适用：数一、数二、数三通用
地位：线性代数的核心考点，直接支撑非齐次方程组、特征值、二次型
核心任务：理解解的结构，掌握基础解系求法，会讨论解的情况
一般形式：
$$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=0\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=0 \end{cases} $$
矩阵形式：
$$ Ax=0 $$
其中：
$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix} $$
向量形式：
$$ x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=\mathbf{0} $$
其中 $\alpha_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列。
性质1：零解
$$ x=\mathbf{0} $$
永远是 $Ax=0$ 的解。
性质2：解的线性组合
若 $\xi_1,\xi_2$ 是 $Ax=0$ 的解，则
$$ k_1\xi_1+k_2\xi_2 $$
也是 $Ax=0$ 的解。
性质3：解空间
$Ax=0$ 的所有解构成一个向量空间，称为解空间，记作
$$ N(A)={x\mid Ax=0} $$
性质4：解空间的维数
$$ \dim N(A)=n-r(A) $$
其中 $n$ 为未知数个数，$r(A)$ 为系数矩阵的秩。
定义：
若 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 是 $Ax=0$ 的一组线性无关的解，且 $Ax=0$ 的任一解都可由它们线性表示，则称 $\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 为 $Ax=0$ 的一组基础解系。
重要结论：
通解：
$$ x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
其中 $k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。
只有零解：
$$ Ax=0\text{ 只有零解} \iff r(A)=n $$
有非零解：
$$ Ax=0\text{ 有非零解} \iff r(A)<n $$
方阵情形：
若 $A$ 为 $n$ 阶方阵：
$$ Ax=0\text{ 只有零解} \iff |A|\neq0 $$
$$ Ax=0\text{ 有非零解} \iff |A|=0 $$
重要结论：
步骤：
具体操作：
设行最简形为：
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r}\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2,n-r}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r}\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} $$
则通解为：
$$ \begin{cases} x_1=-b_{11}x_{r+1}-\cdots-b_{1,n-r}x_n\\ x_2=-b_{21}x_{r+1}-\cdots-b_{2,n-r}x_n\\ \vdots\\ x_r=-b_{r1}x_{r+1}-\cdots-b_{r,n-r}x_n \end{cases} $$
令自由未知量 $(x_{r+1},\cdots,x_n)$ 分别取：
$$ (1,0,\cdots,0),\quad(0,1,\cdots,0),\quad\cdots,\quad(0,0,\cdots,1) $$
得到基础解系。
齐次线性方程组的通解：
$$ x=k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
其中 $\xi_1,\cdots,\xi_{n-r}$ 为基础解系，$k_1,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。
重要结论：
秩-零化度定理：
$$ r(A)+\dim N(A)=n $$
即：
$$ \dim N(A)=n-r(A) $$
重要结论：
（1）$m<n$ 时：
$$ r(A)\le m<n $$
所以：
$$ r(A)<n $$
$Ax=0$ 必有非零解。
（2）$m=n$ 时：
$$ Ax=0\text{ 有非零解}\iff|A|=0 $$
（3）$m>n$ 时：
$$ r(A)\le n $$
若 $r(A)=n$，只有零解；
若 $r(A)<n$，有非零解。
（4）基础解系：
含 $n-r(A)$ 个向量。
（5）通解：
$$ x=k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
$$ r(A)=n $$
或（$A$ 为方阵时）：
$$ |A|\neq0 $$
$$ r(A)<n $$
或（$A$ 为方阵时）：
$$ |A|=0 $$
例1
判断方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_1+4x_2+6x_3=0\\ 3x_1+6x_2+9x_3=0 \end{cases} $$
是否有非零解。
解：
系数矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=1<3 $$
方程组有非零解。
例2
判断方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_1+5x_2+8x_3=0\\ 3x_1+8x_2+14x_3=0 \end{cases} $$
是否有非零解。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} $$
$$ |A|=1\neq0 $$
所以：
$$ r(A)=3 $$
方程组只有零解。
例3
求方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_1+4x_2+6x_3=0 \end{cases} $$
的基础解系和通解。
解：
系数矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=1 $$
基础解系含：
$$ n-r(A)=3-1=2 $$
个向量。
原方程等价于：
$$ x_1+2x_2+3x_3=0 $$
即：
$$ x_1=-2x_2-3x_3 $$
令 $x_2=1$，$x_3=0$：
$$ x_1=-2 $$
得：
$$ \xi_1=(-2,1,0)^T $$
令 $x_2=0$，$x_3=1$：
$$ x_1=-3 $$
得：
$$ \xi_2=(-3,0,1)^T $$
基础解系：
$$ \xi_1=(-2,1,0)^T,\quad\xi_2=(-3,0,1)^T $$
通解：
$$ x=k_1\xi_1+k_2\xi_2 $$
即：
$$ x=k_1(-2,1,0)^T+k_2(-3,0,1)^T $$
例4
求方程组
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\\ x_1+3x_2+5x_3+7x_4=0 \end{cases} $$
的基础解系和通解。
解：
