《考研数学核心考点公式大全》

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1 百分冲刺复习计划

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2 函数、极限与连续

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3 一元函数微分学

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4 一元函数积分学

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5 多元函数微分学

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6 多元函数积分学

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7 常微分方程

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8 行列式

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9 矩阵

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10 向量

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11 线性方程组

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12 特征值与特征向量

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13 二次型

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14 随机事件与概率

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15 随机变量及其分布

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16 数字特征

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17 数理统计

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18 附录

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适用：数一、数二、数三通用
地位：线性代数的核心内容，直接支撑线性方程组、特征值、二次型
核心任务：理解向量组的秩，掌握极大无关组求法，理解基、维数、坐标

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一、核心公式与定义

1. 向量组的秩

定义：

向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的极大线性无关组中所含向量的个数，称为该向量组的秩，记作

$$ r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) $$

规定：

只含零向量的向量组的秩为 $0$。

重要结论：

• 向量组线性无关 $\iff$ 其秩等于向量个数；
• 向量组线性相关 $\iff$ 其秩小于向量个数；
• 矩阵的秩等于其行向量组的秩，也等于其列向量组的秩。

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2. 矩阵的秩与向量组的秩

重要定理：

设

$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) $$

则：

$$ r(A)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) $$

即矩阵的秩等于其列向量组的秩。

同理：

$$ r(A)=r(\text{行向量组}) $$

注意：

• 矩阵的秩 = 行向量组的秩 = 列向量组的秩；
• 三者相等，但含义不同。

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3. 极大无关组的求法

步骤：

1. 以向量组为列构成矩阵 $A$；
2. 对 $A$ 施行初等行变换，化为行阶梯形；
3. 行阶梯形中主元所在列对应的原向量即为极大无关组。

注意：

• 初等行变换不改变列向量组的线性关系；
• 主元所在列对应的原向量构成极大无关组；
• 极大无关组不唯一，但所含向量个数唯一。

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4. 向量组的等价

定义：

若向量组 $T_1$ 中每个向量都可由向量组 $T_2$ 线性表示，且 $T_2$ 中每个向量都可由 $T_1$ 线性表示，则称 $T_1$ 与 $T_2$ 等价。

等价条件：

$$ T_1\sim T_2\iff r(T_1)=r(T_2)=r(T_1\cup T_2) $$

重要结论：

• 等价的向量组秩相等；
• 秩相等的向量组不一定等价；
• 若 $T_1$ 可由 $T_2$ 线性表示，则

$$ r(T_1)\le r(T_2) $$

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5. 向量空间

定义：

设 $V$ 是 $n$ 维向量的非空集合，若 $V$ 对加法和数乘封闭，即：

• 若 $\alpha,\beta\in V$，则 $\alpha+\beta\in V$；
• 若 $\alpha\in V$，$k\in\mathbb R$，则 $k\alpha\in V$。

则称 $V$ 为向量空间。

常见向量空间：

• $\mathbb R^n$：所有 $n$ 维实向量；
• 齐次方程组 $Ax=0$ 的解空间；
• 矩阵的列空间、行空间、零空间。

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6. 基、维数与坐标

基：

向量空间 $V$ 中的一个线性无关组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_r$，若 $V$ 中任一向量都可由它线性表示，则称 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 为 $V$ 的一组基。

维数：

基中所含向量的个数 $r$ 称为 $V$ 的维数，记作

$$ \dim V=r $$

坐标：

若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 是 $V$ 的一组基，$\beta\in V$，则存在唯一的一组数 $k_1,\cdots,k_r$，使得

$$ \beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r $$

称 $(k_1,\cdots,k_r)$ 为 $\beta$ 在基 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 下的坐标。

注意：

• 基不唯一，但维数唯一；
• 坐标依赖于基的选择。

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7. 齐次线性方程组的解空间

定义：

齐次线性方程组 $Ax=0$ 的所有解构成的集合称为解空间，记作

$$ N(A)={x\mid Ax=0} $$

重要结论：

• $N(A)$ 是向量空间；
• $\dim N(A)=n-r(A)$，其中 $n$ 为未知数个数；
• $N(A)$ 的一组基即为 $Ax=0$ 的基础解系。

