适用：数一、数二、数三通用
地位：行列式计算的核心方法，直接支撑矩阵、线性方程组、特征值
核心任务：掌握化三角、递推、加边、拆分等技巧，快速准确计算行列式
基本思想：
利用行列式的初等行（列）变换，将行列式化为上三角或下三角形式，然后对角线元素相乘。
常用变换：
步骤：
例：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{vmatrix} $$
用 $r_2-2r_1$、$r_3-3r_1$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$
再用 $r_3-2r_2$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1 $$
适用情形：
$n$ 阶行列式具有递推规律，通常用于三对角行列式。
步骤：
三对角行列式：
$$ D_n= \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ c & a & b & \cdots & 0\\ 0 & c & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix} $$
按第一行展开：
$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$
特征方程：
$$ r^2-ar+bc=0 $$
根据根的情况写出 $D_n$ 的通项。
例：
$$ D_n= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix} $$
按第一行展开：
$$ D_n=2D_{n-1}-D_{n-2} $$
特征方程：
$$ r^2-2r+1=0 $$
$$ r=1 $$
所以：
$$ D_n=C_1+C_2n $$
由 $D_1=2$，$D_2=3$：
$$ C_1+C_2=2 $$
$$ C_1+2C_2=3 $$
解得：
$$ C_1=1,\quad C_2=1 $$
所以：
$$ D_n=n+1 $$
适用情形：
基本思想：
在行列式外加一行一列，使新行列式容易计算，且与原行列式相等。
步骤：
例：
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} $$
加边：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} $$
用第一行消去其他行：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1,\quad r_4-r_1 $$
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$
按第二行展开：
$$ D=(-1)(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$
$$ =1\times(5-4)=1 $$
行和相等的情形：
若行列式各行元素之和都等于 $k$，则可将各列加到第一列，提出公因子 $k$，再化简。
例：
$$ D= \begin{vmatrix} a & b & b & b\\ b & a & b & b\\ b & b & a & b\\ b & b & b & a \end{vmatrix} $$
各行加到第一行：
$$ D= \begin{vmatrix} a+3b & a+3b & a+3b & a+3b\\ b & a & b & b\\ b & b & a & b\\ b & b & b & a \end{vmatrix} $$
提出 $a+3b$：
$$ D=(a+3b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ b & a & b & b\\ b & b & a & b\\ b & b & b & a \end{vmatrix} $$
用第一行消去其他行：
$$ D=(a+3b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & a-b & 0 & 0\\ 0 & 0 & a-b & 0\\ 0 & 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} $$
所以：
$$ D=(a+3b)(a-b)^3 $$
适用情形：
行列式某一行（列）元素是两组数之和。
基本思想：
将行列式拆分为两个行列式之和。
例：
$$ D= \begin{vmatrix} a+b & c+d\\ e & f \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a & c\\ e & f \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b & d\\ e & f \end{vmatrix} $$
注意：
拆分时只能拆一行（列），不能同时拆多行（列）。
适用情形：
$n$ 阶行列式有规律，且不易直接计算。
步骤：
例：
证明
$$ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 2 & \cdots & 2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n \end{vmatrix} =1 $$
证明：
用 $r_i-r_1$（$i=2,3,\cdots,n$）：
$$ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & n-1 \end{vmatrix} $$
按第一列展开：
$$ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 2 & \cdots & 2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 1 & \cdots & n-1 \end{vmatrix} =D_{n-1} $$
由 $D_1=1$，所以 $D_n=1$。
形式：
$$ V_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $$
公式：
$$ V_n=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$
记忆口诀：
后减前，所有差相乘。
例：
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} =(2-1)(3-1)(3-2)=2 $$
形式：
$$ D= \begin{vmatrix} a_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n\\ c_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\ c_3 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_n & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} $$
解法：
当 $a_2a_3\cdots a_n\neq0$ 时，用第一行（列）消去其他行（列），化为三角行列式。
例：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} $$
用 $r_2-r_1$、$r_3-r_1$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & -1 & 2 \end{vmatrix} $$
继续化简：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & -1\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1 $$
形式：
$$ D_n= \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ c & a & b & \cdots & 0\\ 0 & c & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix} $$
递推公式：
$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$
初始值：
$$ D_1=a $$
$$ D_2=a^2-bc $$
（1）行和相等：
若各行元素之和都等于 $k$，则
$$ D=k\cdot M $$
其中 $M$ 为化简后的行列式。
（2）列和相等：
类似。
（3）主对角线元素相同，其余元素相同：
