适用：数一、数二、数三通用
地位：多元积分学的核心，直接支撑三重积分、曲线曲面积分、概率论
核心任务：理解二重积分定义，掌握直角坐标与极坐标计算，掌握交换积分次序与对称性
设函数 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界。将 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域
$$ \Delta\sigma_1,\Delta\sigma_2,\cdots,\Delta\sigma_n $$
记 $\Delta\sigma_i$ 的面积为 $\Delta\sigma_i$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式
$$ S_n=\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i $$
令
$$ \lambda=\max{\text{各小区域的直径}} $$
若当 $\lambda\to0$ 时，和式 $S_n$ 的极限存在，且与分法和点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称 $f(x,y)$ 在 $D$ 上可积，该极限称为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma $$
即：
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i $$
注意：
（1）体积：
若 $f(x,y)\ge0$，则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma $$
表示以 $D$ 为底、以 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积。
（2）面积：
若 $f(x,y)=1$，则
$$ \iint_D 1d\sigma=\iint_D d\sigma=S_D $$
其中 $S_D$ 为区域 $D$ 的面积。
（1）线性性质：
$$ \iint_D[\alpha f(x,y)+\beta g(x,y)]d\sigma =\alpha\iint_D f(x,y)d\sigma+\beta\iint_D g(x,y)d\sigma $$
（2）区域可加性：
若 $D=D_1\cup D_2$，且 $D_1$、$D_2$ 内部不重叠，则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\iint_{D_1} f(x,y)d\sigma+\iint_{D_2} f(x,y)d\sigma $$
（3）保号性：
若在 $D$ 上 $f(x,y)\ge0$，则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma\ge0 $$
若在 $D$ 上 $f(x,y)\le g(x,y)$，则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma\le\iint_D g(x,y)d\sigma $$
（4）绝对值不等式：
$$ \left|\iint_D f(x,y)d\sigma\right| \le\iint_D|f(x,y)|d\sigma $$
（5）估值定理：
若在 $D$ 上 $m\le f(x,y)\le M$，则
$$ mS_D\le\iint_D f(x,y)d\sigma\le MS_D $$
其中 $S_D$ 为 $D$ 的面积。
（6）中值定理：
若 $f(x,y)$ 在 $D$ 上连续，则存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S_D $$
（1）$X$ 型区域：
$$ D={(x,y)\mid a\le x\le b,\ \varphi_1(x)\le y\le\varphi_2(x)} $$
则
$$ \iint_D f(x,y)dxdy =\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy $$
（2）$Y$ 型区域：
$$ D={(x,y)\mid c\le y\le d,\ \psi_1(y)\le x\le\psi_2(y)} $$
则
$$ \iint_D f(x,y)dxdy =\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx $$
（3）矩形区域：
$$ D={(x,y)\mid a\le x\le b,\ c\le y\le d} $$
则
$$ \iint_D f(x,y)dxdy =\int_a^b dx\int_c^d f(x,y)dy =\int_c^d dy\int_a^b f(x,y)dx $$
注意：
极坐标变换：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$
$$ d\sigma=rdrd\theta $$
（1）极点在区域外：
$$ D={(r,\theta)\mid \alpha\le\theta\le\beta,\ r_1(\theta)\le r\le r_2(\theta)} $$
则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr $$
（2）极点在区域边界上：
$$ D={(r,\theta)\mid \alpha\le\theta\le\beta,\ 0\le r\le r(\theta)} $$
则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr $$
（3）极点在区域内部：
$$ D={(r,\theta)\mid 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le r\le r(\theta)} $$
则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{r(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr $$
常用极坐标区域：
（1）关于 $x$ 轴对称：
若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，且
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma $$
