$$ E(i,j)= \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 0 & \cdots & 1 & \\ & & \vdots & \ddots & \vdots & \\ & & 1 & \cdots & 0 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} $$

（2）倍乘矩阵：

用 $k$ 乘 $E$ 的第 $i$ 行：

$$ E(i(k))= \begin{pmatrix} 1 & & & & \\ & \ddots & & & \\ & & k & & \\ & & & \ddots & \\ & & & & 1 \end{pmatrix} $$

其中 $k\neq0$。

（3）倍加矩阵：

将 $E$ 的第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行：

$$ E(i,j(k))= \begin{pmatrix} 1 & & & & & \\ & \ddots & & & & \\ & & 1 & \cdots & k & \\ & & & \ddots & \vdots & \\ & & & & 1 & \\ & & & & & \ddots & \\ & & & & & & 1 \end{pmatrix} $$

3. 初等矩阵与初等变换的关系

左乘初等矩阵：

对矩阵 $A$ 施行一次初等行变换，相当于在 $A$ 的左边乘以相应的初等矩阵。

$$ A\xrightarrow{r_i\leftrightarrow r_j}E(i,j)A $$

$$ A\xrightarrow{kr_i}E(i(k))A $$

$$ A\xrightarrow{r_i+kr_j}E(i,j(k))A $$

右乘初等矩阵：

对矩阵 $A$ 施行一次初等列变换，相当于在 $A$ 的右边乘以相应的初等矩阵。

$$ A\xrightarrow{c_i\leftrightarrow c_j}AE(i,j) $$

$$ A\xrightarrow{kc_i}AE(i(k)) $$

$$ A\xrightarrow{c_i+kc_j}AE(i,j(k)) $$

重要结论：

左乘初等矩阵 = 初等行变换；
右乘初等矩阵 = 初等列变换。

4. 初等矩阵的性质

性质1：初等矩阵都可逆

$$ E(i,j)^{-1}=E(i,j) $$

$$ E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(\frac1k\right)\right) $$

