$$ \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} $$

注意：

$P$ 的列向量是 $A$ 的特征向量；
$\Lambda$ 的对角线元素是 $A$ 的特征值；
$P$ 的列向量顺序与 $\Lambda$ 的对角线元素顺序对应。

2. 可对角化的充要条件

充要条件1：

$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

充要条件2：

对每个特征值 $\lambda_i$，其几何重数等于代数重数，即

$$ n-r(A-\lambda_iE)=m_i $$

其中 $m_i$ 为 $\lambda_i$ 的重数。

注意：

几何重数 $\le$ 代数重数；
若所有特征值的几何重数等于代数重数，则可对角化；
若存在某个特征值的几何重数小于代数重数，则不可对角化。

3. 可对角化的充分条件

充分条件1：

$A$ 有 $n$ 个不同的特征值。

充分条件2：

$A$ 为实对称矩阵。

注意：

有 $n$ 个不同特征值 $\Rightarrow$ 可对角化；
可对角化 $\nRightarrow$ 有 $n$ 个不同特征值。

4. 对角化的步骤

步骤：

求 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$；
对每个特征值 $\lambda_i$，求 $(A-\lambda_iE)x=\mathbf{0}$ 的基础解系，即对应于 $\lambda_i$ 的线性无关特征向量；
若所有特征值的线性无关特征向量总数等于 $n$，则可对角化；
令 $P=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$，其中 $\alpha_i$ 为特征向量；
则

$$ P^{-1}AP=\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) $$

注意：

$P$ 的列向量顺序与 $\Lambda$ 的对角线元素顺序对应；
若特征向量个数不足 $n$，则不可对角化。

5. 实对称矩阵的性质

性质1：

实对称矩阵的特征值都是实数。

性质2：

实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交。

性质3：

实对称矩阵一定可对角化。

性质4：

实对称矩阵总可以正交对角化，即存在正交矩阵 $Q$，使得

$$ Q^{-1}AQ=Q^TAQ=\Lambda $$

性质5：

实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数。

性质6：

实对称矩阵的 $k$ 重特征值恰有 $k$ 个线性无关的特征向量。

性质7：

实对称矩阵的所有特征向量可以构成 $\mathbb R^n$ 的一组正交基。

6. 实对称矩阵的正交对角化步骤

步骤：

求 $A$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_s$；
对每个特征值 $\lambda_i$，求 $(A-\lambda_iE)x=\mathbf{0}$ 的基础解系；
将同一特征值的特征向量正交化（Schmidt 正交化）；
将所有特征向量单位化；
令 $Q=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)$，其中 $\beta_i$ 为单位的正交特征向量；
则

$$ Q^TAQ=\Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) $$

注意：

不同特征值的特征向量已经正交，不需要正交化；
同一特征值的多个特征向量需要正交化；
最后必须单位化。

7. 施密特正交化

设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，令：

$$ \beta_1=\alpha_1 $$

$$ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 $$

$$ \beta_3=\alpha_3-\frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1-\frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2 $$

依次类推。

单位化：

$$ \gamma_i=\frac{\beta_i}{|\beta_i|} $$

8. 相似对角化与正交对角化

类型	条件	变换矩阵	结果
相似对角化	$A$ 可对角化	可逆矩阵 $P$	$P^{-1}AP=\Lambda$
正交对角化	$A$ 为实对称矩阵	正交矩阵 $Q$	$Q^TAQ=\Lambda$

注意：

相似对角化不要求 $A$ 对称；
正交对角化要求 $A$ 为实对称矩阵；
正交矩阵满足 $Q^{-1}=Q^T$。

9. 常用结论

（1）可对角化判断：

$$ A\text{ 可对角化} \iff \text{有 }n\text{ 个线性无关的特征向量} $$

（2）实对称矩阵：

$$ A\text{ 为实对称矩阵} \Rightarrow A\text{ 可正交对角化} $$

（3）特征值重数：

$$ \text{几何重数}\le\text{代数重数} $$

（4）秩与特征值：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$

（5）迹与行列式：

$$ \text{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n $$

$$ |A|=\lambda_1\cdots\lambda_n $$

（6）相似不变量：

特征值；
迹；
行列式；
秩；
特征多项式。

10. 矩阵幂的计算

若 $A$ 可对角化：

$$ A=P\Lambda P^{-1} $$

则：

$$ A^k=P\Lambda^kP^{-1} $$

其中：

$$ \Lambda^k= \begin{pmatrix} \lambda_1^k & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2^k & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n^k \end{pmatrix} $$

