$$ \iiint_\Omega f dV =\int_\alpha^\beta d\theta\int_{r_1(\theta)}^{r_2(\theta)}rdr\int_{z_1(r,\theta)}^{z_2(r,\theta)}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)dz $$

（2）截面法：

$$ \iiint_\Omega f dV =\int_c^d dz\iint_{D_z}f(r\cos\theta,r\sin\theta,z)rdrd\theta $$

常用柱坐标区域：

圆柱 $x^2+y^2\le a^2$，$0\le z\le h$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le a,\quad 0\le z\le h $$

圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$，$0\le z\le h$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le h,\quad r\le z\le h $$

抛物面 $z=x^2+y^2$，$0\le z\le h$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le\sqrt h,\quad r^2\le z\le h $$

6. 球坐标下的计算

球坐标变换：

$$ x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi $$

其中：

$$ \rho\ge0,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\theta\le2\pi $$

$$ dV=\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta $$

适用范围：

区域为球、球壳、球扇形；
被积函数含 $x^2+y^2+z^2$；
区域边界可用球坐标简单表示。

计算公式：

$$ \iiint_\Omega f dV =\int_{\theta_1}^{\theta_2}d\theta\int_{\varphi_1(\theta)}^{\varphi_2(\theta)}d\varphi\int_{\rho_1(\theta,\varphi)}^{\rho_2(\theta,\varphi)}f\rho^2\sin\varphi d\rho $$

常用球坐标区域：

球 $x^2+y^2+z^2\le a^2$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\rho\le a $$

上半球 $x^2+y^2+z^2\le a^2$，$z\ge0$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi2,\quad 0\le\rho\le a $$

球壳 $a^2\le x^2+y^2+z^2\le b^2$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad a\le\rho\le b $$

圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2\le a^2$ 围成：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi4,\quad 0\le\rho\le a $$

7. 对称性

（1）关于 $xOy$ 面对称：

若 $\Omega$ 关于 $xOy$ 面对称，且

$f(x,y,-z)=f(x,y,z)$，则

$$ \iiint_\Omega f dV=2\iiint_{\Omega_1}f dV $$

其中 $\Omega_1$ 为 $\Omega$ 在 $z\ge0$ 的部分。

$f(x,y,-z)=-f(x,y,z)$，则

$$ \iiint_\Omega f dV=0 $$

（2）关于 $yOz$ 面对称：

若 $\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称，且

$f(-x,y,z)=f(x,y,z)$，则

$$ \iiint_\Omega f dV=2\iiint_{\Omega_1}f dV $$

$f(-x,y,z)=-f(x,y,z)$，则

$$ \iiint_\Omega f dV=0 $$

（3）关于 $zOx$ 面对称：

类似可得。

（4）轮换对称性：

若 $\Omega$ 关于 $x$、$y$、$z$ 轮换对称，则

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)dV =\iiint_\Omega f(y,z,x)dV $$

常用结论：

$$ \iiint_\Omega x^2dV=\iiint_\Omega y^2dV=\iiint_\Omega z^2dV $$

8. 常用公式

球体积：

$$ V=\frac43\pi a^3 $$

圆柱体积：

$$ V=\pi a^2h $$

圆锥体积：

$$ V=\frac13\pi a^2h $$

球坐标体积元素：

$$ dV=\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta $$

柱坐标体积元素：

$$ dV=rdrd\theta dz $$

二、使用条件

1. 三重积分存在的使用条件

被积函数在有界闭区域上有界；
连续函数一定可积；
有界且只有有限个间断点的函数可积。

2. 直角坐标计算的使用条件

区域可表示为投影法或截面法形式；
若区域复杂，可分割为多个简单区域。

3. 柱坐标计算的使用条件

区域为圆柱、圆锥、旋转体；
被积函数含 $x^2+y^2$；
投影区域为圆或圆的一部分。

4. 球坐标计算的使用条件

区域为球、球壳、球扇形；
被积函数含 $x^2+y^2+z^2$；
区域边界可用球坐标简单表示。

5. 对称性使用的使用条件

区域关于坐标面对称；
被积函数具有相应的奇偶性；
若区域对称但函数非奇非偶，可拆分。

6. 三重积分中值定理的使用条件

$f(x,y,z)$ 在 $\Omega$ 上连续；
$\Omega$ 为有界闭区域。

三、典型题型

题型1：直角坐标计算（投影法）

例1

计算

$$ \iiint_\Omega xyz\,dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\ 0\le y\le1,\ 0\le z\le1} $$

