适用：数一、数三通用
地位：概率论的核心内容，直接支撑数字特征、参数估计、假设检验
核心任务：理解联合分布，掌握边缘分布、条件分布，掌握独立性判断
二维随机变量：
设 $X$、$Y$ 是定义在同一样本空间 $\Omega$ 上的随机变量，则称 $(X,Y)$ 为二维随机变量。
联合分布函数：
$$ F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y) $$
其中 $-\infty<x<+\infty$，$-\infty<y<+\infty$。
性质：
（1）单调性：
$F(x,y)$ 对 $x$、$y$ 分别单调不减。
（2）有界性：
$$ 0\le F(x,y)\le1 $$
（3）极限：
$$ F(-\infty,y)=0 $$
$$ F(x,-\infty)=0 $$
$$ F(-\infty,-\infty)=0 $$
$$ F(+\infty,+\infty)=1 $$
（4）右连续：
$F(x,y)$ 对 $x$、$y$ 分别右连续。
（5）矩形概率：
$$ P(a<X\le b,\ c<Y\le d) =F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)+F(a,c) $$
联合分布律：
设 $(X,Y)$ 的所有可能取值为 $(x_i,y_j)$，且
$$ P(X=x_i,\ Y=y_j)=p_{ij},\quad i,j=1,2,\cdots $$
称为 $(X,Y)$ 的联合分布律。
性质：
$$ p_{ij}\ge0 $$
$$ \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty p_{ij}=1 $$
联合分布函数：
$$ F(x,y)=\sum_{x_i\le x}\sum_{y_j\le y}p_{ij} $$
边缘分布律：
$$ P(X=x_i)=\sum_{j=1}^\infty p_{ij}=p_{i\cdot} $$
$$ P(Y=y_j)=\sum_{i=1}^\infty p_{ij}=p_{\cdot j} $$
注意：
联合概率密度：
若存在非负函数 $f(x,y)$，使得对任意实数 $x$、$y$，都有
$$ F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv $$
则称 $(X,Y)$ 为二维连续型随机变量，$f(x,y)$ 为联合概率密度。
性质：
$$ f(x,y)\ge0 $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1 $$
$$ P((X,Y)\in D)=\iint_Df(x,y)dxdy $$
注意：
边缘概率密度：
$$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy $$
$$ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx $$
注意：
离散型条件分布：
$$ P(X=x_i|Y=y_j)=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)} =\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}} $$
$$ P(Y=y_j|X=x_i)=\frac{p_{ij}}{p_{i\cdot}} $$
连续型条件分布：
$$ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\quad f_Y(y)>0 $$
$$ f_{Y|X}(y|x)=\frac{f(x,y)}{f_X(x)},\quad f_X(x)>0 $$
条件分布函数：
$$ F_{X|Y}(x|y)=P(X\le x|Y=y) $$
注意：
定义：
设 $F(x,y)$ 为 $(X,Y)$ 的联合分布函数，$F_X(x)$、$F_Y(y)$ 分别为边缘分布函数。若对任意 $x$、$y$，都有
$$ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) $$
则称 $X$ 与 $Y$ 相互独立。
离散型：
$$ p_{ij}=p_{i\cdot}\cdot p_{\cdot j} $$
连续型：
$$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$
注意：
定义：
若 $(X,Y)$ 在区域 $D$ 上服从均匀分布，则联合密度为：
$$ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{1}{S_D}, & (x,y)\in D\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
其中 $S_D$ 为区域 $D$ 的面积。
注意：
定义：
若 $(X,Y)$ 的联合密度为：
$$ f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}} \exp\left\{-\frac{1}{2(1-\rho^2)} \left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2} -2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2} +\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right\} $$
则称 $(X,Y)$ 服从二维正态分布，记作：
$$ (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho) $$
重要结论：
（1）和的分布：
若 $X$、$Y$ 独立，则
$$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx $$
（2）商的分布：
$$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}|x|f_X(x)f_Y(xz)dx $$
（3）最大值与最小值：
若 $X$、$Y$ 独立：
$$ F_{\max}(z)=F_X(z)F_Y(z) $$
$$ F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] $$
（4）$\chi^2$ 分布：
若 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim N(0,1)$，且 $X$、$Y$ 独立，则
$$ X^2+Y^2\sim\chi^2(2) $$
（5）$t$ 分布：
若 $X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且 $X$、$Y$ 独立，则
$$ \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n) $$
（6）$F$ 分布：
若 $X\sim\chi^2(m)$，$Y\sim\chi^2(n)$，且 $X$、$Y$ 独立，则
$$ \frac{X/m}{Y/n}\sim F(m,n) $$
联合分布函数：
$$ F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y) $$
边缘分布函数：
$$ F_X(x)=F(x,+\infty) $$