系数矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
继续化行最简形：
$$ r_1-r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=2 $$
基础解系含：
$$ n-r(A)=4-2=2 $$
个向量。
原方程等价于：
$$ \begin{cases} x_1-x_3-2x_4=0\\ x_2+2x_3+3x_4=0 \end{cases} $$
即：
$$ \begin{cases} x_1=x_3+2x_4\\ x_2=-2x_3-3x_4 \end{cases} $$
令 $x_3=1$，$x_4=0$：
$$ \xi_1=(1,-2,1,0)^T $$
令 $x_3=0$，$x_4=1$：
$$ \xi_2=(2,-3,0,1)^T $$
基础解系：
$$ \xi_1=(1,-2,1,0)^T,\quad\xi_2=(2,-3,0,1)^T $$
通解：
$$ x=k_1\xi_1+k_2\xi_2 $$
例5
设
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+2x_2+ax_3=0\\ x_1+4x_2+a^2x_3=0 \end{cases} $$
讨论 $a$ 取何值时有非零解。
解：
系数矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & a\\ 1 & 4 & a^2 \end{pmatrix} $$
$$ |A|= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & a\\ 1 & 4 & a^2 \end{vmatrix} $$
这是范德蒙德行列式：
$$ |A|=(2-1)(a-1)(a-2)=(a-1)(a-2) $$
所以：
例6
设
$$ \begin{cases} ax_1+x_2+x_3=0\\ x_1+ax_2+x_3=0\\ x_1+x_2+ax_3=0 \end{cases} $$
讨论 $a$ 取何值时有非零解。
解：
$$ |A|= \begin{vmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{vmatrix} $$
计算：
$$ =a(a^2-1)-1(a-1)+1(1-a) $$
$$ =a^3-a-a+1+1-a $$
$$ =a^3-3a+2 $$
因式分解：
$$ a^3-3a+2=(a-1)^2(a+2) $$
所以：
例7
设
$$ \begin{cases} x_1+2x_2-2x_3=0\\ 2x_1-x_2+ax_3=0\\ 3x_1+x_2-x_3=0 \end{cases} $$
讨论 $a$ 取何值时有非零解。
解：
$$ |A|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & -2\\ 2 & -1 & a\\ 3 & 1 & -1 \end{vmatrix} $$
计算：
$$ =1(1-a)-2(-2-3a)-2(2+3) $$
$$ =1-a+4+6a-10 $$
$$ =5a-5 $$
所以：
例8
设 $A$ 为 $4\times 5$ 矩阵，$r(A)=3$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量个数。
解：
基础解系含：
$$ n-r(A)=5-3=2 $$
个向量。
例9
设 $A$ 为 $3\times 4$ 矩阵，$Ax=0$ 的基础解系含 $2$ 个向量，求 $r(A)$。
解：
$$ n-r(A)=2 $$
$$ 4-r(A)=2 $$
$$ r(A)=2 $$
例10
设 $A$ 为 $5$ 阶方阵，$|A|=0$，且 $r(A)=3$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量个数。
解：
基础解系含：
$$ n-r(A)=5-3=2 $$
个向量。
例11
求方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_1+4x_2+6x_3=0 \end{cases} $$
的解空间的维数和一组基。
解：
$$ r(A)=1 $$
解空间维数：
$$ \dim N(A)=3-1=2 $$
基础解系：
$$ \xi_1=(-2,1,0)^T,\quad\xi_2=(-3,0,1)^T $$
所以解空间的一组基为 $\xi_1,\xi_2$。
例12
求方程组
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=0\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=0\\ x_1+3x_2+5x_3+7x_4=0 \end{cases} $$
的解空间的维数和一组基。
解：
由例4：
$$ r(A)=2 $$
解空间维数：
$$ \dim N(A)=4-2=2 $$
基础解系：
$$ \xi_1=(1,-2,1,0)^T,\quad\xi_2=(2,-3,0,1)^T $$
例13
设
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(1,0,1)^T $$
判断 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是否线性相关。
解：
以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为列构成矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
求 $Ax=0$：
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=2<3 $$
所以 $Ax=0$ 有非零解，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关。
例14
设
$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,5)^T $$
判断 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是否线性相关。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=2<3 $$
所以 $Ax=0$ 有非零解，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性相关。
例15
设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$r(A)=r$，证明 $Ax=0$ 的基础解系含 $n-r$ 个向量。
证明：
由秩-零化度定理：
$$ \dim N(A)=n-r(A)=n-r $$
所以基础解系含 $n-r$ 个向量。
例16
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=A$，证明
$$ r(A)+r(E-A)=n $$
证明：
由 $A^2=A$：
$$ A(E-A)=O $$
所以 $E-A$ 的列向量都是 $Ax=0$ 的解。
因此：
$$ r(E-A)\le\dim N(A)=n-r(A) $$
所以：
$$ r(A)+r(E-A)\le n $$
又：
$$ A+(E-A)=E $$