其中 $D_1$ 为 $D$ 在 $y\ge0$ 的部分。
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=0 $$
（2）关于 $y$ 轴对称：
若 $D$ 关于 $y$ 轴对称，且
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma $$
其中 $D_1$ 为 $D$ 在 $x\ge0$ 的部分。
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=0 $$
（3）关于原点对称：
若 $D$ 关于原点对称，且
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=2\iint_{D_1}f(x,y)d\sigma $$
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=0 $$
（4）轮换对称性：
若 $D$ 关于直线 $y=x$ 对称，则
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_D f(y,x)d\sigma $$
常用结论：
$$ \iint_D x^2d\sigma=\iint_D y^2d\sigma $$
步骤：
例：
$$ \int_0^1dx\int_x^1 f(x,y)dy $$
原区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ x\le y\le1} $$
交换次序：
$$ D={(x,y)\mid 0\le y\le1,\ 0\le x\le y} $$
所以：
$$ \int_0^1dx\int_x^1 f(x,y)dy =\int_0^1dy\int_0^y f(x,y)dx $$
$$ f(x,y)=\frac{f(x,y)+f(-x,y)}{2}+\frac{f(x,y)-f(-x,y)}{2} $$
例1
计算
$$ \iint_D xydxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le1} $$
解：
$$ \iint_D xydxdy =\int_0^1dx\int_0^1xydy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_0^1xydy=x\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_0^1=\frac x2 $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1\frac x2dx=\frac{x^2}{4}\Big|_0^1=\frac14 $$
例2
计算
$$ \iint_D (x+y)dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x} $$
解：
$$ \iint_D (x+y)dxdy =\int_0^1dx\int_0^x(x+y)dy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_0^x(x+y)dy =xy+\frac{y^2}{2}\Big|_0^x =x^2+\frac{x^2}{2}=\frac32x^2 $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1\frac32x^2dx =\frac32\cdot\frac13=\frac12 $$
例3
计算
$$ \iint_D x^2ydxdy $$
其中 $D$ 由 $y=x^2$、$y=1$、$x=0$ 围成。
解：
区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ x^2\le y\le1} $$
$$ \iint_D x^2ydxdy =\int_0^1dx\int_{x^2}^1x^2ydy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_{x^2}^1x^2ydy =x^2\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_{x^2}^1 =\frac{x^2}{2}(1-x^4) $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1\frac{x^2}{2}(1-x^4)dx =\frac12\left(\frac{x^3}{3}-\frac{x^7}{7}\right)\Big|_0^1 $$
$$ =\frac12\left(\frac13-\frac17\right) =\frac12\cdot\frac{4}{21} =\frac{2}{21} $$
例4
计算
$$ \iint_D e^{x+y}dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le1} $$
解：
$$ \iint_D e^{x+y}dxdy =\int_0^1dx\int_0^1e^{x+y}dy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_0^1e^{x+y}dy=e^x\cdot e^y\Big|_0^1=e^x(e-1) $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1e^x(e-1)dx =(e-1)\cdot e^x\Big|_0^1 =(e-1)^2 $$
例5
计算
$$ \iint_D (2x+y)dxdy $$
其中 $D$ 由 $y=x$、$y=0$、$x=1$ 围成。
解：
区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x} $$
$$ \iint_D (2x+y)dxdy =\int_0^1dx\int_0^x(2x+y)dy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_0^x(2x+y)dy =2xy+\frac{y^2}{2}\Big|_0^x =2x^2+\frac{x^2}{2}=\frac52x^2 $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1\frac52x^2dx =\frac52\cdot\frac13=\frac56 $$
