$$ \left((\bar{X}-\bar{Y})-z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}},\ (\bar{X}-\bar{Y})+z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}\right) $$

（2）$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 未知，估计 $\mu_1-\mu_2$：

置信区间：

$$ \left((\bar{X}-\bar{Y})-t_{\alpha/2}(m+n-2)S_w\sqrt{\frac1m+\frac1n},\ (\bar{X}-\bar{Y})+t_{\alpha/2}(m+n-2)S_w\sqrt{\frac1m+\frac1n}\right) $$

其中：

$$ S_w^2=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2} $$

（3）估计 $\sigma_1^2/\sigma_2^2$：

枢轴量：

$$ \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(m-1,n-1) $$

置信区间：

$$ \left(\frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\frac{1}{F_{\alpha/2}(m-1,n-1)},\ \frac{S_1^2}{S_2^2}\cdot\frac{1}{F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1)}\right) $$

4. 假设检验的基本概念

原假设：

待检验的假设，记作 $H_0$。

备择假设：

与原假设对立的假设，记作 $H_1$。

检验统计量：

用于检验假设的统计量。

拒绝域：

使原假设被拒绝的样本值区域。

接受域：

使原假设被接受的样本值区域。

两类错误：

第一类错误（弃真）：

$H_0$ 为真时拒绝 $H_0$，概率为 $\alpha$。

第二类错误（取伪）：

$H_0$ 为假时接受 $H_0$，概率为 $\beta$。

注意：

通常只控制第一类错误；
$\alpha$ 称为显著性水平；
两类错误不能同时减小。

5. 假设检验的基本步骤

步骤：

提出原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$；
选择检验统计量；
确定拒绝域；
计算检验统计量的值；
作出判断。

注意：

拒绝域由显著性水平 $\alpha$ 确定；
检验统计量在原假设成立时分布已知。

6. 单个正态总体的假设检验

设 $X_1,X_2,\cdots,X_n$ 是来自 $N(\mu,\sigma^2)$ 的样本。

（1）$\sigma^2$ 已知，检验 $\mu$：

原假设：

$$ H_0:\mu=\mu_0 $$

检验统计量：

$$ Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1) $$

拒绝域（双侧）：

$$ |Z|>z_{\alpha/2} $$

（2）$\sigma^2$ 未知，检验 $\mu$：

检验统计量：

$$ t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt n}\sim t(n-1) $$

拒绝域（双侧）：

$$ |t|>t_{\alpha/2}(n-1) $$

（3）检验 $\sigma^2$：

原假设：

$$ H_0:\sigma^2=\sigma_0^2 $$

检验统计量：

$$ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1) $$

拒绝域（双侧）：

$$ \chi^2>\chi^2_{\alpha/2}(n-1) \quad\text{或}\quad \chi^2<\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1) $$

7. 两个正态总体的假设检验

（1）$\sigma_1^2$、$\sigma_2^2$ 已知，检验 $\mu_1-\mu_2$：

检验统计量：

$$ Z=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)} {\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{m}+\frac{\sigma_2^2}{n}}} \sim N(0,1) $$

（2）$\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2$ 未知，检验 $\mu_1-\mu_2$：

检验统计量：

$$ t=\frac{(\bar{X}-\bar{Y})-(\mu_1-\mu_2)} {S_w\sqrt{\frac1m+\frac1n}} \sim t(m+n-2) $$

