适用：数一、数二、数三通用（数二部分要求）
地位：多元微分学的起点，直接支撑偏导数、全微分、多元积分
核心任务：理解二元函数极限定义，掌握重极限与累次极限的区别，会判断连续性
设 $D$ 是平面上的非空点集。若对每个点 $(x,y)\in D$，按某种对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $z$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的二元函数，记作
$$ z=f(x,y),\quad (x,y)\in D $$
其中：
二元函数的两要素：
$$ \text{定义域 }D,\quad \text{对应法则 }f $$
设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个去心邻域内有定义，$A$ 是一个常数。若对任意给定的 $\varepsilon>0$，总存在 $\delta>0$，使得当
$$ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta $$
时，都有
$$ |f(x,y)-A|<\varepsilon $$
则称当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 的极限为 $A$，记作
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A $$
或
$$ \lim_{\substack{x\to x_0\\y\to y_0}}f(x,y)=A $$
几何意义：
对任意 $\varepsilon>0$，总存在 $(x_0,y_0)$ 的一个去心邻域，使得该邻域内所有点的函数值都落在区间
$$ (A-\varepsilon,\ A+\varepsilon) $$
内。
注意：
重极限要求点 $(x,y)$ 以任意方式趋于 $(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 都趋于 $A$。
先 $x$ 后 $y$ 的累次极限：
$$ \lim_{y\to y_0}\left(\lim_{x\to x_0}f(x,y)\right) $$
先 $y$ 后 $x$ 的累次极限：
$$ \lim_{x\to x_0}\left(\lim_{y\to y_0}f(x,y)\right) $$
重极限与累次极限的关系：
重要结论：
$$ \text{重极限存在} \nRightarrow \text{累次极限存在} $$
$$ \text{累次极限存在} \nRightarrow \text{重极限存在} $$
$$ \text{两个累次极限不等} \Rightarrow \text{重极限不存在} $$
设函数 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) $$
则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处连续。
连续的等价定义：
$$ \lim_{\substack{\Delta x\to0\\Delta y\to0}}[f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)]=0 $$
连续的三要素：
若 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处不连续，则称 $(x_0,y_0)$ 为 $f(x,y)$ 的间断点。
间断点的常见情形：
设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续。
（1）最值定理：
$f(x,y)$ 在 $D$ 上必取得最大值和最小值。
（2）有界定理：
$f(x,y)$ 在 $D$ 上有界。
（3）介值定理：
若 $m\le\mu\le M$，则存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=\mu $$
（4）零点定理：
若 $f$ 在 $D$ 上连续，且 $D$ 中存在两点使 $f$ 异号，则存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=0 $$
无穷小：
若
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=0 $$
则称 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时为无穷小。
无穷大：
若对任意 $M>0$，存在 $\delta>0$，当
$$ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta $$
时，有
$$ |f(x,y)|>M $$
则称 $f(x,y)$ 当 $(x,y)\to(x_0,y_0)$ 时为无穷大。
关系：
判断重极限是否存在，常用方法：
（1）定义法：
用 $\varepsilon$-$\delta$ 语言证明。
（2）夹逼准则：
若
$$ 0\le|f(x,y)-A|\le g(x,y) $$
且
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}g(x,y)=0 $$
则
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A $$
（3）极坐标法：
令
$$ x=x_0+r\cos\theta,\quad y=y_0+r\sin\theta $$
若
$$ \lim_{r\to0}f(x_0+r\cos\theta,y_0+r\sin\theta)=A $$
且该极限与 $\theta$ 无关，则重极限为 $A$。
注意：
极坐标法只能用于判断极限存在，不能直接用于证明极限不存在。
（1）路径法：
若沿不同路径趋于 $(x_0,y_0)$ 时，$f(x,y)$ 趋于不同值，则重极限不存在。
常用路径：
（2）累次极限法：
若两个累次极限存在但不相等，则重极限不存在。
判断 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处是否连续：
一切初等函数在其定义区域内都是连续的。
即：若 $f(x,y)$ 是初等函数，且 $(x_0,y_0)$ 在其定义区域内，则
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) $$
例1
证明
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)=0 $$
证明：
对任意 $\varepsilon>0$，要使
$$ |x^2+y^2-0|=x^2+y^2<\varepsilon $$
只需
$$ \sqrt{x^2+y^2}<\sqrt\varepsilon $$
取
$$ \delta=\sqrt\varepsilon $$
则当
$$ 0<\sqrt{x^2+y^2}<\delta $$
时，有
$$ |x^2+y^2|<\varepsilon $$
所以
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)=0 $$
例2
证明
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0 $$
证明：
$$ \left|\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}\right| \le\frac{(x^2+y^2)^2}{x^2+y^2} =x^2+y^2 $$
因为