$$ E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k)) $$

性质2：初等矩阵的转置

$$ E(i,j)^T=E(i,j) $$

$$ E(i(k))^T=E(i(k)) $$

$$ E(i,j(k))^T=E(j,i(k)) $$

性质3：初等矩阵的行列式

$$ |E(i,j)|=-1 $$

$$ |E(i(k))|=k $$

$$ |E(i,j(k))|=1 $$

性质4：

初等矩阵的逆矩阵仍是同类型的初等矩阵。

5. 初等变换的应用

（1）求逆矩阵：

$$ (A|E)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(E|A^{-1}) $$

步骤：

构造增广矩阵 $(A|E)$；
对 $(A|E)$ 施行初等行变换；
当左半部分化为 $E$ 时，右半部分即为 $A^{-1}$。

（2）求矩阵的秩：

用初等行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的行数即为矩阵的秩。

（3）解线性方程组：

对增广矩阵施行初等行变换，化为行最简形，然后求解。

（4）求等价标准形：

$$ A\sim \begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix} $$

其中 $r=r(A)$。

（5）求矩阵方程：

$$ AX=B\Rightarrow X=A^{-1}B $$

用 $(A|B)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(E|A^{-1}B)$。

6. 矩阵等价

定义：

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作

$$ A\sim B $$

等价标准形：

$$ A\sim \begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix} $$

其中 $r=r(A)$。

等价条件：

$$ A\sim B\iff r(A)=r(B) $$

注意：

等价关系具有自反性、对称性、传递性；
同型矩阵等价的充要条件是秩相等。

7. 初等变换与行列式

（1）互换两行：

$$ |E(i,j)A|=-|A| $$

（2）某行乘 $k$：

$$ |E(i(k))A|=k|A| $$

（3）某行加另一行 $k$ 倍：

$$ |E(i,j(k))A|=|A| $$

总结：

互换两行，行列式变号；
某行乘 $k$，行列式乘 $k$；
某行加另一行 $k$ 倍，行列式不变。

8. 初等变换与矩阵的秩

重要结论：

初等变换不改变矩阵的秩。

即：

$$ A\sim B\Rightarrow r(A)=r(B) $$

求秩步骤：

用初等行变换将矩阵化为行阶梯形；
数非零行的行数。

行阶梯形：

每个非零行的第一个非零元素（主元）所在列，在上一行主元的右侧；
全零行在矩阵底部。

行最简形：

在行阶梯形基础上，主元为 $1$，且主元所在列其他元素为 $0$。

9. 初等变换与线性方程组

（1）齐次方程组 $Ax=0$：

对 $A$ 施行初等行变换化为行最简形，求解。

（2）非齐次方程组 $Ax=b$：

对增广矩阵 $\bar{A}=(A|b)$ 施行初等行变换，化为行最简形，然后求解。

注意：

初等行变换不改变方程组的解。

10. 常用初等变换技巧

（1）化行阶梯形：

从上到下，逐列消元。

（2）化行最简形：

在行阶梯形基础上，从下到上，将主元化为 $1$，并消去主元所在列的其他元素。

（3）求逆矩阵：

$(A|E)\to(E|A^{-1})$。

（4）解矩阵方程：

$(A|B)\to(E|A^{-1}B)$。

二、使用条件

1. 初等变换的使用条件

初等变换不改变矩阵的秩；
初等行变换不改变列向量组的线性关系；
初等列变换不改变行向量组的线性关系。

2. 初等矩阵的使用条件

初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到；
初等矩阵都可逆；
左乘对应行变换，右乘对应列变换。

3. 求逆矩阵的使用条件

$A$ 为方阵；
$|A|\neq0$；
用初等行变换，不能用列变换。

4. 求秩的使用条件

初等行变换或列变换均可；
化为行阶梯形后数非零行。

5. 解方程组的使用条件

只能用初等行变换；
不能用列变换。

6. 矩阵等价的使用条件

同型矩阵；
秩相等。

三、典型题型

题型1：初等变换化行阶梯形

例1

将矩阵

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} $$

化为行阶梯形。

解：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

这是行阶梯形。

例2

将矩阵

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 4 & 5 & 6\\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} $$

化为行阶梯形。

解：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1,\quad r_4-4r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & -2 & -4 & -6\\ 0 & -3 & -6 & -9 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2,\quad r_4-3r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

这是行阶梯形。

题型2：初等变换化行最简形

例3

将矩阵

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} $$

化为行最简形。

解：

由例1：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

从下到上消元：

$$ r_2-2r_3,\quad r_1-3r_3 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_1-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

这是行最简形。

例4

将矩阵

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} $$

化为行最简形。

解：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & -2 & -4 & -6 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

将第二行乘以 $-1$：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

消去第一行第二列：

$$ r_1-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

这是行最简形。

题型3：用初等变换求逆矩阵

例5

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

的逆矩阵。

解：

构造 $(A|E)$：

$$ (A|E)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 3 & 4 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-3r_1 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & -2 & -3 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ -\frac12r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 1 & \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} $$

$$ r_1-2r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 1 & \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} $$

例6

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

的逆矩阵。

解：

构造 $(A|E)$：

$$ (A|E)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-2r_3,\quad r_1-3r_3 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_1-2r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

例7

求

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

的逆矩阵。

解：

$$ (A|E)= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_1\leftrightarrow r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-2r_1 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & -1 & 1 & -2 \end{pmatrix} $$

$$ -r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ r_1-r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & -1\\ 0 & 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1 & 2 \end{pmatrix} $$

题型4：用初等变换求秩

例8

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$

的秩。

解：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=1 $$

例9

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

的秩。

解：

$$ r_2-4r_1,\quad r_3-7r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=2 $$

例10

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 4 & 5 & 6\\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} $$

的秩。

解：

由例2：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=2 $$

题型5：用初等变换解方程组

例11

解方程组

$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=1\\ 2x_1+5x_2+8x_3=2\\ 3x_1+8x_2+14x_3=3 \end{cases} $$

解：

增广矩阵：

$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 8 & 14 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

回代：

$$ x_3=0 $$

$$ x_2+2x_3=0\Rightarrow x_2=0 $$

$$ x_1+2x_2+3x_3=1\Rightarrow x_1=1 $$

所以：

$$ x_1=1,\quad x_2=0,\quad x_3=0 $$

例12

解方程组

$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+2x_2+3x_3=2\\ x_1+3x_2+5x_3=3 \end{cases} $$