例6
计算
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
解：
用极坐标：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$
$$ D={(r,\theta)\mid 0\le\theta\le2\pi,\ 0\le r\le1} $$
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^2\cdot rdr $$
$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr =2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2 $$
例7
计算
$$ \iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le a^2} $$
解：
$$ \iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a e^{-r^2}rdr $$
先对 $r$ 积分：
$$ \int_0^a e^{-r^2}rdr =-\frac12e^{-r^2}\Big|_0^a =\frac12(1-e^{-a^2}) $$
所以：
$$ \iint_D e^{-(x^2+y^2)}dxdy =2\pi\cdot\frac12(1-e^{-a^2}) =\pi(1-e^{-a^2}) $$
例8
计算
$$ \iint_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le2x} $$
解：
区域 $x^2+y^2\le2x$ 即
$$ (x-1)^2+y^2\le1 $$
用极坐标：
$$ x^2+y^2=2x\Rightarrow r^2=2r\cos\theta\Rightarrow r=2\cos\theta $$
$\theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$。
$$ \iint_D \sqrt{x^2+y^2}dxdy =\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}d\theta\int_0^{2\cos\theta}r\cdot rdr $$
$$ =\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\frac{(2\cos\theta)^3}{3}d\theta =\frac83\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^3\theta d\theta $$
由偶函数：
$$ =\frac{16}{3}\int_0^{\frac\pi2}\cos^3\theta d\theta =\frac{16}{3}\cdot\frac23 =\frac{32}{9} $$
例9
计算
$$ \iint_D \arctan\frac yxdxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4,\ x\ge0,\ y\ge0} $$
解：
用极坐标：
$$ D=\left{(r,\theta)\mid 0\le\theta\le\frac\pi2,\ 1\le r\le2\right} $$
$$ \iint_D \arctan\frac yxdxdy =\int_0^{\frac\pi2}d\theta\int_1^2\theta\cdot rdr $$
$$ =\int_0^{\frac\pi2}\theta d\theta\cdot\int_1^2rdr =\frac{\theta^2}{2}\Big|_0^{\frac\pi2}\cdot\frac{r^2}{2}\Big|_1^2 $$
$$ =\frac{\pi^2}{8}\cdot\frac32 =\frac{3\pi^2}{16} $$
例10
计算
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy $$
其中 $D$ 由 $x^2+y^2=2x$ 围成。
解：
$x^2+y^2=2x$ 即
$$ (x-1)^2+y^2=1 $$
用极坐标：
$$ r=2\cos\theta,\quad \theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] $$
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy =\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}d\theta\int_0^{2\cos\theta}r^2\cdot rdr $$
$$ =\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\frac{(2\cos\theta)^4}{4}d\theta =4\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^4\theta d\theta $$
由偶函数：
$$ =8\int_0^{\frac\pi2}\cos^4\theta d\theta =8\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{3\pi}{2} $$
例11
交换积分次序：
$$ \int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy $$
解：
原区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ x\le y\le1} $$
画出区域，交换次序：
$$ D={(x,y)\mid 0\le y\le1,\ 0\le x\le y} $$
所以：
$$ \int_0^1dx\int_x^1f(x,y)dy =\int_0^1dy\int_0^yf(x,y)dx $$
例12
交换积分次序：
$$ \int_0^1dx\int_{x^2}^xf(x,y)dy $$
解：
原区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ x^2\le y\le x} $$
