适用：数一、数二、数三通用
地位：一元微分学的起点，直接支撑求导法则、中值定理、导数应用、积分学
核心任务：理解导数定义，会用定义求导，会判断可导性，理解可导与连续、可微的关系
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若极限
$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
存在，则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，该极限称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作
$$ f'(x_0) $$
或
$$ y'\big|_{x=x_0},\quad \left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=x_0} $$
即：
$$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
等价形式：
令 $x=x_0+\Delta x$，则 $\Delta x=x-x_0$，所以
$$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
这是考试中最常用的导数定义形式。
左导数：
$$ f'_-(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^-}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
或
$$ f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
右导数：
$$ f'_+(x_0)=\lim_{\Delta x\to0^+}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
或
$$ f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
可导的充要条件：
$$ f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可导} \iff f'_-(x_0)=f'_+(x_0) $$
即：
$$ \text{可导} \iff \text{左导数} = \text{右导数} $$
这是判断分段函数在分界点处是否可导的基本工具。
若 $f(x)$ 在区间 $I$ 内每一点都可导，则对每个 $x\in I$，都有一个导数 $f'(x)$ 与之对应。这样就得到一个定义在 $I$ 上的新函数，称为 $f(x)$ 的导函数，记作
$$ f'(x) $$
即：
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$
常见记号：
$$ f'(x),\quad y',\quad \frac{dy}{dx},\quad \frac{df}{dx} $$
设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义。若存在与 $\Delta x$ 无关的常数 $A$，使得
$$ \Delta y=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)=A\Delta x+o(\Delta x)\quad(\Delta x\to0) $$
则称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微，$A\Delta x$ 称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的微分，记作
$$ dy=A\Delta x $$
重要结论：
$$ f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可微} \iff f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处可导} $$
且
$$ A=f'(x_0) $$
所以：
$$ dy=f'(x_0)\Delta x $$
通常记 $\Delta x=dx$，所以：
$$ dy=f'(x_0)dx $$
微分形式：
$$ dy=f'(x)dx $$
$$ \text{可导} \iff \text{可微} $$
$$ \text{可导} \Rightarrow \text{连续} $$
$$ \text{连续} \nRightarrow \text{可导} $$
即：
$$ \text{可导} \Rightarrow \text{连续} \Rightarrow \text{有极限} $$
但反过来都不成立。
经典反例：
$$ f(x)=|x| $$
在 $x=0$ 处连续，但不可导。
因为：
$$ f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{|x|-0}{x-0} =\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1 $$
$$ f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{|x|-0}{x-0} =\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1 $$
左右导数不相等，所以不可导。
切线斜率：
$$ f'(x_0)=\tan\alpha $$
其中 $\alpha$ 是曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0,f(x_0))$ 处切线的倾角。
切线方程：
$$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $$
法线方程：
若 $f'(x_0)\neq0$，则法线方程为
$$ y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) $$
若 $f'(x_0)=0$，则法线为竖直线：
$$ x=x_0 $$
若 $s=s(t)$ 表示位移函数，则
$$ s'(t)=v(t) $$
表示瞬时速度。
若 $v=v(t)$ 表示速度函数，则
$$ v'(t)=a(t) $$
表示瞬时加速度。
以下公式是导数计算的基础，必须熟记：
$$ (C)'=0 $$
$$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$
$$ (a^x)'=a^x\ln a $$
$$ (e^x)'=e^x $$
$$ (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} $$
$$ (\ln x)'=\frac1x $$
$$ (\sin x)'=\cos x $$
$$ (\cos x)'=-\sin x $$
$$ (\tan x)'=\sec^2x $$
$$ (\cot x)'=-\csc^2x $$
$$ (\sec x)'=\sec x\tan x $$
$$ (\csc x)'=-\csc x\cot x $$
$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$
$$ (\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2} $$
双曲函数导数（数一了解）：
$$ (\sinh x)'=\cosh x $$
$$ (\cosh x)'=\sinh x $$
$$ (\tanh x)'=\frac{1}{\cosh^2x} $$
当以下情况出现时，通常需要用导数定义：
使用步骤：
$$ \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
判断 $f(x)$ 在分界点 $x_0$ 处是否可导：
注意：
不连续一定不可导，但连续不一定可导。
可微与可导等价。判断可微，只需判断可导。
但要注意：
$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}=0 $$
导数定义中的极限必须是双侧极限。
即：
$$ \lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
必须存在。
对于分段函数，必须分别求左导数和右导数。
例1
设
$$ f(x)=x^2 $$
用定义求 $f'(1)$。
解：
$$ f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x+(\Delta x)^2-1}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}(2+\Delta x)=2 $$
