适用：数一、数二、数三通用
地位：多元微分学的核心，直接支撑多元复合求导、隐函数求导、极值最值
核心任务：理解偏导数定义，掌握全微分定义与判定，理清可微、偏导存在、连续的关系
对 $x$ 的偏导数：
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若极限
$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} $$
存在，则称该极限为 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处对 $x$ 的偏导数，记作
$$ f_x(x_0,y_0),\quad \frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{(x_0,y_0)},\quad z_x\big|_{(x_0,y_0)} $$
即：
$$ f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} $$
对 $y$ 的偏导数：
$$ f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} $$
等价形式：
$$ f_x(x_0,y_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x,y_0)-f(x_0,y_0)}{x-x_0} $$
$$ f_y(x_0,y_0)=\lim_{y\to y_0}\frac{f(x_0,y)-f(x_0,y_0)}{y-y_0} $$
若 $f(x,y)$ 在区域 $D$ 内每一点都有对 $x$ 的偏导数，则得到偏导函数：
$$ f_x(x,y)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x,y)-f(x,y)}{\Delta x} $$
同理：
$$ f_y(x,y)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\Delta y} $$
记号：
$$ f_x,\quad f_y,\quad \frac{\partial z}{\partial x},\quad \frac{\partial z}{\partial y},\quad z_x,\quad z_y $$
注意：
求 $f_x$ 时，把 $y$ 看作常数；
求 $f_y$ 时，把 $x$ 看作常数。
二阶偏导数：
$$ f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $$
$$ f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $$
$$ f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} $$
$$ f_{yx}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} $$
混合偏导数相等定理：
若 $f_{xy}(x,y)$ 和 $f_{yx}(x,y)$ 在区域 $D$ 内连续，则
$$ f_{xy}(x,y)=f_{yx}(x,y) $$
即：
$$ \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} $$
注意：
混合偏导数相等需要连续条件，不连续时可能不相等。
设函数 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有定义。若存在与 $\Delta x$、$\Delta y$ 无关的常数 $A$、$B$，使得
$$ \Delta z=f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0) =A\Delta x+B\Delta y+o(\rho) $$
其中
$$ \rho=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
则称 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，$A\Delta x+B\Delta y$ 称为 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处的全微分，记作
$$ dz=A\Delta x+B\Delta y $$
重要结论：
若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则
$$ A=f_x(x_0,y_0),\quad B=f_y(x_0,y_0) $$
所以：
$$ dz=f_x(x_0,y_0)\Delta x+f_y(x_0,y_0)\Delta y $$
通常记 $\Delta x=dx$，$\Delta y=dy$，则：
$$ dz=f_x(x,y)dx+f_y(x,y)dy $$
若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微，则：
（1）偏导数存在：
$$ f_x(x_0,y_0),\quad f_y(x_0,y_0) $$
都存在。
（2）连续：
$$ f(x,y)\text{ 在 }(x_0,y_0)\text{ 处连续} $$
即：
$$ \text{可微} \Rightarrow \text{偏导存在} $$
$$ \text{可微} \Rightarrow \text{连续} $$
若 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内偏导数 $f_x$、$f_y$ 都存在，且 $f_x$、$f_y$ 在 $(x_0,y_0)$ 处连续，则 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可微。
即：
$$ \text{偏导连续} \Rightarrow \text{可微} $$
$$ \text{偏导连续} \Rightarrow \text{可微} \Rightarrow \text{偏导存在} $$
$$ \text{可微} \Rightarrow \text{连续} $$
关系图：
$$ \text{偏导连续} \Rightarrow \text{可微} \Rightarrow \begin{cases} \text{偏导存在}\ \text{连续} \end{cases} $$
注意：
判断 $f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处是否可微：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-f_x(x_0,y_0)\Delta x-f_y(x_0,y_0)\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处的切平面方程为：