（3）检验 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$：

检验统计量：

$$ F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(m-1,n-1) $$

拒绝域（双侧）：

$$ F>F_{\alpha/2}(m-1,n-1) \quad\text{或}\quad F<F_{1-\alpha/2}(m-1,n-1) $$

8. 常用分布分位点

标准正态分布：

$$ z_{0.05}=1.645 $$

$$ z_{0.025}=1.96 $$

$$ z_{0.005}=2.576 $$

$t$ 分布：

$$ t_{0.05}(n) $$

$$ t_{0.025}(n) $$

$\chi^2$ 分布：

$$ \chi^2_{\alpha}(n) $$

$F$ 分布：

$$ F_{\alpha}(m,n) $$

注意：

$z_{\alpha}$ 表示上 $\alpha$ 分位点；
$\Phi(z_{\alpha})=1-\alpha$。

9. 常用结论

（1）置信区间与假设检验的关系：

置信度 $1-\alpha$ 的置信区间与显著性水平 $\alpha$ 的双侧检验等价。

（2）单侧检验：

右侧检验：$H_1:\mu>\mu_0$，拒绝域为 $Z>z_\alpha$；
左侧检验：$H_1:\mu<\mu_0$，拒绝域为 $Z<-z_\alpha$。

（3）$p$ 值：

$p$ 值是在原假设成立下，出现比当前样本更极端结果的概率。

若 $p<\alpha$，则拒绝 $H_0$。

（4）样本容量：

样本容量越大，置信区间越窄，检验越精确。

10. 常用公式

置信区间（$\sigma$ 已知）：

$$ \bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} $$

置信区间（$\sigma$ 未知）：

$$ \bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n} $$

检验统计量（$\sigma$ 已知）：

$$ Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} $$

检验统计量（$\sigma$ 未知）：

$$ t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt n} $$

$\chi^2$ 检验统计量：

$$ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} $$

$F$ 检验统计量：

$$ F=\frac{S_1^2}{S_2^2} $$

二、使用条件

1. 区间估计的使用条件

总体为正态分布；
样本为简单随机样本；
$\sigma$ 已知或未知决定使用 $Z$ 或 $t$。

2. 假设检验的使用条件

总体为正态分布；
样本为简单随机样本；
原假设和备择假设明确。

3. $Z$ 检验的使用条件

总体为正态分布；
$\sigma$ 已知；
或大样本情形。

4. $t$ 检验的使用条件

总体为正态分布；
$\sigma$ 未知；
小样本。

5. $\chi^2$ 检验的使用条件

总体为正态分布；
检验方差。

6. $F$ 检验的使用条件

两个正态总体；
检验方差比。

三、典型题型

题型1：单个正态总体均值区间估计（$\sigma$ 已知）

例1

设某批零件的长度 $X\sim N(\mu,0.04)$，从中抽取 $16$ 个，测得 $\bar{X}=10$，求 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间。

解：

$$ \alpha=0.05,\quad z_{\alpha/2}=z_{0.025}=1.96 $$

$$ \sigma=0.2,\quad n=16 $$

$$ \bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} =10\pm1.96\times\frac{0.2}{4} $$

$$ =10\pm0.098 $$

所以置信区间为：

$$ (9.902,\ 10.098) $$

例2

设 $X\sim N(\mu,9)$，$n=25$，$\bar{X}=5$，求 $\mu$ 的置信度为 $0.99$ 的置信区间。

解：

$$ \alpha=0.01,\quad z_{\alpha/2}=z_{0.005}=2.576 $$

$$ \sigma=3,\quad n=25 $$

$$ \bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} =5\pm2.576\times\frac{3}{5} $$

$$ =5\pm1.546 $$

所以置信区间为：

$$ (3.454,\ 6.546) $$

题型2：单个正态总体均值区间估计（$\sigma$ 未知）

例3

设某批零件长度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，抽取 $16$ 个，测得 $\bar{X}=10$，$S=0.2$，求 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间。

解：

$$ \alpha=0.05,\quad t_{\alpha/2}(15)=t_{0.025}(15)=2.131 $$

$$ \bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n} =10\pm2.131\times\frac{0.2}{4} $$

$$ =10\pm0.1066 $$

所以置信区间为：

$$ (9.893,\ 10.107) $$

例4

设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$n=10$，$\bar{X}=50$，$S=4$，求 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间。

解：

$$ t_{0.025}(9)=2.262 $$

$$ 50\pm2.262\times\frac{4}{\sqrt{10}} =50\pm2.861 $$

所以置信区间为：

$$ (47.139,\ 52.861) $$

题型3：单个正态总体方差区间估计

例5

设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$n=16$，$S^2=4$，求 $\sigma^2$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间。

解：

$$ \alpha=0.05 $$

$$ \chi^2_{0.025}(15)=27.488 $$

$$ \chi^2_{0.975}(15)=6.262 $$

$$ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)} =\frac{15\times4}{27.488}=2.183 $$

$$ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)} =\frac{15\times4}{6.262}=9.582 $$

所以置信区间为：

$$ (2.183,\ 9.582) $$

题型4：单个正态总体均值假设检验（$\sigma$ 已知）

例6

设某批零件长度 $X\sim N(\mu,0.04)$，标准长度为 $10$，现抽取 $16$ 个，测得 $\bar{X}=10.1$，在 $\alpha=0.05$ 下检验零件长度是否合格。

