$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{12} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{1n} & a_{2n} & \cdots & a_{nn} \end{pmatrix} $$

$A$ 为实对称矩阵，称为二次型 $f$ 的矩阵。

注意：

二次型的矩阵必须是对称矩阵；
二次型的秩等于其矩阵的秩；
二次型与对称矩阵一一对应。

2. 二次型的标准形

定义：

若二次型只含平方项，即

$$ f=d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2 $$

则称为二次型的标准形。

矩阵形式：

$$ f=y^T\Lambda y $$

其中：

$$ \Lambda= \begin{pmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & d_n \end{pmatrix} $$

注意：

标准形不唯一；
标准形中正项个数和负项个数由惯性定理确定。

3. 二次型的规范形

定义：

若二次型的标准形中系数只有 $1$、$-1$、$0$，即

$$ f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2 $$

则称为二次型的规范形。

规范形形式：

$$ f=z_1^2+\cdots+z_p^2-z_{p+1}^2-\cdots-z_{p+q}^2 $$

其中：

$p$ 为正惯性指数；
$q$ 为负惯性指数；
$p+q=r(A)$。

注意：

规范形唯一；
正惯性指数 $p$ = 正特征值的个数；
负惯性指数 $q$ = 负特征值的个数。

4. 惯性定理

内容：

二次型的标准形中正项个数 $p$ 和负项个数 $q$ 由二次型唯一确定，与所用的可逆线性变换无关。

重要结论：

正惯性指数 $p$ = 正特征值的个数；
负惯性指数 $q$ = 负特征值的个数；
$p+q=r(A)$；
$p-q$ 称为符号差。

5. 合同矩阵

定义：

设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $C$，使得

$$ C^TAC=B $$

则称 $A$ 与 $B$ 合同，记作

$$ A\simeq B $$

合同的性质：

合同矩阵有相同的秩；
合同矩阵有相同的正惯性指数；
合同矩阵有相同的负惯性指数；
合同矩阵有相同的符号差。

注意：

合同不要求 $A$、$B$ 对称；
实对称矩阵合同于对角矩阵；
合同与相似不同。

6. 二次型的正定性

定义：

设 $f(x)=x^TAx$ 为二次型。

正定：

若对任意 $x\neq\mathbf{0}$，都有

$$ f(x)>0 $$

则称 $f$ 正定，$A$ 为正定矩阵。

负定：

若对任意 $x\neq\mathbf{0}$，都有

$$ f(x)<0 $$

则称 $f$ 负定，$A$ 为负定矩阵。

半正定：

若对任意 $x$，都有

$$ f(x)\ge0 $$

则称 $f$ 半正定。

半负定：

若对任意 $x$，都有

$$ f(x)\le0 $$

则称 $f$ 半负定。

不定：

若 $f$ 既不是半正定也不是半负定，则称 $f$ 不定。

7. 正定性的判定

判定1（特征值法）：

$$ f\text{ 正定} \iff A\text{ 的特征值全大于 }0 $$

判定2（顺序主子式法）：

$$ f\text{ 正定} \iff A\text{ 的各阶顺序主子式全大于 }0 $$

即：

$$ D_1=a_{11}>0 $$

$$ D_2= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{12} & a_{22} \end{vmatrix} > 0 $$

