$$ \begin{cases} L_x=f_x+\lambda\varphi_x+\mu\psi_x=0\\ L_y=f_y+\lambda\varphi_y+\mu\psi_y=0\\ L_z=f_z+\lambda\varphi_z+\mu\psi_z=0\\ L_\lambda=\varphi=0\ L_\mu=\psi=0 \end{cases} $$

5. 有界闭区域上最值的求法

设 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，求 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的最大值和最小值。

步骤：

求 $f(x,y)$ 在 $D$ 内部的驻点，计算函数值；
求 $f(x,y)$ 在 $D$ 边界上的最值；
比较所有值，最大者为最大值，最小者为最小值。

边界上最值的求法：

将边界方程代入 $f(x,y)$，化为一元函数最值问题；
或用拉格朗日乘数法。

6. 常用结论

（1）二元一次函数：

$$ f(x,y)=ax+by+c $$

无极值。

（2）二次型：

$$ f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2 $$

在 $(0,0)$ 处：

若 $a>0$ 且 $ac-\frac{b^2}{4}>0$，极小值；
若 $a<0$ 且 $ac-\frac{b^2}{4}>0$，极大值；
若 $ac-\frac{b^2}{4}<0$，不是极值。

（3）$f(x,y)=x^2+y^2$：

在 $(0,0)$ 处取极小值。

（4）$f(x,y)=x^2-y^2$：

在 $(0,0)$ 处不是极值。

二、使用条件

1. 极值必要条件的使用条件

$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 处可偏导；
$(x_0,y_0)$ 为极值点。

则

$$ f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 $$

2. 极值充分条件的使用条件

$f(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内有二阶连续偏导数；
$f_x(x_0,y_0)=0$，$f_y(x_0,y_0)=0$；
计算 $A$、$B$、$C$，判断 $\Delta=AC-B^2$。

