适用：数一、数二、数三通用
地位：高等数学的起点，直接支撑极限、导数、积分、微分方程
核心任务：会判断函数性质，会求定义域值域，会识别常见函数图像与关系
设 $D$ 是非空实数集。若对每个 $x\in D$，按某种对应法则 $f$，都有唯一确定的实数 $y$ 与之对应，则称 $f$ 是定义在 $D$ 上的函数，记作
$$ y=f(x),\quad x\in D $$
其中：
函数两要素：
$$ \text{定义域 }D,\quad \text{对应法则 }f $$
两个函数相同，当且仅当定义域相同且对应法则相同。
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。
上界： 若存在 $M$，使得对任意 $x\in I$，都有
$$ f(x)\le M $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有上界。
下界： 若存在 $m$，使得对任意 $x\in I$，都有
$$ f(x)\ge m $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有下界。
有界： 若存在 $M>0$，使得对任意 $x\in I$，都有
$$ |f(x)|\le M $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上有界。
等价地：
$$ f(x)\text{ 在 }I\text{ 上有界} \iff \exists M>0,\ \forall x\in I,\ |f(x)|\le M $$
无界：
$$ \forall M>0,\ \exists x\in I,\ |f(x)|>M $$
常用结论：
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上有定义。
单调递增： 若对任意 $x_1,x_2\in I$，当 $x_1<x_2$ 时，都有
$$ f(x_1)\le f(x_2) $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增。
严格单调递增： 若当 $x_1<x_2$ 时，都有
$$ f(x_1)<f(x_2) $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增。
单调递减： 若当 $x_1<x_2$ 时，都有
$$ f(x_1)\ge f(x_2) $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减。
严格单调递减： 若当 $x_1<x_2$ 时，都有
$$ f(x_1)>f(x_2) $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减。
判定工具（后续考点）：
重要结论：
设函数 $f(x)$ 的定义域 $D$ 关于原点对称。
偶函数：
$$ f(-x)=f(x),\quad \forall x\in D $$
图像关于 $y$ 轴对称。
奇函数：
$$ f(-x)=-f(x),\quad \forall x\in D $$
图像关于原点对称。
常用结论：
$$ f(0)=0 $$
常见奇偶函数：
| 函数 | 奇偶性 |
|---|---|
| $x^n$ | $n$ 偶为偶，$n$ 奇为奇 |
| $\sin x$ | 奇 |
| $\cos x$ | 偶 |
| $\tan x$ | 奇 |
| $e^x$ | 非奇非偶 |
| $\ln(1+x^2)$ | 偶 |
| $\ln\frac{1-x}{1+x}$ | 奇 |
| $\frac{e^x-1}{e^x+1}$ | 奇 |
重要构造：
任意函数可分解为奇函数与偶函数之和：
$$ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} $$
其中：
$$ \frac{f(x)+f(-x)}{2}\text{ 为偶函数} $$
$$ \frac{f(x)-f(-x)}{2}\text{ 为奇函数} $$
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$。若存在非零常数 $T$，使得对任意 $x\in D$，都有
$$ x+T\in D,\quad f(x+T)=f(x) $$
则称 $f(x)$ 为周期函数，$T$ 称为周期。
最小正周期： 若存在最小的正周期，则称为最小正周期。
常用结论：
重要结论：
若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则
$$ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx $$
即周期函数在任意一个周期长度上的积分相等。
设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $D$，值域为 $R$。若对每个 $y\in R$，都存在唯一的 $x\in D$，使得
$$ f(x)=y $$
则称 $f$ 存在反函数，记作
$$ x=f^{-1}(y) $$
通常写成：
$$ y=f^{-1}(x) $$
反函数性质：
常见反函数：
$$ y=e^x \iff x=\ln y $$
$$ y=\sin x,\ x\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] \iff x=\arcsin y $$
$$ y=\cos x,\ x\in[0,\pi] \iff x=\arccos y $$
$$ y=\tan x,\ x\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) \iff x=\arctan y $$
设
$$ y=f(u),\quad u=g(x) $$
若 $g(x)$ 的值域包含在 $f(u)$ 的定义域内，则可构成复合函数：
$$ y=f(g(x)) $$
分解原则：
由外向内分解，例如：
$$ y=\sin(\ln(1+x^2)) $$
可分解为：
$$ y=\sin u,\quad u=\ln v,\quad v=1+x^2 $$
注意：
$$ y=x^\alpha $$
常见形式：
$$ y=x,\quad y=x^2,\quad y=x^3,\quad y=\sqrt{x},\quad y=\frac1x $$
