适用：数一、数二、数三通用
地位：微分方程的落脚点，直接支撑几何应用、物理应用、变化率建模
核心任务：会建立微分方程，会识别类型，会结合初始条件求解，会处理综合问题
步骤：
关键：
（1）切线斜率：
曲线 $y=y(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的切线斜率为
$$ k=y' $$
切线方程：
$$ Y-y=y'(X-x) $$
法线方程：
$$ Y-y=-\frac1{y'}(X-x) $$
（2）切线截距：
$$ X=x-\frac{y}{y'} $$
$$ Y=y-xy' $$
（3）法线截距：
$$ X=x+yy' $$
$$ Y=y+\frac{x}{y'} $$
（4）面积与弧长：
$$ S=\int_a^b ydx $$
$$ s=\int_a^b\sqrt{1+(y')^2}dx $$
（5）曲率：
$$ K=\frac{|y''|}{[1+(y')^2]^{3/2}} $$
（1）变化率问题：
若某量 $y$ 的变化率与 $y$ 成正比：
$$ \frac{dy}{dt}=ky $$
解：
$$ y=Ce^{kt} $$
（2）冷却定律：
物体温度 $T$ 的变化率与物体温度和环境温度之差成正比：
$$ \frac{dT}{dt}=-k(T-T_0) $$
解：
$$ T=T_0+(T(0)-T_0)e^{-kt} $$
（3）放射性衰变：
质量 $m$ 的变化率与质量成正比：
$$ \frac{dm}{dt}=-km $$
解：
$$ m=m_0e^{-kt} $$
（4）牛顿第二定律：
$$ F=ma=m\frac{dv}{dt} $$
或：
$$ F=m\frac{d^2x}{dt^2} $$
（5）阻力问题：
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv $$
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2 $$
（6）混合问题：
容器中溶液浓度变化：
$$ \frac{dx}{dt}=\text{流入速率}-\text{流出速率} $$
（7）电路问题：
$$ L\frac{di}{dt}+Ri=E(t) $$
$$ R\frac{dq}{dt}+\frac qC=E(t) $$
$$ L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac qC=E(t) $$
（1）增长模型：
$$ \frac{dP}{dt}=kP $$
（2）成本与利润：
边际成本：
$$ MC=\frac{dC}{dx} $$
边际收益：
$$ MR=\frac{dR}{dx} $$
边际利润：
$$ ML=\frac{dL}{dx} $$
（1）微分方程与极限综合：
已知微分方程的解，求极限。
（2）微分方程与积分综合：
已知积分方程，化为微分方程。
（3）微分方程与级数综合：
用幂级数求解微分方程。
（4）微分方程与线性代数综合：
微分方程组。
（5）微分方程与几何综合：
曲线满足某几何条件。
（6）微分方程与物理综合：
运动学、力学、电学问题。
| 类型 | 形式 | 解法 |
|---|---|---|
| 可分离变量 | $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$ | 分离变量积分 |
| 齐次方程 | $\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac yx\right)$ | 令 $u=\dfrac yx$ |
| 一阶线性 | $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$ | 通解公式 |
| 伯努利方程 | $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$ | 令 $z=y^{1-n}$ |
| 全微分方程 | $Pdx+Qdy=0$，$P_y=Q_x$ | 求原函数 |
| 可降阶 | $y''=f(x,y')$ | 令 $p=y'$ |
| 可降阶 | $y''=f(y,y')$ | 令 $p=y'$，$y''=p\dfrac{dp}{dy}$ |
| 二阶常系数齐次 | $y''+py'+qy=0$ | 特征根法 |
| 二阶常系数非齐次 | $y''+py'+qy=f(x)$ | 齐次通解 + 特解 |