$$ F_Y(y)=F(+\infty,y) $$
边缘密度：
$$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy $$
$$ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx $$
条件密度：
$$ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} $$
独立性：
$$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$
$$ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) $$
对所有 $x$、$y$ 成立。
例1
设 $(X,Y)$ 的联合分布函数为
$$ F(x,y)= \begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), & x>0,\ y>0\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $P(1<X<2,\ 1<Y<2)$。
解：
$$ P(1<X<2,\ 1<Y<2) =F(2,2)-F(1,2)-F(2,1)+F(1,1) $$
$$ =(1-e^{-2})^2-(1-e^{-1})(1-e^{-2}) -(1-e^{-2})(1-e^{-1})+(1-e^{-1})^2 $$
$$ =[(1-e^{-2})-(1-e^{-1})]^2 =(e^{-1}-e^{-2})^2 $$
例2
设
$$ F(x,y)= \begin{cases} (1-e^{-x})(1-e^{-y}), & x>0,\ y>0\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
判断 $X$、$Y$ 是否独立。
解：
$$ F_X(x)=F(x,+\infty)=1-e^{-x},\quad x>0 $$
$$ F_Y(y)=F(+\infty,y)=1-e^{-y},\quad y>0 $$
所以：
$$ F(x,y)=F_X(x)F_Y(y) $$
$X$、$Y$ 独立。
例3
设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：
| $X\backslash Y$ | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 0.2 |
| 2 | 0.3 | 0.4 |
求边缘分布律。
解：
$X$ 的边缘分布律：
$$ P(X=1)=0.1+0.2=0.3 $$
$$ P(X=2)=0.3+0.4=0.7 $$
$Y$ 的边缘分布律：
$$ P(Y=1)=0.1+0.3=0.4 $$
$$ P(Y=2)=0.2+0.4=0.6 $$
例4
判断例3中 $X$、$Y$ 是否独立。
解：
$$ P(X=1)P(Y=1)=0.3\times0.4=0.12\neq0.1=P(X=1,Y=1) $$
所以 $X$、$Y$ 不独立。
例5
设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：
| $X\backslash Y$ | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 1 | 0.2 | 0.3 |
| 2 | 0.4 | 0.1 |
求 $P(X+Y=3)$。
解：
$$ P(X+Y=3)=P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1) $$
$$ =0.3+0.4=0.7 $$
例6
设 $(X,Y)$ 的联合密度为
$$ f(x,y)= \begin{cases} c, & 0<x<1,\ 0<y<1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $c$。
解：
由规范性：
$$ \int_0^1\int_0^1 c dxdy=1 $$
$$ c=1 $$
例7
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} cxy, & 0<x<1,\ 0<y<1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $c$。
解：
$$ \int_0^1\int_0^1 cxy dxdy=1 $$
$$ c\int_0^1x dx\int_0^1y dy=1 $$
$$ c\cdot\frac12\cdot\frac12=1 $$
$$ c=4 $$
例8
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} 4xy, & 0<x<1,\ 0<y<1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求边缘密度。
解：
$$ f_X(x)=\int_0^14xy dy=4x\cdot\frac12=2x,\quad 0<x<1 $$
$$ f_Y(y)=\int_0^14xy dx=4y\cdot\frac12=2y,\quad 0<y<1 $$
例9
判断例8中 $X$、$Y$ 是否独立。
解：
$$ f_X(x)f_Y(y)=2x\cdot2y=4xy=f(x,y) $$
$X$、$Y$ 独立。
例10
设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：
| $X\backslash Y$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0.2 |
| 1 | 0.3 | 0.4 |
求 $P(X=1|Y=0)$。
解：
$$ P(Y=0)=0.1+0.3=0.4 $$
$$ P(X=1|Y=0)=\frac{P(X=1,Y=0)}{P(Y=0)} =\frac{0.3}{0.4}=0.75 $$
例11
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} 4xy, & 0<x<1,\ 0<y<1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $f_{X|Y}(x|y)$。
解：
由例8：
$$ f_Y(y)=2y,\quad 0<y<1 $$
所以：
$$ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} =\frac{4xy}{2y}=2x,\quad 0<x<1 $$
例12
设 $(X,Y)$ 在区域 $D={(x,y)|x^2+y^2\le1}$ 上服从均匀分布，求联合密度。
解：
$D$ 的面积：
$$ S_D=\pi $$
所以：
$$ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac1\pi, & x^2+y^2\le1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
例13
设 $(X,Y)$ 在区域 $D={(x,y)|0<x<1,\ 0<y<x}$ 上服从均匀分布，求联合密度。
解：
$D$ 的面积：
$$ S_D=\int_0^1x dx=\frac12 $$
所以：
$$ f(x,y)= \begin{cases} 2, & 0<x<1,\ 0<y<x\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
