适用：数一、数三通用
地位：概率论的理论核心，直接支撑参数估计、假设检验、抽样分布
核心任务：理解切比雪夫不等式，掌握大数定律，掌握中心极限定理
定理：
设随机变量 $X$ 的期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)=\sigma^2$ 都存在，则对任意 $\varepsilon>0$，有
$$ P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
等价形式：
$$ P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
注意：
应用：
用于估计随机变量偏离期望的概率。
定义：
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 是一列随机变量，$X$ 是随机变量。若对任意 $\varepsilon>0$，都有
$$ \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|<\varepsilon)=1 $$
则称 ${X_n}$ 依概率收敛于 $X$，记作
$$ X_n\xrightarrow{P}X $$
等价形式：
$$ \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|\ge\varepsilon)=0 $$
注意：
（1）切比雪夫大数定律：
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 是相互独立的随机变量序列，若
$$ E(X_i)=\mu_i,\quad D(X_i)=\sigma_i^2\le M $$
其中 $M$ 为常数，则对任意 $\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac1n\sum_{i=1}^nX_i-\frac1n\sum_{i=1}^n\mu_i\right|<\varepsilon\right)=1 $$
（2）伯努利大数定律：
设 $n_A$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，$p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，则对任意 $\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac{n_A}{n}-p\right|<\varepsilon\right)=1 $$
即：
$$ \frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p $$
意义：
频率依概率收敛于概率。
（3）辛钦大数定律：
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 是相互独立同分布的随机变量序列，若
$$ E(X_i)=\mu $$
存在，则对任意 $\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac1n\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|<\varepsilon\right)=1 $$
即：
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\mu $$
意义：
样本均值依概率收敛于总体均值。
（4）马尔可夫大数定律：
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 是随机变量序列，若
$$ \frac{1}{n^2}D\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)\to0 $$
则对任意 $\varepsilon>0$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac1n\sum_{i=1}^nX_i-\frac1n\sum_{i=1}^nE(X_i)\right|<\varepsilon\right)=1 $$
（1）列维-林德伯格中心极限定理：
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 是相互独立同分布的随机变量序列，且
$$ E(X_i)=\mu,\quad D(X_i)=\sigma^2>0 $$
则对任意实数 $x$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt n\sigma}\le x\right) =\Phi(x) $$
即：
$$ \frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt n\sigma} \xrightarrow{d}N(0,1) $$
等价形式：
当 $n$ 充分大时，
$$ \sum_{i=1}^nX_i\overset{\text{近似}}{\sim}N(n\mu,n\sigma^2) $$
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\overset{\text{近似}}{\sim}N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$
（2）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：
设 $X_n\sim B(n,p)$，则对任意实数 $x$，有
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\le x\right) =\Phi(x) $$
即：
$$ \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0,1) $$
等价形式：
当 $n$ 充分大时，
$$ X_n\overset{\text{近似}}{\sim}N(np,np(1-p)) $$
注意：
（1）样本均值的近似分布：
当 $n$ 充分大时，
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\overset{\text{近似}}{\sim}N\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right) $$
（2）样本和的近似分布：
$$ \sum_{i=1}^nX_i\overset{\text{近似}}{\sim}N(n\mu,n\sigma^2) $$
（3）二项分布的正态近似：
