《考研数学核心考点公式大全》

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1 百分冲刺复习计划

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2 函数、极限与连续

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3 一元函数微分学

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4 一元函数积分学

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5 多元函数微分学

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6 多元函数积分学

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7 常微分方程

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8 行列式

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9 矩阵

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10 向量

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11 线性方程组

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12 特征值与特征向量

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13 二次型

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14 随机事件与概率

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15 随机变量及其分布

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16 数字特征

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17 数理统计

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18 附录

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适用：数一、数二、数三通用
地位：微分方程的基础，直接支撑高阶微分方程、微分方程应用
核心任务：识别一阶微分方程类型，掌握可分离变量、齐次、一阶线性、伯努利、全微分方程

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一、核心公式与定义

1. 微分方程基本概念

微分方程：

含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。

阶：

微分方程中出现的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶。

一阶微分方程的一般形式：

$$ F(x,y,y')=0 $$

或

$$ y'=f(x,y) $$

解：

代入微分方程后使方程成为恒等的函数称为微分方程的解。

通解：

含有独立任意常数且个数等于方程阶数的解称为通解。

特解：

不含任意常数的解称为特解。

初始条件：

用于确定通解中任意常数的条件。

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2. 可分离变量方程

形式：

$$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) $$

解法：

当 $g(y)\neq0$ 时，分离变量：

$$ \frac{dy}{g(y)}=f(x)dx $$

两边积分：

$$ \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C $$

注意：

• 若 $g(y_0)=0$，则 $y=y_0$ 也是方程的解；
• 分离变量时要注意 $g(y)\neq0$。

另一形式：

$$ M_1(x)M_2(y)dx+N_1(x)N_2(y)dy=0 $$

分离变量：

$$ \frac{M_1(x)}{N_1(x)}dx=-\frac{N_2(y)}{M_2(y)}dy $$

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3. 齐次方程

形式：

$$ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac yx\right) $$

解法：

令

$$ u=\frac yx $$

则

$$ y=ux,\quad \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} $$

代入原方程：

$$ u+x\frac{du}{dx}=f(u) $$

分离变量：

$$ \frac{du}{f(u)-u}=\frac{dx}{x} $$

两边积分，再回代 $u=\frac yx$。

注意：

• 若 $f(u)-u=0$，则 $u$ 为常数，对应直线解；
• 回代时用 $u=\frac yx$。

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4. 一阶线性微分方程

形式：

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

通解公式：

$$ y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right] $$

推导：

两边乘以积分因子

$$ \mu(x)=e^{\int P(x)dx} $$

则：

$$ \frac{d}{dx}\left[y\cdot e^{\int P(x)dx}\right] =Q(x)e^{\int P(x)dx} $$

两边积分：

$$ y\cdot e^{\int P(x)dx} =\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C $$

所以：

$$ y=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx+C\right] $$

注意：

• $P(x)$、$Q(x)$ 在积分区间上连续；
• 积分因子中的 $\int P(x)dx$ 不需要加常数。

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5. 伯努利方程

形式：

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n,\quad n\neq0,1 $$

解法：

令

$$ z=y^{1-n} $$

则

$$ \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} $$

原方程两边乘以 $(1-n)y^{-n}$：

$$ (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}+(1-n)P(x)y^{1-n} =(1-n)Q(x) $$

即：

$$ \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) $$

这是关于 $z$ 的一阶线性方程，套用通解公式求解，再回代 $z=y^{1-n}$。

注意：

• $n\neq0,1$；
• 当 $n=0$ 时是一阶线性方程；
• 当 $n=1$ 时可分离变量。

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6. 全微分方程

形式：

$$ P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 $$

全微分条件：

若

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$

在单连通区域 $G$ 内处处成立，则称该方程为全微分方程。

解法：

存在可微函数 $u(x,y)$，使得

$$ du=Pdx+Qdy $$

通解为：

$$ u(x,y)=C $$

原函数求法：

$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t)dt $$

或：

$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y)dt+\int_{y_0}^y Q(x_0,t)dt $$