基础解系：

含 $n-r(A)$ 个线性无关的解向量，且所有解都可由其线性表示。

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8. 矩阵的列空间与行空间

列空间：

矩阵 $A$ 的列向量组张成的空间，记作

$$ C(A)=\text{span}{\alpha_1,\cdots,\alpha_n} $$

其中 $\alpha_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列。

行空间：

矩阵 $A$ 的行向量组张成的空间，记作

$$ R(A)=\text{span}{\beta_1,\cdots,\beta_m} $$

其中 $\beta_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 行。

重要结论：

$$ \dim C(A)=\dim R(A)=r(A) $$

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9. 矩阵的零空间

定义：

$$ N(A)={x\mid Ax=0} $$

维数公式：

$$ \dim N(A)=n-r(A) $$

其中 $n$ 为 $A$ 的列数。

秩-零化度定理：

$$ r(A)+\dim N(A)=n $$

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10. 常用结论

（1）向量组秩的不等式：

$$ r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\le s $$

$$ r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\le n $$

其中 $n$ 为向量维数。

（2）部分组与整体组：

$$ r(\text{部分组})\le r(\text{整体组}) $$

（3）线性表示与秩：

若 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性表示，则

$$ r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s) $$

（4）向量组等价：

$$ T_1\sim T_2\Rightarrow r(T_1)=r(T_2) $$

（5）矩阵的秩：

$$ r(A)=r(A^T) $$

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$

$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$

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二、使用条件

1. 向量组的秩的使用条件

• 极大无关组中向量个数；
• 矩阵的秩等于列向量组的秩。

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2. 极大无关组求法的使用条件

• 以向量为列构成矩阵；
• 初等行变换化为行阶梯形；
• 主元所在列对应原向量。

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3. 向量空间的使用条件

• 对加法和数乘封闭；
• 齐次方程组解空间是向量空间。

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4. 基与维数的使用条件

• 基是线性无关组；
• 任一向量都可由基线性表示；
• 维数等于基中向量个数。

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5. 解空间的使用条件

• 齐次线性方程组；
• 基础解系含 $n-r(A)$ 个向量。

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6. 秩-零化度定理的使用条件

• $A$ 为 $m\times n$ 矩阵；
• $n$ 为列数。

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三、典型题型

题型1：求向量组的秩

例1

求向量组

$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(1,0,1)^T $$

的秩。

解：

以向量为列构成矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=2 $$

即向量组的秩为 $2$。

例2

求向量组

$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,5)^T $$

的秩。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=2 $$

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题型2：求极大无关组

例3

求向量组

$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(1,0,1)^T,\quad \alpha_4=(0,1,1)^T $$

的极大无关组。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1\\ 3 & 6 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

主元在第 $1$、$3$ 列，所以极大无关组为：

$$ \alpha_1,\alpha_3 $$

且：

$$ r=2 $$

例4

求向量组

$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,5)^T,\quad \alpha_4=(1,4,7)^T $$