例1
已知曲线 $y=y(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $x+y$，且过点 $(0,1)$，求曲线方程。
解：
$$ \frac{dy}{dx}=x+y $$
即：
$$ y'-y=x $$
这是一阶线性方程。
$$ P(x)=-1,\quad Q(x)=x $$
积分因子：
$$ e^{-x} $$
通解：
$$ y=e^{x}\left[\int xe^{-x}dx+C\right] $$
而：
$$ \int xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x} $$
所以：
$$ y=e^x(-xe^{-x}-e^{-x}+C)=-x-1+Ce^x $$
代入 $y(0)=1$：
$$ 1=-1+C\Rightarrow C=2 $$
所以：
$$ y=2e^x-x-1 $$
例2
已知曲线 $y=y(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的法线在 $x$ 轴上的截距为 $x$，求曲线方程。
解：
法线在 $x$ 轴上的截距：
$$ X=x+yy' $$
由题意：
$$ x+yy'=x $$
所以：
$$ yy'=0 $$
即：
$$ y=0\quad\text{或}\quad y'=0 $$
所以曲线为：
$$ y=C $$
例3
已知曲线 $y=y(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的切线与 $x$ 轴、$y$ 轴围成的三角形面积为 $2$，求曲线方程。
解：
切线在 $x$ 轴上的截距：
$$ X=x-\frac{y}{y'} $$
切线在 $y$ 轴上的截距：
$$ Y=y-xy' $$
三角形面积：
$$ S=\frac12\left|x-\frac{y}{y'}\right|\cdot|y-xy'|=2 $$
即：
$$ \left(x-\frac{y}{y'}\right)(y-xy')=\pm4 $$
化简：
$$ \frac{xy'-y}{y'}\cdot(y-xy')=\pm4 $$
$$ -\frac{(y-xy')^2}{y'}=\pm4 $$
这是微分方程，求解略。
例4
已知曲线 $y=y(x)$ 满足
$$ y''=1+(y')^2 $$
且 $y(0)=0$，$y'(0)=0$，求曲线方程。
解：
令
$$ p=y' $$
则
$$ p'=1+p^2 $$
分离变量：
$$ \frac{dp}{1+p^2}=dx $$
积分：
$$ \arctan p=x+C_1 $$
代入 $y'(0)=0$：
$$ 0=0+C_1\Rightarrow C_1=0 $$
所以：
$$ p=\tan x $$
即：
$$ y'=\tan x $$
积分：
$$ y=-\ln|\cos x|+C_2 $$
代入 $y(0)=0$：
$$ 0=0+C_2\Rightarrow C_2=0 $$
所以：
$$ y=-\ln|\cos x| $$
例5
已知曲线 $y=y(x)$ 满足
$$ yy''+(y')^2=0 $$
且 $y(0)=1$，$y'(0)=1$，求曲线方程。
解：
令
$$ p=y' $$
则
$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$
代入：
$$ yp\frac{dp}{dy}+p^2=0 $$
若 $p\neq0$：
$$ y\frac{dp}{dy}=-p $$
分离变量：
$$ \frac{dp}{p}=-\frac{dy}{y} $$
积分：
$$ \ln|p|=-\ln|y|+C_1 $$
所以：
$$ p=\frac{C_1}{y} $$
即：
$$ y'=\frac{C_1}{y} $$
代入 $y(0)=1$，$y'(0)=1$：
$$ 1=C_1 $$
所以：
$$ y'=\frac1y $$
分离变量：
$$ ydy=dx $$
积分：
$$ \frac{y^2}{2}=x+C_2 $$
代入 $y(0)=1$：
$$ \frac12=C_2 $$
所以：
$$ y^2=2x+1 $$
例6
某物体冷却过程中，温度 $T(t)$ 满足
$$ \frac{dT}{dt}=-k(T-20) $$
初始温度 $T(0)=100$，$k>0$，求 $T(t)$。
解：
分离变量：
