类型	形式	特点	换元	降阶后
类型一	$y^{(n)}=f(x)$	只含 $x$	无	逐次积分
类型二	$y''=f(x,y')$	不显含 $y$	$p=y'$	$p'=f(x,p)$
类型三	$y''=f(y,y')$	不显含 $x$	$p=y'$	$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

6. 降阶法的基本步骤

类型二步骤：

确认方程不显含 $y$；
令 $p=y'$，则 $y''=p'$；
代入原方程，得到关于 $p$ 的一阶方程；
解出 $p=p(x,C_1)$；
积分得 $y=\int pdx+C_2$。

类型三步骤：

确认方程不显含 $x$；
令 $p=y'$，则 $y''=p\frac{dp}{dy}$；
代入原方程，得到关于 $p$ 和 $y$ 的一阶方程；
解出 $p=p(y,C_1)$；
由 $\frac{dy}{dx}=p$ 分离变量积分；
得 $x=\int\frac{dy}{p}+C_2$。

7. 常用积分公式

$$ \int x^ndx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq-1 $$

$$ \int\frac1xdx=\ln|x|+C $$

$$ \int e^xdx=e^x+C $$

$$ \int\sin xdx=-\cos x+C $$

$$ \int\cos xdx=\sin x+C $$

$$ \int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C $$

$$ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C $$

$$ \int\frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C $$

$$ \int\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $$

二、使用条件

1. 类型一的使用条件

方程形式为 $y^{(n)}=f(x)$；
右端只含 $x$；
逐次积分即可。

2. 类型二的使用条件

方程形式为 $y''=f(x,y')$；
方程中不显含 $y$；
令 $p=y'$ 后，得到关于 $p$ 的一阶方程。

3. 类型三的使用条件

方程形式为 $y''=f(y,y')$；
方程中不显含 $x$；
令 $p=y'$ 后，得到关于 $p$ 和 $y$ 的一阶方程。

4. 降阶法的注意事项

换元后要正确写出 $y''$ 的表达式；
类型二中 $y''=p'$；
类型三中 $y''=p\frac{dp}{dy}$；
求出 $p$ 后要回代并继续积分；
通解中任意常数个数等于方程阶数。

三、典型题型

题型1：类型一 $y^{(n)}=f(x)$

例1

求解

$$ y'''=e^x $$

解：

积分一次：

$$ y''=e^x+C_1 $$

积分两次：

$$ y'=e^x+C_1x+C_2 $$

积分三次：

$$ y=e^x+\frac{C_1}{2}x^2+C_2x+C_3 $$

例2

求解

$$ y''=\sin x $$

解：

积分一次：

$$ y'=-\cos x+C_1 $$

积分两次：

$$ y=-\sin x+C_1x+C_2 $$

例3

求解

$$ y''=x^2 $$

解：

积分一次：

$$ y'=\frac{x^3}{3}+C_1 $$

积分两次：

$$ y=\frac{x^4}{12}+C_1x+C_2 $$

例4

求解

$$ y''=\frac{1}{x} $$

解：

积分一次：

$$ y'=\ln|x|+C_1 $$

积分两次：

$$ y=x\ln|x|-x+C_1x+C_2 $$

例5

求解

$$ y''=\frac{1}{1+x^2} $$

解：

积分一次：

$$ y'=\arctan x+C_1 $$

积分两次：

$$ y=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C_1x+C_2 $$

题型2：类型二 $y''=f(x,y')$

例6

求解

$$ y''=y' $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p' $$

代入：

$$ p'=p $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p}=dx $$

积分：

$$ \ln|p|=x+C_1 $$

所以：

$$ p=C_1e^x $$

即：

$$ y'=C_1e^x $$

积分：

$$ y=C_1e^x+C_2 $$

例7

求解

$$ xy''=y' $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p' $$

代入：

$$ xp'=p $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p}=\frac{dx}{x} $$

积分：

$$ \ln|p|=\ln|x|+C_1 $$

所以：

$$ p=C_1x $$

即：

$$ y'=C_1x $$

积分：

$$ y=\frac{C_1}{2}x^2+C_2 $$

例8

求解

$$ y''=x+y' $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p' $$

代入：

$$ p'=x+p $$

即：

$$ p'-p=x $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=-1,\quad Q(x)=x $$