的极大无关组。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

主元在第 $1$、$2$ 列，所以极大无关组为：

$$ \alpha_1,\alpha_2 $$

且：

$$ r=2 $$

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题型3：向量组的等价

例5

判断向量组

$$ T_1:\alpha_1=(1,0)^T,\ \alpha_2=(0,1)^T $$

与

$$ T_2:\beta_1=(1,1)^T,\ \beta_2=(1,-1)^T $$

是否等价。

解：

$T_1$ 的秩为 $2$，$T_2$ 的秩为 $2$。

且 $T_1$ 可由 $T_2$ 线性表示：

$$ \alpha_1=\frac12\beta_1+\frac12\beta_2 $$

$$ \alpha_2=\frac12\beta_1-\frac12\beta_2 $$

$T_2$ 可由 $T_1$ 线性表示：

$$ \beta_1=\alpha_1+\alpha_2 $$

$$ \beta_2=\alpha_1-\alpha_2 $$

所以 $T_1\sim T_2$。

例6

判断向量组

$$ T_1:\alpha_1=(1,0)^T,\ \alpha_2=(0,1)^T $$

与

$$ T_2:\beta_1=(1,0)^T,\ \beta_2=(0,1)^T,\ \beta_3=(1,1)^T $$

是否等价。

解：

$T_1$ 的秩为 $2$，$T_2$ 的秩为 $2$。

$T_2$ 可由 $T_1$ 线性表示：

$$ \beta_1=\alpha_1,\quad\beta_2=\alpha_2,\quad\beta_3=\alpha_1+\alpha_2 $$

$T_1$ 可由 $T_2$ 线性表示：

$$ \alpha_1=\beta_1,\quad\alpha_2=\beta_2 $$

所以 $T_1\sim T_2$。

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题型4：向量空间与基

例7

证明

$$ V={(x,0,z)^T\mid x,z\in\mathbb R} $$

是向量空间，并求其维数和一组基。

证明：

对加法封闭：

$$ (x_1,0,z_1)+(x_2,0,z_2)=(x_1+x_2,0,z_1+z_2)\in V $$

对数乘封闭：

$$ k(x,0,z)=(kx,0,kz)\in V $$

所以 $V$ 是向量空间。

取

$$ \alpha_1=(1,0,0)^T,\quad\alpha_2=(0,0,1)^T $$

则 $V$ 中任一向量

$$ (x,0,z)=x\alpha_1+z\alpha_2 $$

且 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性无关，所以 $\alpha_1,\alpha_2$ 是 $V$ 的一组基。

$$ \dim V=2 $$

例8

求齐次线性方程组

$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ x_1+2x_2+3x_3=0 \end{cases} $$

的解空间的维数和一组基。

解：

系数矩阵：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ r(A)=2 $$

所以解空间维数：

$$ \dim N(A)=n-r(A)=3-2=1 $$

解方程组：

$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=0\\ x_2+2x_3=0 \end{cases} $$

由第二式：

$$ x_2=-2x_3 $$

代入第一式：

$$ x_1-2x_3+x_3=0\Rightarrow x_1=x_3 $$

令 $x_3=1$：

$$ \xi=(1,-2,1)^T $$

所以基础解系为 $\xi$，解空间的一组基为 $\xi$。

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题型5：解空间与基础解系

例9

求齐次线性方程组

$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=0\\ 2x_1+4x_2+6x_3=0 \end{cases} $$

的解空间的维数和一组基。

解：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-2r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ r(A)=1 $$

