适用：数一、数二、数三通用
地位：定积分计算的核心技巧，直接支撑定积分应用、反常积分、多元积分
核心任务：掌握定积分计算的基本方法，熟练运用对称性、周期性、换元法简化计算
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数，则
$$ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) $$
记作：
$$ \int_a^b f(x)dx=F(x)\Big|_a^b $$
注意：
设 $x=\varphi(t)$ 单调可导，$\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$，则
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$
注意：
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
即：
$$ \int_a^b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)\Big|_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx $$
注意：
设 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续。
偶函数：
若 $f(-x)=f(x)$，则
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx $$
奇函数：
若 $f(-x)=-f(x)$，则
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=0 $$
常见奇函数：
$$ x,\quad x^3,\quad \sin x,\quad \tan x,\quad \arcsin x,\quad \arctan x $$
常见偶函数：
$$ x^2,\quad |x|,\quad \cos x,\quad \ln(1+x^2) $$
重要结论：
若 $f(x)$ 为奇函数，则
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=0 $$
若 $f(x)$ 为偶函数，则
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx $$
设 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则
$$ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx $$
即周期函数在任意一个周期长度上的积分相等。
推广：
$$ \int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx $$
重要结论：
$$ \int_0^{n\pi}|\sin x|dx=2n $$
$$ \int_0^{n\pi}|\cos x|dx=2n $$
（1）区间反转：
$$ \int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx $$
（2）正弦余弦互换：
$$ \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)dx $$
（3）$x$ 与 $\pi-x$：
$$ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx $$
（4）$x$ 与 $\frac\pi2-x$：
$$ \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x,\cos x)dx =\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x,\sin x)dx $$
（5）华里士公式（点火公式）：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,dx =\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,dx $$
当 $n$ 为偶数时：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,dx =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2 $$
当 $n$ 为奇数时：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,dx =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23\cdot1 $$
常用结果：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=1 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx=\frac23 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^4x\,dx=\frac{3\pi}{16} $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^5x\,dx=\frac{8}{15} $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^6x\,dx=\frac{5\pi}{32} $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=1 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx=1 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos^2x\,dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=2 $$
$$ \int_0^{2\pi}\sin x\,dx=0 $$
$$ \int_0^{2\pi}\cos x\,dx=0 $$
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\pi $$
$$ \int_0^{2\pi}\cos^2x\,dx=\pi $$
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac\pi2 $$
$$ \int_0^1\ln x\,dx=-1 $$
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1 $$
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\frac\pi2 $$
$$ f(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}+\frac{f(x)-f(-x)}{2} $$
$$ \int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx $$
例1
$$ \int_0^1 x^3dx $$
解：
$$ \int_0^1 x^3dx=\frac{x^4}{4}\Big|_0^1=\frac14 $$
例2
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx $$
解：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx=\sin x\Big|_0^{\frac\pi2}=1 $$
例3
$$ \int_1^2\frac1xdx $$
解：
$$ \int_1^2\frac1xdx=\ln x\Big|_1^2=\ln2 $$
例4
$$ \int_0^1 e^{2x}dx $$
解：
$$ \int_0^1 e^{2x}dx=\frac12e^{2x}\Big|_0^1=\frac12(e^2-1) $$
例5
$$ \int_{-1}^1 x^5dx $$
解：
$x^5$ 为奇函数，积分区间对称，所以
