$
$$ \text{div}\left(\frac{\vec{r}}{r^3}\right)=0,\quad r\neq0 $$
口诀：
散度是数量，旋度是向量；
高斯公式算通量，斯托克斯算环流；
梯度场无旋，旋度场无源；
单连通无旋即梯度，求原函数用积分。
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