由 $y=x^2$ 得 $x=\sqrt{y}$；由 $y=x$ 得 $x=y$。
交换次序：
$$ D={(x,y)\mid 0\le y\le1,\ y\le x\le\sqrt{y}} $$
所以：
$$ \int_0^1dx\int_{x^2}^xf(x,y)dy =\int_0^1dy\int_y^{\sqrt{y}}f(x,y)dx $$
例13
计算
$$ \int_0^1dx\int_x^1e^{-y^2}dy $$
解：
原积分直接计算困难，交换次序：
原区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ x\le y\le1} $$
交换次序：
$$ D={(x,y)\mid 0\le y\le1,\ 0\le x\le y} $$
所以：
$$ \int_0^1dx\int_x^1e^{-y^2}dy =\int_0^1dy\int_0^ye^{-y^2}dx $$
先对 $x$ 积分：
$$ \int_0^ye^{-y^2}dx=ye^{-y^2} $$
再对 $y$ 积分：
$$ \int_0^1ye^{-y^2}dy =-\frac12e^{-y^2}\Big|_0^1 =\frac12(1-e^{-1}) $$
例14
计算
$$ \int_0^1dy\int_y^1\sin x^2dx $$
解：
交换次序：
原区域：
$$ D={(x,y)\mid 0\le y\le1,\ y\le x\le1} $$
交换次序：
$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le x} $$
所以：
$$ \int_0^1dy\int_y^1\sin x^2dx =\int_0^1dx\int_0^x\sin x^2dy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_0^x\sin x^2dy=x\sin x^2 $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1x\sin x^2dx =-\frac12\cos x^2\Big|_0^1 =\frac12(1-\cos1) $$
例15
计算
$$ \iint_D (x^3+y^3)dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
解：
$D$ 关于 $x$ 轴、$y$ 轴对称。
$x^3$ 关于 $x$ 为奇函数，关于 $y$ 为偶函数。
由对称性：
$$ \iint_D x^3dxdy=0 $$
同理：
$$ \iint_D y^3dxdy=0 $$
所以：
$$ \iint_D (x^3+y^3)dxdy=0 $$
例16
计算
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
解：
由轮换对称性：
$$ \iint_D x^2dxdy=\iint_D y^2dxdy $$
所以：
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy =2\iint_D x^2dxdy $$
用极坐标：
$$ \iint_D x^2dxdy =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^2\cos^2\theta\cdot rdr $$
$$ =\int_0^{2\pi}\cos^2\theta d\theta\cdot\int_0^1r^3dr =\pi\cdot\frac14=\frac\pi4 $$
所以：
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy=2\cdot\frac\pi4=\frac\pi2 $$
例17
计算
$$ \iint_D (x+y)^2dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
解：
展开：
$$ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 $$
由对称性：
$$ \iint_D xydxdy=0 $$
$$ \iint_D x^2dxdy=\iint_D y^2dxdy=\frac\pi4 $$
所以：
$$ \iint_D (x+y)^2dxdy =\frac\pi4+0+\frac\pi4=\frac\pi2 $$
例18
计算
$$ \iint_D |x|dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
解：
由对称性：
$$ \iint_D |x|dxdy =4\iint_{D_1}|x|dxdy $$
其中 $D_1$ 为第一象限部分。
$$ =4\int_0^{\frac\pi2}d\theta\int_0^1r\cos\theta\cdot rdr $$
$$ =4\int_0^{\frac\pi2}\cos\theta d\theta\cdot\int_0^1r^2dr =4\cdot1\cdot\frac13=\frac43 $$
例19
计算
$$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le4} $$
解：
用极坐标：
$$ D={(r,\theta)\mid 0\le\theta\le2\pi,\ 1\le r\le2} $$
$$ \iint_D \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}dxdy =\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2\frac1r\cdot rdr $$
$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_1^2dr =2\pi\cdot1=2\pi $$
例20
计算
$$ \iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x\ge0,\ y\ge0} $$
解：
用极坐标：
$$ D=\left{(r,\theta)\mid 0\le\theta\le\frac\pi2,\ 0\le r\le1\right} $$
$$ \iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy =\int_0^{\frac\pi2}d\theta\int_0^1\sqrt{1-r^2}\cdot rdr $$