3. 拉格朗日乘数法的使用条件

目标函数 $f$ 可微；
约束条件 $\varphi$ 可微；
$\varphi_x$、$\varphi_y$ 不同时为零；
约束条件确定隐函数。

4. 有界闭区域上最值的使用条件

$f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续；
最值一定存在；
需要同时考虑内部和边界。

5. 条件极值判断的使用条件

拉格朗日乘数法只能求出可能的极值点；
判断是否为极值，需结合实际问题或二阶条件；
对于实际问题，通常根据问题背景判断。

三、典型题型

题型1：求无条件极值

例1

求

$$ f(x,y)=x^2+y^2-2x-4y+5 $$

的极值。

解：

第一步：求驻点。

$$ f_x=2x-2=0\Rightarrow x=1 $$

$$ f_y=2y-4=0\Rightarrow y=2 $$

驻点为 $(1,2)$。

第二步：求二阶偏导。

$$ A=f_{xx}=2 $$

$$ B=f_{xy}=0 $$

$$ C=f_{yy}=2 $$

第三步：判断。

$$ \Delta=AC-B^2=2\times2-0=4>0 $$

$$ A=2>0 $$

所以 $(1,2)$ 为极小值点，极小值为：

$$ f(1,2)=1+4-2-8+5=0 $$

例2

求

$$ f(x,y)=x^3-y^3+3x^2+3y^2-9x $$

的极值。

解：

第一步：求驻点。

$$ f_x=3x^2+6x-9=3(x^2+2x-3)=3(x+3)(x-1)=0 $$

所以：

$$ x=-3\quad\text{或}\quad x=1 $$

$$ f_y=-3y^2+6y=-3y(y-2)=0 $$

所以：

$$ y=0\quad\text{或}\quad y=2 $$

驻点为：

$$ (-3,0),\quad(-3,2),\quad(1,0),\quad(1,2) $$

第二步：求二阶偏导。

$$ A=f_{xx}=6x+6 $$

$$ B=f_{xy}=0 $$

$$ C=f_{yy}=-6y+6 $$

第三步：逐点判断。

在 $(-3,0)$：

$$ A=-12,\quad B=0,\quad C=6 $$

$$ \Delta=AC-B^2=-72<0 $$

不是极值点。

在 $(-3,2)$：

$$ A=-12,\quad B=0,\quad C=-6 $$

$$ \Delta=72>0,\quad A<0 $$

极大值点，极大值为：

$$ f(-3,2)=-27-8+27+12+27=31 $$

在 $(1,0)$：

$$ A=12,\quad B=0,\quad C=6 $$

$$ \Delta=72>0,\quad A>0 $$

极小值点，极小值为：

$$ f(1,0)=1-0+3+0-9=-5 $$

在 $(1,2)$：

$$ A=12,\quad B=0,\quad C=-6 $$

$$ \Delta=-72<0 $$

不是极值点。

例3

求

$$ f(x,y)=xy $$

的极值。

解：

$$ f_x=y=0,\quad f_y=x=0 $$

驻点为 $(0,0)$。

$$ A=f_{xx}=0 $$

$$ B=f_{xy}=1 $$

$$ C=f_{yy}=0 $$

$$ \Delta=AC-B^2=-1<0 $$

所以 $(0,0)$ 不是极值点，$f(x,y)=xy$ 无极值。

例4

求

$$ f(x,y)=x^2-y^2 $$

的极值。

解：

$$ f_x=2x=0\Rightarrow x=0 $$

$$ f_y=-2y=0\Rightarrow y=0 $$

驻点为 $(0,0)$。

$$ A=f_{xx}=2 $$

$$ B=f_{xy}=0 $$

$$ C=f_{yy}=-2 $$

$$ \Delta=AC-B^2=-4<0 $$

所以 $(0,0)$ 不是极值点，$f(x,y)=x^2-y^2$ 无极值。

例5

求

$$ f(x,y)=x^4+y^4-x^2-2xy-y^2 $$

的极值。

解：

$$ f_x=4x^3-2x-2y=0 $$

$$ f_y=4y^3-2x-2y=0 $$

两式相减：

$$ 4x^3-4y^3=0\Rightarrow x^3=y^3\Rightarrow x=y $$

代入第一式：

$$ 4x^3-4x=0\Rightarrow4x(x^2-1)=0 $$

所以：

$$ x=0,\quad x=1,\quad x=-1 $$

驻点为：

$$ (0,0),\quad(1,1),\quad(-1,-1) $$

二阶偏导：

$$ A=f_{xx}=12x^2-2 $$

$$ B=f_{xy}=-2 $$

$$ C=f_{yy}=12y^2-2 $$

在 $(0,0)$：

$$ A=-2,\quad B=-2,\quad C=-2 $$

$$ \Delta=AC-B^2=4-4=0 $$

不确定。

在 $(1,1)$：

$$ A=10,\quad B=-2,\quad C=10 $$

$$ \Delta=100-4=96>0,\quad A>0 $$

极小值点，极小值为：

$$ f(1,1)=1+1-1-2-1=-2 $$

在 $(-1,-1)$：

$$ A=10,\quad B=-2,\quad C=10 $$

$$ \Delta=96>0,\quad A>0 $$

极小值点，极小值为：

$$ f(-1,-1)=1+1-1-2-1=-2 $$

题型2：拉格朗日乘数法

例6

求

$$ f(x,y)=x+y $$

在约束

$$ x^2+y^2=1 $$

下的极值。

解：

构造拉格朗日函数：

$$ L=x+y+\lambda(x^2+y^2-1) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=1+2\lambda x=0\\ L_y=1+2\lambda y=0\\ L_\lambda=x^2+y^2-1=0 \end{cases} $$

由前两式：

$$ x=y=-\frac{1}{2\lambda} $$

代入第三式：

$$ 2x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{\sqrt2}{2} $$

所以：

$$ x=y=\frac{\sqrt2}{2}\quad\text{或}\quad x=y=-\frac{\sqrt2}{2} $$

计算函数值：

$$ f\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)=\sqrt2 $$

$$ f\left(-\frac{\sqrt2}{2},-\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\sqrt2 $$

所以最大值为 $\sqrt2$，最小值为 $-\sqrt2$。

例7

求

$$ f(x,y)=xy $$

在约束

$$ x+y=1 $$

下的极值。

解：

构造拉格朗日函数：

$$ L=xy+\lambda(x+y-1) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=y+\lambda=0\\ L_y=x+\lambda=0\\ L_\lambda=x+y-1=0 \end{cases} $$