积分因子：

$$ e^{-x} $$

通解：

$$ p=e^{x}\left[\int xe^{-x}dx+C_1\right] $$

而：

$$ \int xe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x} $$

所以：

$$ p=e^x\left[-xe^{-x}-e^{-x}+C_1\right] =-x-1+C_1e^x $$

即：

$$ y'=-x-1+C_1e^x $$

积分：

$$ y=-\frac{x^2}{2}-x+C_1e^x+C_2 $$

例9

求解

$$ y''=\frac{y'}{x}+x $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ p'=\frac px+x $$

即：

$$ p'-\frac1xp=x $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=-\frac1x,\quad Q(x)=x $$

积分因子：

$$ e^{-\ln|x|}=\frac1x $$

通解：

$$ p=e^{\ln|x|}\left[\int x\cdot\frac1xdx+C_1\right] =x\left[\int 1dx+C_1\right] =x(x+C_1) $$

即：

$$ y'=x^2+C_1x $$

积分：

$$ y=\frac{x^3}{3}+\frac{C_1}{2}x^2+C_2 $$

例10

求解

$$ y''+y'=e^x,\quad y(0)=0,\ y'(0)=1 $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ p'+p=e^x $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=1,\quad Q(x)=e^x $$

积分因子：

$$ e^x $$

通解：

$$ p=e^{-x}\left[\int e^x\cdot e^xdx+C_1\right] =e^{-x}\left[\frac12e^{2x}+C_1\right] =\frac12e^x+C_1e^{-x} $$

代入 $y'(0)=1$：

$$ 1=\frac12+C_1\Rightarrow C_1=\frac12 $$

所以：

$$ y'=\frac12e^x+\frac12e^{-x} $$

积分：

$$ y=\frac12e^x-\frac12e^{-x}+C_2 $$

代入 $y(0)=0$：

$$ 0=\frac12-\frac12+C_2\Rightarrow C_2=0 $$

所以：

$$ y=\frac12(e^x-e^{-x})=\sinh x $$

题型3：类型三 $y''=f(y,y')$

例11

求解

$$ y''=y $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$

代入：

$$ p\frac{dp}{dy}=y $$

分离变量：

$$ pdp=ydy $$

积分：

$$ \frac{p^2}{2}=\frac{y^2}{2}+C_1 $$

所以：

$$ p^2=y^2+C $$

即：

$$ p=\pm\sqrt{y^2+C} $$

由

$$ \frac{dy}{dx}=p $$

分离变量：

$$ \frac{dy}{\sqrt{y^2+C}}=dx $$

积分：

$$ \ln|y+\sqrt{y^2+C}|=x+C_2 $$

即：

$$ y+\sqrt{y^2+C}=C_1e^x $$

例12

求解

$$ yy''=(y')^2 $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$

代入：

$$ yp\frac{dp}{dy}=p^2 $$

若 $p\neq0$：

$$ y\frac{dp}{dy}=p $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y} $$

积分：

$$ \ln|p|=\ln|y|+C_1 $$

所以：

$$ p=C_1y $$

即：

$$ y'=C_1y $$

分离变量：

$$ \frac{dy}{y}=C_1dx $$

积分：

$$ \ln|y|=C_1x+C_2 $$

即：

$$ y=C_2e^{C_1x} $$

例13

求解

$$ y''=e^{2y},\quad y(0)=0,\ y'(0)=1 $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$

代入：

$$ p\frac{dp}{dy}=e^{2y} $$

分离变量：

$$ pdp=e^{2y}dy $$

积分：

$$ \frac{p^2}{2}=\frac12e^{2y}+C_1 $$

代入 $y(0)=0$，$y'(0)=1$：

$$ \frac12=\frac12+C_1\Rightarrow C_1=0 $$

所以：

$$ p^2=e^{2y} $$

$$ p=e^y $$

即：

$$ y'=e^y $$

分离变量：

$$ e^{-y}dy=dx $$

积分：

$$ -e^{-y}=x+C_2 $$

代入 $y(0)=0$：

$$ -1=C_2 $$

所以：

$$ -e^{-y}=x-1 $$

即：

$$ e^{-y}=1-x $$

$$ y=-\ln(1-x) $$

例14

求解

$$ y''+(y')^2=0 $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$

代入：

$$ p\frac{dp}{dy}+p^2=0 $$

若 $p\neq0$：

$$ \frac{dp}{dy}=-p $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p}=-dy $$

