适用：数一、数二、数三通用
地位：导数计算的进阶内容，直接支撑泰勒展开、中值定理、微分方程、级数
核心任务：理解高阶导数定义，熟记常用高阶导数公式，掌握莱布尼茨公式
设函数 $y=f(x)$ 可导，其导数 $f'(x)$ 仍为函数。若 $f'(x)$ 仍可导，则称 $f'(x)$ 的导数为 $f(x)$ 的二阶导数，记作
$$ f''(x),\quad y'',\quad \frac{d^2y}{dx^2} $$
即：
$$ f''(x)=[f'(x)]' $$
一般地，$n-1$ 阶导数的导数称为 $n$ 阶导数，记作
$$ f^{(n)}(x),\quad y^{(n)},\quad \frac{d^ny}{dx^n} $$
即：
$$ f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x)]' $$
规定：
$$ f^{(0)}(x)=f(x) $$
设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 均有 $n$ 阶导数。
（1）线性法则：
$$ (u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)} $$
$$ (Cu)^{(n)}=Cu^{(n)} $$
（2）莱布尼茨公式：
$$ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} $$
即：
$$ (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2}u^{(n-2)}v''+\cdots+uv^{(n)} $$
其中：
$$ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$
以下公式必须熟记：
指数函数：
$$ (e^x)^{(n)}=e^x $$
$$ (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n $$
三角函数：
$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
对数函数：
$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$
特别地：
$$ (\ln x)'=\frac1x $$
$$ (\ln x)''=-\frac{1}{x^2} $$
$$ (\ln x)'''=\frac{2}{x^3} $$
幂函数：
$$ (x^n)^{(n)}=n! $$
$$ (x^n)^{(n+1)}=0 $$
$$ (x^\alpha)^{(n)}=\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)\cdots(\alpha-n+1)x^{\alpha-n} $$
特别地：
$$ \left(\frac1x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} $$
$$ \left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}} $$
$$ (\sqrt{x})^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(2n-2)!}{2^{2n-1}(n-1)!}x^{\frac12-n} $$
反三角函数：
$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$
$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
双曲函数（数一了解）：
$$ (\sinh x)^{(n)}= \begin{cases} \sinh x, & n\text{ 为偶数}\ \cosh x, & n\text{ 为奇数} \end{cases} $$
$$ (\cosh x)^{(n)}= \begin{cases} \cosh x, & n\text{ 为偶数}\ \sinh x, & n\text{ 为奇数} \end{cases} $$
（1）$\sin x$ 的 $n$ 阶导数
$$ (\sin x)'=\cos x=\sin\left(x+\frac\pi2\right) $$
$$ (\sin x)''=-\sin x=\sin\left(x+\pi\right) $$
$$ (\sin x)'''=-\cos x=\sin\left(x+\frac{3\pi}{2}\right) $$
规律：
$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
（2）$\cos x$ 的 $n$ 阶导数
同理：
$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
（3）$\ln x$ 的 $n$ 阶导数
$$ (\ln x)'=\frac1x $$
$$ (\ln x)''=-\frac{1}{x^2} $$
$$ (\ln x)'''=\frac{2}{x^3} $$
规律：
$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$
（4）$\frac1x$ 的 $n$ 阶导数
$$ \left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2} $$
$$ \left(\frac1x\right)''=\frac{2}{x^3} $$
$$ \left(\frac1x\right)'''=-\frac{6}{x^4} $$
规律：
$$ \left(\frac1x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} $$
若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处有 $n$ 阶导数，则