性质：
图像特征：
$$ y=a^x,\quad a>0,\ a\neq 1 $$
性质：
常用公式：
$$ a^{x+y}=a^xa^y $$
$$ a^{x-y}=\frac{a^x}{a^y} $$
$$ (a^x)^y=a^{xy} $$
$$ a^0=1 $$
$$ a^{-x}=\frac1{a^x} $$
自然指数：
$$ y=e^x $$
$$ e^{x+y}=e^xe^y $$
$$ \ln e^x=x $$
$$ e^{\ln x}=x,\quad x>0 $$
$$ y=\log_a x,\quad a>0,\ a\neq 1,\ x>0 $$
性质：
常用公式：
$$ \log_a(MN)=\log_aM+\log_aN $$
$$ \log_a\frac MN=\log_aM-\log_aN $$
$$ \log_aM^n=n\log_aM $$
$$ \log_a b=\frac{\ln b}{\ln a} $$
$$ \log_a1=0 $$
$$ \log_aa=1 $$
自然对数：
$$ y=\ln x $$
$$ \ln(xy)=\ln x+\ln y $$
$$ \ln\frac xy=\ln x-\ln y $$
$$ \ln x^n=n\ln x $$
重要不等式：
$$ \ln(1+x)\le x,\quad x>-1 $$
$$ \ln x\le x-1,\quad x>0 $$
$$ e^x\ge 1+x,\quad x\in\mathbb R $$
基本三角函数：
$$ \sin x,\quad \cos x,\quad \tan x,\quad \cot x $$
性质：
| 函数 | 定义域 | 值域 | 周期 | 奇偶性 |
|---|---|---|---|---|
| $\sin x$ | $\mathbb R$ | $[-1,1]$ | $2\pi$ | 奇 |
| $\cos x$ | $\mathbb R$ | $[-1,1]$ | $2\pi$ | 偶 |
| $\tan x$ | $x\neq \frac\pi2+k\pi$ | $\mathbb R$ | $\pi$ | 奇 |
| $\cot x$ | $x\neq k\pi$ | $\mathbb R$ | $\pi$ | 奇 |
常用公式：
$$ \sin^2x+\cos^2x=1 $$
$$ 1+\tan^2x=\sec^2x $$
$$ 1+\cot^2x=\csc^2x $$
$$ \sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y $$
$$ \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y $$
$$ \sin2x=2\sin x\cos x $$
$$ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 $$
$$ \tan2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2x} $$
和差化积：
$$ \sin A+\sin B=2\sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$
$$ \sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$
$$ \cos A+\cos B=2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $$
$$ \cos A-\cos B=-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $$
积化和差：
$$ \sin A\cos B=\frac12[\sin(A+B)+\sin(A-B)] $$
$$ \cos A\sin B=\frac12[\sin(A+B)-\sin(A-B)] $$
$$ \cos A\cos B=\frac12[\cos(A+B)+\cos(A-B)] $$
$$ \sin A\sin B=-\frac12[\cos(A+B)-\cos(A-B)] $$
反正弦：
$$ y=\arcsin x $$
反余弦：
$$ y=\arccos x $$
反正切：
$$ y=\arctan x $$
反余切：
$$ y=\operatorname{arccot} x $$
常用关系：
$$ \arcsin x+\arccos x=\frac\pi2,\quad x\in[-1,1] $$
$$ \arctan x+\operatorname{arccot} x=\frac\pi2,\quad x\in\mathbb R $$
$$ \arcsin(-x)=-\arcsin x $$
$$ \arccos(-x)=\pi-\arccos x $$
$$ \arctan(-x)=-\arctan x $$
重要极限：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1 $$
双曲正弦：
$$ \sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $$
双曲余弦：
$$ \cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2} $$
双曲正切：
$$ \tanh x=\frac{\sinh x}{\cosh x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$
基本关系：
$$ \cosh^2x-\sinh^2x=1 $$
$$ \sinh(x\pm y)=\sinh x\cosh y\pm\cosh x\sinh y $$
$$ \cosh(x\pm y)=\cosh x\cosh y\pm\sinh x\sinh y $$
反双曲函数：
$$ \operatorname{arsinh}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) $$
$$ \operatorname{arcosh}x=\ln(x+\sqrt{x^2-1}),\quad x\ge1 $$
$$ \operatorname{artanh}x=\frac12\ln\frac{1+x}{1-x},\quad |x|<1 $$