$$ \cdots $$

$$ D_n=|A|>0 $$

判定3（惯性指数法）：

$$ f\text{ 正定} \iff p=n $$

即正惯性指数等于变量个数。

判定4（合同法）：

$$ f\text{ 正定} \iff A\text{ 合同于单位矩阵 }E $$

判定5（定义法）：

对任意 $x\neq\mathbf{0}$，验证 $f(x)>0$。

8. 负定性的判定

$$ f\text{ 负定} \iff A\text{ 的特征值全小于 }0 $$

$$ f\text{ 负定} \iff \text{奇数阶顺序主子式全小于 }0,\ \text{偶数阶顺序主子式全大于 }0 $$

$$ f\text{ 负定} \iff -A\text{ 正定} $$

9. 半正定的判定

$$ f\text{ 半正定} \iff A\text{ 的特征值全大于等于 }0 $$

$$ f\text{ 半正定} \iff p=r(A)<n $$

即正惯性指数等于秩，且秩小于变量个数。

10. 二次型化标准形的方法

方法1：配方法

通过配方将二次型化为标准形。

方法2：正交变换法

令 $x=Qy$，其中 $Q$ 为正交矩阵，则

$$ f=x^TAx=y^TQ^TAQy=y^T\Lambda y $$

其中 $\Lambda$ 为对角矩阵，对角线元素为 $A$ 的特征值。

方法3：初等变换法

对 $A$ 施行合同变换，化为对角矩阵。

11. 常用结论

（1）正定矩阵：

正定矩阵的特征值全大于 $0$；
正定矩阵的行列式大于 $0$；
正定矩阵的主对角线元素全大于 $0$；
正定矩阵可逆；
正定矩阵的逆仍为正定矩阵；
正定矩阵的和仍为正定矩阵。

（2）二次型的秩：

$$ r(f)=r(A) $$

（3）惯性指数：

$$ p+q=r(A) $$

（4）正定与合同：

$$ A\text{ 正定} \iff A\simeq E $$

（5）正定与特征值：

$$ A\text{ 正定} \iff \lambda_i>0,\quad i=1,\cdots,n $$

二、使用条件

1. 二次型矩阵的使用条件

二次型必须是二次齐次多项式；
矩阵必须是对称矩阵；
二次型与对称矩阵一一对应。

2. 标准形与规范形的使用条件

标准形不唯一；
规范形唯一；
正惯性指数、负惯性指数由惯性定理确定。

3. 合同矩阵的使用条件

存在可逆矩阵 $C$；
$C^TAC=B$；
合同矩阵秩相等，正负惯性指数相同。

4. 正定性判定的使用条件

顺序主子式法要求矩阵为实对称矩阵；
特征值法要求能求出所有特征值；
定义法适用于抽象矩阵。

5. 正交变换法的使用条件

$A$ 为实对称矩阵；
存在正交矩阵 $Q$；
$Q^TAQ=\Lambda$。

6. 配方法的使用条件

二次型可配方；
配方后得到标准形。

三、典型题型

题型1：求二次型的矩阵

例1

求二次型

$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3 $$

的矩阵。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2\\ 1 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

例2

求二次型

$$ f=2x_1^2+x_2^2-3x_3^2+4x_1x_2-2x_1x_3+6x_2x_3 $$

的矩阵。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 2 & -1\\ 2 & 1 & 3\\ -1 & 3 & -3 \end{pmatrix} $$

例3

求二次型

$$ f=x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3 $$

的矩阵。

解：

$$ f=\frac12(2x_1x_2+2x_2x_3+2x_1x_3) $$

所以：

$$ A= \begin{pmatrix} 0 & \frac12 & \frac12\\ \frac12 & 0 & \frac12\\ \frac12 & \frac12 & 0 \end{pmatrix} $$

题型2：配方法化标准形

例4

用配方法将

$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+4x_1x_3 $$

化为标准形。

解：

先对 $x_1$ 配方：

$$ f=(x_1+x_2+2x_3)^2-x_2^2-4x_3^2-4x_2x_3+2x_2^2+3x_3^2 $$

$$ =(x_1+x_2+2x_3)^2+x_2^2-x_3^2-4x_2x_3 $$

再对 $x_2$ 配方：

$$ =(x_1+x_2+2x_3)^2+(x_2-2x_3)^2-4x_3^2-x_3^2 $$

$$ =(x_1+x_2+2x_3)^2+(x_2-2x_3)^2-5x_3^2 $$

令：

$$ y_1=x_1+x_2+2x_3 $$

$$ y_2=x_2-2x_3 $$

$$ y_3=x_3 $$

则：

$$ f=y_1^2+y_2^2-5y_3^2 $$

例5

用配方法将

$$ f=2x_1^2+3x_2^2+4x_3^2+4x_1x_2+4x_1x_3+2x_2x_3 $$

化为标准形。

解：

先对 $x_1$ 配方：

$$ f=2\left(x_1+x_2+x_3\right)^2-2x_2^2-2x_3^2-4x_2x_3+3x_2^2+4x_3^2+2x_2x_3 $$

$$ =2(x_1+x_2+x_3)^2+x_2^2+2x_3^2-2x_2x_3 $$

再对 $x_2$ 配方：

$$ =2(x_1+x_2+x_3)^2+(x_2-x_3)^2+x_3^2 $$

令：

$$ y_1=x_1+x_2+x_3 $$

$$ y_2=x_2-x_3 $$

$$ y_3=x_3 $$

则：

$$ f=2y_1^2+y_2^2+y_3^2 $$

题型3：正交变换法化标准形

例6

用正交变换将

$$ f=2x_1^2+2x_2^2+2x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 $$

化为标准形。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 2-\lambda & 1\\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

