适用：数一、数二、数三通用
地位：一元微分学的核心应用，直接支撑不等式证明、方程根讨论、函数作图
核心任务：会判断单调性，会求极值与最值，会讨论方程根的个数，会证明不等式
设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上可导。
（1）单调递增：
若对任意 $x\in I$，都有
$$ f'(x)\ge0 $$
则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递增。
（2）严格单调递增：
若对任意 $x\in I$，都有
$$ f'(x)>0 $$
则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递增。
（3）单调递减：
若对任意 $x\in I$，都有
$$ f'(x)\le0 $$
则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调递减。
（4）严格单调递减：
若对任意 $x\in I$，都有
$$ f'(x)<0 $$
则 $f(x)$ 在 $I$ 上严格单调递减。
注意：
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。
极大值：
若存在 $x_0$ 的某个去心邻域，使得对该邻域内任意 $x$，都有
$$ f(x)<f(x_0) $$
则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的极大值，$x_0$ 为极大值点。
极小值：
若存在 $x_0$ 的某个去心邻域，使得对该邻域内任意 $x$，都有
$$ f(x)>f(x_0) $$
则称 $f(x_0)$ 为 $f(x)$ 的极小值，$x_0$ 为极小值点。
注意：
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且 $x_0$ 为极值点，则
$$ f'(x_0)=0 $$
注意：
驻点：
使 $f'(x)=0$ 的点称为驻点。
可能极值点：
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某个去心邻域内可导，且 $f'(x_0)=0$（或 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不可导）。
（1）极大值：
若在 $x_0$ 的左侧 $f'(x)>0$，右侧 $f'(x)<0$，则 $f(x_0)$ 为极大值。
即：
$$ x < x_0,\ f'(x) > 0;\quad x > x_0,\ f'(x)<0 \Rightarrow f(x_0)\text{ 为极大值} $$
（2）极小值：
若在 $x_0$ 的左侧 $f'(x)<0$，右侧 $f'(x)>0$，则 $f(x_0)$ 为极小值。
即：
$$ x<x_0,\ f'(x)<0;\quad x>x_0,\ f'(x)>0 \Rightarrow f(x_0)\text{ 为极小值} $$
（3）不是极值：
若 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧符号相同，则 $x_0$ 不是极值点。
设 $f(x)$ 在 $x_0$ 处二阶可导，且
$$ f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)\neq0 $$
（1）极大值：
若
$$ f''(x_0)<0 $$
则 $f(x_0)$ 为极大值。
（2）极小值：
若
$$ f''(x_0)>0 $$
则 $f(x_0)$ 为极小值。
注意：
闭区间 $[a,b]$ 上连续函数的最值：
即：
$$ M=\max{f(a),f(b),f(x_1),f(x_2),\cdots} $$
$$ m=\min{f(a),f(b),f(x_1),f(x_2),\cdots} $$
开区间或无穷区间上的最值：
凹凸性定义：
设 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续。
凹函数（下凸）：
若对任意 $x_1,x_2\in I$，$x_1\neq x_2$，都有
$$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凹函数。
凸函数（上凸）：
若
$$ f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)>\frac{f(x_1)+f(x_2)}{2} $$
则称 $f(x)$ 在 $I$ 上是凸函数。
判定：
拐点：
凹凸性发生改变的点称为拐点。
拐点的必要条件：
若 $x_0$ 为拐点，且 $f''(x_0)$ 存在，则
$$ f''(x_0)=0 $$
拐点的第一充分条件：
若 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧异号，则 $x_0$ 为拐点。
（1）水平渐近线：
若
$$ \lim_{x\to+\infty}f(x)=A $$
或
$$ \lim_{x\to-\infty}f(x)=A $$
则 $y=A$ 为水平渐近线。
（2）垂直渐近线：
若
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty $$
则 $x=x_0$ 为垂直渐近线。
（3）斜渐近线：
若
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{x}=a,\quad \lim_{x\to+\infty}[f(x)-ax]=b $$
则 $y=ax+b$ 为斜渐近线。
同理适用于 $x\to-\infty$。
注意：
$f'(x)>0$ 是充分条件，不是必要条件。
第一充分条件：
第二充分条件：
例1
求
$$ f(x)=x^3-3x $$
的单调区间。
解：
$$ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1) $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=\pm1 $$
列表：
| 区间 | $f'(x)$ | $f(x)$ |
|---|---|---|
| $(-\infty,-1)$ | $+$ | 递增 |
| $(-1,1)$ | $-$ | 递减 |
| $(1,+\infty)$ | $+$ | 递增 |
所以单调递增区间为：
$$ (-\infty,-1),\quad(1,+\infty) $$
单调递减区间为：
$$ (-1,1) $$
例2
求
$$ f(x)=\frac{\ln x}{x} $$
的单调区间。
解：
定义域：
$$ x>0 $$
$$ f'(x)=\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2} $$
令 $f'(x)=0$：
$$ \ln x=1 $$
$$ x=e $$
当 $0<x