解：

原假设：

$$ H_0:\mu=10 $$

备择假设：

$$ H_1:\mu\neq10 $$

检验统计量：

$$ Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} =\frac{10.1-10}{0.2/4} =\frac{0.1}{0.05}=2 $$

拒绝域：

$$ |Z|>z_{0.025}=1.96 $$

因为：

$$ |Z|=2>1.96 $$

所以拒绝 $H_0$，认为零件长度不合格。

例7

设 $X\sim N(\mu,9)$，$\mu_0=5$，$n=25$，$\bar{X}=5.8$，在 $\alpha=0.05$ 下检验。

解：

$$ Z=\frac{5.8-5}{3/5}=\frac{0.8}{0.6}=1.333 $$

$$ z_{0.025}=1.96 $$

因为：

$$ |Z|=1.333<1.96 $$

所以接受 $H_0$。

题型5：单个正态总体均值假设检验（$\sigma$ 未知）

例8

设某批零件长度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，标准长度为 $10$，现抽取 $16$ 个，测得 $\bar{X}=10.1$，$S=0.2$，在 $\alpha=0.05$ 下检验零件长度是否合格。

解：

原假设：

$$ H_0:\mu=10 $$

检验统计量：

$$ t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt n} =\frac{10.1-10}{0.2/4}=2 $$

拒绝域：

$$ |t|>t_{0.025}(15)=2.131 $$

因为：

$$ |t|=2<2.131 $$

所以接受 $H_0$。

例9

设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\mu_0=50$，$n=10$，$\bar{X}=53$，$S=4$，在 $\alpha=0.05$ 下检验。

解：

$$ t=\frac{53-50}{4/\sqrt{10}}=\frac{3}{1.265}=2.371 $$

$$ t_{0.025}(9)=2.262 $$

因为：

$$ |t|=2.371>2.262 $$

所以拒绝 $H_0$。

题型6：单个正态总体方差假设检验

例10

设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma_0^2=4$，$n=16$，$S^2=6$，在 $\alpha=0.05$ 下检验 $\sigma^2$ 是否等于 $4$。

解：

原假设：

$$ H_0:\sigma^2=4 $$

检验统计量：

$$ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} =\frac{15\times6}{4}=22.5 $$

拒绝域：

$$ \chi^2>\chi^2_{0.025}(15)=27.488 \quad\text{或}\quad \chi^2<\chi^2_{0.975}(15)=6.262 $$

因为：

$$ 6.262<22.5<27.488 $$

所以接受 $H_0$。

例11

设 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，$\sigma_0^2=1$，$n=10$，$S^2=2.5$，在 $\alpha=0.05$ 下检验。

解：

$$ \chi^2=\frac{9\times2.5}{1}=22.5 $$

$$ \chi^2_{0.025}(9)=19.023 $$

因为：

$$ 22.5>19.023 $$

所以拒绝 $H_0$。

题型7：两个正态总体均值差假设检验

例12

设 $X\sim N(\mu_1,\sigma^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma^2)$，从两个总体分别抽取 $m=10$、$n=12$ 的样本，测得 $\bar{X}=20$，$S_1^2=4$，$\bar{Y}=18$，$S_2^2=5$，在 $\alpha=0.05$ 下检验 $\mu_1=\mu_2$。

解：

原假设：

$$ H_0:\mu_1=\mu_2 $$

计算合并方差：

$$ S_w^2=\frac{9\times4+11\times5}{20} =\frac{36+55}{20}=\frac{91}{20}=4.55 $$

$$ S_w=\sqrt{4.55}\approx2.133 $$

检验统计量：

$$ t=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w\sqrt{\frac1m+\frac1n}} =\frac{20-18}{2.133\sqrt{\frac1{10}+\frac1{12}}} $$

$$ =\frac{2}{2.133\times0.428} =\frac{2}{0.913}=2.191 $$

$$ t_{0.025}(20)=2.086 $$

因为：

$$ |t|=2.191>2.086 $$

所以拒绝 $H_0$，认为两个总体均值有显著差异。

题型8：两个正态总体方差比假设检验

例13

设 $X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，从两个总体分别抽取 $m=10$、$n=12$ 的样本，测得 $S_1^2=4$，$S_2^2=5$，在 $\alpha=0.05$ 下检验 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$。