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+o((x-x_0)^n) $$
特别地，当 $x_0=0$ 时：
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n) $$
重要结论：
若
$$ f(x)=\sum_{k=0}^\infty a_kx^k $$
则
$$ a_k=\frac{f^{(k)}(0)}{k!} $$
即：
$$ f^{(k)}(0)=k!a_k $$
这是求 $f^{(n)}(0)$ 的重要方法。
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) $$
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+1}) $$
$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n}) $$
$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n) $$
$$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n) $$
$f^{(n)}(x_0)$ 存在，要求：
即高阶导数存在是逐阶要求的。
使用莱布尼茨公式时，必须保证：
适用场景：
使用泰勒展开求 $f^{(n)}(0)$ 时，必须保证：
对于某些函数，可以通过求前几阶导数找规律：
例1
求
$$ y=x^5 $$
的各阶导数。
解：
$$ y'=5x^4 $$
$$ y''=20x^3 $$
$$ y'''=60x^2 $$
$$ y^{(4)}=120x $$
$$ y^{(5)}=120 $$
$$ y^{(6)}=0 $$
例2
求
$$ y=e^{2x} $$
的 $n$ 阶导数。
解：
$$ y'=2e^{2x} $$
$$ y''=4e^{2x} $$
$$ y'''=8e^{2x} $$
规律：
$$ y^{(n)}=2^ne^{2x} $$
例3
求
$$ y=\sin 3x $$
的 $n$ 阶导数。
解：
$$ y'=3\cos 3x=3\sin\left(3x+\frac\pi2\right) $$
$$ y''=-9\sin 3x=9\sin\left(3x+\pi\right) $$
规律：
$$ y^{(n)}=3^n\sin\left(3x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
例4
求
$$ y=\frac{1}{x+1} $$
的 $n$ 阶导数。
解：
$$ y'=-\frac{1}{(x+1)^2} $$
$$ y''=\frac{2}{(x+1)^3} $$
规律：
$$ y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}} $$
例5
求
$$ y=\frac{1}{x^2-1} $$
的 $n$ 阶导数。
解：
先拆分：
$$ \frac{1}{x^2-1} =\frac{1}{(x-1)(x+1)} =\frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) $$
所以：
$$ y^{(n)}=\frac12\left[\frac{(-1)^nn!}{(x-1)^{n+1}}-\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}}\right] $$
即：
$$ y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{2}\left[\frac{1}{(x-1)^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right] $$
例6
求
$$ y=\frac{1}{x(x+1)} $$
的 $n$ 阶导数。
解：
先拆分：
$$ \frac{1}{x(x+1)}=\frac1x-\frac{1}{x+1} $$
所以：
$$ y^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}}-\frac{(-1)^nn!}{(x+1)^{n+1}} $$
即：
$$ y^{(n)}=(-1)^nn!\left[\frac{1}{x^{n+1}}-\frac{1}{(x+1)^{n+1}}\right] $$
例7
求
$$ y=x^2e^x $$
的 $n$ 阶导数。
解：
令
$$ u=e^x,\quad v=x^2 $$
则：
$$ u^{(k)}=e^x $$
$$ v'=2x,\quad v''=2,\quad v'''=0 $$
由莱布尼茨公式：
$$ y^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v'' $$
$$ =e^x\cdot x^2+ne^x\cdot 2x+\frac{n(n-1)}{2}e^x\cdot 2 $$
$$ =e^x\left[x^2+2nx+n(n-1)\right] $$
例8
求
$$ y=x^3e^{2x} $$
的 $n$ 阶导数。
解：
令
$$ u=e^{2x},\quad v=x^3 $$
则：
$$ u^{(k)}=2^ke^{2x} $$
$$ v'=3x^2,\quad v''=6x,\quad v'''=6,\quad v^{(4)}=0 $$
由莱布尼茨公式：
$$ y^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v''+C_n^3u^{(n-3)}v''' $$
$$ =e^{2x}\left[2^nx^3+n2^{n-1}\cdot 3x^2+\frac{n(n-1)}{2}2^{n-2}\cdot 6x+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}2^{n-3}\cdot 6\right] $$