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}(x^2+y^2)=0 $$
由夹逼准则：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0 $$
例3
判断
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} $$
是否存在。
解：
沿路径 $y=x$：
$$ \frac{xy}{x^2+y^2}=\frac{x^2}{2x^2}=\frac12 $$
沿路径 $y=0$：
$$ \frac{xy}{x^2+y^2}=0 $$
两个路径极限不同，所以重极限不存在。
例4
判断
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2} $$
是否存在。
解：
沿路径 $y=x$：
$$ \frac{x^2\cdot x}{x^4+x^2} =\frac{x^3}{x^2(x^2+1)} =\frac{x}{x^2+1}\to0 $$
沿路径 $y=x^2$：
$$ \frac{x^2\cdot x^2}{x^4+x^4} =\frac{x^4}{2x^4}=\frac12 $$
两个路径极限不同，所以重极限不存在。
例5
判断
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2} $$
是否存在。
解：
用极坐标：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$
$$ \frac{x^2y^2}{x^2+y^2} =\frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^2} =r^2\cos^2\theta\sin^2\theta $$
因为
$$ |r^2\cos^2\theta\sin^2\theta|\le r^2\to0 $$
所以：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0 $$
例6
判断
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} $$
是否存在。
解：
用极坐标：
$$ \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}} =\frac{r^2\cos\theta\sin\theta}{r} =r\cos\theta\sin\theta $$
因为
$$ |r\cos\theta\sin\theta|\le r\to0 $$
所以：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 $$
例7
设
$$ f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} $$
求两个累次极限。
解：
先 $x$ 后 $y$：
$$ \lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}\frac{xy}{x^2+y^2}\right) =\lim_{y\to0}0=0 $$
先 $y$ 后 $x$：
$$ \lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}\frac{xy}{x^2+y^2}\right) =\lim_{x\to0}0=0 $$
两个累次极限都等于 $0$，但重极限不存在（见例3）。
例8
设
$$ f(x,y)=\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2} $$
求两个累次极限。
解：
先 $x$ 后 $y$：
$$ \lim_{y\to0}\left(\lim_{x\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) =\lim_{y\to0}\frac{-y^2}{y^2}=-1 $$
先 $y$ 后 $x$：
$$ \lim_{x\to0}\left(\lim_{y\to0}\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right) =\lim_{x\to0}\frac{x^2}{x^2}=1 $$
两个累次极限不相等，所以重极限不存在。
例9
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续。
解：
由例3，重极限不存在，所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。
例10
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续。
解：
由例5：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0 $$
而
$$ f(0,0)=0 $$
所以
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0) $$
因此 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。
例11
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\neq(0,0)\\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续。
解：
由例6：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 $$
而
$$ f(0,0)=0 $$
所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续。
例12
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y}{x^4+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ a, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，求 $a$。
解：
由例4，重极限不存在，所以无论 $a$ 取何值，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处都不连续。
例13
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\\ a, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，求 $a$。
解：
由例5：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y^2}{x^2+y^2}=0 $$
因为连续，所以
$$ a=0 $$
例14
设 $f(x,y)$ 在单位圆盘 $D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1}$ 上连续，且
$$ f(0,0)=0,\quad f(1,0)=1 $$
证明存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=\frac12 $$
证明：
$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，由介值定理，存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=\frac12 $$