$$ X_n\overset{\text{近似}}{\sim}N(np,np(1-p)) $$
注意：
连续性修正：
$$ P(a\le X_n\le b)\approx\Phi\left(\frac{b+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)-\Phi\left(\frac{a-0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right) $$
（1）切比雪夫不等式：
$$ P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
（2）辛钦大数定律：
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\mu $$
（3）伯努利大数定律：
$$ \frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p $$
（4）列维-林德伯格中心极限定理：
$$ \frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt n\sigma}\xrightarrow{d}N(0,1) $$
（5）棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：
$$ \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{d}N(0,1) $$
| 内容 | 大数定律 | 中心极限定理 |
|---|---|---|
| 研究对象 | 样本均值 | 样本均值的标准化 |
| 结论 | 依概率收敛于期望 | 依分布收敛于正态分布 |
| 作用 | 说明平均结果的稳定性 | 说明平均结果的分布近似 |
| 条件 | 独立、期望存在 | 独立同分布、方差存在 |
注意：
例1
设 $X$ 的期望 $E(X)=10$，方差 $D(X)=4$，用切比雪夫不等式估计 $P(|X-10|\ge6)$。
解：
$$ P(|X-10|\ge6)\le\frac{4}{6^2}=\frac{4}{36}=\frac19 $$
例2
设 $X$ 的期望 $E(X)=0$，方差 $D(X)=1$，用切比雪夫不等式估计 $P(|X|\ge3)$。
解：
$$ P(|X|\ge3)\le\frac{1}{3^2}=\frac19 $$
例3
设 $X$ 的期望 $E(X)=\mu$，方差 $D(X)=\sigma^2$，用切比雪夫不等式估计 $P(|X-\mu|<2\sigma)$。
解：
$$ P(|X-\mu|<2\sigma)\ge1-\frac{\sigma^2}{(2\sigma)^2} =1-\frac14=\frac34 $$
例4
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，证明
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\mu $$
证明：
由辛钦大数定律，直接得证。
例5
设 $n_A$ 是 $n$ 重伯努利试验中事件 $A$ 发生的次数，$p$ 是事件 $A$ 在每次试验中发生的概率，证明
$$ \frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p $$
证明：
由伯努利大数定律，直接得证。
例6
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布，$E(X_i)=\mu$，$D(X_i)=\sigma^2$，用切比雪夫不等式证明
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\mu $$
证明：
$$ E\left(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\right)=\mu $$
$$ D\left(\frac1n\sum_{i=1}^nX_i\right)=\frac{\sigma^2}{n} $$
由切比雪夫不等式：
$$ P\left(\left|\frac1n\sum_{i=1}^nX_i-\mu\right|\ge\varepsilon\right) \le\frac{\sigma^2}{n\varepsilon^2}\to0 $$
所以：
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\mu $$
例7
设 $X_1,X_2,\cdots,X_{100}$ 独立同分布，$E(X_i)=1$，$D(X_i)=4$，求
$$ P\left(\sum_{i=1}^{100}X_i\le120\right) $$
的近似值。
解：
$$ E\left(\sum_{i=1}^{100}X_i\right)=100\times1=100 $$
$$ D\left(\sum_{i=1}^{100}X_i\right)=100\times4=400 $$
$$ \sigma=\sqrt{400}=20 $$
由中心极限定理：
$$ P\left(\sum_{i=1}^{100}X_i\le120\right) \approx\Phi\left(\frac{120-100}{20}\right) =\Phi(1)\approx0.8413 $$
例8
设 $X_1,X_2,\cdots,X_{50}$ 独立同分布，$E(X_i)=2$，$D(X_i)=1$，求
$$ P\left(\sum_{i=1}^{50}X_i>110\right) $$
的近似值。
解：
$$ E\left(\sum_{i=1}^{50}X_i\right)=100 $$
$$ D\left(\sum_{i=1}^{50}X_i\right)=50 $$
$$ \sigma=\sqrt{50}\approx7.07 $$
$$ P\left(\sum_{i=1}^{50}X_i>110\right) =1-P\left(\sum_{i=1}^{50}X_i\le110\right) $$
$$ \approx1-\Phi\left(\frac{110-100}{\sqrt{50}}\right) =1-\Phi(1.414) $$
$$ \approx1-0.9214=0.0786 $$
例9
设 $X\sim B(100,0.4)$，用中心极限定理求 $P(X\le50)$ 的近似值。
解：
$$ E(X)=np=40 $$
$$ D(X)=np(1-p)=24 $$
$$ \sigma=\sqrt{24}\approx4.899 $$
由棣莫弗-拉普拉斯定理：
