适用：数一、数二、数三通用
地位：极限理论的核心，直接支撑连续、导数、积分、级数等后续内容
核心任务：理解函数极限定义，掌握左右极限，会判断极限存在性，会处理分段函数极限
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个去心邻域内有定义，$A$ 是一个常数。若对任意给定的 $\varepsilon>0$，总存在 $\delta>0$，使得当
$$ 0<|x-x_0|<\delta $$
时，都有
$$ |f(x)-A|<\varepsilon $$
则称当 $x\to x_0$ 时，$f(x)$ 的极限为 $A$，记作
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $$
或
$$ f(x)\to A\quad(x\to x_0) $$
几何意义：
对任意 $\varepsilon>0$，总存在 $x_0$ 的一个去心邻域，使得该邻域内所有点的函数值都落在区间
$$ (A-\varepsilon,\ A+\varepsilon) $$
内。
等价说法：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x,\ 0<|x-x_0|<\delta,\ |f(x)-A|<\varepsilon $$
设函数 $f(x)$ 在 $|x|$ 充分大时有定义，$A$ 是一个常数。若对任意给定的 $\varepsilon>0$，总存在 $X>0$，使得当
$$ |x|>X $$
时，都有
$$ |f(x)-A|<\varepsilon $$
则称当 $x\to\infty$ 时，$f(x)$ 的极限为 $A$，记作
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A $$
单侧无穷：
$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \forall x>X,\ |f(x)-A|<\varepsilon $$
$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists X>0,\ \forall x<-X,\ |f(x)-A|<\varepsilon $$
重要结论：
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A \iff \lim_{x\to+\infty}f(x)=A \quad\text{且}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=A $$
左极限：
若当 $x$ 从左侧趋于 $x_0$ 时，$f(x)$ 趋于 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限，记作
$$ \lim_{x\to x_0^-}f(x)=A $$
或
$$ f(x_0^-)=A $$
右极限：
若当 $x$ 从右侧趋于 $x_0$ 时，$f(x)$ 趋于 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右极限，记作
$$ \lim_{x\to x_0^+}f(x)=A $$
或
$$ f(x_0^+)=A $$
极限存在的充要条件：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A $$
即：
$$ \text{极限存在} \iff \text{左极限} = \text{右极限} $$
这是判断分段函数在分界点处极限是否存在的基本工具。
设 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，$\lim_{x\to x_0}g(x)=B$。
（1）唯一性
若极限存在，则极限唯一。
（2）局部有界性
若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=A$，则存在 $x_0$ 的某个去心邻域，使得 $f(x)$ 在该邻域内有界。
（3）局部保号性
若 $A>0$，则存在 $x_0$ 的某个去心邻域，使得在该邻域内
$$ f(x)>0 $$
若 $A<0$，则存在 $x_0$ 的某个去心邻域，使得在该邻域内
$$ f(x)<0 $$
（4）保不等式性
若在 $x_0$ 的某个去心邻域内
$$ f(x)\le g(x) $$
且
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A,\quad \lim_{x\to x_0}g(x)=B $$
则
$$ A\le B $$
（5）四则运算
$$ \lim_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=A\pm B $$
$$ \lim_{x\to x_0}(f(x)g(x))=AB $$
若 $B\neq0$，则
$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac AB $$
（6）复合函数极限
若
$$ \lim_{x\to x_0}g(x)=u_0 $$
且 $f(u)$ 在 $u_0$ 处连续，则
$$ \lim_{x\to x_0}f(g(x))=f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right)=f(u_0) $$
无穷小：
若
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=0 $$
则称 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时为无穷小。
无穷大：
若对任意 $M>0$，存在 $\delta>0$，当
$$ 0<|x-x_0|<\delta $$
时，有
$$ |f(x)|>M $$
则称 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时为无穷大，记作