积分因子：

若

$$ \frac{\partial P}{\partial y}\neq\frac{\partial Q}{\partial x} $$

则寻找积分因子 $\mu(x,y)$，使得

$$ \mu Pdx+\mu Qdy=0 $$

成为全微分方程。

常用积分因子：

（1）若

$$ \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right)=\varphi(x) $$

则

$$ \mu(x)=e^{\int\varphi(x)dx} $$

（2）若

$$ \frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)=\psi(y) $$

则

$$ \mu(y)=e^{\int\psi(y)dy} $$

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7. 一阶微分方程的识别与解法

类型	形式	解法
可分离变量	$\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$	分离变量后积分
齐次方程	$\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac yx\right)$	令 $u=\dfrac yx$
一阶线性	$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$	通解公式
伯努利方程	$\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$	令 $z=y^{1-n}$
全微分方程	$Pdx+Qdy=0$，$P_y=Q_x$	求原函数 $u(x,y)=C$

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8. 一阶微分方程的应用

（1）几何应用：

• 切线、法线问题；
• 面积、体积问题；
• 曲线方程求解。

（2）物理应用：

• 冷却定律；
• 放射性衰变；
• 变化率问题。

（3）经济应用：

• 增长模型；
• 成本、利润问题。

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二、使用条件

1. 可分离变量方程的使用条件

• 方程可写成 $\dfrac{dy}{dx}=f(x)g(y)$；
• 分离变量时 $g(y)\neq0$；
• 若 $g(y_0)=0$，则 $y=y_0$ 是特解。

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2. 齐次方程的使用条件

• 方程可写成 $\dfrac{dy}{dx}=f\left(\dfrac yx\right)$；
• 令 $u=\dfrac yx$ 后方程可分离变量；
• 回代时用 $u=\dfrac yx$。

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3. 一阶线性方程的使用条件

• 方程可写成 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$；
• $P(x)$、$Q(x)$ 连续；
• 直接套用通解公式。

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4. 伯努利方程的使用条件

• 方程可写成 $\dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$；
• $n\neq0,1$；
• 令 $z=y^{1-n}$ 后转化为一阶线性方程。

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5. 全微分方程的使用条件

• 方程可写成 $Pdx+Qdy=0$；
• $\dfrac{\partial P}{\partial y}=\dfrac{\partial Q}{\partial x}$；
• 区域是单连通的；
• 通解为 $u(x,y)=C$。

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6. 积分因子的使用条件

• $\dfrac{\partial P}{\partial y}\neq\dfrac{\partial Q}{\partial x}$；
• 积分因子只与 $x$ 或只与 $y$ 有关；
• 找到积分因子后化为全微分方程。