积分：

$$ \ln|p|=-y+C_1 $$

所以：

$$ p=C_1e^{-y} $$

即：

$$ y'=C_1e^{-y} $$

分离变量：

$$ e^ydy=C_1dx $$

积分：

$$ e^y=C_1x+C_2 $$

即：

$$ y=\ln(C_1x+C_2) $$

例15

求解

$$ y''=\frac{1}{y^3} $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$

代入：

$$ p\frac{dp}{dy}=\frac{1}{y^3} $$

分离变量：

$$ pdp=\frac{dy}{y^3} $$

积分：

$$ \frac{p^2}{2}=-\frac{1}{2y^2}+C_1 $$

所以：

$$ p^2=C_1-\frac{1}{y^2} $$

即：

$$ p=\sqrt{C_1-\frac{1}{y^2}} $$

由

$$ \frac{dy}{dx}=p $$

分离变量：

$$ \frac{dy}{\sqrt{C_1-\frac{1}{y^2}}}=dx $$

即：

$$ \frac{ydy}{\sqrt{C_1y^2-1}}=dx $$

积分：

$$ \frac{1}{2C_1}\sqrt{C_1y^2-1}=x+C_2 $$

题型4：综合应用

例16

求解

$$ y''=\frac{1}{x}y'+x $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ p'=\frac1xp+x $$

即：

$$ p'-\frac1xp=x $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=-\frac1x,\quad Q(x)=x $$

积分因子：

$$ \frac1x $$

通解：

$$ p=x\left[\int x\cdot\frac1xdx+C_1\right] =x(x+C_1) =x^2+C_1x $$

所以：

$$ y'=x^2+C_1x $$

积分：

$$ y=\frac{x^3}{3}+\frac{C_1}{2}x^2+C_2 $$

例17

求解

$$ y''=y'+1 $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ p'=p+1 $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p+1}=dx $$

积分：

$$ \ln|p+1|=x+C_1 $$

所以：

$$ p+1=C_1e^x $$

即：

$$ y'=C_1e^x-1 $$

积分：

$$ y=C_1e^x-x+C_2 $$

例18

求解

$$ y''=\frac{y'}{x}+\frac{y'}{x}\ln y' $$

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ p'=\frac px+\frac px\ln p $$

即：

$$ p'=\frac px(1+\ln p) $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p(1+\ln p)}=\frac{dx}{x} $$

令

$$ u=1+\ln p $$

则

$$ du=\frac{dp}{p} $$

所以：

$$ \int\frac{du}{u}=\ln|x|+C_1 $$

$$ \ln|u|=\ln|x|+C_1 $$

$$ u=C_1x $$

即：

$$ 1+\ln p=C_1x $$

$$ p=e^{C_1x-1} $$

所以：

$$ y'=e^{C_1x-1} $$

积分：

$$ y=\frac{1}{C_1}e^{C_1x-1}+C_2 $$

题型5：可降阶方程与物理应用

例19

一质点沿直线运动，加速度为

$$ a=-kv^2 $$

初始速度 $v(0)=v_0$，求速度 $v(t)$。

解：

$$ \frac{dv}{dt}=-kv^2 $$

分离变量：

$$ \frac{dv}{v^2}=-kdt $$

积分：

$$ -\frac1v=-kt+C_1 $$

所以：

$$ \frac1v=kt+C_1 $$

代入 $v(0)=v_0$：

$$ \frac1{v_0}=C_1 $$

所以：

$$ \frac1v=kt+\frac1{v_0} $$

即：

$$ v=\frac{v_0}{1+kv_0t} $$

例20

一物体从高处自由下落，空气阻力与速度成正比，求速度 $v(t)$。

解：

$$ m\frac{dv}{dt}=mg-kv $$

即：

$$ \frac{dv}{dt}=g-\frac kmv $$

这是一阶线性方程。

$$ P(t)=\frac km,\quad Q(t)=g $$

通解：

$$ v=e^{-\frac kmt}\left[\int ge^{\frac kmt}dt+C\right] $$

$$ =e^{-\frac kmt}\left[\frac{mg}{k}e^{\frac kmt}+C\right] =\frac{mg}{k}+Ce^{-\frac kmt} $$