例1
求
$$ y=\frac{\ln(1+x)}{\sqrt{x-2}} $$
的定义域。
解：
需要：
$$ 1+x>0 $$
$$ x-2>0 $$
所以：
$$ x>-1,\quad x>2 $$
因此定义域为：
$$ (2,+\infty) $$
例2
求
$$ y=\arcsin(2x-1) $$
的定义域。
解：
需要：
$$ -1\le 2x-1\le 1 $$
所以：
$$ 0\le 2x\le 2 $$
$$ 0\le x\le 1 $$
定义域为：
$$ [0,1] $$
例3
判断
$$ f(x)=\ln(x+\sqrt{x^2+1}) $$
的奇偶性。
解：
$$ f(-x)=\ln(-x+\sqrt{x^2+1}) $$
有理化：
$$ -x+\sqrt{x^2+1} =\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} $$
所以：
$$ f(-x)=\ln\frac{1}{x+\sqrt{x^2+1}} =-\ln(x+\sqrt{x^2+1}) =-f(x) $$
因此 $f(x)$ 为奇函数。
例4
判断
$$ f(x)=\frac{e^x-1}{e^x+1} $$
的奇偶性。
解：
$$ f(-x)=\frac{e^{-x}-1}{e^{-x}+1} =\frac{1-e^x}{1+e^x} =-\frac{e^x-1}{e^x+1} =-f(x) $$
所以为奇函数。
例5
求
$$ f(x)=\sin 3x $$
的最小正周期。
解：
$$ \sin x\text{ 的周期为 }2\pi $$
所以：
$$ T=\frac{2\pi}{3} $$
例6
求
$$ f(x)=\tan\left(2x+\frac\pi3\right) $$
的最小正周期。
解：
$$ \tan x\text{ 的周期为 }\pi $$
所以：
$$ T=\frac{\pi}{2} $$
例7
求
$$ y=\ln(2x+1) $$
的反函数。
解：
$$ e^y=2x+1 $$
$$ x=\frac{e^y-1}{2} $$
所以反函数为：
$$ y=\frac{e^x-1}{2} $$
例8
求
$$ y=\frac{x-1}{x+1} $$
的反函数。
解：
$$ y(x+1)=x-1 $$
$$ yx+y=x-1 $$
$$ x(y-1)=-1-y $$
$$ x=\frac{1+y}{1-y} $$
所以反函数为：
$$ y=\frac{1+x}{1-x},\quad x\neq1 $$
例9
分解
$$ y=\ln(\sin\sqrt{x}) $$
解：
$$ y=\ln u,\quad u=\sin v,\quad v=\sqrt{x} $$
例10
分解
$$ y=e^{\arctan\frac1x} $$
解：
$$ y=e^u,\quad u=\arctan v,\quad v=\frac1x $$
例11
设 $f(x)$ 为奇函数，且 $f(1)=2$，求 $f(-1)$。
解：
$$ f(-1)=-f(1)=-2 $$
例12
设 $f(x)$ 为周期函数，周期 $T=3$，且
$$ \int_0^3 f(x)dx=6 $$
求
$$ \int_3^9 f(x)dx $$
解：
$$ \int_3^9 f(x)dx=2\int_0^3 f(x)dx=12 $$
错误：
$$ f(x)=x,\quad g(x)=\frac{x^2}{x} $$
认为相同。
正确：
$$ f(x)\text{ 定义域为 }\mathbb R $$
$$ g(x)\text{ 定义域为 }x\neq0 $$
两者不是同一函数。
例如：
$$ f(x)=x^2,\quad x\in[0,1] $$
虽然 $f(-x)=f(x)$，但定义域不对称，不能称为偶函数。
错误。
例如常函数：
$$ f(x)=1 $$
任意非零常数都是周期，但没有最小正周期。
$$ f^{-1}(x)\neq \frac1{f(x)} $$
$f^{-1}$ 表示反函数，$\frac1{f(x)}$ 表示倒数。
例如：
$$ y=\ln(x-1) $$
不能只看 $\ln$ 的定义域 $x>0$，而要看：
$$ x-1>0 $$
所以：
$$ x>1 $$
$$ \sin(ax+b)\text{ 的周期为 }\frac{2\pi}{|a|} $$
$$ \tan(ax+b)\text{ 的周期为 }\frac{\pi}{|a|} $$
不要漏掉绝对值。
$$ \frac1x $$
在 $(0,1)$ 上无界；
但在 $[1,+\infty)$ 上有界。
讨论有界性必须指明区间。
常见问法：
处理思路：
常见问法：
处理思路：
常见形式：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx $$
若 $f(x)$ 为奇函数：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=0 $$
若 $f(x)$ 为偶函数：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx $$
这是后续定积分计算的高频工具。
函数两要素：
$$ \text{定义域 }D,\quad \text{对应法则 }f $$
奇偶性：
$$ f(-x)=f(x)\Rightarrow \text{偶} $$
$$ f(-x)=-f(x)\Rightarrow \text{奇} $$
周期性：
$$ f(x+T)=f(x) $$
有界性：
$$ \exists M>0,\ \forall x\in I,\ |f(x)|\le M $$
反函数：
$$ f^{-1}(f(x))=x,\quad f(f^{-1}(x))=x $$
重要不等式：
$$ e^x\ge 1+x $$
$$ \ln(1+x)\le x,\quad x>-1 $$
常用奇函数：
$$ \sin x,\quad \tan x,\quad \arcsin x,\quad \arctan x,\quad \frac{e^x-1}{e^x+1} $$
常用偶函数：
$$ \cos x,\quad x^2,\quad |x|,\quad \ln(1+x^2) $$
口诀：
定义域先看，奇偶看对称；
周期找最小，有界看区间；
反函数解出 $x$，复合由外向内。
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