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三、典型题型

题型1：可分离变量方程

例1

求解

$$ \frac{dy}{dx}=xy $$

解：

分离变量：

$$ \frac{dy}{y}=xdx $$

两边积分：

$$ \ln|y|=\frac{x^2}{2}+C_1 $$

所以：

$$ |y|=e^{C_1}e^{\frac{x^2}{2}} $$

即：

$$ y=Ce^{\frac{x^2}{2}} $$

其中 $C=\pm e^{C_1}$。

例2

求解

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{x}{y} $$

解：

分离变量：

$$ ydy=xdx $$

两边积分：

$$ \frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C_1 $$

所以：

$$ y^2-x^2=C $$

其中 $C=2C_1$。

例3

求解

$$ \frac{dy}{dx}=e^{x+y} $$

解：

$$ \frac{dy}{dx}=e^xe^y $$

分离变量：

$$ e^{-y}dy=e^xdx $$

两边积分：

$$ -e^{-y}=e^x+C $$

即：

$$ e^x+e^{-y}=C $$

例4

求解

$$ (1+x^2)dy=(1+y^2)dx $$

解：

分离变量：

$$ \frac{dy}{1+y^2}=\frac{dx}{1+x^2} $$

两边积分：

$$ \arctan y=\arctan x+C $$

例5

求解

$$ y'=e^{2x-y},\quad y(0)=0 $$

解：

$$ \frac{dy}{dx}=e^{2x}e^{-y} $$

分离变量：

$$ e^ydy=e^{2x}dx $$

两边积分：

$$ e^y=\frac12e^{2x}+C $$

代入 $y(0)=0$：

$$ 1=\frac12+C\Rightarrow C=\frac12 $$

所以：

$$ e^y=\frac12e^{2x}+\frac12 $$

即：

$$ y=\ln\left(\frac{e^{2x}+1}{2}\right) $$

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题型2：齐次方程

例6

求解

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x}+\tan\frac yx $$

解：

令

$$ u=\frac yx $$

则

$$ y=ux,\quad \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} $$

代入：

$$ u+x\frac{du}{dx}=u+\tan u $$

$$ x\frac{du}{dx}=\tan u $$

分离变量：

$$ \frac{du}{\tan u}=\frac{dx}{x} $$

即：

$$ \frac{\cos u}{\sin u}du=\frac{dx}{x} $$

两边积分：

$$ \ln|\sin u|=\ln|x|+C_1 $$

所以：

$$ \sin u=Cx $$

回代 $u=\frac yx$：

$$ \sin\frac yx=Cx $$

例7

求解

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{x+y}{x-y} $$

解：

令

$$ u=\frac yx $$

则

$$ \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx} $$

代入：

$$ u+x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u} $$

$$ x\frac{du}{dx}=\frac{1+u}{1-u}-u =\frac{1+u-u+u^2}{1-u} =\frac{1+u^2}{1-u} $$

分离变量：

$$ \frac{1-u}{1+u^2}du=\frac{dx}{x} $$

两边积分：

$$ \int\frac{1}{1+u^2}du-\int\frac{u}{1+u^2}du=\ln|x|+C_1 $$

$$ \arctan u-\frac12\ln(1+u^2)=\ln|x|+C_1 $$

回代 $u=\frac yx$：

$$ \arctan\frac yx-\frac12\ln\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)=\ln|x|+C_1 $$

例8

求解

$$ x\frac{dy}{dx}=y+\sqrt{x^2+y^2},\quad x>0 $$

解：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac yx+\sqrt{1+\left(\frac yx\right)^2} $$