解：

$$ \iiint_\Omega xyz\,dV =\int_0^1dx\int_0^1dy\int_0^1xyz\,dz $$

先对 $z$ 积分：

$$ \int_0^1xyz\,dz=xy\cdot\frac{z^2}{2}\Big|_0^1=\frac{xy}{2} $$

再对 $y$ 积分：

$$ \int_0^1\frac{xy}{2}dy=\frac{x}{2}\cdot\frac{y^2}{2}\Big|_0^1=\frac{x}{4} $$

再对 $x$ 积分：

$$ \int_0^1\frac{x}{4}dx=\frac18 $$

所以：

$$ \iiint_\Omega xyz\,dV=\frac18 $$

例2

计算

$$ \iiint_\Omega z\,dV $$

其中 $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$、$z=1$ 围成。

解：

投影区域：

$$ D_{xy}={(x,y)\mid x^2+y^2\le1} $$

$$ \iiint_\Omega z\,dV =\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{x^2+y^2}^1 z\,dz $$

先对 $z$ 积分：

$$ \int_{x^2+y^2}^1 z\,dz =\frac{z^2}{2}\Big|_{x^2+y^2}^1 =\frac12[1-(x^2+y^2)^2] $$

用极坐标：

$$ \iint_{D_{xy}}\frac12[1-(x^2+y^2)^2]dxdy =\frac12\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1(1-r^4)rdr $$

$$ =\frac12\cdot2\pi\cdot\left(\frac{r^2}{2}-\frac{r^6}{6}\right)\Big|_0^1 =\pi\left(\frac12-\frac16\right) =\frac\pi3 $$

所以：

$$ \iiint_\Omega z\,dV=\frac\pi3 $$

例3

计算

$$ \iiint_\Omega (x+y+z)dV $$

其中 $\Omega$ 由 $x=0$、$y=0$、$z=0$、$x+y+z=1$ 围成。

解：

$$ \iiint_\Omega (x+y+z)dV =\int_0^1dx\int_0^{1-x}dy\int_0^{1-x-y}(x+y+z)dz $$

先对 $z$ 积分：

$$ \int_0^{1-x-y}(x+y+z)dz =(x+y)(1-x-y)+\frac{(1-x-y)^2}{2} $$

化简：

$$ =\frac{(1-x-y)^2}{2}+(x+y)(1-x-y) $$

$$ =\frac{(1-x-y)(1-x-y+2x+2y)}{2} =\frac{(1-x-y)(1+x+y)}{2} $$

$$ =\frac{1-(x+y)^2}{2} $$

再对 $y$ 积分：

$$ \int_0^{1-x}\frac{1-(x+y)^2}{2}dy $$

令 $u=x+y$，$du=dy$：

$$ =\frac12\int_x^1(1-u^2)du =\frac12\left(u-\frac{u^3}{3}\right)\Big|_x^1 $$

$$ =\frac12\left[\left(1-\frac13\right)-\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\right] $$

$$ =\frac12\left(\frac23-x+\frac{x^3}{3}\right) $$

再对 $x$ 积分：

$$ \int_0^1\frac12\left(\frac23-x+\frac{x^3}{3}\right)dx =\frac12\left(\frac23x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{12}\right)\Big|_0^1 $$

$$ =\frac12\left(\frac23-\frac12+\frac1{12}\right) =\frac12\cdot\frac{8-6+1}{12} =\frac12\cdot\frac{3}{12} =\frac18 $$