所以解空间维数：

$$ \dim N(A)=3-1=2 $$

解方程：

$$ x_1+2x_2+3x_3=0 $$

令 $x_2=1$，$x_3=0$：

$$ x_1=-2 $$

得：

$$ \xi_1=(-2,1,0)^T $$

令 $x_2=0$，$x_3=1$：

$$ x_1=-3 $$

得：

$$ \xi_2=(-3,0,1)^T $$

所以基础解系为 $\xi_1,\xi_2$，解空间的一组基为 $\xi_1,\xi_2$。

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题型6：矩阵的列空间与行空间

例10

求矩阵

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$

的列空间的维数和一组基。

解：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ r(A)=1 $$

所以列空间维数为 $1$。

列空间的一组基为第一列：

$$ \alpha_1=(1,2,3)^T $$

例11

求矩阵

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

的行空间的维数和一组基。

解：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

$$ r(A)=2 $$

所以行空间维数为 $2$。

行空间的一组基为：

$$ \beta_1=(1,2,3),\quad\beta_2=(0,-3,-6) $$

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题型7：秩-零化度定理

例12

设 $A$ 为 $4\times 6$ 矩阵，$r(A)=3$，求 $\dim N(A)$。

解：

$$ \dim N(A)=n-r(A)=6-3=3 $$

例13

设 $A$ 为 $5\times 4$ 矩阵，$r(A)=4$，求 $\dim N(A)$。

解：

$$ \dim N(A)=4-4=0 $$

即 $Ax=0$ 只有零解。

例14

设 $A$ 为 $3\times 5$ 矩阵，$r(A)=2$，求 $Ax=0$ 的基础解系所含向量个数。

解：

基础解系含：

$$ n-r(A)=5-2=3 $$

个向量。

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题型8：坐标与基变换

例15

在 $\mathbb R^2$ 中，取基

$$ \alpha_1=(1,0)^T,\quad\alpha_2=(0,1)^T $$

求 $\beta=(3,4)^T$ 在该基下的坐标。

解：

$$ \beta=3\alpha_1+4\alpha_2 $$

所以坐标为：

$$ (3,4) $$

例16

在 $\mathbb R^2$ 中，取基

$$ \beta_1=(1,1)^T,\quad\beta_2=(1,-1)^T $$

求 $\alpha=(3,1)^T$ 在该基下的坐标。

解：

设

$$ \alpha=k_1\beta_1+k_2\beta_2 $$

即：

$$ (3,1)=k_1(1,1)+k_2(1,-1) $$

分量形式：

$$ \begin{cases} k_1+k_2=3\\ k_1-k_2=1 \end{cases} $$

解得：

$$ k_1=2,\quad k_2=1 $$

所以坐标为：

$$ (2,1) $$

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题型9：向量组的秩与线性表示

例17

设

$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,5,8)^T,\quad \beta=(3,7,11)^T $$

判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示，并求秩。

解：

$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,\beta)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 8 & 11 \end{pmatrix} $$

行变换：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=2 $$

而：

$$ r(\alpha_1,\alpha_2)=2 $$

所以：

$$ r(\alpha_1,\alpha_2)=r(\alpha_1,\alpha_2,\beta)=2 $$

$\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。

例18

设

$$ \alpha_1=(1,0,0)^T,\quad \alpha_2=(0,1,0)^T,\quad \beta=(1,1,1)^T $$

判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。

解：

$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,\beta)= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r(A)=3 $$

而：

$$ r(\alpha_1,\alpha_2)=2 $$

所以：

$$ r(\alpha_1,\alpha_2)\neq r(\alpha_1,\alpha_2,\beta) $$

$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。

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题型10：向量组的秩与矩阵的秩综合

例19

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵，证明

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$

证明：

$AB$ 的列向量是 $A$ 的列向量的线性组合，所以 $AB$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示，因此：

$$ r(AB)\le r(A) $$

同理，$AB$ 的行向量是 $B$ 的行向量的线性组合，所以：

$$ r(AB)\le r(B) $$

因此：

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$

例20

设 $A$ 为 $3\times 4$ 矩阵，$r(A)=2$，$B$ 为 $4\times 3$ 矩阵，$r(B)=3$，求 $r(AB)$。

解：

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)}=\min{2,3}=2 $$

又由 Sylvester 不等式：

$$ r(AB)\ge r(A)+r(B)-4=2+3-4=1 $$

所以：

$$ 1\le r(AB)\le2 $$

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四、易错提醒

易错1：向量组的秩与矩阵的秩混淆

• 向量组的秩：极大无关组中向量个数；
• 矩阵的秩：非零子式的最高阶数；
• 两者相等：$r(A)=r(\text{列向量组})=r(\text{行向量组})$。

