$$ \begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

特征值的求法：

解特征方程 $|A-\lambda E|=0$，得到的根即为特征值。

特征向量的求法：

对每个特征值 $\lambda_i$，解齐次线性方程组

$$ (A-\lambda_iE)x=\mathbf{0} $$

的非零解即为对应于 $\lambda_i$ 的特征向量。

3. 特征值的性质

性质1：

$n$ 阶方阵 $A$ 有 $n$ 个特征值（计重数）。

性质2（迹）：

$$ \lambda_1+\lambda_2+\cdots+\lambda_n=\text{tr}(A)=a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn} $$

性质3（行列式）：

$$ \lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n=|A| $$

性质4：

$A$ 可逆 $\iff$ $A$ 的特征值全不为零。

性质5：

$A$ 不可逆 $\iff$ $A$ 有零特征值。

性质6：

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$\alpha$ 是对应特征向量，则：

$k\lambda$ 是 $kA$ 的特征值；
$\lambda^m$ 是 $A^m$ 的特征值；
若 $A$ 可逆，$\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值；
$\frac{|A|}{\lambda}$ 是 $A^*$ 的特征值；
$\lambda+a$ 是 $A+aE$ 的特征值。

性质7：

若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，$f(x)$ 是多项式，则 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的特征值。

性质8：

$A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值。

性质9：

属于不同特征值的特征向量线性无关。

性质10：

若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 是 $A$ 的对应于不同特征值 $\lambda_1,\cdots,\lambda_s$ 的特征向量，则 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关。

4. 特征向量的性质

性质1：

若 $\alpha$ 是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，则 $k\alpha$（$k\neq0$）也是对应于 $\lambda$ 的特征向量。

性质2：

若 $\alpha_1,\alpha_2$ 都是 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征向量，则 $k_1\alpha_1+k_2\alpha_2$（非零）也是对应于 $\lambda$ 的特征向量。

性质3：

属于不同特征值的特征向量线性无关。

性质4：

$A$ 的对应于 $\lambda$ 的所有特征向量加上零向量，构成 $A-\lambda E$ 的解空间，称为 $A$ 的对应于 $\lambda$ 的特征子空间。