所以：

$$ \iiint_\Omega (x+y+z)dV=\frac18 $$

题型2：直角坐标计算（截面法）

例4

计算

$$ \iiint_\Omega z^2dV $$

其中 $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$、$z=1$ 围成。

解：

用截面法：

$$ \iiint_\Omega z^2dV =\int_0^1z^2dz\iint_{D_z}dxdy $$

对每个 $z\in[0,1]$，截面为：

$$ D_z={(x,y)\mid x^2+y^2\le z} $$

面积为：

$$ S_{D_z}=\pi z $$

所以：

$$ \iiint_\Omega z^2dV =\int_0^1z^2\cdot\pi z\,dz =\pi\int_0^1z^3dz =\pi\cdot\frac14=\frac\pi4 $$

例5

计算

$$ \iiint_\Omega dV $$

其中 $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$、$z=1$ 围成。

解：

这是求体积。

用截面法：

$$ V=\int_0^1dz\iint_{D_z}dxdy =\int_0^1\pi z\,dz =\frac\pi2 $$

题型3：柱坐标计算

例6

计算

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1} $$

解：

用柱坐标：

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z $$

$$ \Omega={0\le\theta\le2\pi,\ 0\le r\le1,\ 0\le z\le1} $$

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1r^2dz $$

$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3dr\cdot1 =2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2 $$

例7

计算

$$ \iiint_\Omega z\,dV $$

其中 $\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$、$z=1$ 围成。

解：

用柱坐标：

$$ z=\sqrt{x^2+y^2}=r $$

区域：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le1,\quad r\le z\le1 $$

$$ \iiint_\Omega z\,dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_r^1z\,dz $$

先对 $z$ 积分：

$$ \int_r^1z\,dz=\frac{z^2}{2}\Big|_r^1=\frac12(1-r^2) $$

再对 $r$ 积分：

$$ \int_0^1r\cdot\frac12(1-r^2)dr =\frac12\int_0^1(r-r^3)dr $$

$$ =\frac12\left(\frac12-\frac14\right) =\frac12\cdot\frac14=\frac18 $$

所以：

$$ \iiint_\Omega z\,dV =2\pi\cdot\frac18=\frac\pi4 $$

例8

计算

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2\le1,\ 0\le z\le1} $$

解：

用柱坐标：

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1rdr\int_0^1(r^2+z^2)dz $$

先对 $z$ 积分：

$$ \int_0^1(r^2+z^2)dz=r^2+\frac13 $$

再对 $r$ 积分：

$$ \int_0^1r\left(r^2+\frac13\right)dr =\int_0^1\left(r^3+\frac r3\right)dr =\frac14+\frac16=\frac5{12} $$

所以：

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV =2\pi\cdot\frac5{12}=\frac{5\pi}{6} $$

题型4：球坐标计算

例9

计算

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le a^2} $$

解：

用球坐标：

$$ \Omega={0\le\theta\le2\pi,\ 0\le\varphi\le\pi,\ 0\le\rho\le a} $$

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho $$

$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi d\varphi\int_0^a\rho^4d\rho $$

$$ =2\pi\cdot2\cdot\frac{a^5}{5} =\frac{4\pi a^5}{5} $$

例10

计算

$$ \iiint_\Omega dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le a^2} $$

解：

这是球体积。

$$ V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a\rho^2\sin\varphi d\rho $$

$$ =2\pi\cdot2\cdot\frac{a^3}{3} =\frac{4\pi a^3}{3} $$

例11

计算

$$ \iiint_\Omega z^2dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le a^2} $$

解：

用球坐标：

$$ z=\rho\cos\varphi $$

$$ \iiint_\Omega z^2dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a\rho^2\cos^2\varphi\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho $$

$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\cos^2\varphi\sin\varphi d\varphi\int_0^a\rho^4d\rho $$

