适用：数一、数二、数三通用
地位：不定积分计算的两大核心方法，直接支撑定积分、反常积分、微分方程
核心任务：掌握分部积分公式与 $u$ 的选取原则，掌握有理函数部分分式分解
基本公式：
$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du $$
即：
$$ \int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)dx $$
推导来源：
由乘积求导公式
$$ (uv)'=u'v+uv' $$
两边积分：
$$ uv=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx $$
移项得：
$$ \int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx $$
即：
$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du $$
分部积分中，$u$ 的选取顺序为：
$$ \text{反} \rightarrow \text{对} \rightarrow \text{幂} \rightarrow \text{指} \rightarrow \text{三} $$
即：
| 优先级 | 函数类型 | 例子 |
|---|---|---|
| 1（优先选 $u$） | 反三角函数 | $\arcsin x$、$\arctan x$ |
| 2 | 对数函数 | $\ln x$ |
| 3 | 幂函数 | $x^n$ |
| 4 | 指数函数 | $e^x$、$a^x$ |
| 5（优先选 $dv$） | 三角函数 | $\sin x$、$\cos x$ |
口诀：
反对幂指三，前者选 $u$，后者选 $dv$。
记忆方法：
类型一：多项式 × 指数函数
$$ \int x^ne^{ax}dx $$
取 $u=x^n$，$dv=e^{ax}dx$。
类型二：多项式 × 三角函数
$$ \int x^n\sin ax\,dx,\quad \int x^n\cos ax\,dx $$
取 $u=x^n$，$dv=\sin ax\,dx$ 或 $\cos ax\,dx$。
类型三：多项式 × 对数函数
$$ \int x^n\ln x\,dx $$
取 $u=\ln x$，$dv=x^ndx$。
类型四：多项式 × 反三角函数
$$ \int x^n\arcsin x\,dx,\quad \int x^n\arctan x\,dx $$
取 $u=\arcsin x$ 或 $\arctan x$，$dv=x^ndx$。
类型五：指数函数 × 三角函数
$$ \int e^{ax}\sin bx\,dx,\quad \int e^{ax}\cos bx\,dx $$
两次分部积分后出现循环，解方程求出。
类型六：对数函数单独出现
$$ \int \ln x\,dx,\quad \int \arctan x\,dx $$
取 $u=\ln x$ 或 $\arctan x$，$dv=dx$。
有理函数定义：
形如
$$ \frac{P(x)}{Q(x)} $$
其中 $P(x)$、$Q(x)$ 为多项式。
分类：
处理步骤：
分母因式类型与分解形式：
（1）单实根：
$$ Q(x)\text{ 含因子 }(x-a) $$
则分解式中对应项为：
$$ \frac{A}{x-a} $$
（2）$k$ 重实根：
$$ Q(x)\text{ 含因子 }(x-a)^k $$
则分解式中对应项为：
$$ \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k} $$
（3）单复根：
$$ Q(x)\text{ 含因子 }x^2+px+q $$
其中 $p^2-4q<0$，则分解式中对应项为：
$$ \frac{Ax+B}{x^2+px+q} $$
（4）$k$ 重复根：
$$ Q(x)\text{ 含因子 }(x^2+px+q)^k $$
则分解式中对应项为：
$$ \frac{A_1x+B_1}{x^2+px+q}+\frac{A_2x+B_2}{(x^2+px+q)^2}+\cdots+\frac{A_kx+B_k}{(x^2+px+q)^k} $$
$$ \int \frac{1}{x-a}dx=\ln|x-a|+C $$
$$ \int \frac{1}{(x-a)^k}dx=\frac{(x-a)^{1-k}}{1-k}+C,\quad k\neq1 $$
$$ \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac1a\arctan\frac xa+C $$
$$ \int \frac{x}{x^2+a^2}dx=\frac12\ln(x^2+a^2)+C $$
$$ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $$
$$ \int \frac{1}{(x^2+a^2)^k}dx $$
可用递推公式或三角代换。
$$ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C $$
$$ \int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C $$
$$ \int x^ne^xdx=e^x\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\frac{n!}{k!}x^k+C $$
$$ \int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