先对 $r$ 积分：
$$ \int_0^1r\sqrt{1-r^2}dr =-\frac13(1-r^2)^{\frac32}\Big|_0^1 =\frac13 $$
所以：
$$ \iint_D \sqrt{1-x^2-y^2}dxdy =\frac\pi2\cdot\frac13=\frac\pi6 $$
例21
计算
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy $$
其中 $D$ 由 $x^2+y^2=2y$ 围成。
解：
$x^2+y^2=2y$ 即
$$ x^2+(y-1)^2=1 $$
用极坐标：
$$ r=2\sin\theta,\quad \theta\in[0,\pi] $$
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy =\int_0^\pi d\theta\int_0^{2\sin\theta}r^2\cdot rdr $$
$$ =\int_0^\pi\frac{(2\sin\theta)^4}{4}d\theta =4\int_0^\pi\sin^4\theta d\theta $$
由对称性：
$$ =8\int_0^{\frac\pi2}\sin^4\theta d\theta =8\cdot\frac{3\pi}{16} =\frac{3\pi}{2} $$
例22
比较
$$ \iint_D \ln(x+y)dxdy $$
与
$$ \iint_D [\ln(x+y)]^2dxdy $$
的大小，其中
$$ D={(x,y)\mid 1\le x\le2,\ 1\le y\le2} $$
解：
在 $D$ 上：
$$ 2\le x+y\le4 $$
所以：
$$ \ln(x+y)\ge\ln2>0 $$
但 $\ln(x+y)$ 与 $1$ 的大小不确定。
在 $D$ 上，$x+y\le4<e$，所以
$$ \ln(x+y)<1 $$
因此：
$$ \ln(x+y)>[\ln(x+y)]^2 $$
所以：
$$ \iint_D \ln(x+y)dxdy
\iint_D [\ln(x+y)]^2dxdy $$
例23
估计
$$ \iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy $$
其中
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
解：
在 $D$ 上：
$$ 1\le1+x^2+y^2\le2 $$
所以：
$$ \frac12\le\frac{1}{1+x^2+y^2}\le1 $$
$D$ 的面积为 $\pi$，所以：
$$ \frac\pi2\le\iint_D \frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy\le\pi $$
例24
设 $f(x,y)$ 在 $D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1}$ 上连续，证明存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ \iint_D f(x,y)dxdy=\pi f(\xi,\eta) $$
证明：
$D$ 的面积为 $\pi$。
由二重积分中值定理，存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ \iint_D f(x,y)dxdy=f(\xi,\eta)\cdot\pi $$
例25
设 $f(x,y)$ 在 $D=[0,1]\times[0,1]$ 上连续，且
$$ \iint_D f(x,y)dxdy=1 $$
证明存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ f(\xi,\eta)=1 $$
证明：
$D$ 的面积为 $1$。
由二重积分中值定理，存在 $(\xi,\eta)\in D$，使得
$$ \iint_D f(x,y)dxdy=f(\xi,\eta)\cdot1=f(\xi,\eta) $$
所以：
$$ f(\xi,\eta)=1 $$
例26
设
$$ F(t)=\iint_{x^2+y^2\le t^2}f(x,y)dxdy $$
求 $F'(t)$。
解：
用极坐标：
$$ F(t)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^tf(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr $$
对 $t$ 求导：
$$ F'(t)=\int_0^{2\pi}f(t\cos\theta,t\sin\theta)td\theta $$
例27
设
$$ F(t)=\iint_{x^2+y^2\le t^2}e^{-(x^2+y^2)}dxdy $$
求 $F'(t)$。
解：
用极坐标：
$$ F(t)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^te^{-r^2}rdr =2\pi\cdot\frac12(1-e^{-t^2}) =\pi(1-e^{-t^2}) $$
所以：
$$ F'(t)=2\pi te^{-t^2} $$
例28
设 $(X,Y)$ 在区域
$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$
上服从均匀分布，求联合密度。
解：
$D$ 的面积为 $\pi$，所以：
$$ f(x,y)= \begin{cases} \dfrac1\pi, & x^2+y^2\le1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
例29
设 $(X,Y)$ 的联合密度为
$$ f(x,y)= \begin{cases} 2, & 0<x<1,\ 0<y<x\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $P(X+Y<1)$。
解：
区域 $D={(x,y)\mid 0<x<1,\ 0<y<x,\ x+y<1}$。
由 $x+y<1$ 和 $y<x$ 得：
$$ 0<x<\frac12,\quad 0<y<x $$
所以：
$$ P(X+Y<1)=\int_0^{\frac12}\int_0^x2dydx =\int_0^{\frac12}2xdx =\frac14 $$