$$ \frac{dT}{T-20}=-kdt $$
两边积分：
$$ \ln(T-20)=-kt+C_1 $$
所以：
$$ T-20=Ce^{-kt} $$
代入 $T(0)=100$：
$$ 100-20=C\Rightarrow C=80 $$
所以：
$$ T=20+80e^{-kt} $$
例7
某放射性物质的质量 $m(t)$ 满足
$$ \frac{dm}{dt}=-km $$
初始质量 $m(0)=m_0$，求 $m(t)$。
解：
分离变量：
$$ \frac{dm}{m}=-kdt $$
积分：
$$ \ln m=-kt+C_1 $$
所以：
$$ m=Ce^{-kt} $$
代入 $m(0)=m_0$：
$$ m_0=C $$
所以：
$$ m=m_0e^{-kt} $$
例8
一物体在空气中自由下落，空气阻力与速度成正比，求速度 $v(t)$。
解：
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv $$
即：
$$ \frac{dv}{dt}=g-\frac kmv $$
这是一阶线性方程。
$$ P(t)=\frac km,\quad Q(t)=g $$
通解：
$$ v=e^{-\frac kmt}\left[\int ge^{\frac kmt}dt+C\right] $$
$$ =e^{-\frac kmt}\left[\frac{mg}{k}e^{\frac kmt}+C\right] =\frac{mg}{k}+Ce^{-\frac kmt} $$
代入 $v(0)=0$：
$$ 0=\frac{mg}{k}+C\Rightarrow C=-\frac{mg}{k} $$
所以：
$$ v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac kmt}) $$
例9
一物体在空气中自由下落，空气阻力与速度平方成正比，求速度 $v(t)$。
解：
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2 $$
分离变量：
$$ \frac{dv}{g-\frac kmv^2}=dt $$
令
$$ a=\sqrt{\frac{mg}{k}} $$
则：
$$ \frac{dv}{a^2-v^2}=\frac kmdt $$
积分：
$$ \frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+v}{a-v}\right|=\frac kmt+C_1 $$
代入 $v(0)=0$：
$$ C_1=0 $$
所以：
$$ \ln\frac{a+v}{a-v}=\frac{2ak}{m}t $$
即：
$$ v=a\frac{e^{\frac{2ak}{m}t}-1}{e^{\frac{2ak}{m}t}+1} $$
例10
一容器内有 $100$ L 盐水，含盐 $10$ kg。以 $3$ L/min 的速度注入含盐 $0.1$ kg/L 的盐水，同时以 $3$ L/min 的速度流出，求任意时刻容器内的盐量。
解：
设 $t$ 时刻盐量为 $x(t)$。
流入速率：
$$ 3\times0.1=0.3\text{ kg/min} $$
流出速率：
$$ 3\times\frac{x}{100}=0.03x\text{ kg/min} $$
所以：
$$ \frac{dx}{dt}=0.3-0.03x $$
即：
$$ \frac{dx}{dt}+0.03x=0.3 $$
这是一阶线性方程。
$$ P(t)=0.03,\quad Q(t)=0.3 $$
通解：
$$ x=e^{-0.03t}\left[\int0.3e^{0.03t}dt+C\right] $$
$$ =e^{-0.03t}\left[10e^{0.03t}+C\right] =10+Ce^{-0.03t} $$
代入 $x(0)=10$：
$$ 10=10+C\Rightarrow C=0 $$
所以：
$$ x=10 $$
即容器内盐量始终为 $10$ kg。
例11
设 $y=y(x)$ 满足
$$ y'+y=e^{-x},\quad y(0)=0 $$
求
$$ \lim_{x\to+\infty}y(x) $$
解：
$$ P(x)=1,\quad Q(x)=e^{-x} $$
通解：
$$ y=e^{-x}\left[\int e^{-x}\cdot e^xdx+C\right] =e^{-x}(x+C) $$