$$ \int_{-1}^1 x^5dx=0 $$
例6
$$ \int_{-2}^2(x^2+1)dx $$
解：
$x^2+1$ 为偶函数，所以
$$ \int_{-2}^2(x^2+1)dx =2\int_0^2(x^2+1)dx $$
$$ =2\left(\frac{x^3}{3}+x\right)\Big|_0^2 =2\left(\frac83+2\right) =\frac{28}{3} $$
例7
$$ \int_{-\pi}^{\pi}(x^3+\sin x)dx $$
解：
$x^3$ 和 $\sin x$ 都是奇函数，所以
$$ \int_{-\pi}^{\pi}(x^3+\sin x)dx=0 $$
例8
$$ \int_{-1}^1\frac{x^2\sin x}{1+x^4}dx $$
解：
被积函数为奇函数，积分区间对称，所以
$$ \int_{-1}^1\frac{x^2\sin x}{1+x^4}dx=0 $$
例9
$$ \int_{-1}^1(x+\sqrt{1-x^2})^2dx $$
解：
展开：
$$ (x+\sqrt{1-x^2})^2 =x^2+2x\sqrt{1-x^2}+(1-x^2) =1+2x\sqrt{1-x^2} $$
所以：
$$ \int_{-1}^1(x+\sqrt{1-x^2})^2dx =\int_{-1}^1 1dx+2\int_{-1}^1 x\sqrt{1-x^2}dx $$
第一项：
$$ \int_{-1}^1 1dx=2 $$
第二项：$x\sqrt{1-x^2}$ 为奇函数，所以
$$ \int_{-1}^1 x\sqrt{1-x^2}dx=0 $$
因此：
$$ \int_{-1}^1(x+\sqrt{1-x^2})^2dx=2 $$
例10
$$ \int_0^{4\pi}|\sin x|dx $$
解：
$|\sin x|$ 以 $\pi$ 为周期，所以
$$ \int_0^{4\pi}|\sin x|dx =4\int_0^\pi\sin x\,dx =4\cdot2=8 $$
例11
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx $$
解：
$\sin^2x$ 以 $\pi$ 为周期，所以
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx =2\int_0^\pi\sin^2x\,dx $$
而：
$$ \int_0^\pi\sin^2x\,dx =\int_0^\pi\frac{1-\cos2x}{2}dx =\frac\pi2 $$
所以：
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=2\cdot\frac\pi2=\pi $$
例12
$$ \int_0^{n\pi}|\cos x|dx $$
解：
$|\cos x|$ 以 $\pi$ 为周期，所以
$$ \int_0^{n\pi}|\cos x|dx =n\int_0^\pi|\cos x|dx $$
而：
$$ \int_0^\pi|\cos x|dx =\int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx+\int_{\frac\pi2}^\pi(-\cos x)dx =1+1=2 $$
所以：
$$ \int_0^{n\pi}|\cos x|dx=2n $$
例13
$$ \int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx $$
解：
设
$$ I=\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx $$
作变换 $x\to\frac\pi2-x$：
$$ I=\int_0^{\frac\pi2}\frac{\cos x}{\cos x+\sin x}dx $$
两式相加：
$$ 2I=\int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin x+\cos x}{\sin x+\cos x}dx =\int_0^{\frac\pi2}1dx=\frac\pi2 $$
所以：
$$ I=\frac\pi4 $$
例14
$$ \int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx $$
解：
设
$$ I=\int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx $$
利用变换 $x\to\pi-x$：
$$ I=\int_0^\pi\frac{(\pi-x)\sin x}{1+\cos^2x}dx $$
两式相加：
$$ 2I=\pi\int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}dx $$
而：
$$ \int_0^\pi\frac{\sin x}{1+\cos^2x}dx $$
令 $u=\cos x$，$du=-\sin xdx$：
$$ =\int_{-1}^1\frac{1}{1+u^2}du =\arctan u\Big|_{-1}^1 =\frac\pi2 $$
所以：
$$ 2I=\pi\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}{2} $$
$$ I=\frac{\pi^2}{4} $$
例15
$$ \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx $$
解：
令
$$ x=\tan t,\quad t\in\left[0,\frac\pi4\right] $$
则
$$ dx=\sec^2tdt,\quad 1+x^2=\sec^2t $$
所以：
$$ \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx =\int_0^{\frac\pi4}\ln(1+\tan t)dt $$
而：
$$ 1+\tan t=\frac{\sin t+\cos t}{\cos t} =\frac{\sqrt2\sin\left(t+\frac\pi4\right)}{\cos t} $$
所以：
$$ \ln(1+\tan t) =\ln\sqrt2+\ln\sin\left(t+\frac\pi4\right)-\ln\cos t $$
积分：
$$ \int_0^{\frac\pi4}\ln\sqrt2\,dt =\frac\pi4\ln\sqrt2=\frac\pi8\ln2 $$
$$ \int_0^{\frac\pi4}\ln\sin\left(t+\frac\pi4\right)dt =\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\ln\sin u\,du $$
$$ \int_0^{\frac\pi4}\ln\cos t\,dt =\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi2}\ln\sin u\,du $$
后两项相消，所以：
$$ \int_0^1\frac{\ln(1+x)}{1+x^2}dx=\frac\pi8\ln2 $$
例16
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^4x\,dx $$
解：
$n=4$ 为偶数：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^4x\,dx =\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 =\frac{3\pi}{16} $$
例17
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^5x\,dx $$
解：
$n=5$ 为奇数：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^5x\,dx =\frac45\cdot\frac23\cdot1 =\frac{8}{15} $$
例18
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos^6x\,dx $$
解：