特征子空间的维数：

$$ \dim N(A-\lambda E)=n-r(A-\lambda E) $$

即对应于 $\lambda$ 的线性无关特征向量的个数。

5. 相似矩阵

定义：

设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶方阵，若存在可逆矩阵 $P$，使得

$$ P^{-1}AP=B $$

则称 $A$ 与 $B$ 相似，记作

$$ A\sim B $$

相似的性质：

相似矩阵有相同的特征值；
相似矩阵有相同的迹；
相似矩阵有相同的行列式；
相似矩阵有相同的秩；
相似矩阵有相同的特征多项式。

相似的必要条件：

$$ |A-\lambda E|=|B-\lambda E| $$

$$ \text{tr}(A)=\text{tr}(B) $$

$$ |A|=|B| $$

$$ r(A)=r(B) $$

注意：

上述条件是必要条件，不是充分条件。

6. 矩阵可对角化的条件

定义：

若 $A$ 与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵 $P$，使得

$$ P^{-1}AP=\Lambda $$

则称 $A$ 可对角化。

可对角化的充要条件：

$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

可对角化的充分条件：

$A$ 有 $n$ 个不同的特征值；
$A$ 为实对称矩阵。

可对角化的充要条件（重数形式）：

对每个特征值 $\lambda_i$，其几何重数等于代数重数，即

$$ n-r(A-\lambda_iE)=m_i $$

其中 $m_i$ 为 $\lambda_i$ 的重数。

注意：

几何重数 $\le$ 代数重数；
若所有特征值的几何重数等于代数重数，则可对角化。

7. 实对称矩阵的特征值与特征向量

性质1：

实对称矩阵的特征值都是实数。

性质2：

实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交。

性质3：

实对称矩阵一定可对角化。

性质4：

实对称矩阵总可以正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$，使得

$$ Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda $$

性质5：

实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数。

8. 常用公式

特征多项式：

$$ f(\lambda)=|A-\lambda E| $$

特征方程：

$$ |A-\lambda E|=0 $$

特征向量：

$$ (A-\lambda E)x=\mathbf{0} $$

迹与行列式：

$$ \text{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n $$

$$ |A|=\lambda_1\cdots\lambda_n $$

相似：

$$ P^{-1}AP=B $$

对角化：

$$ P^{-1}AP=\Lambda $$

正交对角化：

$$ Q^TAQ=\Lambda $$

二、使用条件

1. 特征值求法的使用条件

$A$ 为 $n$ 阶方阵；
解特征方程 $|A-\lambda E|=0$。

2. 特征向量求法的使用条件

对每个特征值 $\lambda_i$；
解齐次线性方程组 $(A-\lambda_iE)x=\mathbf{0}$；
取非零解。

3. 相似矩阵的使用条件

$A$、$B$ 为同阶方阵；
存在可逆矩阵 $P$，使 $P^{-1}AP=B$。

4. 可对角化的使用条件

$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；
或每个特征值的几何重数等于代数重数。

5. 实对称矩阵的使用条件

$A$ 为实对称矩阵；
特征值全为实数；
一定可正交对角化。

6. 特征值与秩的使用条件

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数（计重数）} $$

三、典型题型

题型1：求特征值与特征向量

例1

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

的特征值与特征向量。

解：

第一步：求特征值。

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2\\ 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

$$ (1-\lambda)(2-\lambda)-6=0 $$

$$ \lambda^2-3\lambda-4=0 $$

$$ (\lambda-4)(\lambda+1)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=4,\quad\lambda_2=-1 $$

第二步：求特征向量。

对 $\lambda_1=4$：

$$ (A-4E)x= \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 3 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ -3x_1+2x_2=0 $$

$$ x_2=\frac32x_1 $$

取 $x_1=2$，则 $x_2=3$：

$$ \alpha_1=(2,3)^T $$

对 $\lambda_2=-1$：

$$ (A+E)x= \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ x_1+x_2=0 $$

$$ x_2=-x_1 $$

取 $x_1=1$，则 $x_2=-1$：

$$ \alpha_2=(1,-1)^T $$

例2

求

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

的特征值与特征向量。

解：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 1\\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

$$ (2-\lambda)^2-1=0 $$

$$ \lambda^2-4\lambda+3=0 $$

$$ (\lambda-1)(\lambda-3)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=1,\quad\lambda_2=3 $$

对 $\lambda_1=1$：

$$ (A-E)x= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

$$ x_1+x_2=0 $$

取 $x_1=1$，$x_2=-1$：

$$ \alpha_1=(1,-1)^T $$

对 $\lambda_2=3$：

$$ (A-3E)x= \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

$$ x_1-x_2=0 $$

取 $x_1=1$，$x_2=1$：

$$ \alpha_2=(1,1)^T $$

题型2：求三阶矩阵的特征值与特征向量

例3

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

的特征值与特征向量。

解：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3\\ 0 & 1-\lambda & 2\\ 0 & 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} =(1-\lambda)^3=0 $$

所以：

$$ \lambda=1\text{（三重）} $$

对 $\lambda=1$：

$$ (A-E)x= \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ \begin{cases} 2x_2+3x_3=0\\ 2x_3=0 \end{cases} $$

所以：

$$ x_3=0,\quad x_2=0,\quad x_1\text{ 任意} $$

取 $x_1=1$：

$$ \alpha_1=(1,0,0)^T $$

只有 $1$ 个线性无关的特征向量，所以 $A$ 不可对角化。

例4

求

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

的特征值与特征向量。

解：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 2-\lambda & 0 & 0\\ 1 & 2-\lambda & 0\\ 0 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} =(2-\lambda)^2(3-\lambda)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=\lambda_2=2,\quad\lambda_3=3 $$

对 $\lambda=2$：

$$ (A-2E)x= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ x_1=0,\quad x_3=0,\quad x_2\text{ 任意} $$

取 $x_2=1$：

$$ \alpha_1=(0,1,0)^T $$

对 $\lambda=3$：

$$ (A-3E)x= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ x_1=0,\quad x_2=0,\quad x_3\text{ 任意} $$

