适用：数一、数二、数三通用
地位：函数极限的直接应用，是导数、积分、中值定理的前提
核心任务：判断连续性，会找间断点并分类，掌握闭区间上连续函数的性质
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续。
等价定义（增量形式）：
设
$$ \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0) $$
若
$$ \lim_{\Delta x\to0}\Delta y=0 $$
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续。
连续的三要素：
$$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) $$
即：
左连续：
若
$$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) $$
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处左连续。
右连续：
若
$$ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) $$
则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处右连续。
重要结论：
$$ f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处连续} \iff f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处既左连续又右连续} $$
开区间连续：
若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内每一点都连续，则称 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续。
闭区间连续：
若 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，且在 $a$ 处右连续，在 $b$ 处左连续，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续。
即：
$$ \lim_{x\to a^+}f(x)=f(a) $$
$$ \lim_{x\to b^-}f(x)=f(b) $$
若 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处不连续，则称 $x_0$ 为 $f(x)$ 的间断点。
间断点的常见情形：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)\neq f(x_0) $$
间断点分类：
第一类间断点： 左右极限都存在的间断点。
$$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)\neq f(x_0) $$
或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义，但左右极限相等。
$$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)\neq \lim_{x\to x_0^+}f(x) $$
第二类间断点： 左右极限中至少有一个不存在的间断点。
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $$
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)\text{ 不存在，且不趋于无穷} $$
分类图示：
$$ \text{间断点} \begin{cases} \text{第一类} \begin{cases} \text{可去间断点}\\ \text{跳跃间断点} \end{cases}\\ \text{第二类} \begin{cases} \text{无穷间断点}\\ \text{振荡间断点} \end{cases} \end{cases} $$
连续函数的四则运算：
若 $f(x)$、$g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则
$$ f(x)\pm g(x),\quad f(x)g(x),\quad \frac{f(x)}{g(x)}\ (g(x_0)\neq0) $$
在 $x_0$ 处连续。
复合函数连续性：
若 $g(x)$ 在 $x_0$ 处连续，$f(u)$ 在 $u_0=g(x_0)$ 处连续，则
$$ f(g(x)) $$
在 $x_0$ 处连续。
反函数连续性：
若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调且连续，则其反函数 $f^{-1}(x)$ 在对应区间上连续。
初等函数连续性：
一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
即：若 $f(x)$ 是初等函数，且 $x_0$ 在其定义区间内，则
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
这是求初等函数极限时可以直接代入的依据。
设 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续。
（1）最值定理
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。
即存在 $\xi_1,\xi_2\in[a,b]$，使得
$$ f(\xi_1)=M,\quad f(\xi_2)=m $$
且对任意 $x\in[a,b]$，有
$$ m\le f(x)\le M $$
（2）有界定理
$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
即存在 $K>0$，使得对任意 $x\in[a,b]$，有
$$ |f(x)|\le K $$
（3）介值定理
若 $m\le \mu\le M$，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得
$$ f(\xi)=\mu $$
（4）零点定理
若
$$ f(a)\cdot f(b)<0 $$
则存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f(\xi)=0 $$
推论：
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $f(a)\neq f(b)$，则对介于 $f(a)$ 与 $f(b)$ 之间的任意实数 $\mu$，存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f(\xi)=\mu $$
判断 $f(x)$ 在 $x_0$ 处是否连续，按以下步骤：
若上述都成立，则连续；否则间断。
若左右极限都存在：
相等但不等于函数值（或无定义）：可去间断点；
不相等：跳跃间断点。
若左右极限至少有一个不存在：
趋于无穷：无穷间断点；
例如：
$$ f(x)=\frac1x $$
在 $(0,1)$ 上连续，但无界，也不取到最小值。原因是区间不是闭区间。
若 $f(x)$ 是初等函数，且 $x_0$ 在其定义区间内，则
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
若 $x_0$ 不在定义区间内，不能直接代入。
例1
设
$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\neq1\\ 2, & x=1 \end{cases} $$
判断 $f(x)$ 在 $x=1$ 处是否连续。
解：
$$ \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}x^2=1 $$
而
$$ f(1)=2 $$
因为
$$ \lim_{x\to1}f(x)\neq f(1) $$
所以 $f(x)$ 在 $x=1$ 处不连续，$x=1$ 为可去间断点。
例2
设
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x\neq0\\ 1, & x=0 \end{cases} $$
判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否连续。
解：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
而
$$ f(0)=1 $$
所以
$$ \lim_{x\to0}f(x)=f(0) $$
因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
例3
求
$$ f(x)=\frac{x^2-1}{x-1} $$
的间断点并分类。
解：
$f(x)$ 在 $x=1$ 处无定义。
$$ \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1}(x+1)=2 $$
左右极限存在且相等，但 $f(1)$ 无定义，所以 $x=1$ 为可去间断点。
例4
求
$$ f(x)=\frac{1}{x-2} $$
的间断点并分类。
解：
$f(x)$ 在 $x=2$ 处无定义。
$$ \lim_{x\to2}\frac{1}{x-2}=\infty $$
