定位：考场速查，按模块编排，便于冲刺阶段快速回顾
用法：先默写，再对照；重点看使用条件和易错提醒
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e $$
$$ \lim_{x\to0}(1+x)^{\frac1x}=e $$
$$ \sin x\sim x $$
$$ \tan x\sim x $$
$$ \arcsin x\sim x $$
$$ \arctan x\sim x $$
$$ \ln(1+x)\sim x $$
$$ e^x-1\sim x $$
$$ a^x-1\sim x\ln a $$
$$ 1-\cos x\sim\frac12x^2 $$
$$ (1+x)^\alpha-1\sim\alpha x $$
$$ \sqrt[n]{1+x}-1\sim\frac1nx $$
$$ x-\sin x\sim\frac16x^3 $$
$$ \tan x-x\sim\frac13x^3 $$
$$ \tan x-\sin x\sim\frac12x^3 $$
$$ x-\ln(1+x)\sim\frac12x^2 $$
$$ e^x-1-x\sim\frac12x^2 $$
$$ \arcsin x-x\sim\frac16x^3 $$
$$ x-\arctan x\sim\frac13x^3 $$
$$ \lim\frac{f}{g}=\lim\frac{f'}{g'} $$
适用条件：
$$ \lim u^v=e^{\lim v(u-1)} $$
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
间断点分类：
$$ f(a)f(b)<0\Rightarrow\exists\xi\in(a,b),\ f(\xi)=0 $$
$$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
$$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
$$ (C)'=0 $$
$$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$
$$ (a^x)'=a^x\ln a $$
$$ (e^x)'=e^x $$
$$ (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} $$
$$ (\ln x)'=\frac1x $$
$$ (\sin x)'=\cos x $$
$$ (\cos x)'=-\sin x $$
$$ (\tan x)'=\sec^2x $$
$$ (\cot x)'=-\csc^2x $$
$$ (\sec x)'=\sec x\tan x $$
$$ (\csc x)'=-\csc x\cot x $$
$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$
$$ (\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2} $$
$$ (u\pm v)'=u'\pm v' $$
$$ (uv)'=u'v+uv' $$
$$ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} $$
$$ [f(g(x))]'=f'(g(x))g'(x) $$
$$ [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$
隐函数：
$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$
参数方程：
$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$
$$ (e^x)^{(n)}=e^x $$
$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$
$$ \left(\frac1x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} $$
莱布尼茨公式：
$$ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^nC_n^ku^{(n-k)}v^{(k)} $$
罗尔定理：
$$ f(a)=f(b)\Rightarrow\exists\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0 $$
拉格朗日中值定理：
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
柯西中值定理：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$
泰勒中值定理：
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) $$
$$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
$$ f'(\xi)+f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=f(x)e^x $$
$$ f'(\xi)-f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=f(x)e^{-x} $$
$$ \xi f'(\xi)+f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=xf(x) $$
$$ \xi f'(\xi)-f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=\frac{f(x)}{x} $$
$$ f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0\Rightarrow F(x)=f(x)e^{x^2} $$
$$ f'(x)>0\Rightarrow\text{严格单调递增} $$
$$ f'(x)<0\Rightarrow\text{严格单调递减} $$
极值第一充分条件：$f'(x)$ 在 $x_0$ 两侧变号。
极值第二充分条件：
$$ f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)<0\Rightarrow\text{极大值} $$
$$ f'(x_0)=0,\quad f''(x_0)>0\Rightarrow\text{极小值} $$
$$ f''(x)>0\Rightarrow\text{凹} $$
$$ f''(x)<0\Rightarrow\text{凸} $$
拐点：$f''(x)$ 在 $x_0$ 两侧异号。
水平：
$$ \lim_{x\to\infty}f(x)=A\Rightarrow y=A $$
垂直：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=\infty\Rightarrow x=x_0 $$
斜：
$$ a=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x},\quad b=\lim_{x\to\infty}[f(x)-ax] $$
$$ \Rightarrow y=ax+b $$
$$ e^x\ge1+x $$
$$ \ln(1+x)\le x,\quad x>-1 $$
$$
\frac{x}{1+x}<\ln(1+x)
$$ |\sin x-\sin y|\le|x-y| $$
$$ \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad\alpha\neq-1 $$
$$ \int\frac1xdx=\ln|x|+C $$
$$ \int e^xdx=e^x+C $$
$$ \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C $$
$$ \int\sin xdx=-\cos x+C $$
$$ \int\cos xdx=\sin x+C $$
$$ \int\tan xdx=-\ln|\cos x|+C $$
$$ \int\cot xdx=\ln|\sin x|+C $$
$$ \int\sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C $$
$$ \int\csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C $$
$$ \int\sec^2xdx=\tan x+C $$
$$ \int\csc^2xdx=-\cot x+C $$
$$ \int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C $$
$$ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C $$
$$ \int\frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac1a\arctan\frac xa+C $$
$$ \int\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C $$