$$ \int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C $$
$$ \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C $$
$$ \int \arccos x\,dx=x\arccos x-\sqrt{1-x^2}+C $$
$$ \int \arctan x\,dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C $$
$$ \int \operatorname{arccot} x\,dx=x\operatorname{arccot} x+\frac12\ln(1+x^2)+C $$
判断是否使用分部积分：
被积函数是两类不同函数的乘积，且其中一类求导后变简单。
原则：
常见选择：
| 被积函数 | $u$ | $dv$ |
|---|---|---|
| $x^ne^{ax}$ | $x^n$ | $e^{ax}dx$ |
| $x^n\sin ax$ | $x^n$ | $\sin ax\,dx$ |
| $x^n\ln x$ | $\ln x$ | $x^ndx$ |
| $x^n\arctan x$ | $\arctan x$ | $x^ndx$ |
| $e^{ax}\sin bx$ | 任意 | 任意 |
| $\ln x$ | $\ln x$ | $dx$ |
对于
$$ \int R(\sin x,\cos x)dx $$
可用万能代换：
$$ t=\tan\frac x2 $$
则：
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2}{1+t^2}dt $$
转化为有理函数积分。
例1
$$ \int xe^xdx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=e^xdx $$
则：
$$ du=dx,\quad v=e^x $$
由分部积分公式：
$$ \int xe^xdx=xe^x-\int e^xdx =xe^x-e^x+C $$
即：
$$ \int xe^xdx=(x-1)e^x+C $$
例2
$$ \int x^2e^xdx $$
解：
第一次分部：
取
$$ u=x^2,\quad dv=e^xdx $$
则：
$$ du=2xdx,\quad v=e^x $$
$$ \int x^2e^xdx=x^2e^x-2\int xe^xdx $$
由例1：
$$ \int xe^xdx=(x-1)e^x+C $$
所以：
$$ \int x^2e^xdx =x^2e^x-2(x-1)e^x+C =(x^2-2x+2)e^x+C $$
例3
$$ \int x^3e^{2x}dx $$
解：
取
$$ u=x^3,\quad dv=e^{2x}dx $$
则：
$$ du=3x^2dx,\quad v=\frac12e^{2x} $$
$$ \int x^3e^{2x}dx =\frac12x^3e^{2x}-\frac32\int x^2e^{2x}dx $$
继续分部：
$$ \int x^2e^{2x}dx =\frac12x^2e^{2x}-\int xe^{2x}dx $$
$$ \int xe^{2x}dx =\frac12xe^{2x}-\frac12\int e^{2x}dx =\frac12xe^{2x}-\frac14e^{2x}+C $$
所以：
$$ \int x^2e^{2x}dx =\frac12x^2e^{2x}-\frac12xe^{2x}+\frac14e^{2x}+C $$
最终：
$$ \int x^3e^{2x}dx =\frac12x^3e^{2x}-\frac34x^2e^{2x}+\frac34xe^{2x}-\frac38e^{2x}+C $$
例4
$$ \int x\sin x\,dx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=\sin x\,dx $$
则：
$$ du=dx,\quad v=-\cos x $$
$$ \int x\sin x\,dx =-x\cos x+\int\cos x\,dx =-x\cos x+\sin x+C $$
例5
$$ \int x\cos x\,dx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=\cos x\,dx $$
则：
$$ du=dx,\quad v=\sin x $$
$$ \int x\cos x\,dx =x\sin x-\int\sin x\,dx =x\sin x+\cos x+C $$
例6
$$ \int x^2\sin x\,dx $$
解：
第一次分部：
取
$$ u=x^2,\quad dv=\sin x\,dx $$
则：
$$ du=2xdx,\quad v=-\cos x $$
$$ \int x^2\sin x\,dx =-x^2\cos x+2\int x\cos x\,dx $$
由例5：
$$ \int x\cos x\,dx=x\sin x+\cos x+C $$
所以：
$$ \int x^2\sin x\,dx =-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C $$
例7
$$ \int \ln x\,dx $$
解：
取
$$ u=\ln x,\quad dv=dx $$
则：
$$ du=\frac1xdx,\quad v=x $$
$$ \int \ln x\,dx =x\ln x-\int x\cdot\frac1xdx =x\ln x-x+C $$
例8
$$ \int x\ln x\,dx $$
解：
取