所以 $x=2$ 为无穷间断点，属于第二类间断点。
例5
设
$$ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0\\ x-1, & x\ge0 \end{cases} $$
求间断点并分类。
解：
在 $x=0$ 处：
$$ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1 $$
$$ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}(x-1)=-1 $$
左右极限都存在但不相等，所以 $x=0$ 为跳跃间断点，属于第一类间断点。
例6
求
$$ f(x)=\sin\frac1x $$
在 $x=0$ 处的间断点类型。
解：
当 $x\to0$ 时，$\frac1x\to\infty$，$\sin\frac1x$ 在 $-1$ 与 $1$ 之间振荡，极限不存在，且不趋于无穷。
所以 $x=0$ 为振荡间断点，属于第二类间断点。
例7
设
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{1-\cos x}{x^2}, & x\neq0\\ a, & x=0 \end{cases} $$
若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a$。
解：
$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 $$
因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以
$$ a=\lim_{x\to0}f(x)=\frac12 $$
例8
设
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin ax}{x}, & x<0\\ b, & x=0\ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, & x>0 \end{cases} $$
若 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，求 $a,b$。
解：
左极限：
$$ \lim_{x\to0^-}\frac{\sin ax}{x}=a $$
右极限：
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\lim_{x\to0^+}\frac{\frac12x}{x} =\frac12 $$
因为连续，所以左右极限相等且等于 $f(0)=b$：
$$ a=\frac12,\quad b=\frac12 $$
例9
证明方程
$$ x^3-3x+1=0 $$
在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根。
证明：
设
$$ f(x)=x^3-3x+1 $$
则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
$$ f(0)=1>0 $$
$$ f(1)=1-3+1=-1<0 $$
所以
$$ f(0)\cdot f(1)<0 $$
由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f(\xi)=0 $$
即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个根。
例10
证明方程
$$ x=e^{x-2} $$
在区间 $(0,2)$ 内至少有一个根。
证明：
设
$$ f(x)=x-e^{x-2} $$
则 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续。
$$ f(0)=0-e^{-2}=-e^{-2}<0 $$
$$ f(2)=2-e^0=2-1=1>0 $$
所以
$$ f(0)\cdot f(2)<0 $$
由零点定理，存在 $\xi\in(0,2)$，使得
$$ f(\xi)=0 $$
即方程在 $(0,2)$ 内至少有一个根。
例11
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且
$$ f(0)=0,\quad f(1)=1 $$
证明存在 $\xi\in[0,1]$，使得
$$ f(\xi)=\frac12 $$
证明：
因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且
$$ 0=f(0)<\frac12<f(1)=1 $$
由介值定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f(\xi)=\frac12 $$
例12
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且
$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2 $$
求 $f(0)$。
解：
因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，所以
$$ \lim_{x\to0}f(x)=f(0) $$
又因为
$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=2 $$
所以
$$ f(x)=x\cdot\frac{f(x)}{x}\to0\cdot2=0 $$
因此
$$ f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0 $$
连续要求：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
若 $f(x_0)$ 无定义，则一定不连续。
错误：
$$ \lim_{x\to1}x^2=1 $$
就认为 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续。
正确：
还要看 $f(1)$ 是否等于 $1$。
必须同时看：
零点定理要求：
两个条件缺一不可。
错误：
$$ f(x)=\frac1x $$
在 $[-1,1]$ 上不连续，不能用零点定理。
最值定理、有界定理、介值定理、零点定理都要求闭区间。
$$ f(x)=\frac1x $$
在 $(0,1)$ 上连续，但无界，也不取到最小值。
只有在 $x_0$ 属于定义区间时，才能直接代入。
例如：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} $$
不能直接代入，因为 $x=0$ 不在定义域内。
分段函数在分段点处必须分别求左右极限，不能只代其中一段。
常见形式：
$$ f(x)= \begin{cases} g(x), & x\neq x_0\ a, & x=x_0 \end{cases} $$
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，求 $a$。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
证明方程 $f(x)=0$ 在区间 $(a,b)$ 内至少有一个根。
处理方法：
常见形式：
证明存在 $\xi$，使得
$$ f(\xi)=\mu $$
处理方法：
常见形式：
已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且
$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}=A $$
求 $f'(x_0)$。
处理方法：
连续定义：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
左右连续：
$$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=f(x_0) $$
$$ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0) $$
连续充要条件：
$$ \text{连续} \iff \text{左连续且右连续} $$
间断点分类：
$$ \text{第一类} \begin{cases} \text{可去：左右极限存在且相等}\\ \text{跳跃：左右极限存在但不相等} \end{cases} $$
$$ \text{第二类} \begin{cases} \text{无穷：极限为 }\infty\\ \text{振荡：极限不存在且不趋于 }\infty \end{cases} $$
闭区间连续函数性质：
零点定理：
$$ f(x)\text{ 在 }[a,b]\text{ 上连续},\quad f(a)f(b)<0 \Rightarrow \exists\xi\in(a,b),\ f(\xi)=0 $$
初等函数连续性：
$$ \text{初等函数在其定义区间内连续} $$
常用结论：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 $$
$$ \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e $$
口诀：
连续三要素，左右加函数值；
间断先找点，左右极限再分类；
可去跳跃第一类，无穷振荡第二类；
闭区间连续，最值介值零点定理。
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