例14
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} 2, & 0<x<1,\ 0<y<x\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求边缘密度 $f_X(x)$。
解：
$$ f_X(x)=\int_0^x2dy=2x,\quad 0<x<1 $$
例15
设
$$ (X,Y)\sim N(0,0,1,1,0) $$
判断 $X$、$Y$ 是否独立。
解：
二维正态分布中，$\rho=0$ $\iff$ $X$、$Y$ 独立。
所以 $X$、$Y$ 独立。
例16
设
$$ (X,Y)\sim N(1,2,4,9,0.5) $$
求 $X$、$Y$ 的边缘分布。
解：
$$ X\sim N(1,4) $$
$$ Y\sim N(2,9) $$
例17
设 $X$、$Y$ 独立，且都服从 $U(0,1)$，求 $Z=X+Y$ 的密度函数。
解：
$$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx $$
当 $0<z<1$ 时：
$$ f_Z(z)=\int_0^z1dx=z $$
当 $1\le z<2$ 时：
$$ f_Z(z)=\int_{z-1}^11dx=2-z $$
所以：
$$ f_Z(z)= \begin{cases} z, & 0<z<1\ 2-z, & 1\le z<2\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
例18
设 $X$、$Y$ 独立，且都服从 $N(0,1)$，求 $Z=X+Y$ 的分布。
解：
$$ Z=X+Y\sim N(0+0,1+1)=N(0,2) $$
例19
设 $X$、$Y$ 独立，且都服从 $N(0,1)$，求 $Z=\max(X,Y)$ 的分布函数。
解：
$$ F_Z(z)=P(\max(X,Y)\le z)=P(X\le z,Y\le z) $$
$$ =F_X(z)F_Y(z)=[\Phi(z)]^2 $$
例20
设 $(X,Y)$ 的联合密度为
$$ f(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)}, & x>0,\ y>0\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $P(X<1,Y<2)$。
解：
$$ P(X<1,Y<2)=\int_0^1\int_0^2e^{-(x+y)}dxdy $$
$$ =\int_0^1e^{-x}dx\int_0^2e^{-y}dy $$
$$ =(1-e^{-1})(1-e^{-2}) $$
例21
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} e^{-(x+y)}, & x>0,\ y>0\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
判断 $X$、$Y$ 是否独立。
解：
$$ f_X(x)=\int_0^{+\infty}e^{-(x+y)}dy=e^{-x},\quad x>0 $$
$$ f_Y(y)=\int_0^{+\infty}e^{-(x+y)}dx=e^{-y},\quad y>0 $$
$$ f_X(x)f_Y(y)=e^{-x}e^{-y}=e^{-(x+y)}=f(x,y) $$
$X$、$Y$ 独立。
例22
设 $(X,Y)$ 的联合密度为
$$ f(x,y)= \begin{cases} 2, & 0<x<1,\ 0<y<x\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $P(X+Y<1)$。
解：
区域 $D={(x,y)|0<x<1,\ 0<y<x,\ x+y<1}$。
由 $x+y<1$ 和 $y<x$ 得：
$$ 0<x<\frac12,\quad 0<y<x $$
所以：
$$ P(X+Y<1)=\int_0^{\frac12}\int_0^x2dydx =\int_0^{\frac12}2xdx =\frac14 $$
正确。
边缘分布不能唯一确定联合分布。
错误。
独立性要求对所有 $x$、$y$ 都有
$$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$
$$ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} $$
分母是边缘密度。
正确。
只有矩形区域上的均匀分布，边缘分布才是均匀分布。
在二维正态分布中，独立 $\iff$ 不相关。
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1 $$
$$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy $$
注意 $y$ 的范围。
条件分布要求分母大于 $0$。
和的分布需要卷积公式。
$$ F_{\max}(z)=F_X(z)F_Y(z) $$
$$ F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] $$
$$ (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho) $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
联合分布函数：
$$ F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y) $$
边缘分布函数：
$$ F_X(x)=F(x,+\infty) $$
$$ F_Y(y)=F(+\infty,y) $$
联合密度：
$$ F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)dudv $$
边缘密度：
$$ f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy $$
$$ f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dx $$
条件密度：
$$ f_{X|Y}(x|y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)} $$
独立性：
$$ f(x,y)=f_X(x)f_Y(y) $$
二维均匀分布：
$$ f(x,y)=\frac{1}{S_D},\quad (x,y)\in D $$
二维正态分布：
$$ (X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho) $$
独立与不相关：
在二维正态分布中，独立 $\iff$ $\rho=0$。
和的分布：
$$ f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)dx $$
最大值最小值：
$$ F_{\max}(z)=F_X(z)F_Y(z) $$
$$ F_{\min}(z)=1-[1-F_X(z)][1-F_Y(z)] $$
口诀：
联合分布求边缘，积分求和要分清；
独立性看乘积，条件分布分母边缘；
二维均匀看面积，二维正态独立等价不相关；
和的分布用卷积，最大值最小值看分布函数。
评论专区
评论加载中...登录后即可发表评论