$n=6$ 为偶数：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos^6x\,dx =\frac56\cdot\frac34\cdot\frac12\cdot\frac\pi2 =\frac{5\pi}{32} $$
例19
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\cos^2x\,dx $$
解：
利用 $\cos^2x=1-\sin^2x$：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\cos^2x\,dx =\int_0^{\frac\pi2}\sin^3x(1-\sin^2x)dx $$
$$ =\int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx-\int_0^{\frac\pi2}\sin^5x\,dx $$
$$ =\frac23-\frac{8}{15} =\frac{10-8}{15} =\frac{2}{15} $$
例20
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx $$
解：
令
$$ x=\tan t,\quad t\in\left[0,\frac\pi4\right] $$
则
$$ dx=\sec^2tdt $$
所以：
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx =\int_0^{\frac\pi4}dt =\frac\pi4 $$
例21
$$ \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx $$
解：
令
$$ x=\sin t,\quad t\in\left[0,\frac\pi2\right] $$
则
$$ dx=\cos tdt,\quad \sqrt{1-x^2}=\cos t $$
所以：
$$ \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx =\int_0^{\frac\pi2}\cos^2tdt =\frac\pi4 $$
例22
$$ \int_0^{\ln2}\sqrt{e^x-1}dx $$
解：
令
$$ t=\sqrt{e^x-1} $$
则
$$ t^2=e^x-1,\quad e^x=t^2+1,\quad x=\ln(t^2+1) $$
$$ dx=\frac{2t}{t^2+1}dt $$
当 $x=0$ 时，$t=0$；当 $x=\ln2$ 时，$t=1$。
所以：
$$ \int_0^{\ln2}\sqrt{e^x-1}dx =\int_0^1 t\cdot\frac{2t}{t^2+1}dt =2\int_0^1\frac{t^2}{t^2+1}dt $$
$$ =2\int_0^1\left(1-\frac{1}{t^2+1}\right)dt =2\left[t-\arctan t\right]\Big|_0^1 =2\left(1-\frac\pi4\right) $$
例23
$$ \int_0^1 xe^{-x}dx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=e^{-x}dx $$
则
$$ du=dx,\quad v=-e^{-x} $$
$$ \int_0^1 xe^{-x}dx =-xe^{-x}\Big|_0^1+\int_0^1 e^{-x}dx $$
$$ =-e^{-1}+\left(-e^{-x}\right)\Big|_0^1 $$
$$ =-e^{-1}+(1-e^{-1}) =1-2e^{-1} $$
例24
$$ \int_1^e\ln x\,dx $$
解：
取
$$ u=\ln x,\quad dv=dx $$
则
$$ du=\frac1xdx,\quad v=x $$
$$ \int_1^e\ln x\,dx =x\ln x\Big|_1^e-\int_1^e 1dx =e-(e-1)=1 $$
例25
$$ \int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=\sin x\,dx $$
则
$$ du=dx,\quad v=-\cos x $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}x\sin x\,dx =-x\cos x\Big|_0^{\frac\pi2}+\int_0^{\frac\pi2}\cos x\,dx $$
$$ =0+\sin x\Big|_0^{\frac\pi2}=1 $$
例26
$$ \int_0^1 x\arctan x\,dx $$
解：
取
$$ u=\arctan x,\quad dv=xdx $$
则
$$ du=\frac{1}{1+x^2}dx,\quad v=\frac{x^2}{2} $$
$$ \int_0^1 x\arctan x\,dx =\frac{x^2}{2}\arctan x\Big|_0^1-\frac12\int_0^1\frac{x^2}{1+x^2}dx $$
$$ =\frac12\cdot\frac\pi4-\frac12\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx $$
$$ =\frac\pi8-\frac12\left[x-\arctan x\right]\Big|_0^1 $$
$$ =\frac\pi8-\frac12\left(1-\frac\pi4\right) =\frac\pi8-\frac12+\frac\pi8 =\frac\pi4-\frac12 $$
例27
设
$$ f(x)= \begin{cases} x, & 0\le x\le1\ 2-x, & 1<x\le2 \end{cases} $$
求
$$ \int_0^2 f(x)dx $$
解：
$$ \int_0^2 f(x)dx =\int_0^1 xdx+\int_1^2(2-x)dx $$
$$ =\frac12+\left(2x-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_1^2 $$
$$ =\frac12+\left[(4-2)-\left(2-\frac12\right)\right] $$
$$ =\frac12+\left[2-\frac32\right] =\frac12+\frac12=1 $$
例28
设
$$ f(x)= \begin{cases} e^x, & x<0\ 1+x, & x\ge0 \end{cases} $$
求
$$ \int_{-1}^1 f(x)dx $$
解：
$$ \int_{-1}^1 f(x)dx =\int_{-1}^0 e^xdx+\int_0^1(1+x)dx $$
$$ =e^x\Big|_{-1}^0+\left(x+\frac{x^2}{2}\right)\Big|_0^1 $$
$$ =(1-e^{-1})+\left(1+\frac12\right) =2+\frac12-e^{-1} =\frac52-e^{-1} $$
例29
$$ \int_{-1}^2|x|dx $$
解：
$$ |x|= \begin{cases} -x, & x<0\ x, & x\ge0 \end{cases} $$
所以：
$$ \int_{-1}^2|x|dx =\int_{-1}^0(-x)dx+\int_0^2 xdx $$
$$ =-\frac{x^2}{2}\Big|_{-1}^0+\frac{x^2}{2}\Big|_0^2 $$
$$ =\frac12+2=\frac52 $$
例30
$$ \int_0^{2\pi}|\sin x|dx $$
解：
$$ \int_0^{2\pi}|\sin x|dx =2\int_0^\pi\sin x\,dx =2\cdot2=4 $$
例31
$$ \int_{-2}^2|x^2-1|dx $$
解：
$$ x^2-1\ge0\iff|x|\ge1 $$
所以：
$$ \int_{-2}^2|x^2-1|dx =\int_{-2}^{-1}(x^2-1)dx+\int_{-1}^1(1-x^2)dx+\int_1^2(x^2-1)dx $$
由偶函数性质：
$$ =2\int_1^2(x^2-1)dx+2\int_0^1(1-x^2)dx $$