$$ u=\ln x,\quad dv=xdx $$
则：
$$ du=\frac1xdx,\quad v=\frac{x^2}{2} $$
$$ \int x\ln x\,dx =\frac{x^2}{2}\ln x-\int\frac{x^2}{2}\cdot\frac1xdx $$
$$ =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac12\int xdx =\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C $$
例9
$$ \int x^2\ln x\,dx $$
解：
取
$$ u=\ln x,\quad dv=x^2dx $$
则：
$$ du=\frac1xdx,\quad v=\frac{x^3}{3} $$
$$ \int x^2\ln x\,dx =\frac{x^3}{3}\ln x-\int\frac{x^3}{3}\cdot\frac1xdx $$
$$ =\frac{x^3}{3}\ln x-\frac13\int x^2dx =\frac{x^3}{3}\ln x-\frac{x^3}{9}+C $$
例10
$$ \int \arctan x\,dx $$
解：
取
$$ u=\arctan x,\quad dv=dx $$
则：
$$ du=\frac{1}{1+x^2}dx,\quad v=x $$
$$ \int \arctan x\,dx =x\arctan x-\int\frac{x}{1+x^2}dx $$
而：
$$ \int\frac{x}{1+x^2}dx=\frac12\ln(1+x^2)+C $$
所以：
$$ \int \arctan x\,dx =x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C $$
例11
$$ \int x\arctan x\,dx $$
解：
取
$$ u=\arctan x,\quad dv=xdx $$
则：
$$ du=\frac{1}{1+x^2}dx,\quad v=\frac{x^2}{2} $$
$$ \int x\arctan x\,dx =\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12\int\frac{x^2}{1+x^2}dx $$
而：
$$ \frac{x^2}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2} $$
所以：
$$ \int\frac{x^2}{1+x^2}dx =x-\arctan x+C $$
因此：
$$ \int x\arctan x\,dx =\frac{x^2}{2}\arctan x-\frac12x+\frac12\arctan x+C $$
例12
$$ \int \arcsin x\,dx $$
解：
取
$$ u=\arcsin x,\quad dv=dx $$
则：
$$ du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx,\quad v=x $$
$$ \int \arcsin x\,dx =x\arcsin x-\int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx $$
而：
$$ \int\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx=-\sqrt{1-x^2}+C $$
所以：
$$ \int \arcsin x\,dx =x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C $$
例13
$$ \int e^x\sin x\,dx $$
解：
取
$$ u=\sin x,\quad dv=e^xdx $$
则：
$$ du=\cos x\,dx,\quad v=e^x $$
$$ \int e^x\sin x\,dx =e^x\sin x-\int e^x\cos x\,dx $$
对第二项再分部：
取
$$ u=\cos x,\quad dv=e^xdx $$
则：
$$ du=-\sin x\,dx,\quad v=e^x $$
$$ \int e^x\cos x\,dx =e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx $$
代回：
$$ \int e^x\sin x\,dx =e^x\sin x-e^x\cos x-\int e^x\sin x\,dx $$
移项：
$$ 2\int e^x\sin x\,dx=e^x(\sin x-\cos x) $$
所以：
$$ \int e^x\sin x\,dx =\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
例14
$$ \int e^x\cos x\,dx $$
解：
由例13的中间结果：
$$ \int e^x\cos x\,dx =e^x\cos x+\int e^x\sin x\,dx $$
代入：
$$ \int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
所以：
$$ \int e^x\cos x\,dx =e^x\cos x+\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
$$ =\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C $$
例15
$$ \int e^{2x}\sin 3x\,dx $$