计算：

$$ (2-\lambda)^3+2-3(2-\lambda)=0 $$

令 $t=2-\lambda$：

$$ t^3-3t+2=0 $$

$$ (t-1)^2(t+2)=0 $$

所以：

$$ t=1\quad\text{或}\quad t=-2 $$

即：

$$ \lambda_1=\lambda_2=1,\quad\lambda_3=4 $$

对 $\lambda=1$：

$$ A-E= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ x_1+x_2+x_3=0 $$

取：

$$ \alpha_1=(1,-1,0)^T,\quad\alpha_2=(1,0,-1)^T $$

正交化、单位化后得到 $\beta_1,\beta_2$。

对 $\lambda=4$：

$$ A-4E= \begin{pmatrix} -2 & 1 & 1\\ 1 & -2 & 1\\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix} $$

$$ x_1=x_2=x_3 $$

取 $\alpha_3=(1,1,1)^T$，单位化得 $\beta_3$。

令 $Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$，则：

$$ f=y_1^2+y_2^2+4y_3^2 $$

例7

用正交变换将

$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 $$

化为标准形。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 1-\lambda & 1\\ 1 & 1 & 1-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

计算：

$$ (1-\lambda)^3+2-3(1-\lambda)=0 $$

令 $t=1-\lambda$：

$$ t^3-3t+2=0 $$

$$ (t-1)^2(t+2)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=\lambda_2=0,\quad\lambda_3=3 $$

所以标准形为：

$$ f=3y_3^2 $$

题型4：判断正定性

例8

判断二次型

$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$

是否正定。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

顺序主子式：

$$ D_1=1>0 $$

$$ D_2= \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{vmatrix} =1>0 $$

$$ D_3=|A|=1(6-0)-1(3-0)+1(0-2)=1>0 $$

所以 $f$ 正定。

例9

判断二次型

$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 $$

是否正定。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

顺序主子式：

$$ D_1=1>0 $$

$$ D_2= \begin{vmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{vmatrix} =0 $$

所以 $f$ 不是正定。

实际上，$f=(x_1+x_2+x_3)^2\ge0$，是半正定。

例10

判断二次型

$$ f=-x_1^2-2x_2^2-3x_3^2 $$

是否负定。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -2 & 0\\ 0 & 0 & -3 \end{pmatrix} $$

特征值全小于 $0$，所以 $f$ 负定。

题型5：含参数的正定性

例11

设

$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3+2cx_2x_3 $$

讨论 $a$、$b$、$c$ 满足什么条件时 $f$ 正定。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & a & b\\ a & 1 & c\\ b & c & 1 \end{pmatrix} $$

顺序主子式：

$$ D_1=1>0 $$

$$ D_2= \begin{vmatrix} 1 & a\\ a & 1 \end{vmatrix} =1-a^2>0 $$

$$ D_3=|A|=1+2abc-a^2-b^2-c^2>0 $$

所以条件为：

$$ |a|<1 $$

$$ 1+2abc-a^2-b^2-c^2>0 $$

例12

设

$$ f=x_1^2+4x_2^2+x_3^2+2tx_1x_2+10x_1x_3+6x_2x_3 $$

为正定，求 $t$ 的取值范围。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & t & 5\\ t & 4 & 3\\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix} $$

顺序主子式：

$$ D_1=1>0 $$

$$ D_2= \begin{vmatrix} 1 & t\\ t & 4 \end{vmatrix} =4-t^2>0\Rightarrow|t|<2 $$

$$ D_3=|A|= \begin{vmatrix} 1 & t & 5\\ t & 4 & 3\\ 5 & 3 & 1 \end{vmatrix} > 0 $$

计算：

$$ D_3=1(4-9)-t(t-15)+5(3t-20) $$

$$ =-5-t^2+15t+15t-100 $$

$$ =-t^2+30t-105 $$

所以：

$$ -t^2+30t-105>0 $$

$$ t^2-30t+105<0 $$

$$ 15-2\sqrt{30}<t<15+2\sqrt{30} $$

结合 $|t|<2$：

$$ t\in(15-2\sqrt{30},\ 2) $$

题型6：合同矩阵

例13

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

是否合同。

解：

$A$ 的正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$。

$B$ 的正惯性指数为 $2$，负惯性指数为 $0$。

两者正负惯性指数相同，所以合同。

例14

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} -1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