令

$$ u=\frac yx $$

则：

$$ u+x\frac{du}{dx}=u+\sqrt{1+u^2} $$

$$ x\frac{du}{dx}=\sqrt{1+u^2} $$

分离变量：

$$ \frac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\frac{dx}{x} $$

两边积分：

$$ \ln(u+\sqrt{1+u^2})=\ln x+C_1 $$

所以：

$$ u+\sqrt{1+u^2}=Cx $$

回代 $u=\frac yx$：

$$ \frac yx+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=Cx $$

即：

$$ y+\sqrt{x^2+y^2}=Cx^2 $$

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题型3：一阶线性方程

例9

求解

$$ \frac{dy}{dx}+y=e^{-x} $$

解：

$$ P(x)=1,\quad Q(x)=e^{-x} $$

积分因子：

$$ e^{\int Pdx}=e^x $$

通解：

$$ y=e^{-x}\left[\int e^{-x}\cdot e^xdx+C\right] $$

$$ =e^{-x}\left[\int 1dx+C\right] =e^{-x}(x+C) $$

例10

求解

$$ \frac{dy}{dx}-\frac yx=x^2 $$

解：

$$ P(x)=-\frac1x,\quad Q(x)=x^2 $$

$$ \int Pdx=-\ln|x| $$

积分因子：

$$ e^{\int Pdx}=e^{-\ln|x|}=\frac1x $$

通解：

$$ y=e^{\ln|x|}\left[\int x^2\cdot\frac1xdx+C\right] $$

$$ =x\left[\int xdx+C\right] =x\left(\frac{x^2}{2}+C\right) $$

即：

$$ y=\frac{x^3}{2}+Cx $$

例11

求解

$$ \frac{dy}{dx}+2xy=x $$

解：

$$ P(x)=2x,\quad Q(x)=x $$

$$ \int Pdx=x^2 $$

积分因子：

$$ e^{x^2} $$

通解：

$$ y=e^{-x^2}\left[\int xe^{x^2}dx+C\right] $$

而：

$$ \int xe^{x^2}dx=\frac12e^{x^2} $$

所以：

$$ y=e^{-x^2}\left(\frac12e^{x^2}+C\right) =\frac12+Ce^{-x^2} $$

例12

求解

$$ \frac{dy}{dx}+y\tan x=\sec x,\quad y(0)=0 $$

解：

$$ P(x)=\tan x,\quad Q(x)=\sec x $$

$$ \int Pdx=\int\tan xdx=-\ln|\cos x| $$

积分因子：

$$ e^{-\ln|\cos x|}=\frac1{\cos x}=\sec x $$

通解：

$$ y=e^{\ln|\cos x|}\left[\int\sec x\cdot\sec xdx+C\right] $$

$$ =\cos x\left[\int\sec^2xdx+C\right] =\cos x(\tan x+C) $$

即：

$$ y=\sin x+C\cos x $$

代入 $y(0)=0$：

$$ 0=0+C\Rightarrow C=0 $$

所以：

$$ y=\sin x $$

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题型4：伯努利方程

例13

求解

$$ \frac{dy}{dx}+y=y^2 $$

解：

这是伯努利方程，$n=2$。

令

$$ z=y^{1-2}=y^{-1} $$

则

$$ \frac{dz}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx} $$

原方程两边乘以 $-y^{-2}$：

$$ -y^{-2}\frac{dy}{dx}-y^{-1}=-1 $$

即：

$$ \frac{dz}{dx}-z=-1 $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=-1,\quad Q(x)=-1 $$

积分因子：

$$ e^{\int(-1)dx}=e^{-x} $$

通解：

$$ z=e^{x}\left[\int(-1)e^{-x}dx+C\right] $$

$$ =e^x\left[e^{-x}+C\right] =1+Ce^x $$

回代 $z=y^{-1}$：

$$ \frac1y=1+Ce^x $$

即：

$$ y=\frac{1}{1+Ce^x} $$

例14

求解

$$ \frac{dy}{dx}-\frac yx=xy^2 $$

解：

这是伯努利方程，$n=2$。

令

$$ z=y^{-1} $$

则

$$ \frac{dz}{dx}=-y^{-2}\frac{dy}{dx} $$

原方程两边乘以 $-y^{-2}$：

$$ -y^{-2}\frac{dy}{dx}+\frac1x y^{-1}=-x $$

即：

$$ \frac{dz}{dx}+\frac1xz=-x $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=\frac1x,\quad Q(x)=-x $$