由前两式：

$$ x=y=-\lambda $$

代入第三式：

$$ 2x=1\Rightarrow x=\frac12 $$

所以：

$$ x=y=\frac12 $$

函数值：

$$ f\left(\frac12,\frac12\right)=\frac14 $$

这是最大值。

例8

求

$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$

在约束

$$ \frac xa+\frac yb=1 $$

下的最小值。

解：

构造拉格朗日函数：

$$ L=x^2+y^2+\lambda\left(\frac xa+\frac yb-1\right) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=2x+\frac{\lambda}{a}=0\\ L_y=2y+\frac{\lambda}{b}=0\\ L_\lambda=\frac xa+\frac yb-1=0 \end{cases} $$

由前两式：

$$ x=-\frac{\lambda}{2a},\quad y=-\frac{\lambda}{2b} $$

代入第三式：

$$ -\frac{\lambda}{2a^2}-\frac{\lambda}{2b^2}=1 $$

$$ \lambda=-\frac{2a^2b^2}{a^2+b^2} $$

所以：

$$ x=\frac{ab^2}{a^2+b^2},\quad y=\frac{a^2b}{a^2+b^2} $$

最小值为：

$$ f_{\min}=\frac{a^2b^2}{a^2+b^2} $$

题型3：有界闭区域上最值

例9

求

$$ f(x,y)=x^2+y^2-2x $$

在区域

$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$

上的最值。

解：

第一步：内部驻点。

$$ f_x=2x-2=0\Rightarrow x=1 $$

$$ f_y=2y=0\Rightarrow y=0 $$

驻点为 $(1,0)$，但 $(1,0)$ 不在 $D$ 内（$x^2+y^2=1$ 在边界上）。

第二步：边界上最值。

边界：

$$ x^2+y^2=1 $$

代入：

$$ f=x^2+y^2-2x=1-2x $$

其中 $x\in[-1,1]$。

所以：

$$ f_{\max}=1-2(-1)=3 $$

$$ f_{\min}=1-2(1)=-1 $$

第三步：比较。

最大值为 $3$，在 $(-1,0)$ 处取得；

最小值为 $-1$，在 $(1,0)$ 处取得。

例10

求

$$ f(x,y)=x+y $$

在矩形区域

$$ D={(x,y)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le1} $$

上的最值。

解：

第一步：内部驻点。

$$ f_x=1\neq0,\quad f_y=1\neq0 $$

无驻点。

第二步：边界上最值。

边界由四条线段组成：

$x=0$，$0\le y\le1$：$f=y$，最值为 $0$ 和 $1$；
$x=1$，$0\le y\le1$：$f=1+y$，最值为 $1$ 和 $2$；
$y=0$，$0\le x\le1$：$f=x$，最值为 $0$ 和 $1$；
$y=1$，$0\le x\le1$：$f=x+1$，最值为 $1$ 和 $2$。

第三步：比较。

最大值为 $2$，在 $(1,1)$ 处取得；

最小值为 $0$，在 $(0,0)$ 处取得。

例11

求

$$ f(x,y)=x^2+2y^2-x^2y^2 $$

在区域

$$ D={(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ y\ge0} $$

上的最值。

解：

第一步：内部驻点。

$$ f_x=2x-2xy^2=2x(1-y^2)=0 $$

$$ f_y=4y-2x^2y=2y(2-x^2)=0 $$

由 $f_y=0$：

$$ y=0\quad\text{或}\quad x^2=2 $$

若 $x^2=2$，不在 $D$ 内，舍去。

所以 $y=0$。

代入 $f_x=0$：

$$ 2x=0\Rightarrow x=0 $$

驻点为 $(0,0)$。

函数值：

$$ f(0,0)=0 $$

第二步：边界上最值。

边界分两段：

（1）$x^2+y^2=1$，$y\ge0$：

令

$$ x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad t\in[0,\pi] $$

$$ f=\cos^2t+2\sin^2t-\cos^2t\sin^2t $$

$$ =1+\sin^2t-\cos^2t\sin^2t $$

$$ =1+\sin^2t(1-\cos^2t) =1+\sin^4t $$

所以：

$$ f_{\max}=2\quad(t=\frac\pi2) $$

$$ f_{\min}=1\quad(t=0,\pi) $$

（2）$y=0$，$-1\le x\le1$：

$$ f=x^2 $$

所以：

$$ f_{\max}=1\quad(x=\pm1) $$

$$ f_{\min}=0\quad(x=0) $$

第三步：比较。

最大值为 $2$，在 $(0,1)$ 处取得；

最小值为 $0$，在 $(0,0)$ 处取得。

题型4：实际应用最值

例12

用铁皮做一个体积为 $V$ 的无盖长方体水箱，问长、宽、高各为多少时用料最省？

解：

设长、宽、高分别为 $x$、$y$、$z$。

体积约束：

$$ xyz=V $$

用料面积：

$$ S=xy+2xz+2yz $$

构造拉格朗日函数：

$$ L=xy+2xz+2yz+\lambda(xyz-V) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=y+2z+\lambda yz=0\\ L_y=x+2z+\lambda xz=0\\ L_z=2x+2y+\lambda xy=0\\ L_\lambda=xyz-V=0 \end{cases} $$