是否合同。

解：

$A$ 的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$。

$B$ 的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $1$。

两者正负惯性指数相同，所以合同。

题型7：二次型的秩与惯性指数

例15

求二次型

$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$

的秩和正负惯性指数。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

由例8：

$$ D_1=1>0,\quad D_2=1>0,\quad D_3=1>0 $$

所以 $A$ 正定，正惯性指数 $p=3$，负惯性指数 $q=0$，秩 $r=3$。

例16

求二次型

$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3+2x_2x_3 $$

的秩和正负惯性指数。

解：

由例9：

$$ f=(x_1+x_2+x_3)^2 $$

所以：

$$ p=1,\quad q=0,\quad r=1 $$

题型8：二次型与特征值

例17

设二次型

$$ f=x^TAx $$

的矩阵 $A$ 的特征值为 $1,2,3$，求 $f$ 的标准形。

解：

存在正交矩阵 $Q$，使得：

$$ Q^TAQ= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

令 $x=Qy$，则：

$$ f=y_1^2+2y_2^2+3y_3^2 $$

例18

设二次型

$$ f=x^TAx $$

的矩阵 $A$ 的特征值为 $-1,2,3$，判断 $f$ 的正定性。

解：

特征值有正有负，所以 $f$ 不定。

题型9：二次型与多元极值

例19

求

$$ f(x,y)=x^2+2y^2+2xy $$

的极值。

解：

$$ f=x^2+2y^2+2xy $$

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

顺序主子式：

$$ D_1=1>0,\quad D_2=1>0 $$

所以 $A$ 正定，$f$ 正定。

因此 $f$ 在 $(0,0)$ 处取极小值：

$$ f(0,0)=0 $$

例20

求

$$ f(x,y)=x^2-y^2 $$

的极值。

解：

矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

特征值为 $1,-1$，有正有负，所以 $f$ 不定，无极值。

题型10：综合应用

例21

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

判断 $A$ 是否正定。

解：

由例8：

$$ D_1=1>0,\quad D_2=1>0,\quad D_3=1>0 $$

所以 $A$ 正定。

例22

设

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

求二次型 $f=x^TAx$ 的标准形。

解：

特征值为 $1,3$。

所以标准形为：

$$ f=y_1^2+3y_2^2 $$

四、易错提醒

易错1：二次型矩阵不是对称矩阵

错误。

二次型的矩阵必须是对称矩阵。

易错2：二次型矩阵元素搞错

对于 $2a_{ij}x_ix_j$，矩阵中 $a_{ij}=a_{ji}$。

易错3：标准形与规范形混淆

标准形：只含平方项，系数不一定为 $1$、$-1$、$0$；
规范形：系数只有 $1$、$-1$、$0$。

易错4：正定性与特征值关系记错

$$ f\text{ 正定}\iff\lambda_i>0 $$

$$ f\text{ 负定}\iff\lambda_i<0 $$

易错5：顺序主子式法条件记错

正定：

$$ D_1>0,\quad D_2>0,\quad\cdots,\quad D_n>0 $$

负定：

$$ D_1<0,\quad D_2>0,\quad D_3<0,\quad\cdots $$

易错6：半正定与正定混淆

正定：$f(x)>0$（$x\neq\mathbf{0}$）；
半正定：$f(x)\ge0$。

易错7：合同与相似混淆

合同：$C^TAC=B$；
相似：$P^{-1}AP=B$。

易错8：惯性指数与秩关系记错

$$ p+q=r(A) $$

易错9：正惯性指数与正特征值个数混淆

两者相等，但概念不同。

易错10：含参数正定性讨论不完整

要分情况讨论，不要遗漏特殊值。

易错11：正交变换法忘记单位化

正交变换法需要将特征向量单位化。

易错12：配方法配方错误

配方时要注意符号和系数。

五、真题链接思路

真题方向1：求二次型的矩阵

常见形式：