代入 $y(0)=0$：
$$ 0=0+C\Rightarrow C=0 $$
所以：
$$ y=xe^{-x} $$
$$ \lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=0 $$
例12
设 $y=y(x)$ 满足
$$ y''-y=0,\quad y(0)=1,\ y'(0)=0 $$
求
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{y(x)}{e^x} $$
解：
特征方程：
$$ r^2-1=0 $$
$$ r=\pm1 $$
通解：
$$ y=C_1e^x+C_2e^{-x} $$
代入初始条件：
$$ y(0)=C_1+C_2=1 $$
$$ y'(0)=C_1-C_2=0 $$
解得：
$$ C_1=C_2=\frac12 $$
所以：
$$ y=\frac12(e^x+e^{-x})=\cosh x $$
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{y(x)}{e^x} =\lim_{x\to+\infty}\frac{\frac12(e^x+e^{-x})}{e^x} =\frac12 $$
例13
设 $f(x)$ 满足
$$ f(x)=1+\int_0^x f(t)dt $$
求 $f(x)$。
解：
两边对 $x$ 求导：
$$ f'(x)=f(x) $$
即：
$$ f'-f=0 $$
通解：
$$ f(x)=Ce^x $$
代入 $x=0$：
$$ f(0)=1+\int_0^0f(t)dt=1 $$
所以：
$$ 1=C $$
$$ f(x)=e^x $$
例14
设 $f(x)$ 满足
$$ f(x)=\int_0^x f(t)dt+x $$
求 $f(x)$。
解：
两边对 $x$ 求导：
$$ f'(x)=f(x)+1 $$
即：
$$ f'-f=1 $$
这是一阶线性方程。
$$ P(x)=-1,\quad Q(x)=1 $$
通解：
$$ f=e^{x}\left[\int e^{-x}dx+C\right] =e^x(-e^{-x}+C) =Ce^x-1 $$
代入 $f(0)=0$：
$$ 0=C-1\Rightarrow C=1 $$
所以：
$$ f(x)=e^x-1 $$
例15
设 $f(x)$ 满足
$$ f(x)=x+\int_0^x(x-t)f(t)dt $$
求 $f(x)$。
解：
$$ f(x)=x+x\int_0^xf(t)dt-\int_0^xtf(t)dt $$
两边对 $x$ 求导：
$$ f'(x)=1+\int_0^xf(t)dt+xf(x)-xf(x) $$
$$ f'(x)=1+\int_0^xf(t)dt $$
再对 $x$ 求导：
$$ f''(x)=f(x) $$
即：
$$ f''-f=0 $$
特征方程：
$$ r^2-1=0 $$
$$ r=\pm1 $$
通解：
$$ f=C_1e^x+C_2e^{-x} $$
由 $f(0)=0$：
$$ C_1+C_2=0 $$
由 $f'(0)=1$：
$$ C_1-C_2=1 $$
解得：
$$ C_1=\frac12,\quad C_2=-\frac12 $$
所以：
$$ f(x)=\frac12(e^x-e^{-x})=\sinh x $$
例16
求解微分方程组
$$ \begin{cases} x'=x+y\\ y'=x-y \end{cases} $$
解：
写成矩阵形式：
$$ \begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$
求特征值：
$$ \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1\\ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix} =(1-\lambda)(-1-\lambda)-1=0 $$
$$ \lambda^2-2=0 $$
$$ \lambda=\pm\sqrt2 $$
求特征向量，然后写出通解。
例17
已知曲线 $y=y(x)$ 上任一点 $(x,y)$ 处的切线在 $y$ 轴上的截距为 $x^2$，求曲线方程。
解：
切线在 $y$ 轴上的截距：
$$ Y=y-xy' $$
由题意：
$$ y-xy'=x^2 $$
即：