例30
计算
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy $$
其中 $D$ 由 $x^2+y^2\le2x$、$x^2+y^2\le2y$ 围成的公共部分。
解：
由对称性，$D$ 关于直线 $y=x$ 对称。
用极坐标：
$$ x^2+y^2\le2x\Rightarrow r\le2\cos\theta $$
$$ x^2+y^2\le2y\Rightarrow r\le2\sin\theta $$
公共部分：
$$ 0\le\theta\le\frac\pi4,\quad 0\le r\le2\sin\theta $$
所以：
$$ \iint_D (x^2+y^2)dxdy =\int_0^{\frac\pi4}d\theta\int_0^{2\sin\theta}r^3dr $$
$$ =\int_0^{\frac\pi4}\frac{(2\sin\theta)^4}{4}d\theta =4\int_0^{\frac\pi4}\sin^4\theta d\theta $$
计算略。
$X$ 型区域：
$$ \int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy $$
$Y$ 型区域：
$$ \int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx $$
注意内外层积分变量不同。
$$ d\sigma=rdrd\theta $$
不要漏掉 $r$。
交换积分次序前，必须画出积分区域，确定新的积分限。
轮换对称性要求区域关于直线 $y=x$ 对称。
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S_D $$
要求 $f$ 在 $D$ 上连续。
若 $m\le f(x,y)\le M$，则
$$ mS_D\le\iint_D f(x,y)d\sigma\le MS_D $$
$$ \iint_D f=\iint_{D_1}f+\iint_{D_2}f $$
要求 $D_1$、$D_2$ 内部不重叠。
对于 $x^2+y^2\le2x$：
$$ r=2\cos\theta $$
不是 $r=2$。
交换后：
$$ \int_0^1dx\int_x^1fdy =\int_0^1dy\int_0^yfdx $$
注意内外层积分变量交换。
二重积分是二元函数的积分，结果是数；
定积分是一元函数的积分，结果也是数。
$$ \iint_D 1d\sigma=S_D $$
常见形式：
$$ \iint_D f(x,y)dxdy $$
其中 $D$ 由曲线围成。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy $$
处理方法：
常见形式：
$$ \iint_D f(x,y)dxdy $$
其中 $D$ 对称，$f$ 有奇偶性。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ F(t)=\iint_{x^2+y^2\le t^2}f(x,y)dxdy $$
求 $F'(t)$。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
二重积分定义：
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta\sigma_i $$
直角坐标：
$X$ 型：
$$ \iint_D f(x,y)dxdy =\int_a^b dx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}f(x,y)dy $$
$Y$ 型：
$$ \iint_D f(x,y)dxdy =\int_c^d dy\int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)}f(x,y)dx $$
极坐标：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$
$$ d\sigma=rdrd\theta $$
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdr $$
对称性：
关于 $x$ 轴对称：
$$ f(x,-y)=-f(x,y)\Rightarrow\iint_D f=0 $$
$$ f(x,-y)=f(x,y)\Rightarrow\iint_D f=2\iint_{D_1}f $$
关于 $y$ 轴对称：
$$ f(-x,y)=-f(x,y)\Rightarrow\iint_D f=0 $$
$$ f(-x,y)=f(x,y)\Rightarrow\iint_D f=2\iint_{D_1}f $$
轮换对称性：
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=\iint_D f(y,x)d\sigma $$
中值定理：
$$ \iint_D f(x,y)d\sigma=f(\xi,\eta)S_D $$
估值定理：
$$ mS_D\le\iint_D f(x,y)d\sigma\le MS_D $$
面积：
$$ \iint_D 1d\sigma=S_D $$
常用极坐标区域：
圆 $x^2+y^2\le a^2$：
$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le a $$
圆 $x^2+y^2\le2x$：
$$ -\frac\pi2\le\theta\le\frac\pi2,\quad 0\le r\le2\cos\theta $$
圆 $x^2+y^2\le2y$：
$$ 0\le\theta\le\pi,\quad 0\le r\le2\sin\theta $$
常用结果：
$$ \iint_{x^2+y^2\le1}(x^2+y^2)d\sigma=\frac\pi2 $$
$$ \iint_{x^2+y^2\le1}x^2d\sigma=\frac\pi4 $$
$$ \iint_{x^2+y^2\le1}|x|d\sigma=\frac43 $$
口诀：
二重积分画区域，直角极坐标看形状；
$X$ 型先 $y$ 后 $x$，$Y$ 型先 $x$ 后 $y$；
极坐标带 $r$，角度范围看圆；
对称性看奇偶，轮换对称平方等；
交换次序先画图，中值定理连续用。
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