例2
设
$$ f(x)=\frac1x $$
用定义求 $f'(x)$。
解：
$$ f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{x+\Delta x}-\frac1x}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{x-(x+\Delta x)}{x(x+\Delta x)}}{\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{-\Delta x}{x(x+\Delta x)\Delta x} $$
$$ =\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{x(x+\Delta x)} =-\frac{1}{x^2} $$
例3
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且
$$ f(0)=0,\quad f'(0)=2 $$
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} $$
解：
由导数定义：
$$ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} $$
所以
$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)=2 $$
例4
设 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，且
$$ f(1)=3,\quad f'(1)=-1 $$
求
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(1+2h)-f(1)}{h} $$
解：
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(1+2h)-f(1)}{h} =2\lim_{h\to0}\frac{f(1+2h)-f(1)}{2h} $$
令 $u=2h$，则 $u\to0$，所以
$$ =2\lim_{u\to0}\frac{f(1+u)-f(1)}{u} =2f'(1)=-2 $$
例5
设
$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\le1\\ ax+b, & x>1 \end{cases} $$
若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处可导，求 $a,b$。
解：
第一步：连续性。
$$ \lim_{x\to1^-}f(x)=\lim_{x\to1^-}x^2=1 $$
$$ \lim_{x\to1^+}f(x)=\lim_{x\to1^+}(ax+b)=a+b $$
因为可导必连续，所以
$$ a+b=1 $$
第二步：可导性。
左导数：
$$ f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1}{x-1} =\lim_{x\to1^-}(x+1)=2 $$
右导数：
$$ f'_+(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{ax+b-1}{x-1} $$
由 $a+b=1$，得 $b=1-a$，所以
$$ ax+b-1=ax+1-a-1=a(x-1) $$
因此
$$ f'_+(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{a(x-1)}{x-1}=a $$
因为可导，所以
$$ f'_-(1)=f'_+(1) $$
即
$$ a=2 $$
再由 $a+b=1$，得
$$ b=-1 $$
所以
$$ a=2,\quad b=-1 $$
例6
设
$$ f(x)= \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & x\neq0\\ 1, & x=0 \end{cases} $$
判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否可导。
解：
先判断连续性：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1=f(0) $$
所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
再判断可导性：
$$ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0}\frac{\frac{\sin x}{x}-1}{x} $$
$$ =\lim_{x\to0}\frac{\sin x-x}{x^2} $$
用泰勒展开：
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) $$
所以
$$ \sin x-x=-\frac{x^3}{6}+o(x^3) $$
因此
$$ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{-\frac{x^3}{6}+o(x^3)}{x^2}=0 $$
所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且
$$ f'(0)=0 $$
例7
设
$$ f(x)=|x| $$
判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否可导。
解：
$$ f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{|x|-0}{x-0} =\lim_{x\to0^-}\frac{-x}{x}=-1 $$
$$ f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{|x|-0}{x-0} =\lim_{x\to0^+}\frac{x}{x}=1 $$
因为
$$ f'_-(0)\neq f'_+(0) $$
所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。
例8
设
$$ f(x)=x|x| $$
判断 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是否可导。
解：
$$ f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{x|x|-0}{x-0} =\lim_{x\to0^-}\frac{x(-x)}{x} =\lim_{x\to0^-}(-x)=0 $$
$$ f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x|x|-0}{x-0} =\lim_{x\to0^+}\frac{x\cdot x}{x} =\lim_{x\to0^+}x=0 $$
左右导数相等，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且
$$ f'(0)=0 $$
例9
设 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且
$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3 $$
求 $f(0)$ 和 $f'(0)$。
解：
因为 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
$$ f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=\lim_{x\to0}\left(x\cdot\frac{f(x)}{x}\right)=0\cdot3=0 $$
又由导数定义：
$$ f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} =\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3 $$
所以
$$ f(0)=0,\quad f'(0)=3 $$
例10
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处可导，求
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} $$
解：