由前两式相减：

$$ y-x+\lambda z(y-x)=0 $$

$$ (y-x)(1+\lambda z)=0 $$

若 $y=x$，代入第一、三式：

$$ x+2z+\lambda xz=0 $$

$$ 4x+\lambda x^2=0\Rightarrow\lambda=-\frac4x $$

代入第一式：

$$ x+2z-\frac4x\cdot xz=0 $$

$$ x+2z-4z=0\Rightarrow x=2z $$

所以：

$$ y=x=2z $$

代入体积约束：

$$ (2z)(2z)z=4z^3=V $$

$$ z=\sqrt[3]{\frac V4} $$

$$ x=y=2\sqrt[3]{\frac V4}=\sqrt[3]{2V} $$

所以长、宽均为 $\sqrt[3]{2V}$，高为 $\sqrt[3]{\frac V4}$ 时用料最省。

例13

求原点到曲面

$$ z^2=xy+1 $$

的最短距离。

解：

设点为 $(x,y,z)$，距离平方为：

$$ d^2=x^2+y^2+z^2 $$

约束：

$$ z^2-xy-1=0 $$

构造拉格朗日函数：

$$ L=x^2+y^2+z^2+\lambda(z^2-xy-1) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=2x-\lambda y=0\\ L_y=2y-\lambda x=0\\ L_z=2z+2\lambda z=0\\ L_\lambda=z^2-xy-1=0 \end{cases} $$

由第三式：

$$ 2z(1+\lambda)=0 $$

若 $z=0$，代入第四式：

$$ xy=-1 $$

由前两式：

$$ 2x=\lambda y,\quad 2y=\lambda x $$

相乘：

$$ 4xy=\lambda^2xy $$

因为 $xy=-1\neq0$，所以：

$$ \lambda^2=4\Rightarrow\lambda=\pm2 $$

若 $\lambda=2$：

$$ 2x=2y\Rightarrow x=y $$

$$ x^2=-1 $$

无实解。

若 $\lambda=-2$：

$$ 2x=-2y\Rightarrow x=-y $$

$$ -x^2=-1\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1 $$

所以点为 $(1,-1,0)$ 或 $(-1,1,0)$。

距离平方：

$$ d^2=1+1+0=2 $$

若 $1+\lambda=0$，即 $\lambda=-1$：

由前两式：

$$ 2x+y=0,\quad 2y+x=0 $$

解得 $x=y=0$。

代入第四式：

$$ z^2=1\Rightarrow z=\pm1 $$

点为 $(0,0,\pm1)$。

距离平方：

$$ d^2=0+0+1=1 $$

比较：

最短距离为 $1$。

题型5：条件极值与不等式证明

例14

证明：

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $$

证明：

设

$$ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx $$

则：

$$ f=\frac12[(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2]\ge0 $$

所以：

$$ x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx $$

例15

设 $x>0$，$y>0$，$x+y=1$，证明：

$$ xy\le\frac14 $$

证明：

构造拉格朗日函数：

$$ L=xy+\lambda(x+y-1) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=y+\lambda=0\\ L_y=x+\lambda=0\\ L_\lambda=x+y-1=0 \end{cases} $$

由前两式：

$$ x=y=-\lambda $$

代入第三式：

$$ 2x=1\Rightarrow x=\frac12 $$

所以：

$$ xy=\frac14 $$

这是最大值，所以：

$$ xy\le\frac14 $$

题型6：多元函数极值与一元函数综合

例16

求

$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$

在约束

$$ y=x^2 $$

下的最小值。

解：

将 $y=x^2$ 代入：

$$ f=x^2+x^4 $$

令

$$ g(x)=x^2+x^4 $$

$$ g'(x)=2x+4x^3=2x(1+2x^2)=0 $$

所以：

$$ x=0 $$

$$ g(0)=0 $$

所以最小值为 $0$，在 $(0,0)$ 处取得。

例17

求

$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$

在约束

$$ x^2+xy+y^2=1 $$

下的最值。

解：

构造拉格朗日函数：

$$ L=x^2+y^2+\lambda(x^2+xy+y^2-1) $$

求偏导：

$$ \begin{cases} L_x=2x+\lambda(2x+y)=0\\ L_y=2y+\lambda(x+2y)=0\\ L_\lambda=x^2+xy+y^2-1=0 \end{cases} $$