$$ xy'-y=-x^2 $$
$$ y'-\frac1xy=-x $$
这是一阶线性方程。
$$ P(x)=-\frac1x,\quad Q(x)=-x $$
积分因子：
$$ \frac1x $$
通解：
$$ y=x\left[\int(-x)\cdot\frac1xdx+C\right] =x(-x+C) =Cx-x^2 $$
例18
已知曲线 $y=y(x)$ 满足
$$ y''=y $$
且与直线 $y=x$ 在原点相切，求曲线方程。
解：
特征方程：
$$ r^2-1=0 $$
$$ r=\pm1 $$
通解：
$$ y=C_1e^x+C_2e^{-x} $$
$$ y'=C_1e^x-C_2e^{-x} $$
在原点与 $y=x$ 相切：
$$ y(0)=0\Rightarrow C_1+C_2=0 $$
$$ y'(0)=1\Rightarrow C_1-C_2=1 $$
解得：
$$ C_1=\frac12,\quad C_2=-\frac12 $$
所以：
$$ y=\frac12(e^x-e^{-x})=\sinh x $$
例19
一弹簧振子满足
$$ \frac{d^2x}{dt^2}+4x=0 $$
初始位移 $x(0)=1$，初始速度 $x'(0)=0$，求位移 $x(t)$。
解：
特征方程：
$$ r^2+4=0 $$
$$ r=\pm2i $$
通解：
$$ x=C_1\cos2t+C_2\sin2t $$
代入初始条件：
$$ x(0)=C_1=1 $$
$$ x'(0)=2C_2=0\Rightarrow C_2=0 $$
所以：
$$ x=\cos2t $$
例20
一物体在阻尼介质中运动，满足
$$ \frac{d^2x}{dt^2}+2\frac{dx}{dt}+x=0 $$
初始位移 $x(0)=1$，初始速度 $x'(0)=0$，求位移 $x(t)$。
解：
特征方程：
$$ r^2+2r+1=0 $$
$$ (r+1)^2=0 $$
$$ r=-1 $$
通解：
$$ x=(C_1+C_2t)e^{-t} $$
代入初始条件：
$$ x(0)=C_1=1 $$
$$ x'=(C_2-C_1-C_2t)e^{-t} $$
$$ x'(0)=C_2-C_1=0\Rightarrow C_2=1 $$
所以：
$$ x=(1+t)e^{-t} $$
例21
$RL$ 电路中，电流 $i(t)$ 满足
$$ L\frac{di}{dt}+Ri=E $$
初始电流 $i(0)=0$，求 $i(t)$。
解：
$$ \frac{di}{dt}+\frac RLi=\frac EL $$
这是一阶线性方程。
$$ P(t)=\frac RL,\quad Q(t)=\frac EL $$
通解：
$$ i=e^{-\frac RLt}\left[\int\frac ELe^{\frac RLt}dt+C\right] $$
$$ =e^{-\frac RLt}\left[\frac ER e^{\frac RLt}+C\right] =\frac ER+Ce^{-\frac RLt} $$
代入 $i(0)=0$：
$$ 0=\frac ER+C\Rightarrow C=-\frac ER $$
所以：
$$ i=\frac ER(1-e^{-\frac RLt}) $$
例22
某城市人口 $P(t)$ 满足
$$ \frac{dP}{dt}=0.02P-1000 $$
初始人口 $P(0)=100000$，求 $P(t)$。
解：
$$ \frac{dP}{dt}-0.02P=-1000 $$
这是一阶线性方程。
$$ P(t)=e^{0.02t}\left[\int(-1000)e^{-0.02t}dt+C\right] $$
$$ =e^{0.02t}\left[50000e^{-0.02t}+C\right] =50000+Ce^{0.02t} $$
代入 $P(0)=100000$：
$$ 100000=50000+C\Rightarrow C=50000 $$
所以：
$$ P=50000+50000e^{0.02t} $$
例23
某商品的需求量 $Q$ 与价格 $P$ 满足
$$ \frac{dQ}{dP}=-kQ $$
且 $P=0$ 时 $Q=Q_0$，求 $Q(P)$。
解：
分离变量：
$$ \frac{dQ}{Q}=-kdP $$
积分：
$$ \ln Q=-kP+C_1 $$
所以：
$$ Q=Ce^{-kP} $$
代入 $Q(0)=Q_0$：