取 $x_3=1$：

$$ \alpha_2=(0,0,1)^T $$

题型3：特征值的性质

例5

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A|$、$\text{tr}(A)$。

解：

$$ |A|=1\times2\times3=6 $$

$$ \text{tr}(A)=1+2+3=6 $$

例6

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A^2-3A+2E|$。

解：

设 $f(x)=x^2-3x+2$，则 $f(A)$ 的特征值为：

$$ f(1)=0,\quad f(2)=0,\quad f(3)=2 $$

所以：

$$ |A^2-3A+2E|=0\times0\times2=0 $$

例7

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A^*|$。

解：

$$ |A^*|=|A|^{n-1}=6^2=36 $$

例8

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A^{-1}|$。

解：

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac16 $$

例9

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $A^{-1}$ 的特征值。

解：

$$ A^{-1}\text{ 的特征值为 }1,\frac12,\frac13 $$

例10

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $A^*$ 的特征值。

解：

$$ A^*\text{ 的特征值为 }\frac{|A|}{1},\frac{|A|}{2},\frac{|A|}{3} $$

即：

$$ 6,\quad3,\quad2 $$

题型4：相似矩阵

例11

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

是否相似。

解：

$A$ 的特征值为 $4,-1$，$B$ 的特征值为 $4,-1$。

两者特征值相同，且都有两个不同的特征值，所以都可对角化。

因此：

$$ A\sim B $$

例12

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

是否相似。

解：

$A$ 的特征值为 $1$（二重），$B$ 的特征值为 $1$（二重）。

但 $A$ 只有一个线性无关的特征向量，不可对角化；

$B$ 已经是单位矩阵，可对角化。

所以：

$$ A\nsim B $$

题型5：可对角化判断

例13

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

特征值为 $4,-1$，两个不同的特征值。

所以 $A$ 有 $2$ 个线性无关的特征向量，可对角化。

例14

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

特征值为 $1$（二重）。

$$ r(A-E)=r\begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}=1 $$

所以线性无关的特征向量个数为：

$$ n-r(A-E)=2-1=1<2 $$

所以 $A$ 不可对角化。

例15

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

特征值为 $2$（二重）、$3$。

对 $\lambda=2$：

$$ r(A-2E)=r\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=2 $$

线性无关的特征向量个数为：

$$ n-r(A-2E)=3-2=1<2 $$

所以 $A$ 不可对角化。

题型6：实对称矩阵

例16

求

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

的特征值与特征向量，并正交对角化。

解：

由例2：

$$ \lambda_1=1,\quad\alpha_1=(1,-1)^T $$

$$ \lambda_2=3,\quad\alpha_2=(1,1)^T $$

单位化：

$$ \beta_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^T $$

$$ \beta_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^T $$

令：

$$ Q=(\beta_1,\beta_2)= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2}\\ -\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} $$

则：

$$ Q^TAQ= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

例17

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

的特征值与特征向量。

解：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\ 1 & 1-\lambda & 0\\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

$$ \lbrack (1-\lambda)^2-1 \rbrack (2-\lambda)=0 $$

$$ \lbrack \lambda^2-2\lambda \rbrack (2-\lambda)=0 $$

$$ \lambda(\lambda-2)(2-\lambda)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=0,\quad\lambda_2=\lambda_3=2 $$

对 $\lambda=0$：

$$ (A-0E)x= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ x_1+x_2=0,\quad x_3=0 $$

取 $x_1=1$，$x_2=-1$：

$$ \alpha_1=(1,-1,0)^T $$

对 $\lambda=2$：

$$ (A-2E)x= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} =\mathbf{0} $$

即：

$$ x_1=x_2,\quad x_3\text{ 任意} $$

取 $x_1=1$，$x_2=1$，$x_3=0$：

$$ \alpha_2=(1,1,0)^T $$

取 $x_1=0$，$x_2=0$，$x_3=1$：

$$ \alpha_3=(0,0,1)^T $$

题型7：特征值与秩

例18

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,0$，求 $r(A)$。

解：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数}=2 $$

例19

设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，特征值为 $1,1,0,0$，求 $r(A)$。

解：

$$ r(A)=2 $$

例20

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$A^2=A$，且 $r(A)=2$，求 $A$ 的特征值。