例：

$$ A^{10}=P\Lambda^{10}P^{-1} $$

二、使用条件

1. 可对角化的使用条件

$A$ 为 $n$ 阶方阵；
$A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量；
或每个特征值的几何重数等于代数重数。

2. 实对称矩阵正交对角化的使用条件

$A$ 为实对称矩阵；
特征值全为实数；
不同特征值的特征向量正交；
同一特征值的特征向量需正交化。

3. 施密特正交化的使用条件

向量组线性无关；
用于同一特征值的多个特征向量。

4. 矩阵幂的使用条件

$A$ 可对角化；
计算 $A^k$ 时使用。

5. 相似对角化与正交对角化的区别

相似对角化：$P$ 可逆即可；
正交对角化：$Q$ 必须正交，要求 $A$ 为实对称矩阵。

三、典型题型

题型1：判断是否可对角化

例1

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2\\ 3 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

$$ (1-\lambda)(2-\lambda)-6=0 $$

$$ \lambda^2-3\lambda-4=0 $$

$$ (\lambda-4)(\lambda+1)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=4,\quad\lambda_2=-1 $$

两个不同的特征值，所以 $A$ 可对角化。

例2

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1\\ 0 & 1-\lambda \end{vmatrix} =(1-\lambda)^2=0 $$

所以：

$$ \lambda=1\text{（二重）} $$

对 $\lambda=1$：

$$ A-E= \begin{pmatrix} 0 & 1\ 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ r(A-E)=1 $$

线性无关的特征向量个数为：

$$ n-r(A-E)=2-1=1<2 $$

所以 $A$ 不可对角化。

例3

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

特征值为 $2$（二重）、$3$。

对 $\lambda=2$：

$$ A-2E= \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r(A-2E)=2 $$

线性无关的特征向量个数为：

$$ 3-2=1<2 $$

所以 $A$ 不可对角化。

例4

判断

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

是否可对角化。

解：

$A$ 已经是对角矩阵，显然可对角化。

题型2：求可逆矩阵使 $A$ 对角化

例5

求可逆矩阵 $P$，使

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

对角化。

解：

由例1：

$$ \lambda_1=4,\quad\lambda_2=-1 $$

对 $\lambda_1=4$：

$$ A-4E= \begin{pmatrix} -3 & 2\\ 3 & -2 \end{pmatrix} $$

$$ -3x_1+2x_2=0 $$

取 $x_1=2$，$x_2=3$：

$$ \alpha_1=(2,3)^T $$

对 $\lambda_2=-1$：

$$ A+E= \begin{pmatrix} 2 & 2\\ 3 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ x_1+x_2=0 $$

取 $x_1=1$，$x_2=-1$：

$$ \alpha_2=(1,-1)^T $$

令：

$$ P=(\alpha_1,\alpha_2)= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{pmatrix} $$

则：

$$ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

例6

求可逆矩阵 $P$，使

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

对角化。

解：

特征值为 $1,3$。

对 $\lambda=1$：

$$ A-E= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

取 $\alpha_1=(1,-1)^T$。

对 $\lambda=3$：

$$ A-3E= \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} $$

取 $\alpha_2=(1,1)^T$。

令：

$$ P= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} $$

则：

$$ P^{-1}AP= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

题型3：实对称矩阵正交对角化

例7

将

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

正交对角化。

解：

由例6：

$$ \lambda_1=1,\quad\alpha_1=(1,-1)^T $$

$$ \lambda_2=3,\quad\alpha_2=(1,1)^T $$

不同特征值的特征向量已经正交。

单位化：

$$ \beta_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1)^T $$

$$ \beta_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1)^T $$

令：

$$ Q=(\beta_1,\beta_2)= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2}\\ -\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \end{pmatrix} $$

则：

$$ Q^TAQ= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

例8

将

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

正交对角化。

解：

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1 & 0\\ 1 & 1-\lambda & 0\\ 0 & 0 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

计算：

$$ \lbrack(1-\lambda)^2-1\rbrack(2-\lambda)=0 $$

$$ \lbrack\lambda^2-2\lambda\rbrack(2-\lambda)=0 $$

$$ \lambda(\lambda-2)(2-\lambda)=0 $$

所以：

$$ \lambda_1=0,\quad\lambda_2=\lambda_3=2 $$

对 $\lambda=0$：

$$ A-0E= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ x_1+x_2=0,\quad x_3=0 $$

取 $\alpha_1=(1,-1,0)^T$。

对 $\lambda=2$：

$$ A-2E= \begin{pmatrix} -1 & 1 & 0\\ 1 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ x_1=x_2,\quad x_3\text{ 任意} $$