解：
取
$$ u=\sin 3x,\quad dv=e^{2x}dx $$
则：
$$ du=3\cos 3x\,dx,\quad v=\frac12e^{2x} $$
$$ \int e^{2x}\sin 3x\,dx =\frac12e^{2x}\sin 3x-\frac32\int e^{2x}\cos 3x\,dx $$
对第二项分部：
取
$$ u=\cos 3x,\quad dv=e^{2x}dx $$
则：
$$ du=-3\sin 3x\,dx,\quad v=\frac12e^{2x} $$
$$ \int e^{2x}\cos 3x\,dx =\frac12e^{2x}\cos 3x+\frac32\int e^{2x}\sin 3x\,dx $$
代回：
$$ \int e^{2x}\sin 3x\,dx =\frac12e^{2x}\sin 3x-\frac34e^{2x}\cos 3x-\frac94\int e^{2x}\sin 3x\,dx $$
移项：
$$ \frac{13}{4}\int e^{2x}\sin 3x\,dx =\frac12e^{2x}\sin 3x-\frac34e^{2x}\cos 3x $$
所以：
$$ \int e^{2x}\sin 3x\,dx =\frac{2}{13}e^{2x}\sin 3x-\frac{3}{13}e^{2x}\cos 3x+C $$
例16
$$ \int \frac{1}{x^2-1}dx $$
解：
因式分解：
$$ x^2-1=(x-1)(x+1) $$
部分分式：
$$ \frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1} $$
通分：
$$ 1=A(x+1)+B(x-1) $$
令 $x=1$：
$$ 1=2A\Rightarrow A=\frac12 $$
令 $x=-1$：
$$ 1=-2B\Rightarrow B=-\frac12 $$
所以：
$$ \frac{1}{x^2-1}=\frac12\cdot\frac{1}{x-1}-\frac12\cdot\frac{1}{x+1} $$
积分：
$$ \int\frac{1}{x^2-1}dx =\frac12\ln|x-1|-\frac12\ln|x+1|+C =\frac12\ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C $$
例17
$$ \int \frac{x+2}{x^2-5x+6}dx $$
解：
因式分解：
$$ x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $$
部分分式：
$$ \frac{x+2}{(x-2)(x-3)}=\frac{A}{x-2}+\frac{B}{x-3} $$
通分：
$$ x+2=A(x-3)+B(x-2) $$
令 $x=2$：
$$ 4=-A\Rightarrow A=-4 $$
令 $x=3$：
$$ 5=B\Rightarrow B=5 $$
所以：
$$ \frac{x+2}{x^2-5x+6}=\frac{-4}{x-2}+\frac{5}{x-3} $$
积分：
$$ \int\frac{x+2}{x^2-5x+6}dx =-4\ln|x-2|+5\ln|x-3|+C $$
例18
$$ \int \frac{1}{x(x-1)^2}dx $$
解：
部分分式：
$$ \frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2} $$
通分：
$$ 1=A(x-1)^2+Bx(x-1)+Cx $$
令 $x=0$：
$$ 1=A\Rightarrow A=1 $$
令 $x=1$：
$$ 1=C\Rightarrow C=1 $$
比较 $x^2$ 系数：
$$ 0=A+B\Rightarrow B=-1 $$
所以：
$$ \frac{1}{x(x-1)^2}=\frac1x-\frac{1}{x-1}+\frac{1}{(x-1)^2} $$
积分：
$$ \int\frac{1}{x(x-1)^2}dx =\ln|x|-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C $$
$$ =\ln\left|\frac{x}{x-1}\right|-\frac{1}{x-1}+C $$
例19
$$ \int \frac{x^2+1}{x(x-1)^3}dx $$
解：
部分分式：
$$ \frac{x^2+1}{x(x-1)^3} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x-1}+\frac{C}{(x-1)^2}+\frac{D}{(x-1)^3} $$
通分：
$$ x^2+1=A(x-1)^3+Bx(x-1)^2+Cx(x-1)+Dx $$
令 $x=0$：
$$ 1=-A\Rightarrow A=-1 $$
令 $x=1$：
$$ 2=D\Rightarrow D=2 $$
比较 $x^3$ 系数：
$$ 0=A+B\Rightarrow B=1 $$
比较 $x^2$ 系数：
$$ 1=-3A+2B+C $$
代入 $A=-1$，$B=1$：
$$ 1=3+2+C\Rightarrow C=-4 $$
所以：
$$ \frac{x^2+1}{x(x-1)^3} =-\frac1x+\frac{1}{x-1}-\frac{4}{(x-1)^2}+\frac{2}{(x-1)^3} $$
积分：
$$ \int\frac{x^2+1}{x(x-1)^3}dx =-\ln|x|+\ln|x-1|+\frac{4}{x-1}-\frac{1}{(x-1)^2}+C $$