先对 $\varphi$ 积分：

$$ \int_0^\pi\cos^2\varphi\sin\varphi d\varphi =-\frac{\cos^3\varphi}{3}\Big|_0^\pi =\frac23 $$

所以：

$$ \iiint_\Omega z^2dV =2\pi\cdot\frac23\cdot\frac{a^5}{5} =\frac{4\pi a^5}{15} $$

例12

计算

$$ \iiint_\Omega \sqrt{x^2+y^2+z^2}dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1} $$

解：

用球坐标：

$$ \iiint_\Omega \rho\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi d\varphi\int_0^1\rho^3d\rho $$

$$ =2\pi\cdot2\cdot\frac14=\pi $$

题型5：利用对称性计算

例13

计算

$$ \iiint_\Omega xdV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1} $$

解：

$\Omega$ 关于 $yOz$ 面对称，$f(x,y,z)=x$ 关于 $x$ 为奇函数。

所以：

$$ \iiint_\Omega xdV=0 $$

例14

计算

$$ \iiint_\Omega (x+y+z)dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1} $$

解：

由对称性：

$$ \iiint_\Omega xdV=\iiint_\Omega ydV=\iiint_\Omega zdV=0 $$

所以：

$$ \iiint_\Omega (x+y+z)dV=0 $$

例15

计算

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1} $$

解：

由轮换对称性：

$$ \iiint_\Omega x^2dV=\iiint_\Omega y^2dV=\iiint_\Omega z^2dV $$

所以：

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV =3\iiint_\Omega z^2dV $$

由例11：

$$ \iiint_\Omega z^2dV=\frac{4\pi}{15} $$

所以：

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2+z^2)dV =3\cdot\frac{4\pi}{15}=\frac{4\pi}{5} $$

例16

计算

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1} $$

解：

由对称性：

$$ \iiint_\Omega x^2dV=\iiint_\Omega y^2dV=\iiint_\Omega z^2dV $$

所以：

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)dV =2\iiint_\Omega z^2dV =2\cdot\frac{4\pi}{15} =\frac{8\pi}{15} $$

题型6：三重积分与坐标系选择

例17

计算

$$ \iiint_\Omega \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}dV $$

其中

$$ \Omega={(x,y,z)\mid 1\le x^2+y^2+z^2\le4} $$

解：

用球坐标：

$$ \Omega={0\le\theta\le2\pi,\ 0\le\varphi\le\pi,\ 1\le\rho\le2} $$

$$ \iiint_\Omega \frac{1}{\rho}\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi\sin\varphi d\varphi\int_1^2\rho d\rho $$

$$ =2\pi\cdot2\cdot\frac{4-1}{2} =2\pi\cdot2\cdot\frac32 =6\pi $$

例18

计算

$$ \iiint_\Omega z\,dV $$

其中 $\Omega$ 由 $z=x^2+y^2$、$z=4$ 围成。

解：

用柱坐标：

$$ z=x^2+y^2=r^2 $$

区域：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le2,\quad r^2\le z\le4 $$

$$ \iiint_\Omega z\,dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^2rdr\int_{r^2}^4z\,dz $$

先对 $z$ 积分：

$$ \int_{r^2}^4z\,dz=\frac{z^2}{2}\Big|_{r^2}^4=\frac12(16-r^4) $$

再对 $r$ 积分：

$$ \int_0^2r\cdot\frac12(16-r^4)dr =\frac12\int_0^2(16r-r^5)dr $$

$$ =\frac12\left(8r^2-\frac{r^6}{6}\right)\Big|_0^2 =\frac12\left(32-\frac{64}{6}\right) $$

$$ =\frac12\left(32-\frac{32}{3}\right) =\frac12\cdot\frac{64}{3} =\frac{32}{3} $$

所以：

$$ \iiint_\Omega z\,dV =2\pi\cdot\frac{32}{3} =\frac{64\pi}{3} $$

例19

计算

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)dV $$

其中 $\Omega$ 由 $z=\sqrt{x^2+y^2}$、$z=1$ 围成。

解：

用柱坐标：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le r\le1,\quad r\le z\le1 $$

$$ \iiint_\Omega (x^2+y^2)dV =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r\cdot r^2dr\int_r^1dz $$