$$ Q_0=C $$
所以：
$$ Q=Q_0e^{-kP} $$
例24
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导，且
$$ f'(x)=f(x)+x,\quad f(0)=1 $$
证明：
$$ f(x)=2e^x-x-1 $$
证明：
$$ f'-f=x $$
这是一阶线性方程。
$$ P(x)=-1,\quad Q(x)=x $$
通解：
$$ f=e^{x}\left[\int xe^{-x}dx+C\right] =e^x(-xe^{-x}-e^{-x}+C) =-x-1+Ce^x $$
代入 $f(0)=1$：
$$ 1=-1+C\Rightarrow C=2 $$
所以：
$$ f(x)=2e^x-x-1 $$
例25
设 $y=y(x)$ 满足
$$ y''+y=0,\quad y(0)=0,\ y'(0)=1 $$
证明：
$$ y=\sin x $$
证明：
特征方程：
$$ r^2+1=0 $$
$$ r=\pm i $$
通解：
$$ y=C_1\cos x+C_2\sin x $$
代入初始条件：
$$ y(0)=C_1=0 $$
$$ y'(0)=C_2=1 $$
所以：
$$ y=\sin x $$
$$ \frac{dT}{dt}=-k(T-T_0) $$
注意负号。
流出速率 = 流出速度 × 当前浓度。
当前浓度 = 当前溶质质量 / 当前溶液体积。
切线在 $x$ 轴上的截距：
$$ X=x-\frac{y}{y'} $$
切线在 $y$ 轴上的截距：
$$ Y=y-xy' $$
法线在 $x$ 轴上的截距：
$$ X=x+yy' $$
法线在 $y$ 轴上的截距：
$$ Y=y+\frac{x}{y'} $$
先求通解，再代入初始条件。
先化简，再判断类型。
对积分方程求导后，要回到原方程求初始条件。
注意单位统一。
综合问题中要注意所有条件。
先求通解，再求极限。
仔细分析几何关系，建立正确的微分方程。
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ f(x)=g(x)+\int_a^xK(x,t)f(t)dt $$
处理方法：
常见形式：
$$ \begin{cases} x'=a_{11}x+a_{12}y\ y'=a_{21}x+a_{22}y \end{cases} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
建模步骤：
几何公式：
切线斜率：
$$ k=y' $$
切线方程：
$$ Y-y=y'(X-x) $$
法线方程：
$$ Y-y=-\frac1{y'}(X-x) $$
切线在 $x$ 轴截距：
$$ X=x-\frac{y}{y'} $$
切线在 $y$ 轴截距：
$$ Y=y-xy' $$
法线在 $x$ 轴截距：
$$ X=x+yy' $$
法线在 $y$ 轴截距：
$$ Y=y+\frac{x}{y'} $$
物理公式：
冷却定律：
$$ \frac{dT}{dt}=-k(T-T_0) $$
放射性衰变：
$$ \frac{dm}{dt}=-km $$
自由落体（阻力与速度成正比）：
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv $$
自由落体（阻力与速度平方成正比）：
$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv^2 $$
混合问题：
$$ \frac{dx}{dt}=\text{流入速率}-\text{流出速率} $$
$RL$ 电路：
$$ L\frac{di}{dt}+Ri=E $$
$RC$ 电路：
$$ R\frac{dq}{dt}+\frac qC=E $$
$RLC$ 电路：
$$ L\frac{d^2q}{dt^2}+R\frac{dq}{dt}+\frac qC=E $$
经济公式：
增长模型：
$$ \frac{dP}{dt}=kP $$
边际成本：
$$ MC=\frac{dC}{dx} $$
边际收益：
$$ MR=\frac{dR}{dx} $$
综合问题类型：
口诀：
建模先找变化率，几何物理要分清；
切线法线截距记，冷却衰变混合用；
积分方程先求导，初始条件别忘掉；
综合问题先化简，识别类型再求解。
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