例20
$$ \int \frac{1}{x(x^2+1)}dx $$
解：
部分分式：
$$ \frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1} $$
通分：
$$ 1=A(x^2+1)+(Bx+C)x $$
令 $x=0$：
$$ 1=A\Rightarrow A=1 $$
比较 $x^2$ 系数：
$$ 0=A+B\Rightarrow B=-1 $$
比较 $x$ 系数：
$$ 0=C\Rightarrow C=0 $$
所以：
$$ \frac{1}{x(x^2+1)}=\frac1x-\frac{x}{x^2+1} $$
积分：
$$ \int\frac{1}{x(x^2+1)}dx =\ln|x|-\frac12\ln(x^2+1)+C $$
例21
$$ \int \frac{x+1}{x^2+2x+5}dx $$
解：
分母配方：
$$ x^2+2x+5=(x+1)^2+4 $$
令
$$ u=x+1 $$
则：
$$ du=dx,\quad x=u-1 $$
$$ \int\frac{x+1}{x^2+2x+5}dx =\int\frac{u}{u^2+4}du $$
$$ =\frac12\ln(u^2+4)+C =\frac12\ln(x^2+2x+5)+C $$
例22
$$ \int \frac{2x+3}{x^2+2x+5}dx $$
解：
分母求导：
$$ (x^2+2x+5)'=2x+2 $$
拆分：
$$ 2x+3=(2x+2)+1 $$
所以：
$$ \int\frac{2x+3}{x^2+2x+5}dx =\int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx+\int\frac{1}{x^2+2x+5}dx $$
第一项：
$$ \int\frac{2x+2}{x^2+2x+5}dx =\ln(x^2+2x+5)+C $$
第二项：
$$ \int\frac{1}{(x+1)^2+4}dx =\frac12\arctan\frac{x+1}{2}+C $$
所以：
$$ \int\frac{2x+3}{x^2+2x+5}dx =\ln(x^2+2x+5)+\frac12\arctan\frac{x+1}{2}+C $$
例23
$$ \int \frac{x^3}{x^2+1}dx $$
解：
多项式除法：
$$ \frac{x^3}{x^2+1}=x-\frac{x}{x^2+1} $$
所以：
$$ \int\frac{x^3}{x^2+1}dx =\int xdx-\int\frac{x}{x^2+1}dx $$
$$ =\frac{x^2}{2}-\frac12\ln(x^2+1)+C $$
例24
$$ \int \frac{x^4}{x^2+1}dx $$
解：
$$ \frac{x^4}{x^2+1} =x^2-1+\frac{1}{x^2+1} $$
所以：
$$ \int\frac{x^4}{x^2+1}dx =\int x^2dx-\int dx+\int\frac{1}{x^2+1}dx $$
$$ =\frac{x^3}{3}-x+\arctan x+C $$
例25
$$ \int x\ln(x+1)dx $$
解：
取
$$ u=\ln(x+1),\quad dv=xdx $$
则：
$$ du=\frac{1}{x+1}dx,\quad v=\frac{x^2}{2} $$
$$ \int x\ln(x+1)dx =\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac12\int\frac{x^2}{x+1}dx $$
而：
$$ \frac{x^2}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1} $$
所以：
$$ \int\frac{x^2}{x+1}dx =\frac{x^2}{2}-x+\ln|x+1|+C $$
因此：
$$ \int x\ln(x+1)dx =\frac{x^2}{2}\ln(x+1)-\frac{x^2}{4}+\frac x2-\frac12\ln(x+1)+C $$
错误：
$$ \int x\ln x\,dx $$
取 $u=x$，$dv=\ln x\,dx$。
正确：
取 $u=\ln x$，$dv=xdx$。
因为 $\ln x$ 求导后变简单，$x$ 积分后也不复杂。
公式：
$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du $$
注意是减号，不是加号。
多次分部时，每一步都要保留完整表达式，最后统一化简。
对于
$$ \int e^x\sin x\,dx $$
两次分部后出现原积分，必须移项解出。
若 $\deg P\ge\deg Q$，必须先做多项式除法。
错误：
$$ \int\frac{x^3}{x^2+1}dx $$
直接部分分式。
正确：
先化为
$$ x-\frac{x}{x^2+1} $$
单实根：
$$ \frac{A}{x-a} $$
$k$ 重实根：
$$ \frac{A_1}{x-a}+\frac{A_2}{(x-a)^2}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k} $$
不可约二次因式：
$$ \frac{Ax+B}{x^2+px+q} $$
求待定系数时，可以用：
注意计算准确。
正确：
$$ \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac1a\arctan\frac xa+C $$
正确：