$$ \begin{vmatrix} a & b & \cdots & b\\ b & a & \cdots & b\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ b & b & \cdots & a \end{vmatrix} =\lbrack a+(n-1)b \rbrack (a-b)^{n-1} $$
（4）副对角线元素相同，其余元素相同：
类似可求。
（5）$n$ 阶行列式：
$$ \begin{vmatrix} x & a & \cdots & a\\ a & x & \cdots & a\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a & a & \cdots & x \end{vmatrix} =(x-a)^{n-1}[x+(n-1)a] $$
例1
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3\\ 1 & 2 & 1\\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix} $$
解：
用 $r_2-\frac12r_1$、$r_3-\frac32r_1$：
$$ D= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & \frac32 & -\frac12\\ 0 & -\frac12 & -\frac52 \end{vmatrix} $$
用 $r_3+\frac13r_2$：
$$ D= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & \frac32 & -\frac12\\ 0 & 0 & -\frac83 \end{vmatrix} $$
所以：
$$ D=2\times\frac32\times\left(-\frac83\right)=-8 $$
例2
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} $$
解：
各行加到第一行：
$$ r_1+r_2+r_3+r_4 $$
第一行元素都变为 $10$。
$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} $$
用第一行消去其他行：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1,\quad r_4-4r_1 $$
$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} $$
继续化简：
$$ r_3-r_2,\quad r_4+3r_2 $$
$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 4 & -4 \end{vmatrix} $$
$$ r_4+r_3 $$
$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{vmatrix} $$
$$ =10\times1\times1\times(-4)\times(-4)=160 $$
例3
计算
$$ D= \begin{vmatrix} a & b & b\\ b & a & b\\ b & b & a \end{vmatrix} $$
解：
各行加到第一行：
$$ D= \begin{vmatrix} a+2b & a+2b & a+2b\\ b & a & b\\ b & b & a \end{vmatrix} $$
提出 $a+2b$：
$$ D=(a+2b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ b & a & b\\ b & b & a \end{vmatrix} $$
用第一行消去其他行：
$$ r_2-br_1,\quad r_3-br_1 $$
$$ D=(a+2b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & a-b & 0\\ 0 & 0 & a-b \end{vmatrix} $$
所以：
$$ D=(a+2b)(a-b)^2 $$
例4
计算 $n$ 阶行列式
$$ D_n= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix} $$
解：
按第一行展开：
$$ D_n=2D_{n-1}-D_{n-2} $$
特征方程：
$$ r^2-2r+1=0 $$
$$ r=1 $$
所以：
$$ D_n=C_1+C_2n $$
由 $D_1=2$，$D_2=3$：
$$ C_1+C_2=2 $$
$$ C_1+2C_2=3 $$
解得：
$$ C_1=1,\quad C_2=1 $$
所以：
$$ D_n=n+1 $$
例5
计算 $n$ 阶行列式
$$ D_n= \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ c & a & b & \cdots & 0\\ 0 & c & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix} $$
解：
按第一行展开：
$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$
当 $a^2-4bc>0$ 时，特征方程
$$ r^2-ar+bc=0 $$
有两个不等实根 $r_1$、$r_2$，则
$$ D_n=C_1r_1^n+C_2r_2^n $$
由 $D_1=a$，$D_2=a^2-bc$ 确定 $C_1$、$C_2$。
例6
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 4\\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} $$
解：
加边：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} $$
用第一行消去其他行：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1,\quad r_4-r_1 $$
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 2\\ -1 & 1 & 2 & 3\\ -1 & 2 & 3 & 4 \end{vmatrix} $$
继续化简：
$$ r_3-r_2,\quad r_4-r_2 $$
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 & 2 \end{vmatrix} $$
$$ r_4-2r_3 $$
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} =0 $$
例7
计算
$$ D= \begin{vmatrix} x & a & a & a\\ a & x & a & a\\ a & a & x & a\\ a & a & a & x \end{vmatrix} $$
解：
各行加到第一行：
$$ D= \begin{vmatrix} x+3a & x+3a & x+3a & x+3a\\ a & x & a & a\\ a & a & x & a\\ a & a & a & x \end{vmatrix} $$
提出 $x+3a$：
$$ D=(x+3a) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ a & x & a & a\\ a & a & x & a\\ a & a & a & x \end{vmatrix} $$
用第一行消去其他行：
$$ r_2-ar_1,\quad r_3-ar_1,\quad r_4-ar_1 $$
$$ D=(x+3a) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & x-a & 0 & 0\\ 0 & 0 & x-a & 0\\ 0 & 0 & 0 & x-a \end{vmatrix} $$
所以：
$$ D=(x+3a)(x-a)^3 $$
例8
计算
$$ D= \begin{vmatrix} a+b & c\\ d & e \end{vmatrix} $$
解：
$$ D= \begin{vmatrix} a & c\ d & e \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b & c\ d & e \end{vmatrix} $$
例9
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1\\ 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} $$