整理：

$$ \begin{cases} (2+2\lambda)x+\lambda y=0\\ \lambda x+(2+2\lambda)y=0 \end{cases} $$

方程组有非零解，所以系数行列式为 $0$：

$$ \begin{vmatrix} 2+2\lambda & \lambda\\ \lambda & 2+2\lambda \end{vmatrix}=0 $$

$$ (2+2\lambda)^2-\lambda^2=0 $$

$$ 4(1+\lambda)^2-\lambda^2=0 $$

$$ 4(1+2\lambda+\lambda^2)-\lambda^2=0 $$

$$ 4+8\lambda+4\lambda^2-\lambda^2=0 $$

$$ 3\lambda^2+8\lambda+4=0 $$

$$ \lambda=\frac{-8\pm\sqrt{64-48}}{6} =\frac{-8\pm4}{6} $$

所以：

$$ \lambda=-\frac23\quad\text{或}\quad\lambda=-2 $$

当 $\lambda=-\frac23$：

$$ 2+2\lambda=2-\frac43=\frac23 $$

$$ \frac23x-\frac23y=0\Rightarrow x=y $$

代入约束：

$$ 3x^2=1\Rightarrow x=\pm\frac{1}{\sqrt3} $$

$$ f=x^2+y^2=2x^2=\frac23 $$

当 $\lambda=-2$：

$$ 2+2\lambda=2-4=-2 $$

$$ -2x-2y=0\Rightarrow x=-y $$

代入约束：

$$ x^2-x^2+x^2=1\Rightarrow x^2=1 $$

$$ f=x^2+y^2=2x^2=2 $$

所以：

最大值为 $2$，最小值为 $\frac23$。

四、易错提醒

易错1：驻点一定是极值点

错误。

$$ f(x,y)=xy $$

在 $(0,0)$ 处是驻点，但不是极值点。

易错2：$\Delta=0$ 时直接判定为极值

错误。

$\Delta=0$ 时无法判定，需用其他方法。

易错3：$\Delta>0$ 时忽略 $A$ 的符号

$$ \Delta>0,\quad A>0\Rightarrow\text{极小值} $$

$$ \Delta>0,\quad A<0\Rightarrow\text{极大值} $$

易错4：拉格朗日乘数法忘记约束条件

拉格朗日函数中必须包含约束条件：

$$ L=f+\lambda\varphi $$

易错5：拉格朗日乘数法只求驻点不判断

拉格朗日乘数法只能求出可能的极值点，还需结合实际问题判断。

易错6：有界闭区域最值忘记边界

有界闭区域上最值必须在内部和边界都考虑。

易错7：极值点与最值点混淆

极值是局部概念；
最值是整体概念；
极值点不一定是最大值点或最小值点。

易错8：条件极值直接代入不验证

条件极值可以用代入法，但要注意代入后的定义域。

易错9：二阶偏导数计算错误

$$ A=f_{xx},\quad B=f_{xy},\quad C=f_{yy} $$

注意 $B$ 是混合偏导数。

易错10：拉格朗日乘数法中 $\lambda$ 忘记消去

解方程组时，通常需要消去 $\lambda$，得到 $x$、$y$ 的关系。

易错11：边界最值不化为一元函数

边界最值通常需要将边界方程代入目标函数，化为一元函数最值问题。

易错12：实际应用最值不验证

实际应用最值通常需要根据问题背景判断是最大值还是最小值。

五、真题链接思路

真题方向1：无条件极值

常见形式：

$$ f(x,y)=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f $$

求极值。

处理方法：

求 $f_x=0$、$f_y=0$，得驻点；
求 $A=f_{xx}$、$B=f_{xy}$、$C=f_{yy}$；
计算 $\Delta=AC-B^2$；
判断极值。