化简：
$$ y^{(n)}=e^{2x}\left[2^nx^3+3n2^{n-1}x^2+3n(n-1)2^{n-2}x+n(n-1)(n-2)2^{n-3}\right] $$
例9
求
$$ y=x\sin x $$
的 $n$ 阶导数。
解：
令
$$ u=\sin x,\quad v=x $$
则：
$$ u^{(k)}=\sin\left(x+\frac{k\pi}{2}\right) $$
$$ v'=1,\quad v''=0 $$
由莱布尼茨公式：
$$ y^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v' $$
$$ =x\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right)+n\sin\left(x+\frac{(n-1)\pi}{2}\right) $$
例10
求
$$ y=x^2\ln x $$
的 $n$ 阶导数（$n\ge3$）。
解：
令
$$ u=\ln x,\quad v=x^2 $$
则：
$$ u^{(k)}=\frac{(-1)^{k-1}(k-1)!}{x^k} $$
$$ v'=2x,\quad v''=2,\quad v'''=0 $$
由莱布尼茨公式：
$$ y^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v'' $$
$$ =x^2\cdot\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} +n\cdot\frac{(-1)^{n-2}(n-2)!}{x^{n-1}}\cdot 2x +\frac{n(n-1)}{2}\cdot\frac{(-1)^{n-3}(n-3)!}{x^{n-2}}\cdot 2 $$
化简：
$$ y^{(n)}=(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{x^{n-2}} +2n(-1)^{n-2}\frac{(n-2)!}{x^{n-2}} +n(n-1)(-1)^{n-3}\frac{(n-3)!}{x^{n-2}} $$
例11
设
$$ f(x)=x^2e^x $$
求 $f^{(n)}(0)$。
解：
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) $$
所以：
$$ x^2e^x=x^2+x^3+\frac{x^4}{2!}+\cdots+\frac{x^{n}}{(n-2)!}+o(x^n) $$
因此 $x^n$ 的系数为：
$$ \frac{1}{(n-2)!} $$
所以：
$$ \frac{f^{(n)}(0)}{n!}=\frac{1}{(n-2)!} $$
$$ f^{(n)}(0)=\frac{n!}{(n-2)!}=n(n-1) $$
例12
设
$$ f(x)=\frac{1}{1+x^2} $$
求 $f^{(n)}(0)$。
解：
$$ \frac{1}{1+x^2}=1-x^2+x^4-x^6+\cdots+(-1)^nx^{2n}+o(x^{2n}) $$
所以：
$$ \frac{f^{(2k)}(0)}{(2k)!}=(-1)^k $$
$$ f^{(2k)}(0)=(-1)^k(2k)! $$
例13
设
$$ f(x)=\arctan x $$
求 $f^{(n)}(0)$。
解：
$$ \arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\cdots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{2n+1}+o(x^{2n+1}) $$
所以：
$$ \frac{f^{(2k+1)}(0)}{(2k+1)!}=\frac{(-1)^k}{2k+1} $$
$$ f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k(2k)! $$
例14
设
$$ y=\frac{1}{1-x^2} $$
求 $y^{(n)}(0)$。
解：
$$ \frac{1}{1-x^2}=\frac12\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right) $$
而：
$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1+x}=1-x+x^2-\cdots+(-1)^nx^n+o(x^n) $$
所以：
$$ \frac{1}{1-x^2}=1+x^2+x^4+\cdots+x^{2n}+o(x^{2n}) $$
因此：
$$ \frac{y^{(2k)}(0)}{(2k)!}=1 $$
$$ y^{(2k)}(0)=(2k)! $$
例15
设
$$ y=e^x\sin x $$
求 $y^{(n)}(0)$。
解：
利用欧拉公式或直接展开：
$$ e^x\sin x=\operatorname{Im}(e^{(1+i)x}) $$
所以：
$$ y^{(n)}=\operatorname{Im}\left[(1+i)^ne^{(1+i)x}\right] $$
当 $x=0$ 时：
$$ y^{(n)}(0)=\operatorname{Im}\left[(1+i)^n\right] $$
而：
$$ 1+i=\sqrt2e^{i\frac\pi4} $$
所以：
$$ (1+i)^n=2^{n/2}e^{i\frac{n\pi}{4}} $$
因此：
$$ y^{(n)}(0)=2^{n/2}\sin\frac{n\pi}{4} $$
例16
设
$$ y=\arcsin x $$
求 $y^{(n)}(0)$。
解：
$$ y'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$
所以：
$$ (1-x^2)(y')^2=1 $$
两边对 $x$ 求导：