$$ z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) $$
法向量：
$$ \vec{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1) $$
法线方程：
$$ \frac{x-x_0}{f_x(x_0,y_0)} =\frac{y-y_0}{f_y(x_0,y_0)} =\frac{z-z_0}{-1} $$
设 $z=f(u,v)$ 可微，$u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 可微，则
$$ dz=f_u du+f_v dv $$
无论 $u$、$v$ 是自变量还是中间变量，全微分形式相同。
例1
设
$$ z=x^2y+xy^2 $$
求 $z_x$、$z_y$。
解：
求 $z_x$ 时，把 $y$ 看作常数：
$$ z_x=2xy+y^2 $$
求 $z_y$ 时，把 $x$ 看作常数：
$$ z_y=x^2+2xy $$
例2
设
$$ z=e^{xy} $$
求 $z_x$、$z_y$。
解：
$$ z_x=e^{xy}\cdot y=ye^{xy} $$
$$ z_y=e^{xy}\cdot x=xe^{xy} $$
例3
设
$$ z=\ln(x^2+y^2) $$
求 $z_x$、$z_y$。
解：
$$ z_x=\frac{2x}{x^2+y^2} $$
$$ z_y=\frac{2y}{x^2+y^2} $$
例4
设
$$ z=\arctan\frac yx $$
求 $z_x$、$z_y$。
解：
$$ z_x=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) =\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) =-\frac{y}{x^2+y^2} $$
$$ z_y=\frac{1}{1+\left(\frac yx\right)^2}\cdot\frac1x =\frac{x^2}{x^2+y^2}\cdot\frac1x =\frac{x}{x^2+y^2} $$
例5
设
$$ z=x^3y^2 $$
求 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$、$z_{yx}$。
解：
$$ z_x=3x^2y^2 $$
$$ z_y=2x^3y $$
$$ z_{xx}=6xy^2 $$
$$ z_{yy}=2x^3 $$
$$ z_{xy}=6x^2y $$
$$ z_{yx}=6x^2y $$
所以：
$$ z_{xy}=z_{yx} $$
例6
设
$$ z=e^{x}\sin y $$
求 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$。
解：
$$ z_x=e^x\sin y $$
$$ z_y=e^x\cos y $$
$$ z_{xx}=e^x\sin y $$
$$ z_{yy}=-e^x\sin y $$
$$ z_{xy}=e^x\cos y $$
例7
设
$$ z=x\ln(xy) $$
求 $z_{xy}$。
解：
$$ z_x=\ln(xy)+x\cdot\frac{1}{xy}\cdot y =\ln(xy)+1 $$
$$ z_{xy}=\frac{1}{xy}\cdot x=\frac1y $$
例8
设
$$ z=x^2+y^2 $$
求 $dz$。
解：
$$ z_x=2x,\quad z_y=2y $$
所以：
$$ dz=2xdx+2ydy $$
例9
设
$$ z=e^{xy} $$
求 $dz$。
解：
$$ z_x=ye^{xy},\quad z_y=xe^{xy} $$
所以：
$$ dz=ye^{xy}dx+xe^{xy}dy $$
例10
设
$$ z=\ln(x^2+y^2) $$
求 $dz$。
解：
$$ z_x=\frac{2x}{x^2+y^2},\quad z_y=\frac{2y}{x^2+y^2} $$
所以：
$$ dz=\frac{2x}{x^2+y^2}dx+\frac{2y}{x^2+y^2}dy $$
例11
设
$$ z=\arctan\frac yx $$
求 $dz$。
解：
$$ z_x=-\frac{y}{x^2+y^2},\quad z_y=\frac{x}{x^2+y^2} $$
所以：
$$ dz=-\frac{y}{x^2+y^2}dx+\frac{x}{x^2+y^2}dy $$
例12
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}, & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微。
解：
第一步：求偏导数。
$$ f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0 $$
$$ f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y} =\lim_{y\to0}\frac{0-0}{y}=0 $$
第二步：判断可微。
$$ \Delta z=f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0) =\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
$$ \Delta z-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y =\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
计算极限：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\frac{\Delta x\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
$$ =\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta x\Delta y}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
沿路径 $\Delta y=\Delta x$：
$$ \frac{\Delta x\Delta x}{(\Delta x)^2+(\Delta x)^2} =\frac{(\Delta x)^2}{2(\Delta x)^2}=\frac12 $$
极限不为 $0$，所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微。
例13