积分因子：

$$ e^{\int\frac1xdx}=x $$

通解：

$$ z=\frac1x\left[\int(-x)\cdot xdx+C\right] $$

$$ =\frac1x\left[-\frac{x^3}{3}+C\right] =-\frac{x^2}{3}+\frac Cx $$

回代 $z=y^{-1}$：

$$ \frac1y=-\frac{x^2}{3}+\frac Cx $$

即：

$$ y=\frac{1}{-\frac{x^2}{3}+\frac Cx} $$

例15

求解

$$ \frac{dy}{dx}+y=\frac{1}{y} $$

解：

这是伯努利方程，$n=-1$。

令

$$ z=y^{1-(-1)}=y^2 $$

则

$$ \frac{dz}{dx}=2y\frac{dy}{dx} $$

原方程两边乘以 $2y$：

$$ 2y\frac{dy}{dx}+2y^2=2 $$

即：

$$ \frac{dz}{dx}+2z=2 $$

这是一阶线性方程。

$$ P(x)=2,\quad Q(x)=2 $$

积分因子：

$$ e^{2x} $$

通解：

$$ z=e^{-2x}\left[\int2e^{2x}dx+C\right] $$

$$ =e^{-2x}\left[e^{2x}+C\right] =1+Ce^{-2x} $$

回代 $z=y^2$：

$$ y^2=1+Ce^{-2x} $$

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题型5：全微分方程

例16

求解

$$ (2x+y)dx+(x+2y)dy=0 $$

解：

$$ P=2x+y,\quad Q=x+2y $$

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=1 $$

所以：

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$

这是全微分方程。

求原函数：

$$ u(x,y)=\int_0^x P(t,0)dt+\int_0^y Q(x,t)dt $$

$$ =\int_0^x 2tdt+\int_0^y(x+2t)dt $$

$$ =x^2+xy+y^2 $$

通解为：

$$ x^2+xy+y^2=C $$

例17

求解

$$ (e^x\sin y-y)dx+(e^x\cos y-1)dy=0 $$

解：

$$ P=e^x\sin y-y,\quad Q=e^x\cos y-1 $$

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y-1 $$

$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y $$

两者不相等，需要找积分因子。

考虑

$$ \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) =\frac{-1}{e^x\cos y-1} $$

只与 $y$ 有关。

所以积分因子为：

$$ \mu(y)=e^{\int\frac{-1}{e^x\cos y-1}dy} $$

计算较复杂，直接观察：

原方程可写成：

$$ e^x\sin ydx+e^x\cos ydy-ydx-dy=0 $$

即：

$$ e^x d(\sin y)-d(xy)=0 $$

所以：

$$ e^x\sin y-xy=C $$

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题型6：一阶微分方程应用

例18

已知曲线 $y=y(x)$ 在点 $(x,y)$ 处的切线斜率为 $\dfrac{y}{x}+1$，且过点 $(1,1)$，求曲线方程。

解：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac yx+1 $$

这是齐次方程。

令

$$ u=\frac yx $$

则：

$$ u+x\frac{du}{dx}=u+1 $$

$$ x\frac{du}{dx}=1 $$

$$ du=\frac{dx}{x} $$

两边积分：

$$ u=\ln|x|+C $$

回代 $u=\frac yx$：

$$ y=x(\ln|x|+C) $$

代入 $(1,1)$：

$$ 1=1(0+C)\Rightarrow C=1 $$

所以：

$$ y=x(\ln x+1) $$

例19

某物体冷却过程中，温度 $T(t)$ 满足

$$ \frac{dT}{dt}=-k(T-20) $$

初始温度 $T(0)=100$，$k>0$，求 $T(t)$。

解：

分离变量：

$$ \frac{dT}{T-20}=-kdt $$

两边积分：

$$ \ln(T-20)=-kt+C_1 $$

所以：

$$ T-20=Ce^{-kt} $$

代入 $T(0)=100$：

$$ 100-20=C\Rightarrow C=80 $$

所以：

$$ T=20+80e^{-kt} $$

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题型7：一阶微分方程与几何综合

例20

设曲线 $y=y(x)$ 上任一点 $(x,y)$ 处的法线方程为

$$ Y-y=-\frac1{y'}(X-x) $$

且该法线在 $x$ 轴上的截距为 $x$，求曲线方程。

解：

法线与 $x$ 轴交点：

令 $Y=0$：

$$ -y=-\frac1{y'}(X-x) $$

$$ X=x+yy' $$

由题意：

$$ x+yy'=x $$

所以：

$$ yy'=0 $$

即：

$$ y=0\quad\text{或}\quad y'=0 $$

所以曲线为：

$$ y=C $$

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四、易错提醒

易错1：可分离变量时忽略 $g(y)=0$ 的解

错误：

$$ \frac{dy}{dx}=xy $$

直接得 $y=Ce^{x^2/2}$。

正确：

还有 $y=0$ 也是解。

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易错2：齐次方程回代时忘记 $u=\frac yx$

回代时要把 $u$ 换回 $\frac yx$。

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易错3：一阶线性方程中积分因子写错

积分因子：

$$ e^{\int P(x)dx} $$

注意 $P(x)$ 前是加号。

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易错4：一阶线性方程通解公式记错

$$ y=e^{-\int Pdx}\left[\int Qe^{\int Pdx}dx+C\right] $$

注意两个指数符号相反。

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易错5：伯努利方程换元后忘记系数

令

$$ z=y^{1-n} $$

则

$$ \frac{dz}{dx}=(1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx} $$

不要漏掉 $(1-n)$。

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易错6：全微分方程条件不验证

使用全微分方程方法前，必须验证：

$$ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$

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易错7：积分因子只与 $x$ 或只与 $y$ 有关的判断错误