$$ f=x^TAx $$

处理方法：

平方项系数为对角线元素；
交叉项系数的一半为对应元素。

真题方向2：化标准形

常见形式：

配方法；
正交变换法。

处理方法：

配方法：逐项配方；
正交变换法：求特征值、特征向量，构造正交矩阵。

真题方向3：判断正定性

常见形式：

$$ f\text{ 是否正定？} $$

处理方法：

顺序主子式法；
特征值法；
定义法。

真题方向4：含参数的正定性

常见形式：

$$ f\text{ 正定，求参数} $$

处理方法：

写出二次型矩阵；
计算顺序主子式；
令其全大于 $0$；
解不等式。

真题方向5：合同矩阵

常见形式：

$$ A\simeq B? $$

处理方法：

比较秩；
比较正负惯性指数；
判断是否合同。

真题方向6：二次型的秩与惯性指数

常见形式：

$$ r(f),\quad p,\quad q $$

处理方法：

求二次型矩阵；
求特征值或化标准形；
确定正负惯性指数。

真题方向7：二次型与特征值

常见形式：

已知特征值，求标准形；
已知标准形，求特征值。

处理方法：

正交变换法；
特征值与标准形系数的关系。

真题方向8：二次型与多元极值

常见形式：

$$ f(x,y)\text{ 的极值} $$

处理方法：

写出二次型矩阵；
判断正定性；
确定极值。

六、记忆清单

二次型：

$$ f=x^TAx $$

二次型矩阵：

对称矩阵，平方项系数为对角线元素，交叉项系数的一半为对应元素。

标准形：

$$ f=d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2 $$

规范形：

$$ f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2 $$

惯性定理：

正惯性指数 $p$ 和负惯性指数 $q$ 唯一确定。

合同：

$$ C^TAC=B $$

正定：

$$ f(x)>0,\quad x\neq\mathbf{0} $$

正定判定：

$$ \lambda_i>0 $$

$$ D_1>0,\quad D_2>0,\quad\cdots,\quad D_n>0 $$

$$ p=n $$

$$ A\simeq E $$

负定判定：

$$ \lambda_i<0 $$

$$ D_1<0,\quad D_2>0,\quad D_3<0,\quad\cdots $$

$$ -A\text{ 正定} $$

半正定：

$$ \lambda_i\ge0 $$

$$ p=r(A)<n $$

惯性指数与秩：

$$ p+q=r(A) $$

常用结论：

$$ r(f)=r(A) $$

$$ \text{正惯性指数}=\text{正特征值个数} $$

$$ \text{负惯性指数}=\text{负特征值个数} $$

口诀：

二次型矩阵对称，平方项系数对角元；
交叉项系数一半，对应元素要记牢；
标准形不唯一，规范形唯一；
正定判定看特征值，顺序主子式全大于零；
合同看惯性指数，正定合同于单位阵。

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# 考点43 二次型与正定性

一、核心公式与定义

1. 二次型的定义

2. 二次型的标准形

3. 二次型的规范形

4. 惯性定理

5. 合同矩阵

6. 二次型的正定性

7. 正定性的判定

8. 负定性的判定

9. 半正定的判定

10. 二次型化标准形的方法

11. 常用结论

二、使用条件

1. 二次型矩阵的使用条件

2. 标准形与规范形的使用条件

3. 合同矩阵的使用条件

4. 正定性判定的使用条件

5. 正交变换法的使用条件

6. 配方法的使用条件

三、典型题型

题型1：求二次型的矩阵

题型2：配方法化标准形

题型3：正交变换法化标准形

题型4：判断正定性

题型5：含参数的正定性

题型6：合同矩阵

题型7：二次型的秩与惯性指数

题型8：二次型与特征值

题型9：二次型与多元极值

题型10：综合应用

四、易错提醒

易错1：二次型矩阵不是对称矩阵

易错2：二次型矩阵元素搞错

易错3：标准形与规范形混淆

易错4：正定性与特征值关系记错

易错5：顺序主子式法条件记错

易错6：半正定与正定混淆

易错7：合同与相似混淆

易错8：惯性指数与秩关系记错

易错9：正惯性指数与正特征值个数混淆

易错10：含参数正定性讨论不完整

易错11：正交变换法忘记单位化

易错12：配方法配方错误

五、真题链接思路

真题方向1：求二次型的矩阵

真题方向2：化标准形

真题方向3：判断正定性

真题方向4：含参数的正定性

真题方向5：合同矩阵

真题方向6：二次型的秩与惯性指数

真题方向7：二次型与特征值

真题方向8：二次型与多元极值

六、记忆清单

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