$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^1r^3(1-r)dr $$

$$ =2\pi\int_0^1(r^3-r^4)dr =2\pi\left(\frac14-\frac15\right) =2\pi\cdot\frac1{20} =\frac\pi{10} $$

题型7：三重积分与中值定理

例20

设 $f(x,y,z)$ 在

$$ \Omega={(x,y,z)\mid x^2+y^2+z^2\le1} $$

上连续，证明存在 $(\xi,\eta,\zeta)\in\Omega$，使得

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)dV=\frac{4\pi}{3}f(\xi,\eta,\zeta) $$

证明：

$\Omega$ 的体积为：

$$ V_\Omega=\frac{4\pi}{3} $$

由三重积分中值定理，存在 $(\xi,\eta,\zeta)\in\Omega$，使得

$$ \iiint_\Omega f dV=f(\xi,\eta,\zeta)\cdot\frac{4\pi}{3} $$

题型8：三重积分与变上限积分

例21

设

$$ F(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f(x,y,z)dV $$

求 $F'(t)$。

解：

用球坐标：

$$ F(t)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^tf(\rho\sin\varphi\cos\theta,\rho\sin\varphi\sin\theta,\rho\cos\varphi)\rho^2\sin\varphi d\rho $$

对 $t$ 求导：

$$ F'(t)=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi f(t\sin\varphi\cos\theta,t\sin\varphi\sin\theta,t\cos\varphi)t^2\sin\varphi d\varphi $$

题型9：三重积分与高斯公式综合

例22

用高斯公式计算

$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $$

其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。

解：

由高斯公式：

$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =\iiint_\Omega 3dV =3V_\Omega $$

球体积：

$$ V_\Omega=\frac43\pi a^3 $$

所以：

$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$

例23

用高斯公式计算

$$ \oiint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy $$

其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。

解：

$$ P=x^2,\quad Q=y^2,\quad R=z^2 $$

$$ \text{div}\vec{F}=2x+2y+2z $$

由高斯公式：

$$ \oiint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy =\iiint_\Omega 2(x+y+z)dV $$

由对称性：

$$ \iiint_\Omega xdV=\iiint_\Omega ydV=\iiint_\Omega zdV=0 $$

所以：

$$ \oiint_\Sigma x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy=0 $$

题型10：三重积分与体积

例24

求由 $z=x^2+y^2$、$z=1$ 围成的体积。

解：

由例5：

$$ V=\frac\pi2 $$

例25

求由 $x^2+y^2+z^2\le a^2$、$z\ge0$ 围成的上半球体积。

解：

$$ V=\frac12\cdot\frac43\pi a^3=\frac23\pi a^3 $$

例26

求由圆锥 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 与球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 围成的体积。

解：

用球坐标：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi4,\quad 0\le\rho\le a $$

$$ V=\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac\pi4}d\varphi\int_0^a\rho^2\sin\varphi d\rho $$

$$ =2\pi\cdot\left(-\cos\varphi\right)\Big|_0^{\frac\pi4}\cdot\frac{a^3}{3} $$

$$ =2\pi\cdot\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)\cdot\frac{a^3}{3} =\frac{2\pi a^3}{3}\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) $$

四、易错提醒

易错1：柱坐标忘记 $r$

$$ dV=rdrd\theta dz $$

不要漏掉 $r$。

易错2：球坐标忘记 $\rho^2\sin\varphi$

$$ dV=\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta $$

不要漏掉 $\rho^2\sin\varphi$。

易错3：球坐标角度范围搞错

球 $x^2+y^2+z^2\le a^2$：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\pi,\quad 0\le\rho\le a $$

上半球：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi2,\quad 0\le\rho\le a $$