解：

原假设：

$$ H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2 $$

检验统计量：

$$ F=\frac{S_1^2}{S_2^2}=\frac45=0.8 $$

拒绝域：

$$ F>F_{0.025}(9,11)=3.59 \quad\text{或}\quad F<F_{0.975}(9,11)=\frac{1}{F_{0.025}(11,9)}=\frac{1}{3.92}=0.255 $$

因为：

$$ 0.255<0.8<3.59 $$

所以接受 $H_0$。

题型9：综合应用

例14

某厂生产一批灯泡，寿命 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，从该批灯泡中抽取 $16$ 只，测得 $\bar{X}=1500$ 小时，$S=100$ 小时。

（1）求 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的置信区间；

（2）在 $\alpha=0.05$ 下检验 $\mu$ 是否等于 $1550$ 小时。

解：

（1）置信区间：

$$ t_{0.025}(15)=2.131 $$

$$ 1500\pm2.131\times\frac{100}{4} =1500\pm53.275 $$

$$ (1446.725,\ 1553.275) $$

（2）假设检验：

原假设：

$$ H_0:\mu=1550 $$

检验统计量：

$$ t=\frac{1500-1550}{100/4}=\frac{-50}{25}=-2 $$

拒绝域：

$$ |t|>2.131 $$

因为：

$$ |t|=2<2.131 $$

所以接受 $H_0$。

例15

设某批产品长度 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，从该批产品中抽取 $n=25$ 件，测得 $\bar{X}=50$，$S=2$。