$$ \frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) $$

若只与 $x$ 有关，则积分因子只与 $x$ 有关。

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易错8：一阶线性方程中 $P(x)$ 符号搞错

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

注意 $P(x)$ 前的符号。

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易错9：齐次方程中 $f(u)-u=0$ 时忽略特解

若 $f(u)-u=0$，则 $u$ 为常数，对应直线解。

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易错10：全微分方程原函数求法记错

$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t)dt $$

注意第一个积分中 $y=y_0$，第二个积分中 $x$ 是变量。

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易错11：一阶微分方程应用不建立方程

应用题的关键是建立微分方程，然后求解。

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易错12：初始条件代入时计算错误

代入初始条件时，要仔细计算。

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五、真题链接思路

真题方向1：可分离变量方程

常见形式：

$$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) $$

处理方法：

1. 分离变量；
2. 两边积分；
3. 加常数 $C$；
4. 注意 $g(y)=0$ 的特解。

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真题方向2：齐次方程

常见形式：

$$ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac yx\right) $$

处理方法：

1. 令 $u=\frac yx$；
2. 化为可分离变量方程；
3. 积分；
4. 回代 $u=\frac yx$。

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真题方向3：一阶线性方程

常见形式：

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

处理方法：

1. 写出 $P(x)$、$Q(x)$；
2. 求积分因子 $e^{\int Pdx}$；
3. 套用通解公式；
4. 化简。

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真题方向4：伯努利方程

常见形式：

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n $$

处理方法：

1. 令 $z=y^{1-n}$；
2. 化为关于 $z$ 的一阶线性方程；
3. 求通解；
4. 回代 $z=y^{1-n}$。

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真题方向5：全微分方程

常见形式：

$$ Pdx+Qdy=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$

处理方法：

1. 验证全微分条件；
2. 求原函数 $u(x,y)$；
3. 通解为 $u(x,y)=C$。

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真题方向6：一阶微分方程应用

常见形式：

• 几何应用；
• 物理应用；
• 变化率问题。

处理方法：

1. 建立微分方程；
2. 确定类型；
3. 求解；
4. 代入初始条件。

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真题方向7：一阶微分方程与积分方程综合

常见形式：

$$ y(x)=f(x)+\int_a^x K(x,t)y(t)dt $$

处理方法：

1. 对 $x$ 求导；
2. 化为微分方程；
3. 求初始条件；
4. 求解。

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六、记忆清单

可分离变量：

$$ \frac{dy}{dx}=f(x)g(y) \Rightarrow \int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx+C $$

齐次方程：

$$ \frac{dy}{dx}=f\left(\frac yx\right) \Rightarrow u=\frac yx $$

一阶线性方程：

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) $$

$$ y=e^{-\int Pdx}\left[\int Qe^{\int Pdx}dx+C\right] $$

伯努利方程：

$$ \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n \Rightarrow z=y^{1-n} $$

全微分方程：

$$ Pdx+Qdy=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x} $$

通解：

$$ u(x,y)=C $$

原函数：

$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t)dt $$

积分因子：

$$ \mu(x)=e^{\int\varphi(x)dx},\quad \varphi(x)=\frac{1}{Q}\left(\frac{\partial P}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial x}\right) $$

$$ \mu(y)=e^{\int\psi(y)dy},\quad \psi(y)=\frac{1}{P}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) $$

常见特解：

$$ y=0 $$

口诀：

可分离先分离，齐次换 $u=\frac yx$；
一阶线性套公式，伯努利换 $z=y^{1-n}$；
全微分验条件，原函数等于常数；
积分因子看 $x$ 或 $y$，应用题先建方程。

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