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{x^2y^2}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微。
解：
第一步：求偏导数。
$$ f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0 $$
$$ f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y} =\lim_{y\to0}\frac{0-0}{y}=0 $$
第二步：判断可微。
$$ \Delta z=\frac{(\Delta x)^2(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
$$ \Delta z-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y =\frac{(\Delta x)^2(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
计算极限：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\frac{(\Delta x)^2(\Delta y)^2}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
$$ =\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{(\Delta x)^2(\Delta y)^2}{[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]^{\frac32}} $$
用极坐标：
$$ \Delta x=r\cos\theta,\quad \Delta y=r\sin\theta $$
$$ \frac{r^4\cos^2\theta\sin^2\theta}{r^3} =r\cos^2\theta\sin^2\theta\to0 $$
所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处可微。
例14
设
$$ z=x^y $$
求 $z_x$、$z_y$。
解：
$$ z_x=yx^{y-1} $$
$$ z_y=x^y\ln x $$
例15
设
$$ z=\frac{x}{x^2+y^2} $$
求 $z_x$、$z_y$。
解：
$$ z_x=\frac{(x^2+y^2)-x\cdot2x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $$
$$ z_y=\frac{-x\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{-2xy}{(x^2+y^2)^2} $$
例16
求曲面
$$ z=x^2+y^2 $$
在点 $(1,1,2)$ 处的切平面方程。
解：
$$ z_x=2x,\quad z_y=2y $$
在 $(1,1)$ 处：
$$ z_x(1,1)=2,\quad z_y(1,1)=2 $$
切平面方程：
$$ z-2=2(x-1)+2(y-1) $$
即：
$$ z=2x+2y-2 $$
例17
求曲面
$$ z=e^{xy} $$
在点 $(0,0,1)$ 处的切平面方程和法线方程。
解：
$$ z_x=ye^{xy},\quad z_y=xe^{xy} $$
在 $(0,0)$ 处：
$$ z_x(0,0)=0,\quad z_y(0,0)=0 $$
切平面方程：
$$ z-1=0\cdot(x-0)+0\cdot(y-0) $$
即：
$$ z=1 $$
法线方程：
$$ \frac{x-0}{0}=\frac{y-0}{0}=\frac{z-1}{-1} $$
即：
$$ x=0,\quad y=0 $$
例18
用全微分近似计算
$$ (1.02)^{2.01} $$
解：
设
$$ f(x,y)=x^y $$
取
$$ x_0=1,\quad y_0=2,\quad \Delta x=0.02,\quad \Delta y=0.01 $$
$$ f(1,2)=1 $$
$$ f_x=yx^{y-1},\quad f_x(1,2)=2 $$
$$ f_y=x^y\ln x,\quad f_y(1,2)=0 $$
所以：
$$ f(1.02,2.01)\approx f(1,2)+f_x(1,2)\Delta x+f_y(1,2)\Delta y $$
$$ =1+2\times0.02+0\times0.01=1.04 $$
因此：
$$ (1.02)^{2.01}\approx1.04 $$
例19
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续、偏导数是否存在、是否可微。
解：
连续性：
由考点18例3，重极限不存在，所以 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处不连续。
偏导数：
$$ f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0 $$
$$ f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y} =\lim_{y\to0}\frac{0-0}{y}=0 $$
偏导数存在。
可微性：
因为不连续，所以不可微。
结论：
偏导数存在，但不连续，也不可微。
例20
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} (x^2+y^2)\sin\frac{1}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否连续、偏导数是否存在、是否可微。
解：
连续性：
$$ |f(x,y)|\le x^2+y^2\to0 $$
所以：
$$ \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0) $$
连续。
偏导数：
$$ f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-f(0,0)}{x} =\lim_{x\to0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x^2}}{x} =\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x^2}=0 $$
同理：
$$ f_y(0,0)=0 $$
可微性：
$$ \Delta z=f(\Delta x,\Delta y)-f(0,0) =[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]\sin\frac{1}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