解：

由 $A^2=A$，特征值只能是 $0$ 或 $1$。

又 $r(A)=2$，所以非零特征值有 $2$ 个：

$$ \lambda_1=\lambda_2=1,\quad\lambda_3=0 $$

题型8：特征值与方程组

例21

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,0$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量个数。

解：

$$ r(A)=2 $$

基础解系含：

$$ n-r(A)=3-2=1 $$

个向量。

例22

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $Ax=0$ 的解。

解：

$$ |A|=6\neq0 $$

所以：

$$ r(A)=3 $$

$Ax=0$ 只有零解。

题型9：特征值与二次型

例23

设二次型

$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3+2cx_2x_3 $$

的矩阵为 $A$，若 $A$ 的特征值为 $1,2,3$，求 $a$、$b$、$c$。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & a & b\\ a & 1 & c\\ b & c & 1 \end{pmatrix} $$

由特征值性质：

$$ \text{tr}(A)=1+1+1=3=1+2+3=6 $$

矛盾。

所以无解。

例24

设二次型

$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$

的矩阵为 $A$，求 $A$ 的特征值。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 1\\ 1 & 2-\lambda & 0\\ 1 & 0 & 3-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

计算：

$$ (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)-(3-\lambda)-(2-\lambda)=0 $$

即：

$$ (1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda)-5+2\lambda=0 $$

展开求解略。

题型10：综合应用

例25

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

求 $A^{10}$。

解：

由例1：

$$ \lambda_1=4,\quad\alpha_1=(2,3)^T $$

$$ \lambda_2=-1,\quad\alpha_2=(1,-1)^T $$

令：

$$ P=(\alpha_1,\alpha_2)= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{pmatrix} $$

则：

$$ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A=P \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} P^{-1} $$