$$ \frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} =\frac{f(a+h)-f(a)+f(a)-f(a-h)}{2h} $$
$$ =\frac12\left[\frac{f(a+h)-f(a)}{h}+\frac{f(a)-f(a-h)}{h}\right] $$
当 $h\to0$ 时：
$$ \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\to f'(a) $$
$$ \frac{f(a)-f(a-h)}{h}\to f'(a) $$
所以
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{2h} =\frac12[f'(a)+f'(a)]=f'(a) $$
例11
设
$$ y=x^3+2x $$
求 $dy$。
解：
$$ y'=3x^2+2 $$
所以
$$ dy=(3x^2+2)dx $$
例12
设
$$ y=\sin x $$
求 $dy$。
解：
$$ y'=\cos x $$
所以
$$ dy=\cos x\,dx $$
例13
设
$$ y=e^{2x} $$
求 $dy$。
解：
$$ y'=2e^{2x} $$
所以
$$ dy=2e^{2x}dx $$
例14
用微分近似计算 $\sqrt{1.02}$。
解：
取
$$ f(x)=\sqrt{x},\quad x_0=1,\quad \Delta x=0.02 $$
则
$$ f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}} $$
$$ f'(1)=\frac12 $$
所以
$$ f(1.02)\approx f(1)+f'(1)\Delta x =1+\frac12\times0.02=1.01 $$
因此
$$ \sqrt{1.02}\approx1.01 $$
错误。
$$ f(x)=|x| $$
在 $x=0$ 处连续，但不可导。
正确关系：
$$ \text{可导} \Rightarrow \text{连续} $$
$$ \text{连续} \nRightarrow \text{可导} $$
这是上一条的另一种说法，必须牢记。
对于分段函数、含绝对值的函数，必须分别求左右导数。
错误：
$$ f(x)=|x|,\quad f'(0)=1 $$
正确：
$$ f'_-(0)=-1,\quad f'_+(0)=1 $$
左右导数不相等，所以不可导。
$$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
必须是 $\Delta x\to0$，而不是 $\Delta x\to0^+$ 或 $\Delta x\to0^-$。
若只求单侧，则是左导数或右导数。
$$ f'(x_0) $$
是一个数，表示导数。
$$ dy=f'(x_0)dx $$
是一个线性函数，表示微分。
两者关系：
$$ dy=f'(x_0)dx $$
$\frac{dy}{dx}$ 是导数记号，不是真正的分数。
但在一阶微分形式不变性中，可以形式上处理。
正确形式：
$$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
错误形式：
$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x} $$
分母必须是 $x-x_0$。
若题目说 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则立即可以得到：
$$ f(x)\text{ 在 }x_0\text{ 处连续} $$
即：
$$ \lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0) $$
这在解题中经常用到。
错误：
$$ f(x)= \begin{cases} x^2, & x\le1\\ 2x-1, & x>1 \end{cases} $$
直接对 $x^2$ 求导得 $f'(1)=2$。
正确：
必须分别求左右导数。
左导数：
$$ f'_-(1)=\lim_{x\to1^-}\frac{x^2-1}{x-1}=2 $$
右导数：
$$ f'_+(1)=\lim_{x\to1^+}\frac{2x-1-1}{x-1} =\lim_{x\to1^+}\frac{2(x-1)}{x-1}=2 $$
所以 $f'(1)=2$。
微分近似只适用于 $\Delta x$ 很小的情况。
$$ f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x $$
$\Delta x$ 越大，误差越大。
常见形式：
处理方法：
典型转化：
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{h} =af'(x_0) $$
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} =f'(x_0) $$
$$ \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} =f'(x_0) $$
常见形式：
$$ f(x)= \begin{cases} g(x), & x\le x_0\\ h(x), & x>x_0 \end{cases} $$
求参数使 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导。
处理方法：
常见形式：
$$ f(x)=|x-a|g(x) $$
讨论在 $x=a$ 处的可导性。
处理方法：
重要结论：
$$ f(x)=|x-a|g(x)\text{ 在 }x=a\text{ 处可导} \iff g(a)=0 $$
常见形式：
已知 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，求某个极限。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ dy=f'(x)dx $$
$$ f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x $$
导数定义：
$$ f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} $$
$$ f'(x_0)=\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
左右导数：
$$ f'_-(x_0)=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
$$ f'_+(x_0)=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} $$
可导充要条件：
$$ f'_-(x_0)=f'_+(x_0) $$
可导、可微、连续关系：
$$ \text{可导} \iff \text{可微} $$
$$ \text{可导} \Rightarrow \text{连续} $$
$$ \text{连续} \nRightarrow \text{可导} $$
微分：
$$ dy=f'(x)dx $$
切线方程：
$$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $$
法线方程：
$$ y-f(x_0)=-\frac{1}{f'(x_0)}(x-x_0) $$
基本导数公式：
$$ (C)'=0 $$
$$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$
$$ (e^x)'=e^x $$
$$ (\ln x)'=\frac1x $$
$$ (\sin x)'=\cos x $$
$$ (\cos x)'=-\sin x $$
$$ (\tan x)'=\sec^2x $$
$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$
重要结论：
$$ f(x)=|x-a|g(x)\text{ 在 }x=a\text{ 处可导} \iff g(a)=0 $$
常用极限转化：
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+ah)-f(x_0)}{h}=af'(x_0) $$
$$ \lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0) $$
口诀：
导数定义差商限，左右导数要分算；
可导必连续，连续未必导；
可导可微等价，微分等于导数乘 $dx$；
分段绝对值，左右先判断。
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