取 $\alpha_2=(1,1,0)^T$，$\alpha_3=(0,0,1)^T$。

$\alpha_2$ 与 $\alpha_3$ 已经正交。

单位化：

$$ \beta_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)^T $$

$$ \beta_2=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0)^T $$

$$ \beta_3=(0,0,1)^T $$

令：

$$ Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3)= \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ -\frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

则：

$$ Q^TAQ= \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

例9

将

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} $$

正交对角化。

解：

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 2\\ 2 & 1-\lambda & 2\\ 2 & 2 & 1-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

计算：

$$ (1-\lambda)^3+16-12(1-\lambda)=0 $$

$$ (1-\lambda)^3-12(1-\lambda)+16=0 $$

令 $t=1-\lambda$：

$$ t^3-12t+16=0 $$

$$ (t-2)^2(t+4)=0 $$

所以：

$$ t=2\quad\text{或}\quad t=-4 $$

即：

$$ \lambda_1=\lambda_2=-1,\quad\lambda_3=5 $$

对 $\lambda=-1$：

$$ A+E= \begin{pmatrix} 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2\\ 2 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ x_1+x_2+x_3=0 $$

取：

$$ \alpha_1=(1,-1,0)^T,\quad\alpha_2=(1,0,-1)^T $$

正交化：

$$ \beta_1=(1,-1,0)^T $$

$$ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 $$

$$ =(1,0,-1)^T-\frac12(1,-1,0)^T =\left(\frac12,\frac12,-1\right)^T $$

对 $\lambda=5$：

$$ A-5E= \begin{pmatrix} -4 & 2 & 2\\ 2 & -4 & 2\\ 2 & 2 & -4 \end{pmatrix} $$

$$ x_1=x_2=x_3 $$

取 $\alpha_3=(1,1,1)^T$。

单位化：

$$ \beta_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,-1,0)^T $$

$$ \beta_2=\frac{1}{\sqrt{3/2}}\left(\frac12,\frac12,-1\right)^T $$

$$ \beta_3=\frac{1}{\sqrt3}(1,1,1)^T $$

令：

$$ Q=(\beta_1,\beta_2,\beta_3) $$

则：

$$ Q^TAQ= \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix} $$

题型4：利用对角化求矩阵幂

例10

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

求 $A^{10}$。

解：

由例5：

$$ P= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{pmatrix}, \quad \Lambda= \begin{pmatrix} 4 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

$$ P^{-1}=\frac{1}{-5} \begin{pmatrix} -1 & -1\\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac15 & \frac15\\ \frac35 & -\frac25 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{10}=P\Lambda^{10}P^{-1} $$

$$ = \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4^{10} & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac15 & \frac15\\ \frac35 & -\frac25 \end{pmatrix} $$

计算略。

例11

设

$$ A= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

求 $A^{10}$。

解：

由例6：

$$ P= \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}, \quad \Lambda= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 3 \end{pmatrix} $$

$$ P^{-1}=\frac12 \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{10}=P\Lambda^{10}P^{-1} $$

$$ = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\ 0 & 3^{10} \end{pmatrix} \frac12 \begin{pmatrix} 1 & -1\\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ =\frac12 \begin{pmatrix} 1+3^{10} & -1+3^{10}\\ -1+3^{10} & 1+3^{10} \end{pmatrix} $$

题型5：实对称矩阵的性质

例12

设 $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A|$、$\text{tr}(A)$。

解：

$$ |A|=1\times2\times3=6 $$

$$ \text{tr}(A)=1+2+3=6 $$

例13

设 $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，特征值为 $1,1,2$，求 $r(A)$。

解：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数}=3 $$

例14

设 $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，特征值为 $1,0,0$，求 $r(A)$。

解：

$$ r(A)=1 $$

题型6：相似对角化与正交对角化综合

例15

设

$$ A= \begin{pmatrix} 3 & 2 & 4\\ 2 & 0 & 2\\ 4 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$

求正交矩阵 $Q$，使 $Q^TAQ$ 为对角矩阵。

解：

特征方程：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 3-\lambda & 2 & 4\\ 2 & -\lambda & 2\\ 4 & 2 & 3-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

计算：

$$ (3-\lambda)[-\lambda(3-\lambda)-4]-2[2(3-\lambda)-8]+4[4+4\lambda]=0 $$

展开求解略。

题型7：可对角化与秩

例16

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$A^2=A$，且 $r(A)=2$，判断 $A$ 是否可对角化。