解：
拆分为：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & 0 & 0\\ 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} $$
第一项：
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & y & 0\\ 0 & 0 & z \end{vmatrix} =yz $$
第二项：
$$ \begin{vmatrix} x & 0 & 0\\ 1 & 1+y & 1\\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} =x(1+y)(1+z)-x =x[y+z+yz] $$
所以：
$$ D=yz+x(y+z+yz)=yz+xy+xz+xyz $$
例10
证明
$$ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 1 & 2 & \cdots & 2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 1 & 2 & \cdots & n \end{vmatrix} =1 $$
证明：
用 $r_i-r_1$（$i=2,3,\cdots,n$）：
$$ D_n= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ 0 & 1 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 1 & \cdots & n-1 \end{vmatrix} =D_{n-1} $$
由 $D_1=1$，所以 $D_n=1$。
例11
证明
$$ D_n= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix} =n+1 $$
证明：
由递推法已证。
例12
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 5\\ 4 & 9 & 25 \end{vmatrix} $$
解：
这是范德蒙德行列式，$x_1=2$，$x_2=3$，$x_3=5$。
$$ D=(3-2)(5-2)(5-3)=1\times3\times2=6 $$
例13
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 9 & 16\\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} $$
解：
这是范德蒙德行列式，$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$，$x_4=4$。
$$ D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) $$
$$ =1\times2\times3\times1\times2\times1=12 $$
例14
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 1 & 0\\ 5 & 0 & 1 \end{vmatrix} $$
解：
用 $r_2-4r_1$、$r_3-5r_1$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -7 & -12\\ 0 & -10 & -14 \end{vmatrix} $$
用 $r_3-\frac{10}{7}r_2$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -7 & -12\\ 0 & 0 & \frac{22}{7} \end{vmatrix} $$
所以：
$$ D=1\times(-7)\times\frac{22}{7}=-22 $$
例15
计算
$$ D= \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & b_2 & \cdots & b_n\\ c_1 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\ c_2 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_n & 0 & 0 & \cdots & a_{n+1} \end{vmatrix} $$
解：
当 $a_2a_3\cdots a_{n+1}\neq0$ 时，用第一行消去其他行，化为三角行列式。
例16
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 6 & 10\\ 1 & 4 & 10 & 20 \end{vmatrix} $$
解：
用 $r_i-r_1$（$i=2,3,4$）：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 5 & 9\\ 0 & 3 & 9 & 19 \end{vmatrix} $$
继续用 $r_3-2r_2$、$r_4-3r_2$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 3 & 10 \end{vmatrix} $$
用 $r_4-3r_3$：
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 1 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1 $$
例17
计算
$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & \cdots & n\\ 2 & 3 & 4 & \cdots & 1\\ 3 & 4 & 5 & \cdots & 2\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ n & 1 & 2 & \cdots & n-1 \end{vmatrix} $$
解：
各行加到第一行，第一行元素都变为
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} $$
提出公因子，再化简。
递推法需要两个初始值，要仔细计算 $D_1$、$D_2$。
加边后要使新行列式容易计算，通常第一行第一列为 $1$，其余位置为 $0$。
拆分法只能拆一行（列），不能同时拆多行（列）。
假设 $D_{n-1}$ 成立，证明 $D_n$ 成立。
$$ D=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$
注意是后减前。
用第一行（列）消去其他行（列），化为三角行列式。
$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$
注意是减号。
各行加到第一行后，要提出公因子。
$$ D=a+(n-1)b^{n-1} $$
行列式计算容易出错，要仔细。
计算完成后，可以用特殊值验证。
常见形式：
$$ D= \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ D= \begin{vmatrix} a+b & \cdots\\ \cdots & \cdots \end{vmatrix} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
化三角法：
行变换化为三角，对角线相乘。
递推法：
$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$
加边法：
加一行一列，化简。
拆分法：
拆一行（列）为两个行列式之和。
数学归纳法：
计算 $D_1$、$D_2$，假设 $D_{n-1}$，证明 $D_n$。
范德蒙德行列式：
$$ D=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$
爪型行列式：
用第一行（列）消元。
三对角行列式：
$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$
常用结论：
主对角线相同、其余相同：
$$ D=a+(n-1)b^{n-1} $$
行和相等：
各行加到第一行，提出公因子。
口诀：
化三角选主元，递推找规律；
加边看行和，拆分拆一行；
归纳证 $n$ 阶，范德蒙德后减前；
爪型消元化三角，三对角用递推。
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