$$ -2x(y')^2+2(1-x^2)y'y''=0 $$
即：
$$ (1-x^2)y''-xy'=0 $$
用莱布尼茨公式对两边求 $n$ 阶导数：
$$ (1-x^2)y^{(n+2)}-2nxy^{(n+1)}-n(n-1)y^{(n)}-xy^{(n+1)}-ny^{(n)}=0 $$
令 $x=0$：
$$ y^{(n+2)}(0)=n^2y^{(n)}(0) $$
由 $y(0)=0$，$y'(0)=1$，可得：
$$ y^{(2k)}(0)=0 $$
$$ y^{(2k+1)}(0)=[(2k-1)!!]^2 $$
$$ f^{(n)}(x)\neq [f(x)]^n $$
$f^{(n)}(x)$ 表示 $n$ 阶导数，$[f(x)]^n$ 表示 $n$ 次幂。
$$ (uv)^{(n)} $$
共有 $n+1$ 项，从 $k=0$ 到 $k=n$。
不是 $n$ 项，也不是 $2n$ 项。
$$ C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!} $$
不要写成 $\frac{n!}{k!}$。
莱布尼茨公式中：
$$ v^{(0)}=v,\quad u^{(0)}=u $$
不要漏掉零阶导数项。
若 $v$ 是 $m$ 次多项式，则
$$ v^{(k)}=0,\quad k>m $$
所以莱布尼茨公式中只需写到 $k=m$。
例：
$$ y=x^2e^x $$
$v=x^2$ 是二次多项式，所以：
$$ y^{(n)}=C_n^0u^{(n)}v+C_n^1u^{(n-1)}v'+C_n^2u^{(n-2)}v'' $$
只有三项。
若
$$ f(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots+a_nx^n+o(x^n) $$
则：
$$ f^{(k)}(0)=k!a_k $$
不要忘记乘 $k!$。
$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
注意是加号，不是减号。
对于
$$ y=\frac{1}{x^2-1} $$
应先拆分为：
$$ \frac12\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right) $$
再求 $n$ 阶导数。
$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$
注意是 $(-1)^{n-1}$，不是 $(-1)^n$。
$$ \left(\frac1x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} $$
注意是 $(-1)^n$，不是 $(-1)^{n-1}$。
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ y=x^me^{ax} $$
$$ y=x^m\sin ax $$
$$ y=x^m\ln x $$
处理方法：
常见形式：
$$ f(x)=\frac{1}{1+x^2},\quad f(x)=\arctan x,\quad f(x)=e^x\sin x $$
求 $f^{(n)}(0)$。
处理方法：
$$ f^{(n)}(0)=n!a_n $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
高阶导数定义：
$$ f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x)]' $$
线性法则：
$$ (u\pm v)^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)} $$
莱布尼茨公式：
$$ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} $$
常用高阶导数：
$$ (e^x)^{(n)}=e^x $$
$$ (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n $$
$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$
$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$
$$ \left(\frac1x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} $$
$$ \left(\frac{1}{x+a}\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{(x+a)^{n+1}} $$
泰勒展开求高阶导数：
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+o(x^n) $$
$$ f^{(k)}(0)=k!a_k $$
常用泰勒展开：
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n) $$
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots+o(x^{2n+1}) $$
$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots+o(x^{2n}) $$
$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots+o(x^n) $$
$$ \frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\cdots+x^n+o(x^n) $$
口诀：
高阶导数逐阶求，常用公式要背熟；
乘积高阶用莱布尼茨，多项式项少要记住；
分式先拆再求导，泰勒展开找系数；
求某点值用展开，$n$ 阶导数是 $n!$ 乘系数。
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