圆锥与球面围成：

$$ 0\le\theta\le2\pi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi4,\quad 0\le\rho\le a $$

易错4：投影法积分限写错

投影法：

$$ \iiint_\Omega f dV =\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f dz $$

先对 $z$ 积分，再对 $x$、$y$ 积分。

易错5：截面法积分限写错

截面法：

$$ \iiint_\Omega f dV =\int_c^d dz\iint_{D_z}f dxdy $$

先对 $x$、$y$ 积分，再对 $z$ 积分。

易错6：对称性使用条件不验证

区域必须关于坐标面对称；
函数必须具有相应的奇偶性。

易错7：轮换对称性误用

轮换对称性要求区域关于 $x$、$y$、$z$ 轮换对称。

易错8：三重积分中值定理条件不验证

$$ \iiint_\Omega f dV=f(\xi,\eta,\zeta)V_\Omega $$

要求 $f$ 在 $\Omega$ 上连续。

易错9：估值定理方向搞错

若 $m\le f\le M$，则

$$ mV_\Omega\le\iiint_\Omega f dV\le MV_\Omega $$

易错10：柱坐标中 $r$ 的范围写错

对于 $z=\sqrt{x^2+y^2}$：

$$ r=z $$

不是 $r=1$。

易错11：球坐标中 $\rho$ 的范围写错

对于球壳 $a^2\le x^2+y^2+z^2\le b^2$：

$$ a\le\rho\le b $$

易错12：三重积分与二重积分混淆

三重积分是三元函数的积分，区域是三维的；

二重积分是二元函数的积分，区域是二维的。

易错13：计算体积时被积函数写错

体积：

$$ V=\iiint_\Omega 1dV $$

不是 $\iiint_\Omega xdV$ 等。

易错14：高斯公式方向搞错

高斯公式要求 $\Sigma$ 取外侧。

五、真题链接思路

真题方向1：直角坐标计算

常见形式：

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)dV $$

其中 $\Omega$ 由曲面围成。

处理方法：

画出区域 $\Omega$；
选择投影法或截面法；
写出积分限；
计算。

真题方向2：柱坐标计算

常见形式：

区域为圆柱、圆锥、旋转体；
被积函数含 $x^2+y^2$。

处理方法：

判断是否适合柱坐标；
写出 $x=r\cos\theta$、$y=r\sin\theta$、$z=z$；
确定 $r$、$\theta$、$z$ 的范围；
计算。

真题方向3：球坐标计算

常见形式：

区域为球、球壳、球扇形；
被积函数含 $x^2+y^2+z^2$。

处理方法：

判断是否适合球坐标；
写出 $x=\rho\sin\varphi\cos\theta$、$y=\rho\sin\varphi\sin\theta$、$z=\rho\cos\varphi$；
确定 $\rho$、$\varphi$、$\theta$ 的范围；
计算。

真题方向4：利用对称性

常见形式：

$$ \iiint_\Omega f(x,y,z)dV $$

其中 $\Omega$ 对称，$f$ 有奇偶性。

处理方法：

判断区域对称性；
判断函数奇偶性；
利用对称性简化；
计算。

真题方向5：三重积分与中值定理

常见形式：

证明存在 $(\xi,\eta,\zeta)$，使得某个等式成立；
估计积分值。

处理方法：

验证连续性；
使用三重积分中值定理；
结合其他定理。

真题方向6：三重积分与变上限积分

常见形式：

$$ F(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2\le t^2}f(x,y,z)dV $$

求 $F'(t)$。

处理方法：

用球坐标表示；
对 $t$ 求导；
化简。

真题方向7：三重积分与高斯公式综合

常见形式：

用高斯公式将曲面积分化为三重积分；
用三重积分计算通量。

处理方法：

判断是否满足高斯公式条件；
化为三重积分；
选择合适坐标系计算。

真题方向8：三重积分与体积

常见形式：

求体积；
求质量。

处理方法：

确定区域；
选择坐标系；
计算。

六、记忆清单

三重积分定义：

$$ \iiint_\Omega f dV =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta V_i $$