$$ A^{10}=P \begin{pmatrix} 4^{10} & 0\\ 0 & (-1)^{10} \end{pmatrix} P^{-1} $$

计算略。

例26

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A^2-3A+2E|$。

解：

设 $f(x)=x^2-3x+2$，则 $f(A)$ 的特征值为：

$$ f(1)=0,\quad f(2)=0,\quad f(3)=2 $$

所以：

$$ |A^2-3A+2E|=0\times0\times2=0 $$

四、易错提醒

易错1：特征向量可以是零向量

错误。

特征向量必须是非零向量。

易错2：特征值与特征向量一一对应

错误。

一个特征值可以对应多个特征向量。

易错3：不同特征值的特征向量线性相关

错误。

属于不同特征值的特征向量线性无关。

易错4：$A$ 与 $A^T$ 特征向量相同

错误。

$A$ 与 $A^T$ 有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

易错5：相似矩阵特征向量相同

错误。

相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。

易错6：可对角化条件记错

可对角化 $\iff$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

易错7：实对称矩阵特征值一定不同

错误。

实对称矩阵特征值可能相同，但一定可对角化。

易错8：特征值个数与矩阵阶数混淆

$n$ 阶方阵有 $n$ 个特征值（计重数）。

易错9：迹与行列式公式记错

$$ \text{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n $$

$$ |A|=\lambda_1\cdots\lambda_n $$

易错10：$A^*$ 的特征值公式记错

$$ A^*\text{ 的特征值为 }\frac{|A|}{\lambda} $$

易错11：可对角化与可逆混淆

可逆：$|A|\neq0$；
可对角化：有 $n$ 个线性无关的特征向量。

易错12：实对称矩阵正交对角化忘记单位化

正交对角化时，特征向量必须单位化。

五、真题链接思路

真题方向1：求特征值与特征向量

常见形式：

$$ A\alpha=\lambda\alpha $$

处理方法：

解特征方程 $|A-\lambda E|=0$；
求特征值；
对每个特征值解 $(A-\lambda E)x=\mathbf{0}$；
求特征向量。

真题方向2：特征值的性质

常见形式：

求 $|A|$、$\text{tr}(A)$；
求 $|f(A)|$；
求 $A^{-1}$、$A^*$ 的特征值。

处理方法：

利用特征值性质；
利用 $f(\lambda)$ 是 $f(A)$ 的特征值。

真题方向3：相似矩阵

常见形式：

$$ A\sim B? $$

处理方法：

比较特征值；
比较迹、行列式、秩；
判断是否相似。

真题方向4：可对角化判断

常见形式：

$$ A\text{ 是否可对角化？} $$

处理方法：

求特征值；
判断每个特征值的几何重数是否等于代数重数；
或判断是否有 $n$ 个线性无关的特征向量。

真题方向5：实对称矩阵

常见形式：

求特征值与特征向量；
正交对角化。

处理方法：

求特征值；
求特征向量；
单位化；
构造正交矩阵。

真题方向6：特征值与秩

常见形式：

已知特征值，求秩；
已知秩，求特征值。

处理方法：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$

真题方向7：特征值与二次型

常见形式：

二次型的正定性；
二次型的秩。

处理方法：

写出二次型矩阵；
求特征值；
判断正定或求秩。

真题方向8：特征值与微分方程

常见形式：

解微分方程组；
矩阵指数。

处理方法：

求特征值、特征向量；
对角化；
求解。

六、记忆清单

特征值与特征向量：

$$ A\alpha=\lambda\alpha,\quad\alpha\neq\mathbf{0} $$

特征方程：

$$ |A-\lambda E|=0 $$

特征向量：

$$ (A-\lambda E)x=\mathbf{0} $$

特征值性质：

$$ \lambda_1+\cdots+\lambda_n=\text{tr}(A) $$

$$ \lambda_1\cdots\lambda_n=|A| $$

矩阵运算与特征值：

$kA$：$k\lambda$；
$A^m$：$\lambda^m$；
$A^{-1}$：$\frac{1}{\lambda}$；
$A^*$：$\frac{|A|}{\lambda}$；
$A+aE$：$\lambda+a$；
$f(A)$：$f(\lambda)$。

相似：

$$ P^{-1}AP=B $$

相似的性质：

相同特征值；
相同迹；
相同行列式；
相同秩。

可对角化：

$$ P^{-1}AP=\Lambda $$

可对角化充要条件：

有 $n$ 个线性无关的特征向量。

可对角化充分条件：

$n$ 个不同特征值；
实对称矩阵。

实对称矩阵：

特征值全为实数；
不同特征值的特征向量正交；
一定可正交对角化。

秩与特征值：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$

口诀：

特征方程求特征值，齐次方程组求特征向量；
迹等于特征值之和，行列式等于特征值之积；
不同特征值特征向量无关，实对称矩阵必可对角化；
可对角化看无关向量，相似矩阵特征值相同。

_{本教程共58节，当前为第44节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点41 特征值与特征向量

一、核心公式与定义

1. 特征值与特征向量的定义

2. 特征多项式与特征方程

3. 特征值的性质

4. 特征向量的性质

5. 相似矩阵

6. 矩阵可对角化的条件

7. 实对称矩阵的特征值与特征向量

8. 常用公式

二、使用条件

1. 特征值求法的使用条件

2. 特征向量求法的使用条件

3. 相似矩阵的使用条件

4. 可对角化的使用条件

5. 实对称矩阵的使用条件

6. 特征值与秩的使用条件

三、典型题型

题型1：求特征值与特征向量

题型2：求三阶矩阵的特征值与特征向量

题型3：特征值的性质

题型4：相似矩阵

题型5：可对角化判断

题型6：实对称矩阵

题型7：特征值与秩

题型8：特征值与方程组

题型9：特征值与二次型

题型10：综合应用

四、易错提醒

易错1：特征向量可以是零向量

易错2：特征值与特征向量一一对应

易错3：不同特征值的特征向量线性相关

易错4：$A$ 与 $A^T$ 特征向量相同

易错5：相似矩阵特征向量相同

易错6：可对角化条件记错

易错7：实对称矩阵特征值一定不同

易错8：特征值个数与矩阵阶数混淆

易错9：迹与行列式公式记错

易错10：$A^*$ 的特征值公式记错

易错11：可对角化与可逆混淆

易错12：实对称矩阵正交对角化忘记单位化

五、真题链接思路

真题方向1：求特征值与特征向量

真题方向2：特征值的性质

真题方向3：相似矩阵

真题方向4：可对角化判断

真题方向5：实对称矩阵

真题方向6：特征值与秩

真题方向7：特征值与二次型

真题方向8：特征值与微分方程

六、记忆清单

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