$$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C $$
$$ \int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $$
$$ xdx=\frac12d(x^2) $$
$$ \frac1xdx=d(\ln|x|) $$
$$ e^xdx=d(e^x) $$
$$ \sin xdx=-d(\cos x) $$
$$ \cos xdx=d(\sin x) $$
$$ \frac{1}{\cos^2x}dx=d(\tan x) $$
$$ \frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x) $$
$$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arcsin x) $$
$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du $$
$u$ 的选取顺序：
$$ \text{反}\to\text{对}\to\text{幂}\to\text{指}\to\text{三} $$
常用结果：
$$ \int\ln x\,dx=x\ln x-x+C $$
$$ \int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C $$
$$ \int\arctan x\,dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C $$
$$ \int\arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C $$
$$ \int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
$$ \int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C $$
$$ \sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t $$
$$ \sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t $$
$$ \sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t $$
$$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} $$
$$ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} $$
$$ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) $$
$$ \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx $$
$$ \int_a^b[\alpha f+\beta g]dx=\alpha\int_a^b fdx+\beta\int_a^b gdx $$
$$ \int_a^b fdx=\int_a^c fdx+\int_c^b fdx $$
$$ \left|\int_a^b fdx\right|\le\int_a^b|f|dx $$
估值定理：
$$ m(b-a)\le\int_a^b fdx\le M(b-a) $$
积分中值定理：
$$ \int_a^b fdx=f(\xi)(b-a) $$
$$ \frac{d}{dx}\int_a^xf(t)dt=f(x) $$
$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $$
$$ \int_{-a}^a f(x)dx= \begin{cases} 0, & f\text{ 为奇函数}\ 2\int_0^a f(x)dx, & f\text{ 为偶函数} \end{cases} $$
$$ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx $$
$$ \int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)dx $$
$$ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^nx\,dx =\int_0^{\frac\pi2}\cos^nx\,dx $$
$n$ 为偶数：
$$ =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac12\cdot\frac\pi2 $$
$n$ 为奇数：
$$ =\frac{n-1}{n}\cdot\frac{n-3}{n-2}\cdots\frac23\cdot1 $$
常用结果：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^3x\,dx=\frac23 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^4x\,dx=\frac{3\pi}{16} $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^5x\,dx=\frac{8}{15} $$
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$
$$ S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx $$
$$ S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta $$
绕 $x$ 轴：
$$ V_x=\pi\int_a^b f^2(x)dx $$
绕 $y$ 轴：
$$ V_y=2\pi\int_a^b x|f(x)|dx $$
圆环法：
$$ V_x=\pi\int_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx $$
$$ s=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2+[r']^2}d\theta $$
$$ S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
做功：
$$ W=\int_a^b F(x)dx $$
液体压力：
$$ P=\int_a^b\rho gh(x)L(x)dx $$
质心：
$$ \bar{x}=\frac{\int_a^b xf(x)dx}{\int_a^b f(x)dx} $$
平均值：
$$ \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx $$
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx \begin{cases} \text{收敛}, & p>1\ \text{发散}, & p\le1 \end{cases} $$
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx \begin{cases} \text{收敛}, & p<1\ \text{发散}, & p\ge1 \end{cases} $$
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1 $$
$$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n! $$
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}{2} $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\pi $$
$$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx,\quad s>0 $$
$$ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) $$
$$ \Gamma(n+1)=n! $$
$$ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi $$
$$ f_x(x_0,y_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\Delta x} $$
$$ f_y(x_0,y_0)=\lim_{\Delta y\to0}\frac{f(x_0,y_0+\Delta y)-f(x_0,y_0)}{\Delta y} $$
$$ dz=f_xdx+f_ydy $$
可微判定：
$$ \lim_{(\Delta x,\Delta y)\to(0,0)} \frac{\Delta z-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}}=0 $$
$$ z_x=f_uu_x+f_vv_x $$
$$ z_y=f_uu_y+f_vv_y $$
一元：
$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$
二元：