当 $x>e$ 时，$f'(x)<0$，递减。
所以单调递增区间为：
$$ (0,e) $$
单调递减区间为：
$$ (e,+\infty) $$
例3
求
$$ f(x)=x^3-3x $$
的极值。
解：
$$ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1) $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=\pm1 $$
用第一充分条件：
所以：
$$ x=-1\text{ 为极大值点} $$
$$ x=1\text{ 为极小值点} $$
极大值：
$$ f(-1)=-1+3=2 $$
极小值：
$$ f(1)=1-3=-2 $$
例4
求
$$ f(x)=x^4-2x^2 $$
的极值。
解：
$$ f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1) $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=0,\quad x=\pm1 $$
$$ f''(x)=12x^2-4 $$
$$ f''(0)=-4<0 $$
所以 $x=0$ 为极大值点，极大值为：
$$ f(0)=0 $$
$$ f''(1)=8>0 $$
$$ f''(-1)=8>0 $$
所以 $x=\pm1$ 为极小值点，极小值为：
$$ f(\pm1)=1-2=-1 $$
例5
求
$$ f(x)=x^3 $$
的极值。
解：
$$ f'(x)=3x^2 $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=0 $$
但 $f'(x)=3x^2\ge0$ 对所有 $x$ 成立，$f'(x)$ 在 $x=0$ 两侧符号相同。
所以 $x=0$ 不是极值点，$f(x)=x^3$ 无极值。
例6
求
$$ f(x)=x^3-3x $$
在 $[-2,2]$ 上的最大值和最小值。
解：
$$ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1) $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=\pm1 $$
计算各点函数值：
$$ f(-2)=-8+6=-2 $$
$$ f(-1)=-1+3=2 $$
$$ f(1)=1-3=-2 $$
$$ f(2)=8-6=2 $$
比较：
最大值：
$$ M=2 $$
最小值：
$$ m=-2 $$
例7
求
$$ f(x)=x+\frac1x $$
在 $[0.5,3]$ 上的最值。
解：
$$ f'(x)=1-\frac{1}{x^2} $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x^2=1 $$
$$ x=1 $$
计算各点函数值：
$$ f(0.5)=0.5+2=2.5 $$
$$ f(1)=1+1=2 $$
$$ f(3)=3+\frac13=\frac{10}{3}\approx3.33 $$
比较：
最大值：
$$ M=\frac{10}{3} $$
最小值：
$$ m=2 $$
例8
求
$$ f(x)=x^2e^{-x} $$
在 $[0,+\infty)$ 上的最大值。
解：
$$ f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=xe^{-x}(2-x) $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=0,\quad x=2 $$
当 $0<x<2$ 时，$f'(x)>0$，递增；
当 $x>2$ 时，$f'(x)<0$，递减。
所以 $x=2$ 为极大值点，也是最大值点。
最大值：
$$ f(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2} $$
例9
讨论方程
$$ x^3-3x+a=0 $$
的根的个数。
解：
设
$$ f(x)=x^3-3x+a $$
$$ f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1) $$
令 $f'(x)=0$：
$$ x=\pm1 $$
$$ f(-1)=2+a $$
$$ f(1)=-2+a $$
讨论：
例10
证明方程
$$ x=e^{x-2} $$
在 $(0,2)$ 内至少有一个根。
证明：
设
$$ f(x)=x-e^{x-2} $$
$f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续。
$$ f(0)=-e^{-2}<0 $$
$$ f(2)=2-1=1>0 $$
由零点定理，存在 $\xi\in(0,2)$，使得
$$ f(\xi)=0 $$
即方程在 $(0,2)$ 内至少有一个根。
例11
证明：当 $x>0$ 时，
$$ \ln(1+x)<x $$
证明：
设
$$ f(x)=x-\ln(1+x) $$
则
$$ f'(x)=1-\frac{1}{1+x}=\frac{x}{1+x} $$
当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 单调递增。
$$ f(0)=0 $$
所以当 $x>0$ 时：
$$ f(x)>f(0)=0 $$
即：
$$ x-\ln(1+x)>0 $$
$$ \ln(1+x)<x $$
例12
证明：当 $x>0$ 时，
$$ e^x>1+x $$
证明：
设
$$ f(x)=e^x-1-x $$
则
$$ f'(x)=e^x-1 $$
当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 单调递增。
$$ f(0)=0 $$
所以当 $x>0$ 时：
$$ f(x)>f(0)=0 $$
即：
$$ e^x>1+x $$
例13
证明：当 $0<x<1$ 时，
$$ x-\frac{x^2}{2}<\ln(1+x)<x $$
证明：
右边已由例11证明。
左边：
设
$$ f(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}{2} $$
则
$$ f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x =\frac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x} =\frac{x^2}{1+x} $$
当 $x>0$ 时，$f'(x)>0$，所以 $f(x)$ 单调递增。
$$ f(0)=0 $$
所以当 $x>0$ 时：
$$ f(x)>f(0)=0 $$
即：
$$ \ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2} $$
例14
求
$$ f(x)=x^3-3x^2+1 $$
的凹凸区间和拐点。
解：
$$ f'(x)=3x^2-6x $$