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $$
关系：
无穷小的比较：
设 $\alpha,\beta$ 均为无穷小，且 $\beta\neq0$。
若
$$ \lim\frac{\alpha}{\beta}=0 $$
则称 $\alpha$ 是比 $\beta$ 高阶的无穷小，记作
$$ \alpha=o(\beta) $$
若
$$ \lim\frac{\alpha}{\beta}=c\neq0 $$
则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是同阶无穷小。
若
$$ \lim\frac{\alpha}{\beta}=1 $$
则称 $\alpha$ 与 $\beta$ 是等价无穷小，记作
$$ \alpha\sim\beta $$
若
$$ \lim\frac{\alpha}{\beta^k}=c\neq0 $$
则称 $\alpha$ 是 $\beta$ 的 $k$ 阶无穷小。
（1）夹逼准则
若在 $x_0$ 的某个去心邻域内
$$ g(x)\le f(x)\le h(x) $$
且
$$ \lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=A $$
则
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A $$
（2）单调有界准则
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内单调且有界，则单侧极限存在。
当且仅当以下情况时，需要分别讨论左右极限：
判断步骤：
使用四则运算时，必须保证：
若出现 $\infty-\infty$、$\frac00$、$\frac\infty\infty$、$0\cdot\infty$、$1^\infty$、$0^0$、$\infty^0$ 等未定式，不能直接使用四则运算。
使用
$$ \lim_{x\to x_0}f(g(x))=f\left(\lim_{x\to x_0}g(x)\right) $$
时必须保证外层函数 $f$ 在对应点处连续。
若外层函数不连续，不能直接交换极限与函数符号。
必须满足：
$$ g(x)\le f(x)\le h(x) $$
$$ \lim_{x\to x_0}g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)=A $$
例1
证明
$$ \lim_{x\to1}(2x+1)=3 $$
证明：
$$ |(2x+1)-3|=|2x-2|=2|x-1| $$
对任意 $\varepsilon>0$，要使
$$ 2|x-1|<\varepsilon $$
只需
$$ |x-1|<\frac\varepsilon2 $$
取
$$ \delta=\frac\varepsilon2 $$
则当
$$ 0<|x-1|<\delta $$
时，有
$$ |(2x+1)-3|<\varepsilon $$
所以
$$ \lim_{x\to1}(2x+1)=3 $$
例2
证明
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
证明略（见考点4重要极限）。
例3
设
$$ f(x)= \begin{cases} x+1, & x<0\\ x^2, & x\ge0 \end{cases} $$
求 $\lim_{x\to0}f(x)$。
解：
左极限：
$$ \lim_{x\to0^-}f(x)=\lim_{x\to0^-}(x+1)=1 $$
右极限：
$$ \lim_{x\to0^+}f(x)=\lim_{x\to0^+}x^2=0 $$
因为
$$ 1\neq0 $$
所以
$$ \lim_{x\to0}f(x)\text{ 不存在} $$
例4
设
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x\neq0\ 1, & x=0 \end{cases} $$
求 $\lim_{x\to0}f(x)$。
解：
$$ \lim_{x\to0^-}\frac{\sin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{\sin x}{x}=1 $$
所以
$$ \lim_{x\to0}f(x)=1 $$
注意：$f(0)=1$ 与极限值相等，说明 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
例5
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{|x|}{x} $$
解：
左极限：
$$ \lim_{x\to0^-}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1 $$
右极限：
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{|x|}{x}=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1 $$
因为
$$ -1\neq1 $$
所以
$$ \lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}\text{ 不存在} $$
例6
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{x}{|x|} $$
解：
左极限：
$$ \lim_{x\to0^-}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to0^-}\frac{x}{-x}=-1 $$
右极限：
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{x}{|x|}=\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1 $$