解：

由 $A^2=A$，特征值只能是 $0$ 或 $1$。

又 $r(A)=2$，所以非零特征值有 $2$ 个：

$$ \lambda_1=\lambda_2=1,\quad\lambda_3=0 $$

对 $\lambda=1$：

$$ r(A-E)=? $$

由 $r(A)=2$，$A$ 可对角化（因为 $A^2=A$ 的矩阵一定可对角化）。

例17

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,1,2$，且 $r(A-E)=1$，判断 $A$ 是否可对角化。

解：

对 $\lambda=1$：

$$ n-r(A-E)=3-1=2 $$

几何重数为 $2$，代数重数为 $2$，相等。

对 $\lambda=2$：

几何重数为 $1$，代数重数为 $1$，相等。

所以 $A$ 可对角化。

题型8：对角化与二次型

例18

设二次型

$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$

的矩阵为 $A$，求正交变换将 $f$ 化为标准形。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

求特征值、特征向量，然后正交化、单位化，构造正交矩阵 $Q$。

令 $x=Qy$，则：

$$ f=y^TQ^TAQy=\lambda_1y_1^2+\lambda_2y_2^2+\lambda_3y_3^2 $$

题型9：对角化与微分方程

例19

解微分方程组

$$ \begin{cases} x'=x+y\\ y'=x-y \end{cases} $$

解：

写成矩阵形式：

$$ \begin{pmatrix} x'\\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix} $$

求特征值：

$$ |A-\lambda E|= \begin{vmatrix} 1-\lambda & 1\\ 1 & -1-\lambda \end{vmatrix} =0 $$