$$ =2\left(\frac{x^3}{3}-x\right)\Big|_1^2+2\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 $$
$$ =2\left[\left(\frac83-2\right)-\left(\frac13-1\right)\right] +2\left(1-\frac13\right) $$
$$ =2\left[\frac23+\frac23\right]+2\cdot\frac23 =\frac83+\frac43=4 $$
例32
求
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n} $$
解：
这是定积分定义：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n} =\int_0^1\sin x\,dx $$
$$ =-\cos x\Big|_0^1 =1-\cos1 $$
例33
求
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\frac{k}{n}} $$
解：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sqrt{1+\frac{k}{n}} =\int_0^1\sqrt{1+x}dx $$
$$ =\frac23(1+x)^{\frac32}\Big|_0^1 =\frac23(2\sqrt2-1) $$
例34
求
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots+\frac{1}{n+n}\right) $$
解：
$$ \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\frac{1}{n+k} =\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+\frac kn} =\int_0^1\frac{1}{1+x}dx $$
$$ =\ln(1+x)\Big|_0^1=\ln2 $$
$$ \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx $$
错误：
$$ \int_0^1 x^3dx=0 $$
正确：
$$ \int_{-1}^1 x^3dx=0 $$
错误：
$$ \int_0^1 x\sqrt{1-x^2}dx $$
换元 $u=1-x^2$ 后仍写 $\int_0^1$。
正确：
$$ \int_1^0\sqrt{u}\cdot\left(-\frac12\right)du $$
定积分换元后，不需要回代原变量，直接计算新积分限即可。
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
第一项必须代入上下限。
$$ \int_{-1}^2|x|dx $$
必须先分区：
$$ \int_{-1}^0(-x)dx+\int_0^2 xdx $$
使用
$$ \int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx $$
时，要确保变换后积分区间不变。
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有间断点，不能直接使用牛顿-莱布尼茨公式。
例如：
$$ \int_{-1}^1\frac1{x^2}dx $$
不能直接计算，因为 $x=0$ 是无穷间断点。
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right) =\int_0^1 f(x)dx $$
不要漏掉 $\frac1n$。
常见形式：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_0^{nT}f(x)dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\frac{\sin x}{\sin x+\cos x}dx $$
$$ \int_0^\pi\frac{x\sin x}{1+\cos^2x}dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,dx $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right) $$
处理方法：
常见形式：
$$ f(x)= \begin{cases} g(x), & x<x_0\ h(x), & x\ge x_0 \end{cases} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_a^b|f(x)|dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ F(x)=\int_0^x f(t)dt $$
求 $F'(x)$，讨论 $F(x)$ 的单调性、极值。
处理方法：
牛顿-莱布尼茨公式：
$$ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) $$
换元法：
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$
分部积分：
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
奇偶性：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx= \begin{cases} 0, & f(x)\text{ 为奇函数}\ 2\int_0^a f(x)dx, & f(x)\text{ 为偶函数} \end{cases} $$
周期性：
$$ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx $$
$$ \int_a^{a+nT}f(x)dx=n\int_0^T f(x)dx $$
常用对称变换：
$$ \int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)dx $$
$$ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx $$
华里士公式：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,dx =\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,dx $$
$n$ 为偶数：
$$ =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2 $$
$n$ 为奇数：
$$ =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23\cdot1 $$
常用定积分结果：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx=\frac23 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^4x\,dx=\frac{3\pi}{16} $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^5x\,dx=\frac{8}{15} $$
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\pi $$
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^1\sqrt{1-x^2}dx=\frac\pi4 $$
定积分定义求极限：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right) =\int_0^1 f(x)dx $$
口诀：
定积分计算，先看奇偶性；
区间对称用奇偶，周期积分看长度；
对称变换加原式，华里士公式点火用；
换元必须换积分限，分部积分代上下限；
定积分定义求极限，凑出 $\frac1n$ 和 $\frac kn$。
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