代入 $v(0)=0$：

$$ 0=\frac{mg}{k}+C\Rightarrow C=-\frac{mg}{k} $$

所以：

$$ v=\frac{mg}{k}(1-e^{-\frac kmt}) $$

题型6：可降阶方程与几何应用

例21

已知曲线 $y=y(x)$ 满足

$$ y''=1+(y')^2 $$

且 $y(0)=0$，$y'(0)=0$，求曲线方程。

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ p'=1+p^2 $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{1+p^2}=dx $$

积分：

$$ \arctan p=x+C_1 $$

代入 $y'(0)=0$：

$$ 0=0+C_1\Rightarrow C_1=0 $$

所以：

$$ p=\tan x $$

即：

$$ y'=\tan x $$

积分：

$$ y=-\ln|\cos x|+C_2 $$

代入 $y(0)=0$：

$$ 0=0+C_2\Rightarrow C_2=0 $$

所以：

$$ y=-\ln|\cos x| $$

例22

已知曲线 $y=y(x)$ 满足

$$ yy''+(y')^2=0 $$

且 $y(0)=1$，$y'(0)=1$，求曲线方程。

解：

令

$$ p=y' $$

则

$$ y''=p\frac{dp}{dy} $$

代入：

$$ yp\frac{dp}{dy}+p^2=0 $$

若 $p\neq0$：

$$ y\frac{dp}{dy}=-p $$

分离变量：

$$ \frac{dp}{p}=-\frac{dy}{y} $$

积分：

$$ \ln|p|=-\ln|y|+C_1 $$

所以：

$$ p=\frac{C_1}{y} $$

即：

$$ y'=\frac{C_1}{y} $$

代入 $y(0)=1$，$y'(0)=1$：

$$ 1=C_1 $$

所以：

$$ y'=\frac1y $$

分离变量：

$$ ydy=dx $$

积分：

$$ \frac{y^2}{2}=x+C_2 $$

代入 $y(0)=1$：

$$ \frac12=C_2 $$

所以：

$$ \frac{y^2}{2}=x+\frac12 $$

即：

$$ y^2=2x+1 $$

四、易错提醒

易错1：类型二与类型三混淆

类型二：$y''=f(x,y')$，不显含 $y$，令 $p=y'$，$y''=p'$；
类型三：$y''=f(y,y')$，不显含 $x$，令 $p=y'$，$y''=p\frac{dp}{dy}$。