解：

增广矩阵：

$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 3 & 5 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$

$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=r(\bar{A})=2<3 $$

方程组有无穷多解。

$$ x_2+2x_3=1\Rightarrow x_2=1-2x_3 $$

$$ x_1+x_2+x_3=1\Rightarrow x_1=1-x_2-x_3=x_3 $$

令 $x_3=t$：

$$ \begin{cases} x_1=t\\ x_2=1-2t\\ x_3=t \end{cases} $$

题型6：初等矩阵

例13

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $E(1,2)A$。

解：

$$ E(1,2)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ E(1,2)A= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 4\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

例14

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $E(1(2))A$。

解：

$$ E(1(2))= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ E(1(2))A= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

例15

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $E(2,1(2))A$。

解：

$$ E(2,1(2))= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ E(2,1(2))A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 2 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 5 & 8 \end{pmatrix} $$

题型7：初等矩阵的逆

例16

求 $E(1,2)^{-1}$。

解：

$$ E(1,2)^{-1}=E(1,2)= \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} $$

例17

求 $E(1(2))^{-1}$。

解：

$$ E(1(2))^{-1}=E\left(1\left(\frac12\right)\right)= \begin{pmatrix} \frac12 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

例18

求 $E(2,1(2))^{-1}$。

解：

$$ E(2,1(2))^{-1}=E(2,1(-2))= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ -2 & 1 \end{pmatrix} $$

题型8：矩阵等价

例19

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

是否等价。

解：

$$ r(A)=2,\quad r(B)=2 $$

所以：

$$ A\sim B $$

例20

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$

是否等价。

解：

$$ r(A)=1,\quad r(B)=2 $$

所以：

$$ A\nsim B $$

题型9：初等变换与行列式

例21

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $|E(1,2)A|$。

解：

$$ |E(1,2)A|=-|A|=-(4-6)=2 $$

例22

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $|E(1(2))A|$。

解：

$$ |E(1(2))A|=2|A|=2\times(-2)=-4 $$

例23

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $|E(2,1(2))A|$。

解：

$$ |E(2,1(2))A|=|A|=-2 $$

题型10：综合应用

例24

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} $$

求 $A^{-1}$。

解：

由例3，$A$ 可化为 $E$，所以 $A$ 可逆。

构造 $(A|E)$：

$$ (A|E)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 2 & 5 & 8 & 0 & 1 & 0\\ 3 & 8 & 14 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 5 & -3 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & -2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-2r_3,\quad r_1-3r_3 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 & 6 & -3\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 5 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_1-2r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & -4 & 1\\ 0 & 1 & 0 & -4 & 5 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} 6 & -4 & 1\\ -4 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$

例25

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$

解矩阵方程

$$ AX=B $$

解：

$$ X=A^{-1}B $$

由例5：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} $$

$$ X= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4\\ 4 & 5 \end{pmatrix} $$

四、易错提醒

易错1：左乘与右乘混淆

左乘初等矩阵 = 初等行变换；
右乘初等矩阵 = 初等列变换。

易错2：求逆矩阵时用列变换

求逆矩阵只能用初等行变换：

$$ (A|E)\to(E|A^{-1}) $$

不能用列变换。

易错3：解方程组时用列变换

解线性方程组只能用初等行变换。

易错4：初等变换改变矩阵的秩

错误。

初等变换不改变矩阵的秩。

易错5：初等矩阵的逆写错

$$ E(i,j)^{-1}=E(i,j) $$

$$ E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(\frac1k\right)\right) $$

$$ E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k)) $$

易错6：初等矩阵的行列式写错

$$ |E(i,j)|=-1 $$

$$ |E(i(k))|=k $$

$$ |E(i,j(k))|=1 $$

易错7：$E(i,j(k))$ 与 $E(j,i(k))$ 混淆

$E(i,j(k))$ 表示将第 $j$ 行的 $k$ 倍加到第 $i$ 行。

易错8：矩阵等价与相似、合同混淆

等价：秩相等；
相似：存在可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=B$；
合同：存在可逆矩阵 $C$，使 $C^TAC=B$。