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易错2：极大无关组不唯一

极大无关组不唯一，但所含向量个数唯一。

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易错3：求极大无关组时用列变换

求极大无关组只能用初等行变换，不能用列变换。

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易错4：主元所在列对应原向量搞错

主元所在列对应的是原矩阵的列向量，不是行变换后的列向量。

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易错5：向量组等价与矩阵等价混淆

• 向量组等价：两个向量组可互相线性表示；
• 矩阵等价：经过初等变换可互化。

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易错6：秩相等就等价

错误。

秩相等的向量组不一定等价。

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易错7：解空间维数公式记错

$$ \dim N(A)=n-r(A) $$

其中 $n$ 为未知数个数（列数）。

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易错8：基础解系所含向量个数记错

基础解系含 $n-r(A)$ 个向量。

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易错9：秩-零化度定理用错

$$ r(A)+\dim N(A)=n $$

其中 $n$ 为 $A$ 的列数。

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易错10：列空间与行空间维数混淆

$$ \dim C(A)=\dim R(A)=r(A) $$

两者相等，但空间不同。

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易错11：坐标依赖于基的选择

同一向量在不同基下的坐标不同。

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易错12：向量组秩的不等式方向搞错

$$ r(\text{部分组})\le r(\text{整体组}) $$

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五、真题链接思路

真题方向1：求向量组的秩

常见形式：

$$ r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)=? $$

处理方法：

1. 以向量为列构成矩阵；
2. 初等行变换化为行阶梯形；
3. 非零行数即为秩。

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真题方向2：求极大无关组

常见形式：

• 求极大无关组；
• 将其余向量用极大无关组表示。

处理方法：

1. 构造矩阵；
2. 化为行最简形；
3. 主元所在列对应原向量为极大无关组；
4. 其余向量由主元列表示。

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真题方向3：向量组的等价

常见形式：

$$ T_1\sim T_2? $$

处理方法：

1. 求 $r(T_1)$、$r(T_2)$；
2. 判断能否互相线性表示；
3. 利用等价条件。

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真题方向4：解空间与基础解系

常见形式：

• 求 $Ax=0$ 的基础解系；
• 求解空间维数。

处理方法：

1. 求 $r(A)$；
2. 基础解系含 $n-r(A)$ 个向量；
3. 解方程组求基础解系。

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真题方向5：秩-零化度定理

常见形式：

$$ \dim N(A)=? $$

处理方法：

$$ \dim N(A)=n-r(A) $$

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真题方向6：坐标与基变换

常见形式：

• 求向量在给定基下的坐标；
• 求基变换矩阵。

处理方法：

1. 设 $\beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_r\alpha_r$；
2. 解方程组；
3. 求出坐标。

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真题方向7：向量组的秩与矩阵的秩综合

常见形式：

$$ r(AB),\quad r(A+B) $$

处理方法：

1. 利用秩的不等式；
2. 利用 Sylvester 不等式；
3. 利用向量组的线性关系。

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真题方向8：向量空间

常见形式：

• 证明某集合是向量空间；
• 求维数和基。

处理方法：

1. 验证对加法和数乘封闭；
2. 找一组基；
3. 求维数。

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六、记忆清单

向量组的秩：

极大无关组中向量个数。

矩阵的秩：

$$ r(A)=r(\text{列向量组})=r(\text{行向量组}) $$

极大无关组求法：

1. 以向量为列构成矩阵；
2. 初等行变换化为行阶梯形；
3. 主元所在列对应原向量。

向量组等价：

$$ T_1\sim T_2\iff r(T_1)=r(T_2)=r(T_1\cup T_2) $$

向量空间：

对加法和数乘封闭。

基与维数：

• 基：线性无关且可表示所有向量；
• 维数：基中向量个数。

解空间：

$$ \dim N(A)=n-r(A) $$

基础解系：

含 $n-r(A)$ 个向量。

秩-零化度定理：

$$ r(A)+\dim N(A)=n $$

列空间与行空间：

$$ \dim C(A)=\dim R(A)=r(A) $$

重要不等式：

$$ r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)\le s $$

$$ r(\text{部分组})\le r(\text{整体组}) $$

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$

$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$

线性表示与秩：

$$ \beta\text{ 可由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示} \iff r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta)=r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s) $$

口诀：

向量组秩极大无关组，矩阵秩行列向量组；
求秩用行变换，主元列对应原向量；
等价充要秩相等，解空间维数 $n$ 减秩；
基础解系 $n$ 减秩，秩零化度定理记心间。

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