$$ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx =\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $$
以
$$ \int e^x\sin x\,dx $$
为例，最终结果为：
$$ \frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
注意符号。
正确：
$$ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C $$
正确：
$$ \int \arctan x\,dx =x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C $$
常见形式：
$$ \int x^ne^{ax}dx $$
$$ \int x^n\sin ax\,dx $$
$$ \int x^n\cos ax\,dx $$
$$ \int x^n\ln x\,dx $$
$$ \int x^n\arctan x\,dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int e^{ax}\sin bx\,dx $$
$$ \int e^{ax}\cos bx\,dx $$
处理方法：
通用公式：
$$ \int e^{ax}\sin bx\,dx =\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\sin bx-b\cos bx)+C $$
$$ \int e^{ax}\cos bx\,dx =\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}(a\cos bx+b\sin bx)+C $$
常见形式：
$$ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx $$
$$ \int \frac{x+1}{x^2+x+1}dx $$
$$ \int \frac{1}{x(x-1)^2}dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ I_n=\int \sin^nx\,dx $$
$$ I_n=\int \frac{1}{(x^2+a^2)^n}dx $$
处理方法：
例：
$$ I_n=\int \sin^nx\,dx $$
分部：
$$ I_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)\int\sin^{n-2}x\cos^2x\,dx $$
利用 $\cos^2x=1-\sin^2x$：
$$ I_n=-\sin^{n-1}x\cos x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n $$
所以：
$$ I_n=-\frac{1}{n}\sin^{n-1}x\cos x+\frac{n-1}{n}I_{n-2} $$
常见形式：
$$ \int \frac{1}{1+\sin x}dx $$
处理方法：
分部积分公式：
$$ \int u\,dv=uv-\int v\,du $$
$u$ 的选取顺序：
$$ \text{反} \rightarrow \text{对} \rightarrow \text{幂} \rightarrow \text{指} \rightarrow \text{三} $$
常用分部积分结果：
$$ \int \ln x\,dx=x\ln x-x+C $$
$$ \int x\ln x\,dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C $$
$$ \int \arctan x\,dx=x\arctan x-\frac12\ln(1+x^2)+C $$
$$ \int \arcsin x\,dx=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C $$
$$ \int e^x\sin x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x-\cos x)+C $$
$$ \int e^x\cos x\,dx=\frac{e^x}{2}(\sin x+\cos x)+C $$
有理函数积分步骤：
部分分式分解形式：
单实根：
$$ \frac{A}{x-a} $$
$k$ 重实根：
$$ \frac{A_1}{x-a}+\cdots+\frac{A_k}{(x-a)^k} $$
不可约二次因式：
$$ \frac{Ax+B}{x^2+px+q} $$
常用有理函数积分：
$$ \int \frac{1}{x-a}dx=\ln|x-a|+C $$
$$ \int \frac{1}{x^2+a^2}dx=\frac1a\arctan\frac xa+C $$
$$ \int \frac{x}{x^2+a^2}dx=\frac12\ln(x^2+a^2)+C $$
$$ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $$
万能代换：
$$ t=\tan\frac x2 $$
$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx=\frac{2}{1+t^2}dt $$
口诀：
反对幂指三，前者选 $u$ 后选 $dv$；
分部积分减号记，循环出现要移项；
有理函数先看次数，假分式先做除法；
分母因式分解后，部分分式逐项积。
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