所以：
$$ r(A)+r(E-A)\ge r(E)=n $$
因此：
$$ r(A)+r(E-A)=n $$
例17
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,0$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量个数。
解：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数}=2 $$
基础解系含：
$$ n-r(A)=3-2=1 $$
个向量。
例18
设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，特征值为 $1,1,0,0$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量个数。
解：
$$ r(A)=2 $$
基础解系含：
$$ 4-2=2 $$
个向量。
例19
设
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,5,8)^T,\quad \beta=(3,7,11)^T $$
判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
解：
设
$$ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 $$
即：
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2-\beta=\mathbf{0} $$
构造矩阵：
$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,-\beta)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ 2 & 5 & -7\\ 3 & 8 & -11 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 2 & -2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & -3\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=2<3 $$
所以有非零解，$\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
例20
设
$$ \alpha_1=(1,0,0)^T,\quad \alpha_2=(0,1,0)^T,\quad \beta=(1,1,1)^T $$
判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
解：
构造矩阵：
$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,-\beta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=3 $$
所以只有零解，$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
例21
设二次型
$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3+2cx_2x_3 $$
的矩阵为 $A$，若 $f$ 正定，求 $a$、$b$、$c$ 满足的条件。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & a & b\\ a & 1 & c\\ b & c & 1 \end{pmatrix} $$
$f$ 正定 $\iff$ $A$ 的各阶顺序主子式全大于 $0$：
$$ 1>0 $$
$$ \begin{vmatrix} 1 & a\\ a & 1 \end{vmatrix} =1-a^2>0\Rightarrow|a|<1 $$
$$ |A|=1+2abc-a^2-b^2-c^2>0 $$
所以条件为：
$$ |a|<1,\quad 1+2abc-a^2-b^2-c^2>0 $$
例22
设二次型
$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$
求二次型的矩阵 $A$，并判断 $f$ 是否正定。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
顺序主子式：
$$ 1>0 $$
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} =1>0 $$
$$ |A|=1(6-0)-1(3-0)+1(0-2)=6-3-2=1>0 $$
所以 $f$ 正定。
正确。
$x=\mathbf{0}$ 永远是 $Ax=0$ 的解。
$$ Ax=0\text{ 有非零解} \iff r(A)<n $$
基础解系含 $n-r(A)$ 个向量。
错误。
$m<n$ 时，$r(A)\le m<n$，必有非零解。
错误。
$m>n$ 时，可能只有零解，也可能有非零解。
错误。
$|A|\neq0\iff r(A)=n\iff$ 只有零解。
正确。
基础解系不唯一，但所含向量个数唯一。
两者相等，都等于 $n-r(A)$。
$$ \dim N(A)=n-r(A) $$
其中 $n$ 为未知数个数。
$$ r(A)+\dim N(A)=n $$
自由未知量通常选非主元列对应的变量。
要分情况讨论，不要遗漏特殊值。
常见形式：
$$ Ax=0\text{ 是否有非零解？} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ Ax=0\text{ 有非零解，求参数} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ n-r(A)=\text{基础解系向量个数} $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 是否线性相关？} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
常见形式：
处理方法：
齐次线性方程组：
$$ Ax=0 $$
零解：
$$ x=\mathbf{0} $$
只有零解：
$$ r(A)=n $$
或（方阵）：
$$ |A|\neq0 $$
有非零解：
$$ r(A)<n $$
或（方阵）：
$$ |A|=0 $$
基础解系：
含 $n-r(A)$ 个向量。
通解：
$$ x=k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
解空间：
$$ \dim N(A)=n-r(A) $$
秩-零化度定理：
$$ r(A)+\dim N(A)=n $$
$m<n$ 时：
必有非零解。
$m=n$ 时：
$$ |A|=0\iff\text{有非零解} $$
$m>n$ 时：
$$ r(A)=n\iff\text{只有零解} $$
$$ r(A)<n\iff\text{有非零解} $$
求基础解系步骤：
口诀：
齐次方程组，零解永存在；
秩等于 $n$ 只有零，秩小于 $n$ 有非零；
基础解系 $n$ 减秩，通解任意常数乘；
解空间维数 $n$ 减秩，秩零化度定理记心间。
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