所以极限不存在。
例7
求
$$ \lim_{x\to0}e^{\frac1x} $$
解：
左极限：
$$ \lim_{x\to0^-}e^{\frac1x}=0 $$
因为当 $x\to0^-$ 时，$\frac1x\to-\infty$，所以 $e^{\frac1x}\to0$。
右极限：
$$ \lim_{x\to0^+}e^{\frac1x}=+\infty $$
因为当 $x\to0^+$ 时，$\frac1x\to+\infty$，所以 $e^{\frac1x}\to+\infty$。
因为左右极限不相等，所以
$$ \lim_{x\to0}e^{\frac1x}\text{ 不存在} $$
例8
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{e^{\frac1x}-1}{e^{\frac1x}+1} $$
解：
左极限：
当 $x\to0^-$ 时，$e^{\frac1x}\to0$，所以
$$ \lim_{x\to0^-}\frac{e^{\frac1x}-1}{e^{\frac1x}+1}=\frac{0-1}{0+1}=-1 $$
右极限：
当 $x\to0^+$ 时，$e^{\frac1x}\to+\infty$，分子分母同除以 $e^{\frac1x}$：
$$ \frac{e^{\frac1x}-1}{e^{\frac1x}+1} =\frac{1-e^{-\frac1x}}{1+e^{-\frac1x}} \to1 $$
所以
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{e^{\frac1x}-1}{e^{\frac1x}+1}=1 $$
左右极限不相等，所以极限不存在。
例9
求
$$ \lim_{x\to0}\arctan\frac1x $$
解：
左极限：
当 $x\to0^-$ 时，$\frac1x\to-\infty$，所以
$$ \lim_{x\to0^-}\arctan\frac1x=-\frac\pi2 $$
右极限：
当 $x\to0^+$ 时，$\frac1x\to+\infty$，所以
$$ \lim_{x\to0^+}\arctan\frac1x=\frac\pi2 $$
左右极限不相等，所以极限不存在。
例10
求
$$ \lim_{x\to0}[x] $$
其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数。
解：
左极限：
当 $x\to0^-$ 时，$[x]=-1$，所以
$$ \lim_{x\to0^-}[x]=-1 $$
右极限：
当 $0<x<1$ 时，$[x]=0$，所以
$$ \lim_{x\to0^+}[x]=0 $$
左右极限不相等，所以极限不存在。
例11
求
$$ \lim_{x\to0}x\sin\frac1x $$
解：
因为
$$ \left|x\sin\frac1x\right|\le|x|\to0 $$
所以
$$ \lim_{x\to0}x\sin\frac1x=0 $$
这里用了“无穷小 × 有界 = 无穷小”。
例12
求
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x} $$
解：
因为
$$ \left|\frac{\sin x}{x}\right|\le\frac1{|x|}\to0 $$
所以
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{\sin x}{x}=0 $$
例13
求
$$ \lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x $$
解：
因为
$$ 0\le\left|x^2\sin\frac1x\right|\le x^2 $$
且
$$ \lim_{x\to0}x^2=0 $$
由夹逼准则：
$$ \lim_{x\to0}x^2\sin\frac1x=0 $$
例14
求
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1} $$
解：
分子分母同除以 $x^2$：
$$ \frac{2+\frac3x-\frac1{x^2}}{1+\frac1{x^2}} \to2 $$
所以
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{2x^2+3x-1}{x^2+1}=2 $$
例15
求
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right) $$
解：
有理化：
$$ \sqrt{x^2+x}-x =\frac{x^2+x-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} =\frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x} $$
分子分母同除以 $x$：
$$ \frac{1}{\sqrt{1+\frac1x}+1} \to\frac12 $$
所以
$$ \lim_{x\to\infty}\left(\sqrt{x^2+x}-x\right)=\frac12 $$
对于分段函数、含绝对值、含 $e^{\frac1x}$ 等函数，必须先讨论左右极限。
错误：
$$ \lim_{x\to0}\frac{|x|}{x}=1 $$
正确：
左右极限分别为 $-1$ 和 $1$，极限不存在。
函数极限
$$ \lim_{x\to x_0}f(x) $$
只与 $x_0$ 的去心邻域有关，与 $f(x_0)$ 是否有定义、取值多少无关。
例如：
$$ f(x)=\frac{\sin x}{x} $$
在 $x=0$ 处无定义，但
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A $$
要求