直角坐标：

投影法：

$$ \iiint_\Omega f dV =\iint_{D_{xy}}dxdy\int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)}f dz $$

截面法：

$$ \iiint_\Omega f dV =\int_c^d dz\iint_{D_z}f dxdy $$

柱坐标：

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,\quad z=z $$

$$ dV=rdrd\theta dz $$

球坐标：

$$ x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z=\rho\cos\varphi $$

$$ dV=\rho^2\sin\varphi d\rho d\varphi d\theta $$

对称性：

关于 $xOy$ 面对称：

$$ f(x,y,-z)=-f(x,y,z)\Rightarrow\iiint_\Omega f dV=0 $$

$$ f(x,y,-z)=f(x,y,z)\Rightarrow\iiint_\Omega f dV=2\iiint_{\Omega_1}f dV $$

轮换对称性：

$$ \iiint_\Omega x^2dV=\iiint_\Omega y^2dV=\iiint_\Omega z^2dV $$

中值定理：

$$ \iiint_\Omega f dV=f(\xi,\eta,\zeta)V_\Omega $$

估值定理：

$$ mV_\Omega\le\iiint_\Omega f dV\le MV_\Omega $$

常用体积：

球：

$$ V=\frac43\pi a^3 $$

圆柱：

$$ V=\pi a^2h $$

圆锥：

$$ V=\frac13\pi a^2h $$

常用结论：

$$ \iiint_{x^2+y^2+z^2\le a^2}(x^2+y^2+z^2)dV =\frac{4\pi a^5}{5} $$

$$ \iiint_{x^2+y^2+z^2\le a^2}z^2dV =\frac{4\pi a^5}{15} $$

口诀：

三重积分选坐标，直角柱球看区域；
柱坐标带 $r$，球坐标带 $\rho^2\sin\varphi$；
投影法先一后二，截面法先二后一；
对称性看奇偶，轮换对称平方等；
中值定理连续用，体积积分被积一。

_{本教程共58节，当前为第27节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点24 三重积分（数一）

一、核心公式与定义

1. 三重积分的定义

2. 三重积分的几何意义

3. 三重积分的性质

4. 直角坐标下的计算

5. 柱坐标下的计算

6. 球坐标下的计算

7. 对称性

8. 常用公式

二、使用条件

1. 三重积分存在的使用条件

2. 直角坐标计算的使用条件

3. 柱坐标计算的使用条件

4. 球坐标计算的使用条件

5. 对称性使用的使用条件

6. 三重积分中值定理的使用条件

三、典型题型

题型1：直角坐标计算（投影法）

题型2：直角坐标计算（截面法）

题型3：柱坐标计算

题型4：球坐标计算

题型5：利用对称性计算

题型6：三重积分与坐标系选择

题型7：三重积分与中值定理

题型8：三重积分与变上限积分

题型9：三重积分与高斯公式综合

题型10：三重积分与体积

四、易错提醒

易错1：柱坐标忘记 $r$

易错2：球坐标忘记 $\rho^2\sin\varphi$

易错3：球坐标角度范围搞错

易错4：投影法积分限写错

易错5：截面法积分限写错

易错6：对称性使用条件不验证

易错7：轮换对称性误用

易错8：三重积分中值定理条件不验证

易错9：估值定理方向搞错

易错10：柱坐标中 $r$ 的范围写错

易错11：球坐标中 $\rho$ 的范围写错

易错12：三重积分与二重积分混淆

易错13：计算体积时被积函数写错

易错14：高斯公式方向搞错

五、真题链接思路

真题方向1：直角坐标计算

真题方向2：柱坐标计算

真题方向3：球坐标计算

真题方向4：利用对称性

真题方向5：三重积分与中值定理

真题方向6：三重积分与变上限积分

真题方向7：三重积分与高斯公式综合

真题方向8：三重积分与体积

六、记忆清单

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