易错2：类型三中 $y''$ 表达式写错

$$ y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} $$

不要写成 $p'$。

易错3：类型二中 $y''$ 表达式写错

$$ y''=p' $$

因为 $p=y'$，所以 $y''=p'$。

易错4：换元后忘记回代

求出 $p$ 后，要回代 $p=y'$，再积分求 $y$。

易错5：通解中任意常数个数不对

$n$ 阶微分方程的通解含有 $n$ 个任意常数。

易错6：分离变量时忽略 $p=0$ 的解

若 $p=0$，则 $y'=0$，$y$ 为常数。

易错7：类型三中积分后忘记加常数

每次积分都要加常数。

易错8：初始条件代入时机错误

通常先求通解，再代入初始条件。

易错9：类型一中积分次数错误

$y^{(n)}=f(x)$ 需要积分 $n$ 次。

易错10：类型二中一阶线性方程求解错误

令 $p=y'$ 后，得到关于 $p$ 的一阶方程，注意 $P(x)$、$Q(x)$ 的符号。

易错11：类型三中分离变量后积分错误

$$ \frac{dy}{p(y,C_1)}=dx $$

积分后得到 $x$ 关于 $y$ 的表达式，或 $y$ 关于 $x$ 的表达式。

易错12：物理应用中单位不统一

物理应用中要注意单位统一。

五、真题链接思路

真题方向1：类型一

常见形式：

$$ y^{(n)}=f(x) $$

处理方法：

逐次积分；
每次加常数；
积分 $n$ 次。

真题方向2：类型二

常见形式：

$$ y''=f(x,y') $$

处理方法：

令 $p=y'$；
$y''=p'$；
解关于 $p$ 的一阶方程；
积分得 $y$。

真题方向3：类型三

常见形式：

$$ y''=f(y,y') $$

处理方法：

令 $p=y'$；
$y''=p\frac{dp}{dy}$；
解关于 $p$ 和 $y$ 的一阶方程；
分离变量积分。

真题方向4：可降阶方程与初始条件

常见形式：

$$ y''=f(x,y'),\quad y(0)=a,\ y'(0)=b $$

处理方法：

降阶求通解；
代入初始条件；
求特解。

真题方向5：可降阶方程与物理应用

常见形式：

加速度与速度关系；
自由落体；
变化率问题。

处理方法：

建立微分方程；
判断类型；
降阶求解；
代入初始条件。

真题方向6：可降阶方程与几何应用

常见形式：

曲线满足某微分方程；
求曲线方程。

处理方法：

建立微分方程；
判断类型；
降阶求解；
代入初始条件。

真题方向7：可降阶方程与一阶微分方程综合

常见形式：

$$ y''=f(x,y') $$

其中 $f$ 关于 $p$ 是一阶线性方程。

处理方法：

令 $p=y'$；
化为一阶线性方程；
用通解公式；
再积分。

六、记忆清单

类型一：

$$ y^{(n)}=f(x) \Rightarrow \text{逐次积分} $$

类型二：

$$ y''=f(x,y') \Rightarrow p=y',\quad y''=p' $$

类型三：

$$ y''=f(y,y') \Rightarrow p=y',\quad y''=p\frac{dp}{dy} $$

类型二降阶后：

$$ p'=f(x,p) $$

类型三降阶后：

$$ p\frac{dp}{dy}=f(y,p) $$

求解步骤：

类型二：

$$ p'=f(x,p)\Rightarrow p=p(x,C_1)\Rightarrow y=\int pdx+C_2 $$

类型三：

$$ p\frac{dp}{dy}=f(y,p)\Rightarrow p=p(y,C_1)\Rightarrow\frac{dy}{dx}=p\Rightarrow x=\int\frac{dy}{p}+C_2 $$

通解常数个数：

$$ n\text{ 阶方程有 }n\text{ 个任意常数} $$

常用积分：

$$ \int\frac{1}{1+p^2}dp=\arctan p+C $$

$$ \int\frac{dp}{p}=\ln|p|+C $$

$$ \int pdp=\frac{p^2}{2}+C $$

口诀：

不显含 $y$ 令 $p=y'$，$y''=p'$；
不显含 $x$ 令 $p=y'$，$y''=p\frac{dp}{dy}$；
只含 $x$ 逐次积分，通解常数个数等于阶数；
求出 $p$ 再积分，初始条件最后代。

_{本教程共58节，当前为第32节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

评论专区

评论加载中...

✨ 复制成功！

以文会友，打造好学人设！

# 考点29 可降阶高阶微分方程

一、核心公式与定义

1. 可降阶高阶微分方程的类型

2. 类型一：$y^{(n)}=f(x)$

3. 类型二：$y''=f(x,y')$

4. 类型三：$y''=f(y,y')$

5. 三种类型对比

6. 降阶法的基本步骤

7. 常用积分公式

二、使用条件

1. 类型一的使用条件

2. 类型二的使用条件

3. 类型三的使用条件

4. 降阶法的注意事项

三、典型题型

题型1：类型一 $y^{(n)}=f(x)$

题型2：类型二 $y''=f(x,y')$

题型3：类型三 $y''=f(y,y')$

题型4：综合应用

题型5：可降阶方程与物理应用

题型6：可降阶方程与几何应用

四、易错提醒

易错1：类型二与类型三混淆

易错2：类型三中 $y''$ 表达式写错

易错3：类型二中 $y''$ 表达式写错

易错4：换元后忘记回代

易错5：通解中任意常数个数不对

易错6：分离变量时忽略 $p=0$ 的解

易错7：类型三中积分后忘记加常数

易错8：初始条件代入时机错误

易错9：类型一中积分次数错误

易错10：类型二中一阶线性方程求解错误

易错11：类型三中分离变量后积分错误

易错12：物理应用中单位不统一

五、真题链接思路

真题方向1：类型一

真题方向2：类型二

真题方向3：类型三

真题方向4：可降阶方程与初始条件

真题方向5：可降阶方程与物理应用

真题方向6：可降阶方程与几何应用

真题方向7：可降阶方程与一阶微分方程综合

六、记忆清单

评论专区