$$ \Delta z-f_x(0,0)\Delta x-f_y(0,0)\Delta y =[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]\sin\frac{1}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
计算极限：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{[(\Delta x)^2+(\Delta y)^2]\sin\frac{1}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
$$ =\lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\sin\frac{1}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2} $$
因为
$$ \left|\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\sin\frac{1}{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right| \le\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\to0 $$
所以极限为 $0$，可微。
结论：
连续、偏导数存在、可微。
错误。
$$ f(x,y)= \begin{cases} \frac{xy}{x^2+y^2}, & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
在 $(0,0)$ 处偏导数存在，但不连续。
错误。
偏导数存在不一定可微。
错误。
连续不一定偏导数存在。
$$ f_{xy}=f_{yx} $$
需要 $f_{xy}$、$f_{yx}$ 连续。
可微判定：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0 $$
不要漏掉分母。
求 $f_x$ 时，$y$ 是常数；
求 $f_y$ 时，$x$ 是常数。
$$ z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) $$
$$ \vec{n}=(f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1) $$
全微分形式不变性要求 $f$ 可微，$u$、$v$ 可微。
$$ f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) $$
先对 $x$ 求导，再对 $y$ 求导。
若偏导数不存在，则不可微，不需要再算极限。
常见形式：
$$ z=f(x,y) $$
求 $z_x$、$z_y$。
处理方法：
常见形式：
$$ z=f(x,y) $$
求 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$。
处理方法：
常见形式：
$$ f(x,y)= \begin{cases} g(x,y), & (x,y)\neq(0,0)\ 0, & (x,y)=(0,0) \end{cases} $$
判断 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处是否可微。
处理方法：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}} $$
常见形式：
$$ z=f(x,y) $$
求 $dz$。
处理方法：
$$ dz=z_xdx+z_ydy $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ f(x_0+\Delta x,y_0+\Delta y)\approx f(x_0,y_0)+f_x\Delta x+f_y\Delta y $$
处理方法：
偏导数定义：
$$ f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} $$
$$ f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} $$
高阶偏导数：
$$ f_{xx}=\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} $$
$$ f_{yy}=\frac{\partial^2 z}{\partial y^2} $$
$$ f_{xy}=\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y} $$
$$ f_{yx}=\frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x} $$
混合偏导数相等：
$$ f_{xy}=f_{yx}\quad\text{（当连续时）} $$
全微分定义：
$$ dz=f_xdx+f_ydy $$
可微判定：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0 $$
可微、偏导存在、连续关系：
$$ \text{偏导连续} \Rightarrow \text{可微} \Rightarrow \text{偏导存在} $$
$$ \text{可微} \Rightarrow \text{连续} $$
切平面方程：
$$ z-z_0=f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0) $$
法向量：
$$ \vec{n}=(f_x,f_y,-1) $$
法线方程：
$$ \frac{x-x_0}{f_x}=\frac{y-y_0}{f_y}=\frac{z-z_0}{-1} $$
全微分形式不变性：
$$ dz=f_udu+f_vdv $$
常用偏导数：
$$ \frac{\partial}{\partial x}(x^y)=yx^{y-1} $$
$$ \frac{\partial}{\partial y}(x^y)=x^y\ln x $$
$$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\arctan\frac yx\right)=-\frac{y}{x^2+y^2} $$
$$ \frac{\partial}{\partial y}\left(\arctan\frac yx\right)=\frac{x}{x^2+y^2} $$
口诀：
偏导求时看一个，另一变量当常数；
混合偏导连续时，$f_{xy}=f_{yx}$；
可微必连续，偏导存在未必微；
全微分等于偏导乘微分，切平面法向量带负一。
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