$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z} $$
$$ z_y=-\frac{F_y}{F_z} $$
必要条件：
$$ f_x=0,\quad f_y=0 $$
充分条件：
$$ A=f_{xx},\quad B=f_{xy},\quad C=f_{yy} $$
$$ \Delta=AC-B^2 $$
$$ \Delta>0,\ A>0\Rightarrow\text{极小值} $$
$$ \Delta>0,\ A<0\Rightarrow\text{极大值} $$
$$ \Delta<0\Rightarrow\text{不是极值} $$
$$ L=f+\lambda\varphi $$
$$ \begin{cases} L_x=0\ L_y=0\ L_\lambda=0 \end{cases} $$
$$ \frac{\partial f}{\partial\vec{l}} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma $$
$$ \nabla f=(f_x,f_y,f_z) $$
$$ \frac{\partial f}{\partial\vec{l}}=\nabla f\cdot\vec{e}_l $$
$$ \max\frac{\partial f}{\partial\vec{l}}=|\nabla f| $$
直角坐标：
$$ \iint_D fdxdy=\int_a^bdx\int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)}fdy $$
极坐标：
$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$
$$ d\sigma=rdrd\theta $$
$$ \iint_D fd\sigma=\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}frdr $$
对称性：
关于 $x$ 轴对称：
$$ f(x,-y)=-f(x,y)\Rightarrow\iint_D f=0 $$
$$ f(x,-y)=f(x,y)\Rightarrow\iint_D f=2\iint_{D_1}f $$
直角坐标：
$$ \iiint_\Omega fdV=\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{z_1}^{z_2}fdz $$
柱坐标：
$$ dV=rdrd\theta dz $$
球坐标：
$$ dV=\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta $$
第一类：
$$ \int_L fds=\int_\alpha^\beta f\sqrt{[\varphi']^2+[\psi']^2}dt $$
第二类：
$$ \int_L Pdx+Qdy=\int_\alpha^\beta[P\varphi'+Q\psi']dt $$
格林公式：
$$ \oint_L Pdx+Qdy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
路径无关：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
第一类：
$$ \iint_\Sigma fdS=\iint_{D_{xy}}f\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy $$
第二类：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV $$
斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
散度：
$$ \text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
旋度：
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
重要恒等式：
$$ \text{rot}(\nabla f)=\vec{0} $$
$$ \text{div}(\text{rot}\vec{F})=0 $$
可分离变量：
$$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y)\Rightarrow\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C $$
齐次方程：
$$ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac yx\right)\Rightarrow u=\frac yx $$
一阶线性：
$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$
$$ y=e^{-\int Pdx}\left[\int Qe^{\int Pdx}dx+C\right] $$
伯努利方程：
$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n\Rightarrow z=y^{1-n} $$
全微分方程：
$$ Pdx+Qdy=0,\quad\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$
$$ y^{(n)}=f(x)\Rightarrow\text{逐次积分} $$
$$ y''=f(x,y')\Rightarrow p=y',\ y''=p' $$
$$ y''=f(y,y')\Rightarrow p=y',\ y''=p\frac{dp}{dy} $$
齐次：
$$ y''+py'+qy=0 $$
特征方程：
$$ r^2+pr+q=0 $$
通解：
$$ Y= \begin{cases} C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}, & \Delta>0\ (C_1+C_2x)e^{rx}, & \Delta=0\ e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x), & \Delta<0 \end{cases} $$
非齐次：
$$ y''+py'+qy=f(x) $$
通解：
$$ y=Y+y^* $$
特解形式：
$f(x)=P_m(x)e^{\lambda x}$：
$$ y^*=x^kQ_m(x)e^{\lambda x} $$
$f(x)=e^{\alpha x}(P_m\cos\beta x+Q_n\sin\beta x)$：
$$ y^*=x^ke^{\alpha x}(R_l\cos\beta x+S_l\sin\beta x) $$
$k$ 的取法：
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) $$
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1}) $$
$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) $$
$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n) $$
$$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) $$
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^n}{e^x}=0 $$
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\ln x}{x^\alpha}=0,\quad\alpha>0 $$
$$ \lim_{x\to0^+}x\ln x=0 $$
$$ \lim_{x\to0^+}x^x=1 $$
$$ \lim_{x\to+\infty}x^{\frac1x}=1 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=1 $$
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=2 $$
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2x\,dx=\pi $$
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\frac\pi4 $$
$$ \int_0^1\ln x\,dx=-1 $$
$$ e^x\ge1+x $$
$$ \ln(1+x)\le x $$
$$ |\sin x|\le|x| $$
$$ |\arctan x|\le|x| $$
圆：
$$ S=\pi r^2,\quad C=2\pi r $$
球：
$$ V=\frac43\pi r^3,\quad S=4\pi r^2 $$
圆锥：
$$ V=\frac13\pi r^2h $$
圆柱：
$$ V=\pi r^2h $$
使用建议：
1. 先默写，再对照；
2. 重点记“使用条件”和“易错提醒”；
3. 考前每天花 10 分钟快速过一遍。
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