$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=A \quad\text{且}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=A $$
两者必须同时成立。
例如：
$$ \lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2 $$
$$ \lim_{x\to-\infty}\arctan x=-\frac\pi2 $$
所以
$$ \lim_{x\to\infty}\arctan x\text{ 不存在} $$
错误：
$$ \lim_{x\to0}\left(\frac1x-\frac1x\right)=\infty-\infty=0 $$
正确：
$$ \frac1x-\frac1x=0 $$
所以极限为 $0$。
未定式必须先变形，再求极限。
错误：
$$ \lim_{x\to0}f(g(x))=f\left(\lim_{x\to0}g(x)\right) $$
若不验证 $f$ 在对应点连续，可能出错。
例如：
$$ f(u)= \begin{cases} 1, & u\neq0\ 0, & u=0 \end{cases} $$
$$ g(x)=x $$
则
$$ \lim_{x\to0}f(g(x))=\lim_{x\to0}f(x)=1 $$
但
$$ f\left(\lim_{x\to0}g(x)\right)=f(0)=0 $$
两者不相等。
无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大。
例如：
$$ f(x)=\frac1x\sin\frac1x $$
在 $x\to0$ 时无界，但不是无穷大。
错误：
$$ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2}=0 $$
正确：
$$ x-\sin x\sim\frac16x^3 $$
所以
$$ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^2}=0 $$
但这个结果是因为分子是三阶无穷小，分母是二阶无穷小，所以极限为 $0$。
若分母是 $x^3$，则
$$ \lim_{x\to0}\frac{x-\sin x}{x^3}=\frac16 $$
保号性：
由极限符号推出局部函数符号。
若
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A>0 $$
则存在去心邻域，使得
$$ f(x)>0 $$
不是由 $f(x)>0$ 推出 $A>0$。
常见形式：
$$ f(x)= \begin{cases} g(x), & x<x_0\ h(x), & x\ge x_0 \end{cases} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{x\to0}\frac{e^{\frac1x}+a}{e^{\frac1x}+b} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)} $$
处理方法：
常见形式：
已知
$$ \lim_{x\to x_0}f(x) $$
存在，求参数。
处理方法：
例：
设
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin ax}{x}, & x<0\ b, & x=0\ \frac{\sqrt{1+x}-1}{x}, & x>0 \end{cases} $$
若 $\lim_{x\to0}f(x)$ 存在，求 $a,b$。
解：
左极限：
$$ \lim_{x\to0^-}\frac{\sin ax}{x}=a $$
右极限：
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} =\lim_{x\to0^+}\frac{\frac12x}{x} =\frac12 $$
所以
$$ a=\frac12 $$
又因为
$$ b=\lim_{x\to0}f(x)=\frac12 $$
所以
$$ a=\frac12,\quad b=\frac12 $$
函数极限定义：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists\delta>0,\ \forall x,\ 0<|x-x_0|<\delta,\ |f(x)-A|<\varepsilon $$
左右极限：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=A \iff \lim_{x\to x_0^-}f(x)=\lim_{x\to x_0^+}f(x)=A $$
$x\to\infty$ 极限：
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A \iff \lim_{x\to+\infty}f(x)=A \quad\text{且}\quad \lim_{x\to-\infty}f(x)=A $$
极限性质：
无穷小与有界：
$$ \text{无穷小}\times\text{有界}=\text{无穷小} $$
无穷小比较：
$$ \alpha=o(\beta) \iff \lim\frac{\alpha}{\beta}=0 $$
$$ \alpha\sim\beta \iff \lim\frac{\alpha}{\beta}=1 $$
夹逼准则：
$$ g(x)\le f(x)\le h(x),\quad \lim g=\lim h=A \Rightarrow \lim f=A $$
常用左右极限不同的函数：
$$ \frac{|x|}{x},\quad e^{\frac1x},\quad \arctan\frac1x,\quad [x] $$
口诀：
分段绝对值，左右要分开；
极限存在时，左右必相等；
无穷小乘有界，结果仍无穷小；
未定式先变形，四则运算莫乱套。
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