$$ f''(x)=6x-6=6(x-1) $$
令 $f''(x)=0$：
$$ x=1 $$
当 $x<1$ 时，$f''(x)<0$，凸函数；
当 $x>1$ 时，$f''(x)>0$，凹函数。
所以拐点为：
$$ (1,f(1))=(1,-1) $$
例15
求
$$ f(x)=xe^{-x} $$
的凹凸区间和拐点。
解：
$$ f'(x)=e^{-x}-xe^{-x}=e^{-x}(1-x) $$
$$ f''(x)=-e^{-x}(1-x)-e^{-x} =e^{-x}(x-2) $$
令 $f''(x)=0$：
$$ x=2 $$
当 $x<2$ 时，$f''(x)<0$，凸函数；
当 $x>2$ 时，$f''(x)>0$，凹函数。
拐点为：
$$ (2,2e^{-2}) $$
例16
求
$$ f(x)=\frac{x^2+1}{x-1} $$
的渐近线。
解：
垂直渐近线：
$$ \lim_{x\to1}\frac{x^2+1}{x-1}=\infty $$
所以 $x=1$ 为垂直渐近线。
斜渐近线：
$$ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x} =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1}{x(x-1)} =1 $$
$$ b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-x] =\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^2+1}{x-1}-x\right) $$
$$ =\lim_{x\to\infty}\frac{x^2+1-x^2+x}{x-1} =\lim_{x\to\infty}\frac{x+1}{x-1}=1 $$
所以斜渐近线为：
$$ y=x+1 $$
例17
求
$$ f(x)=\frac{1}{x^2-1} $$
的渐近线。
解：
垂直渐近线：
$$ \lim_{x\to1}\frac{1}{x^2-1}=\infty $$
$$ \lim_{x\to-1}\frac{1}{x^2-1}=\infty $$
所以 $x=1$、$x=-1$ 为垂直渐近线。
水平渐近线：
$$ \lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^2-1}=0 $$
所以 $y=0$ 为水平渐近线。
例18
作
$$ f(x)=x^3-3x $$
的图像。
解：
| 区间 | $f'(x)$ | $f''(x)$ | 性质 |
|---|---|---|---|
| $(-\infty,-1)$ | $+$ | $-$ | 递增，凸 |
| $(-1,0)$ | $-$ | $-$ | 递减，凸 |
| $(0,1)$ | $-$ | $+$ | 递减，凹 |
| $(1,+\infty)$ | $+$ | $+$ | 递增，凹 |
错误。
$$ f(x)=x^3,\quad f'(0)=0 $$
但 $x=0$ 不是极值点。
正确：
$f'(x_0)=0$ 只是必要条件，还需判断 $f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧是否变号。
例如：
$$ f(x)=|x| $$
在 $x=0$ 处不可导，但 $x=0$ 是极小值点。
所以求极值时，除了驻点，还要考虑不可导点。
求闭区间 $[a,b]$ 上的最值时，必须比较：
错误。
$$ f(x)=x^4,\quad f''(0)=0 $$
但 $x=0$ 不是拐点。
正确：
还需判断 $f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧是否异号。
证明
$$ f(x)>g(x) $$
时，通常构造
$$ F(x)=f(x)-g(x) $$
然后证明 $F(x)>0$。
若
$$ f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)=0 $$
第二充分条件失效，需用第一充分条件或泰勒展开。
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
单调性判定：
$$ f'(x)>0 \Rightarrow f(x)\text{ 严格单调递增} $$
$$ f'(x)<0 \Rightarrow f(x)\text{ 严格单调递减} $$
极值必要条件：
$$ x_0\text{ 为极值点，}f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 可导} \Rightarrow f'(x_0)=0 $$
极值第一充分条件：
$$ f'(x)\text{ 在 }x_0\text{ 两侧变号} \Rightarrow x_0\text{ 为极值点} $$
极值第二充分条件：
$$ f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)<0 \Rightarrow f(x_0)\text{ 为极大值} $$
$$ f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)>0 \Rightarrow f(x_0)\text{ 为极小值} $$
最值求法：
$$ M=\max{f(a),f(b),f(x_1),f(x_2),\cdots} $$
$$ m=\min{f(a),f(b),f(x_1),f(x_2),\cdots} $$
凹凸性判定：
$$ f''(x)>0 \Rightarrow \text{凹函数} $$
$$ f''(x)<0 \Rightarrow \text{凸函数} $$
拐点判定：
$$ f''(x_0)=0\text{ 或不存在，且 }f''(x)\text{ 在 }x_0\text{ 两侧异号} \Rightarrow x_0\text{ 为拐点} $$
渐近线：
水平渐近线：
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A \Rightarrow y=A $$
垂直渐近线：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty \Rightarrow x=x_0 $$
斜渐近线：
$$ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax] \Rightarrow y=ax+b $$
常用不等式：
$$ e^x\ge1+x $$
$$ \ln(1+x)\le x,\quad x>-1 $$
$$ \ln(1+x)>x-\frac{x^2}{2},\quad x>0 $$
口诀：
求导定单调，驻点找极值；
闭区间最值，端点不能忘；
二阶导定凹凸，异号为拐点；
证明不等式，构造函数用单调。
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