真题方向2：拉格朗日乘数法

常见形式：

$$ f(x,y) $$

在约束

$$ \varphi(x,y)=0 $$

下的极值。

处理方法：

构造 $L=f+\lambda\varphi$；
求偏导并令其为零；
解方程组；
判断极值。

真题方向3：有界闭区域上最值

常见形式：

$$ f(x,y) $$

在区域 $D$ 上的最值。

处理方法：

求内部驻点；
求边界最值；
比较所有值。

真题方向4：实际应用最值

常见形式：

用料最省；
体积最大；
距离最短；
成本最低。

处理方法：

建立目标函数；
建立约束条件；
用拉格朗日乘数法或代入法；
判断最值。

真题方向5：条件极值与不等式证明

常见形式：

证明不等式；
求最值证明不等式。

处理方法：

构造目标函数；
求条件极值；
利用最值证明不等式。

真题方向6：多元极值与一元函数综合

常见形式：

约束条件可代入；
化为一元函数最值。

处理方法：

代入约束条件；
化为一元函数；
求导求最值。

真题方向7：多元极值与微分方程综合

常见形式：

已知极值条件，求参数；
已知极值点，求函数表达式。

处理方法：

利用极值必要条件 $f_x=0$、$f_y=0$；
建立方程组；
解出参数。

六、记忆清单

极值必要条件：

$$ f_x(x_0,y_0)=0,\quad f_y(x_0,y_0)=0 $$

极值充分条件：

$$ A=f_{xx},\quad B=f_{xy},\quad C=f_{yy} $$

$$ \Delta=AC-B^2 $$

$$ \Delta>0,\ A>0\Rightarrow\text{极小值} $$

$$ \Delta>0,\ A<0\Rightarrow\text{极大值} $$

$$ \Delta<0\Rightarrow\text{不是极值} $$

$$ \Delta=0\Rightarrow\text{不确定} $$

拉格朗日乘数法：

$$ L=f+\lambda\varphi $$

$$ \begin{cases} L_x=0\ L_y=0\ L_\lambda=0 \end{cases} $$

两个约束条件：

$$ L=f+\lambda\varphi+\mu\psi $$

有界闭区域最值：

内部驻点；
边界最值；
比较。

常用结论：

$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$

在 $(0,0)$ 处极小值。

$$ f(x,y)=x^2-y^2 $$

在 $(0,0)$ 处不是极值。

$$ f(x,y)=xy $$

在 $(0,0)$ 处不是极值。

口诀：

极值先求驻点，二阶判别定类型；
$\Delta$ 大于零有极值，$A$ 正极小 $A$ 负大；
条件极值拉格朗日，目标约束构造 $L$；
有界闭区域求最值，内部边界都要看。

_{本教程共58节，当前为第24节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点21 多元函数极值与最值

一、核心公式与定义

1. 多元函数极值的定义

2. 极值的必要条件

3. 极值的充分条件（二阶判别法）

4. 条件极值与拉格朗日乘数法

5. 有界闭区域上最值的求法

6. 常用结论

二、使用条件

1. 极值必要条件的使用条件

2. 极值充分条件的使用条件

3. 拉格朗日乘数法的使用条件

4. 有界闭区域上最值的使用条件

5. 条件极值判断的使用条件

三、典型题型

题型1：求无条件极值

题型2：拉格朗日乘数法

题型3：有界闭区域上最值

题型4：实际应用最值

题型5：条件极值与不等式证明

题型6：多元函数极值与一元函数综合

四、易错提醒

易错1：驻点一定是极值点

易错2：$\Delta=0$ 时直接判定为极值

易错3：$\Delta>0$ 时忽略 $A$ 的符号

易错4：拉格朗日乘数法忘记约束条件

易错5：拉格朗日乘数法只求驻点不判断

易错6：有界闭区域最值忘记边界

易错7：极值点与最值点混淆

易错8：条件极值直接代入不验证

易错9：二阶偏导数计算错误

易错10：拉格朗日乘数法中 $\lambda$ 忘记消去

易错11：边界最值不化为一元函数

易错12：实际应用最值不验证

五、真题链接思路

真题方向1：无条件极值

真题方向2：拉格朗日乘数法

真题方向3：有界闭区域上最值

真题方向4：实际应用最值

真题方向5：条件极值与不等式证明

真题方向6：多元极值与一元函数综合

真题方向7：多元极值与微分方程综合

六、记忆清单

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