$$ P(X\le50)\approx\Phi\left(\frac{50-40}{\sqrt{24}}\right) =\Phi(2.041) \approx0.9793 $$
例10
设 $X\sim B(100,0.4)$，用中心极限定理求 $P(30\le X\le50)$ 的近似值。
解：
$$ P(30\le X\le50)\approx\Phi\left(\frac{50-40}{\sqrt{24}}\right)-\Phi\left(\frac{30-40}{\sqrt{24}}\right) $$
$$ =\Phi(2.041)-\Phi(-2.041) =2\Phi(2.041)-1 $$
$$ \approx2\times0.9793-1=0.9586 $$
例11
某射手每次射击命中目标的概率为 $0.8$，独立射击 $100$ 次，求命中次数在 $70$ 到 $90$ 之间的概率。
解：
设 $X$ 为命中次数，$X\sim B(100,0.8)$。
$$ E(X)=80,\quad D(X)=16,\quad\sigma=4 $$
$$ P(70\le X\le90) \approx\Phi\left(\frac{90-80}{4}\right)-\Phi\left(\frac{70-80}{4}\right) $$
$$ =\Phi(2.5)-\Phi(-2.5) =2\Phi(2.5)-1 $$
$$ \approx2\times0.9938-1=0.9876 $$
例12
某批产品次品率为 $0.1$，从中任取 $200$ 件，求次品数不超过 $25$ 件的概率。
解：
设 $X$ 为次品数，$X\sim B(200,0.1)$。
$$ E(X)=20,\quad D(X)=18,\quad\sigma\approx4.243 $$
$$ P(X\le25)\approx\Phi\left(\frac{25-20}{\sqrt{18}}\right) =\Phi(1.179) \approx0.8808 $$
例13
设 $X_1,X_2,\cdots,X_n,\cdots$ 独立同分布，$E(X_i)=0$，$D(X_i)=1$，求
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\sqrt n}\le1\right) $$
解：
由中心极限定理：
$$ \frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\sqrt n}\xrightarrow{d}N(0,1) $$
所以：
$$ \lim_{n\to\infty}P\left(\frac{\sum_{i=1}^nX_i}{\sqrt n}\le1\right) =\Phi(1)\approx0.8413 $$
例14
某保险公司有 $10000$ 个客户，每个客户在一年内出险的概率为 $0.006$，求一年内出险人数不超过 $70$ 人的概率。
解：
设 $X$ 为出险人数，$X\sim B(10000,0.006)$。
$$ E(X)=60,\quad D(X)=59.64,\quad\sigma\approx7.723 $$
$$ P(X\le70)\approx\Phi\left(\frac{70-60}{\sqrt{59.64}}\right) =\Phi(1.295) \approx0.9023 $$
$$ P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
$$ P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
$$ \frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt n\sigma} $$
注意分子、分母都要正确。
$$ X\sim B(n,p) $$
$$ E(X)=np,\quad D(X)=np(1-p) $$
当 $n$ 不够大时，需要做连续性修正。
列维-林德伯格定理要求独立同分布、方差存在。
错误。
辛钦大数定律只要求期望存在。
$$ P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
一般要求 $n\ge30$。
注意 $\Phi(-x)=1-\Phi(x)$。
要仔细计算。
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
切比雪夫不等式：
$$ P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
$$ P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2} $$
依概率收敛：
$$ X_n\xrightarrow{P}X \iff \lim_{n\to\infty}P(|X_n-X|<\varepsilon)=1 $$
辛钦大数定律：
$$ \frac1n\sum_{i=1}^nX_i\xrightarrow{P}\mu $$
伯努利大数定律：
$$ \frac{n_A}{n}\xrightarrow{P}p $$
列维-林德伯格中心极限定理：
$$ \frac{\sum_{i=1}^nX_i-n\mu}{\sqrt n\sigma} \xrightarrow{d}N(0,1) $$
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理：
$$ \frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}} \xrightarrow{d}N(0,1) $$
正态近似：
$$ \sum_{i=1}^nX_i\overset{\text{近似}}{\sim}N(n\mu,n\sigma^2) $$
$$ X_n\overset{\text{近似}}{\sim}N(np,np(1-p)) $$
常用分布期望方差：
$$ B(n,p):\quad E=np,\quad D=np(1-p) $$
$$ P(\lambda):\quad E=\lambda,\quad D=\lambda $$
$$ U(a,b):\quad E=\frac{a+b}{2},\quad D=\frac{(b-a)^2}{12} $$
$$ E(\lambda):\quad E=\frac1\lambda,\quad D=\frac{1}{\lambda^2} $$
$$ N(\mu,\sigma^2):\quad E=\mu,\quad D=\sigma^2 $$
口诀：
切比雪夫估概率，方差除以平方；
大数定律说收敛，样本均值趋期望；
中心极限说分布，标准化后正态；
二项近似用正态，$n$ 大才可行。
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