例15
设 $f(x,y)$ 在矩形区域 $D=[0,1]\times[0,1]$ 上连续，且
$$ f(0,0)=-1,\quad f(1,1)=1 $$
证明存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=0 $$
证明：
$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，且
$$ f(0,0)\cdot f(1,1)<0 $$
由零点定理，存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=0 $$
例16
求
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} $$
解：
令
$$ t=xy $$
则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$t\to0$。
所以：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} =\lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1 $$
例17
求
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} $$
解：
令
$$ t=x^2+y^2 $$
则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$t\to0^+$。
所以：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2} =\lim_{t\to0^+}\frac{1-\cos t}{t^2} =\frac12 $$
例18
求
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2} $$
解：
令
$$ t=x^2+y^2 $$
则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$t\to0^+$。
所以：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2} =\lim_{t\to0^+}\frac{e^t-1}{t}=1 $$
例19
求
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2} $$
解：
令
$$ t=x^2+y^2 $$
则：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2} =\lim_{t\to0^+}\frac{\ln(1+t)}{t}=1 $$
错误。
$$ f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2} $$
两个累次极限都等于 $0$，但重极限不存在。
错误。
重极限存在，累次极限不一定存在。
错误。
沿一条路径趋于某值，不能说明重极限存在。
必须沿任意路径都趋于同一值，才能说明重极限存在。
极坐标法主要用于判断极限存在。
若极坐标形式与 $\theta$ 有关，则极限不存在。
但若与 $\theta$ 无关，还需进一步验证。
重极限
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y) $$
只与 $(x_0,y_0)$ 的去心邻域有关，与 $f(x_0,y_0)$ 是否有定义、取值多少无关。
连续要求：
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) $$
若 $f(x_0,y_0)$ 无定义，则一定不连续。
两者不同。
最值定理、有界定理、介值定理、零点定理都要求有界闭区域。
若
$$ f(r\cos\theta,r\sin\theta) $$
与 $\theta$ 有关，则重极限不存在。
若与 $\theta$ 无关，且极限存在，则重极限等于该极限。
多元函数极限要求任意路径都趋于同一值。
一元函数只有左右两个方向。
常见形式：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{xy}{x^2+y^2} $$
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{x^2y}{x^4+y^2} $$
处理方法：
常见形式：
$$ f(x,y)= \begin{cases} g(x,y), & (x,y)\neq(0,0)\\ a, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
处理方法：
常见形式：
$$ f(x,y)= \begin{cases} g(x,y), & (x,y)\neq(0,0)\\ a, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
若 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，求 $a$。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
二元函数极限定义：
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall(x,y),\ 0<\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2}<\delta,\ |f(x,y)-A|<\varepsilon $$
重极限与累次极限关系：
$$ \text{重极限存在} \nRightarrow \text{累次极限存在} $$
$$ \text{累次极限存在} \nRightarrow \text{重极限存在} $$
$$ \text{两个累次极限不等} \Rightarrow \text{重极限不存在} $$
连续性定义：
$$ \lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)=f(x_0,y_0) $$
判断重极限不存在的方法：
判断重极限存在的方法：
极坐标法：
$$ x=x_0+r\cos\theta,\quad y=y_0+r\sin\theta $$
若极限与 $\theta$ 无关，则重极限存在。
有界闭区域上连续函数性质：
初等函数连续性：
$$ \text{初等函数在其定义区域内连续} $$
常用结论：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\sin(xy)}{xy}=1 $$
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{1-\cos(x^2+y^2)}{(x^2+y^2)^2}=\frac12 $$
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{e^{x^2+y^2}-1}{x^2+y^2}=1 $$
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{\ln(1+x^2+y^2)}{x^2+y^2}=1 $$
口诀：
重极限看任意路径，累次极限分先后；
路径不同极限异，重极限必不存在；
极坐标化 $\theta$，与 $\theta$ 无关才存在；
连续三要素，极限等于函数值。
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