易错9：行阶梯形与行最简形混淆

行阶梯形：主元在上一行主元右侧；
行最简形：主元为 $1$，且主元所在列其他元素为 $0$。

易错10：化行最简形时方向搞错

化行最简形时，先从下到上，再从上到下。

易错11：初等变换不改变列向量组的线性关系

初等行变换不改变列向量组的线性关系。

易错12：矩阵等价的充要条件记错

求 $E(i,j)A$、$E(i(k))A$、$E(i,j(k))A$；
求初等矩阵的逆。

处理方法：

明确初等矩阵类型；
左乘对应行变换；
右乘对应列变换。

真题方向7：矩阵等价

常见形式：

$$ A\sim B? $$

处理方法：

求 $r(A)$、$r(B)$；
比较秩；
判断是否等价。

真题方向8：矩阵方程

常见形式：

$$ AX=B $$

处理方法：

若 $A$ 可逆，$X=A^{-1}B$；
用 $(A|B)\to(E|A^{-1}B)$。

六、记忆清单

三种初等变换：

互换两行：$r_i\leftrightarrow r_j$；
某行乘 $k$：$kr_i$；
某行加另一行 $k$ 倍：$r_i+kr_j$。

三种初等矩阵：

$$ E(i,j),\quad E(i(k)),\quad E(i,j(k)) $$

初等矩阵与初等变换关系：

左乘 = 行变换；

右乘 = 列变换。

初等矩阵的逆：

$$ E(i,j)^{-1}=E(i,j) $$

$$ E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(\frac1k\right)\right) $$

$$ E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k)) $$

初等矩阵的行列式：

$$ |E(i,j)|=-1 $$

$$ |E(i(k))|=k $$

$$ |E(i,j(k))|=1 $$

求逆矩阵：

$$ (A|E)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(E|A^{-1}) $$

求秩：

初等行变换化为行阶梯形，非零行数即为秩。

解方程组：

对增广矩阵施行初等行变换，化为行最简形。

矩阵等价：

$$ A\sim B\iff r(A)=r(B) $$

等价标准形：

$$ A\sim \begin{pmatrix} E_r & O\ O & O \end{pmatrix} $$

口诀：

左乘初等矩阵行变换，右乘初等矩阵列变换；
求逆只能用行变换，$(A|E)$ 化 $(E|A^{-1})$；
求秩化行阶梯形，非零行数就是秩；
解方程组行变换，增广矩阵化最简；
初等变换秩不变，等价充要秩相等。

_{本教程共58节，当前为第39节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点36 初等变换与初等矩阵

一、核心公式与定义

1. 初等变换

2. 初等矩阵

3. 初等矩阵与初等变换的关系

4. 初等矩阵的性质

5. 初等变换的应用

6. 矩阵等价

7. 初等变换与行列式

8. 初等变换与矩阵的秩

9. 初等变换与线性方程组

10. 常用初等变换技巧

二、使用条件

1. 初等变换的使用条件

2. 初等矩阵的使用条件

3. 求逆矩阵的使用条件

4. 求秩的使用条件

5. 解方程组的使用条件

6. 矩阵等价的使用条件

三、典型题型

题型1：初等变换化行阶梯形

题型2：初等变换化行最简形

题型3：用初等变换求逆矩阵

题型4：用初等变换求秩

题型5：用初等变换解方程组

题型6：初等矩阵

题型7：初等矩阵的逆

题型8：矩阵等价

题型9：初等变换与行列式

题型10：综合应用

四、易错提醒

易错1：左乘与右乘混淆

易错2：求逆矩阵时用列变换

易错3：解方程组时用列变换

易错4：初等变换改变矩阵的秩

易错5：初等矩阵的逆写错

易错6：初等矩阵的行列式写错

易错7：$E(i,j(k))$ 与 $E(j,i(k))$ 混淆

易错8：矩阵等价与相似、合同混淆

易错9：行阶梯形与行最简形混淆

易错10：化行最简形时方向搞错

易错11：初等变换不改变列向量组的线性关系

易错12：矩阵等价的充要条件记错

五、真题链接思路

真题方向1：初等变换化行阶梯形

真题方向2：初等变换化行最简形

真题方向3：用初等变换求逆矩阵

真题方向4：用初等变换求秩

真题方向5：用初等变换解方程组

真题方向6：初等矩阵

真题方向7：矩阵等价

真题方向8：矩阵方程

六、记忆清单

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