（1）求 $\mu$ 的置信度为 $0.99$ 的置信区间；

（2）在 $\alpha=0.01$ 下检验 $\mu$ 是否等于 $49$。

解：

（1）置信区间：

$$ t_{0.005}(24)=2.797 $$

$$ 50\pm2.797\times\frac{2}{5} =50\pm1.119 $$

$$ (48.881,\ 51.119) $$

（2）假设检验：

原假设：

$$ H_0:\mu=49 $$

检验统计量：

$$ t=\frac{50-49}{2/5}=2.5 $$

拒绝域：

$$ |t|>2.797 $$

因为：

$$ |t|=2.5<2.797 $$

所以接受 $H_0$。

四、易错提醒

易错1：置信区间与置信度混淆

置信区间：随机区间；
置信度：区间包含真值的概率。

易错2：$z_{\alpha/2}$ 与 $z_\alpha$ 混淆

双侧检验用 $z_{\alpha/2}$，单侧检验用 $z_\alpha$。

易错3：$\sigma$ 已知与未知混淆

$\sigma$ 已知：用 $Z$ 统计量；
$\sigma$ 未知：用 $t$ 统计量。

易错4：$t$ 分布自由度搞错

$$ \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1) $$

自由度是 $n-1$。

易错5：$\chi^2$ 分布置信区间两侧分位点搞错

$$ \left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right) $$

注意 $\chi^2$ 分布不对称。

易错6：假设检验原假设与备择假设搞反

原假设通常为“等于”，备择假设为“不等于”或“大于/小于”。

易错7：拒绝域方向搞错

双侧检验：$|Z|>z_{\alpha/2}$；
右侧检验：$Z>z_\alpha$；
左侧检验：$Z<-z_\alpha$。

易错8：第一类错误与第二类错误混淆

第一类错误：弃真；
第二类错误：取伪。

易错9：$F$ 检验中分子分母顺序搞错

$$ F=\frac{S_1^2}{S_2^2} $$

注意分子分母对应的自由度。

易错10：两个正态总体合并方差公式记错

$$ S_w^2=\frac{(m-1)S_1^2+(n-1)S_2^2}{m+n-2} $$

易错11：区间估计与假设检验关系忽略

置信度 $1-\alpha$ 的置信区间与显著性水平 $\alpha$ 的双侧检验等价。

易错12：样本容量与置信区间宽度关系搞错

样本容量越大，置信区间越窄。

五、真题链接思路

真题方向1：单个正态总体均值区间估计

常见形式：

$\sigma$ 已知；
$\sigma$ 未知。

处理方法：

确定 $Z$ 或 $t$ 统计量；
查分位点；
计算置信区间。

真题方向2：单个正态总体方差区间估计

常见形式：

$$ \sigma^2\text{ 的置信区间} $$

处理方法：

用 $\chi^2$ 统计量；
查两侧分位点；
计算置信区间。

真题方向3：单个正态总体均值假设检验

常见形式：

$$ H_0:\mu=\mu_0 $$

处理方法：

选择 $Z$ 或 $t$ 统计量；
计算统计量值；
比较拒绝域。

真题方向4：单个正态总体方差假设检验

常见形式：

$$ H_0:\sigma^2=\sigma_0^2 $$

处理方法：

用 $\chi^2$ 统计量；
计算统计量值；
比较拒绝域。

真题方向5：两个正态总体均值差假设检验

常见形式：

$$ H_0:\mu_1=\mu_2 $$

处理方法：

判断方差是否相等；
选择 $Z$ 或 $t$ 统计量；
计算统计量值；
比较拒绝域。

真题方向6：两个正态总体方差比假设检验

常见形式：

$$ H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2 $$

处理方法：

用 $F$ 统计量；
计算统计量值；
比较拒绝域。

真题方向7：综合应用

常见形式：

实际问题建模；
区间估计 + 假设检验。

处理方法：

分析题意；
选择合适方法；
计算。

六、记忆清单

置信区间（$\sigma$ 已知）：

$$ \bar{X}\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n} $$

置信区间（$\sigma$ 未知）：

$$ \bar{X}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{S}{\sqrt n} $$

$\sigma^2$ 的置信区间：

$$ \left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right) $$

$Z$ 检验统计量：

$$ Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt n} $$

$t$ 检验统计量：

$$ t=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt n} $$

$\chi^2$ 检验统计量：

$$ \chi^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} $$

$F$ 检验统计量：

$$ F=\frac{S_1^2}{S_2^2} $$

常用分位点：

$$ z_{0.05}=1.645 $$

$$ z_{0.025}=1.96 $$

$$ z_{0.005}=2.576 $$

两类错误：

第一类错误：弃真，概率 $\alpha$；
第二类错误：取伪，概率 $\beta$。

检验步骤：

提出 $H_0$、$H_1$；
选择检验统计量；
确定拒绝域；
计算统计量值；
作出判断。

口诀：

区间估计求范围，$\sigma$ 已知用 $Z$，未知用 $t$；
方差估计用 $\chi^2$，两个方差比用 $F$；
假设检验五步走，原假设备择假设要分清；
双侧检验用 $\alpha/2$，单侧检验用 $\alpha$；
弃真取伪两类错，显著性水平控制第一类。

_{本教程共58节，当前为第53节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点50 假设检验与区间估计

一、核心公式与定义

1. 区间估计

2. 单个正态总体的区间估计

3. 两个正态总体的区间估计

4. 假设检验的基本概念

5. 假设检验的基本步骤

6. 单个正态总体的假设检验

7. 两个正态总体的假设检验

8. 常用分布分位点

9. 常用结论

10. 常用公式

二、使用条件

1. 区间估计的使用条件

2. 假设检验的使用条件

3. $Z$ 检验的使用条件

4. $t$ 检验的使用条件

5. $\chi^2$ 检验的使用条件

6. $F$ 检验的使用条件

三、典型题型

题型1：单个正态总体均值区间估计（$\sigma$ 已知）

题型2：单个正态总体均值区间估计（$\sigma$ 未知）

题型3：单个正态总体方差区间估计

题型4：单个正态总体均值假设检验（$\sigma$ 已知）

题型5：单个正态总体均值假设检验（$\sigma$ 未知）

题型6：单个正态总体方差假设检验

题型7：两个正态总体均值差假设检验

题型8：两个正态总体方差比假设检验

题型9：综合应用

四、易错提醒

易错1：置信区间与置信度混淆

易错2：$z_{\alpha/2}$ 与 $z_\alpha$ 混淆

易错3：$\sigma$ 已知与未知混淆

易错4：$t$ 分布自由度搞错

易错5：$\chi^2$ 分布置信区间两侧分位点搞错

易错6：假设检验原假设与备择假设搞反

易错7：拒绝域方向搞错

易错8：第一类错误与第二类错误混淆

易错9：$F$ 检验中分子分母顺序搞错

易错10：两个正态总体合并方差公式记错

易错11：区间估计与假设检验关系忽略

易错12：样本容量与置信区间宽度关系搞错

五、真题链接思路

真题方向1：单个正态总体均值区间估计

真题方向2：单个正态总体方差区间估计

真题方向3：单个正态总体均值假设检验

真题方向4：单个正态总体方差假设检验

真题方向5：两个正态总体均值差假设检验

真题方向6：两个正态总体方差比假设检验

真题方向7：综合应用

六、记忆清单

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