$$ (1-\lambda)(-1-\lambda)-1=0 $$

$$ \lambda^2-2=0 $$

$$ \lambda=\pm\sqrt2 $$

求特征向量，对角化，然后求解。

题型10：综合应用

例20

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{pmatrix} $$

求 $A^{10}$。

解：

由例10已求。

例21

设 $A$ 为 $3$ 阶实对称矩阵，特征值为 $1,2,3$，求 $|A^2-3A+2E|$。

解：

设 $f(x)=x^2-3x+2$，则 $f(A)$ 的特征值为：

$$ f(1)=0,\quad f(2)=0,\quad f(3)=2 $$

所以：

$$ |A^2-3A+2E|=0\times0\times2=0 $$

四、易错提醒

易错1：可对角化与可逆混淆

可逆：$|A|\neq0$；
可对角化：有 $n$ 个线性无关的特征向量。

易错2：有 $n$ 个不同特征值才可对角化

错误。

有 $n$ 个不同特征值是可对角化的充分条件，不是必要条件。

易错3：实对称矩阵特征值一定不同

错误。

实对称矩阵特征值可能相同，但一定可对角化。

易错4：正交对角化忘记单位化

正交对角化时，特征向量必须单位化。

易错5：不同特征值的特征向量需要正交化

错误。

不同特征值的特征向量已经正交，不需要正交化。

同一特征值的多个特征向量需要正交化。

易错6：$P$ 的列向量顺序与 $\Lambda$ 对角线元素顺序不对应

$P$ 的列向量顺序必须与 $\Lambda$ 的对角线元素顺序对应。

易错7：可对角化条件记错

可对角化 $\iff$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。

易错8：几何重数与代数重数混淆

代数重数：特征值在特征方程中的重数；
几何重数：$n-r(A-\lambda E)$。

$$ \text{几何重数}\le\text{代数重数} $$

易错9：实对称矩阵正交对角化矩阵不唯一

正确。

正交矩阵 $Q$ 不唯一，但 $Q^TAQ$ 的对角线元素是特征值。

易错10：矩阵幂计算时忘记 $P^{-1}$

$$ A^k=P\Lambda^kP^{-1} $$

不要漏掉 $P^{-1}$。

易错11：施密特正交化公式记错

$$ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 $$

易错12：相似对角化与正交对角化混淆

相似对角化：$P^{-1}AP=\Lambda$，$P$ 可逆；
正交对角化：$Q^TAQ=\Lambda$，$Q$ 正交。

五、真题链接思路

真题方向1：判断是否可对角化

常见形式：

$$ A\text{ 是否可对角化？} $$

处理方法：

求特征值；
对每个特征值求 $n-r(A-\lambda E)$；
判断是否等于代数重数。

真题方向2：求可逆矩阵使 $A$ 对角化

常见形式：

$$ P^{-1}AP=\Lambda $$

处理方法：

求特征值；
求特征向量；
构造 $P$。

真题方向3：实对称矩阵正交对角化

常见形式：

$$ Q^TAQ=\Lambda $$

处理方法：

求特征值；
求特征向量；
正交化、单位化；
构造 $Q$。

真题方向4：利用对角化求矩阵幂

常见形式：

$$ A^k=? $$

处理方法：

对角化 $A=P\Lambda P^{-1}$；
$A^k=P\Lambda^kP^{-1}$；
计算。

真题方向5：实对称矩阵的性质

常见形式：

求 $|A|$、$\text{tr}(A)$；
求 $r(A)$；
求 $|f(A)|$。

处理方法：

利用特征值性质；
利用实对称矩阵性质。

真题方向6：对角化与二次型

常见形式：

化二次型为标准形；
判断正定性。

处理方法：

写出二次型矩阵；
正交对角化；
得到标准形。

真题方向7：对角化与微分方程

常见形式：

$$ \begin{cases} x'=ax+by\\ y'=cx+dy \end{cases} $$

处理方法：

写出矩阵；
对角化；
求解。

真题方向8：可对角化与秩

常见形式：

已知秩，判断是否可对角化；
已知可对角化，求秩。

处理方法：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$

六、记忆清单

对角化：

$$ P^{-1}AP=\Lambda $$

可对角化充要条件：

有 $n$ 个线性无关的特征向量。

可对角化充分条件：

$n$ 个不同特征值；
实对称矩阵。

几何重数与代数重数：

$$ n-r(A-\lambda E)=m_i $$

实对称矩阵：

特征值全为实数；
不同特征值的特征向量正交；
一定可正交对角化。

正交对角化：

$$ Q^TAQ=\Lambda $$

施密特正交化：

$$ \beta_2=\alpha_2-\frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 $$

单位化：

$$ \gamma_i=\frac{\beta_i}{|\beta_i|} $$

矩阵幂：

$$ A^k=P\Lambda^kP^{-1} $$

相似不变量：

特征值；
迹；
行列式；
秩；
特征多项式。

秩与特征值：

$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$

迹与行列式：

$$ \text{tr}(A)=\lambda_1+\cdots+\lambda_n $$

$$ |A|=\lambda_1\cdots\lambda_n $$

口诀：

可对角化看无关向量，$n$ 个无关才可行；
实对称矩阵必可对角化，正交矩阵 $Q$ 来帮忙；
不同特征值向量已正交，同一特征值需正交化；
最后全部要单位化，$Q^TAQ$ 得对角阵。

_{本教程共58节，当前为第45节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点42 矩阵对角化与实对称矩阵

一、核心公式与定义

1. 矩阵对角化的定义

2. 可对角化的充要条件

3. 可对角化的充分条件

4. 对角化的步骤

5. 实对称矩阵的性质

6. 实对称矩阵的正交对角化步骤

7. 施密特正交化

8. 相似对角化与正交对角化

9. 常用结论

10. 矩阵幂的计算

二、使用条件

1. 可对角化的使用条件

2. 实对称矩阵正交对角化的使用条件

3. 施密特正交化的使用条件

4. 矩阵幂的使用条件

5. 相似对角化与正交对角化的区别

三、典型题型

题型1：判断是否可对角化

题型2：求可逆矩阵使 $A$ 对角化

题型3：实对称矩阵正交对角化

题型4：利用对角化求矩阵幂

题型5：实对称矩阵的性质

题型6：相似对角化与正交对角化综合

题型7：可对角化与秩

题型8：对角化与二次型

题型9：对角化与微分方程

题型10：综合应用

四、易错提醒

易错1：可对角化与可逆混淆

易错2：有 $n$ 个不同特征值才可对角化

易错3：实对称矩阵特征值一定不同

易错4：正交对角化忘记单位化

易错5：不同特征值的特征向量需要正交化

易错6：$P$ 的列向量顺序与 $\Lambda$ 对角线元素顺序不对应

易错7：可对角化条件记错

易错8：几何重数与代数重数混淆

易错9：实对称矩阵正交对角化矩阵不唯一

易错10：矩阵幂计算时忘记 $P^{-1}$

易错11：施密特正交化公式记错

易错12：相似对角化与正交对角化混淆

五、真题链接思路

真题方向1：判断是否可对角化

真题方向2：求可逆矩阵使 $A$ 对角化

真题方向3：实对称矩阵正交对角化

真题方向4：利用对角化求矩阵幂

真题方向5：实对称矩阵的性质

真题方向6：对角化与二次型

真题方向7：对角化与微分方程

真题方向8：可对角化与秩

六、记忆清单

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