适用：数一、数三通用
地位：概率论的核心内容，直接支撑二维随机变量、数字特征、参数估计
核心任务：理解分布函数，掌握离散型与连续型分布，掌握随机变量函数的分布
随机变量：
设随机试验的样本空间为 $\Omega$，若对每个样本点 $\omega\in\Omega$，都有一个实数 $X(\omega)$ 与之对应，则称 $X$ 为随机变量。
分类：
定义：
设 $X$ 为随机变量，对任意实数 $x$，称
$$ F(x)=P(X\le x) $$
为 $X$ 的分布函数。
性质：
（1）单调不减：
若 $x_1<x_2$，则
$$ F(x_1)\le F(x_2) $$
（2）有界性：
$$ 0\le F(x)\le1 $$
（3）极限：
$$ F(-\infty)=\lim_{x\to-\infty}F(x)=0 $$
$$ F(+\infty)=\lim_{x\to+\infty}F(x)=1 $$
（4）右连续：
$$ F(x+0)=F(x) $$
重要公式：
$$ P(a<X\le b)=F(b)-F(a) $$
$$ P(X>a)=1-F(a) $$
$$ P(X<a)=F(a-0) $$
$$ P(X=a)=F(a)-F(a-0) $$
分布律：
设 $X$ 的所有可能取值为 $x_1,x_2,\cdots$，且
$$ P(X=x_i)=p_i,\quad i=1,2,\cdots $$
称为 $X$ 的分布律。
性质：
$$ p_i\ge0 $$
$$ \sum_{i=1}^\infty p_i=1 $$
分布函数：
$$ F(x)=P(X\le x)=\sum_{x_i\le x}p_i $$
常见离散型分布：
（1）0-1 分布：
$$ P(X=1)=p,\quad P(X=0)=1-p $$
记作：
$$ X\sim B(1,p) $$
（2）二项分布：
$$ P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots,n $$
记作：
$$ X\sim B(n,p) $$
（3）泊松分布：
$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,2,\cdots $$
记作：
$$ X\sim P(\lambda) $$
（4）几何分布：
$$ P(X=k)=(1-p)^{k-1}p,\quad k=1,2,\cdots $$
记作：
$$ X\sim G(p) $$
（5）超几何分布：
$$ P(X=k)=\frac{C_M^kC_{N-M}^{n-k}}{C_N^n} $$
概率密度：
若存在非负函数 $f(x)$，使得对任意实数 $x$，都有
$$ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt $$
则称 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为 $X$ 的概率密度。
性质：
$$ f(x)\ge0 $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 $$
$$ P(a<X\le b)=\int_a^bf(x)dx $$
$$ P(X=a)=0 $$
注意：
常见连续型分布：
（1）均匀分布：
$$ f(x)= \begin{cases} \dfrac{1}{b-a}, & a\le x\le b\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
记作：
$$ X\sim U(a,b) $$
分布函数：
$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<a\ \dfrac{x-a}{b-a}, & a\le x<b\\ 1, & x\ge b \end{cases} $$
（2）指数分布：
$$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\le0 \end{cases} $$
其中 $\lambda>0$。
记作：
$$ X\sim E(\lambda) $$
分布函数：
$$ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\le0 \end{cases} $$
（3）正态分布：
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\quad -\infty<x<+\infty $$
记作：
$$ X\sim N(\mu,\sigma^2) $$
标准正态分布：
$$ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}} $$
$$ \Phi(x)=\int_{-\infty}^x\varphi(t)dt $$
标准化：
若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则
$$ \frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$
对称性：
$$ \Phi(-x)=1-\Phi(x) $$
常用值：
$$ \Phi(0)=0.5 $$
$$ \Phi(1.96)\approx0.975 $$
$$ \Phi(1.645)\approx0.95 $$
（1）离散型：
若 $X$ 的分布律为
$$ P(X=x_i)=p_i $$
则 $Y=g(X)$ 的分布律为：
$$ P(Y=y_j)=\sum_{g(x_i)=y_j}p_i $$
（2）连续型：
方法一：分布函数法
$$ F_Y(y)=P(Y\le y)=P(g(X)\le y) $$
然后求导得 $f_Y(y)$。
方法二：公式法
若 $y=g(x)$ 严格单调可导，则：
$$ f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot|(g^{-1}(y))'| $$
常用结论：
线性变换：
若 $X\sim N(\mu,\sigma^2)$，则
$$ aX+b\sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2) $$
正态分布平方：
若 $X\sim N(0,1)$，则
$$ X^2\sim\chi^2(1) $$
指数分布：
若 $X\sim E(\lambda)$，则
$$ Y=kX\sim E\left(\frac{\lambda}{k}\right),\quad k>0 $$
| 分布 | 记号 | 分布律或密度 |
|---|---|---|
| 0-1 分布 | $B(1,p)$ | $P(X=1)=p$ |
| 二项分布 | $B(n,p)$ | $P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$ |
| 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $P(X=k)=\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ |
| 几何分布 | $G(p)$ | $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$ |
| 均匀分布 | $U(a,b)$ | $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$ |
| 指数分布 | $E(\lambda)$ | $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ |
| 正态分布 | $N(\mu,\sigma^2)$ | $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ |
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| $B(1,p)$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| $G(p)$ | $\dfrac1p$ | $\dfrac{1-p}{p^2}$ |
| $U(a,b)$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| $E(\lambda)$ | $\dfrac1\lambda$ | $\dfrac{1}{\lambda^2}$ |
| $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
例1
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<0\ A x^2, & 0\le x<1\\ 1, & x\ge1 \end{cases} $$
求 $A$。
解：
由右连续性：
$$ F(1)=1 $$
$$ A\times1^2=1\Rightarrow A=1 $$
例2
设
$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<0\ A x^2, & 0\le x<1\\ 1, & x\ge1 \end{cases} $$
求 $P(0.5<X\le0.8)$。
解：
$$ P(0.5<X\le0.8)=F(0.8)-F(0.5) $$
$$ =0.8^2-0.5^2=0.64-0.25=0.39 $$
例3
设随机变量 $X$ 的分布律为
$$ P(X=k)=\frac{c}{k},\quad k=1,2,3 $$
求 $c$。
解：
由规范性：
$$ \sum_{k=1}^3\frac{c}{k}=1 $$
$$ c\left(1+\frac12+\frac13\right)=1 $$
$$ c\cdot\frac{11}{6}=1\Rightarrow c=\frac6{11} $$
例4
设随机变量 $X$ 的分布律为
$$ P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,2,3 $$
其中 $n=3$，$p=0.5$，求 $P(X\ge2)$。
解：
$$ P(X\ge2)=P(X=2)+P(X=3) $$
$$ =C_3^2(0.5)^2(0.5)+C_3^3(0.5)^3 $$
$$ =3\times0.125+0.125=0.5 $$
例5
设随机变量 $X$ 的密度函数为
$$ f(x)= \begin{cases} c x, & 0\le x\le2\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $c$。
解：
由规范性：
$$ \int_0^2 c x dx=1 $$
$$ c\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_0^2=1 $$
$$ c\cdot2=1\Rightarrow c=\frac12 $$
例6
设
$$ f(x)= \begin{cases} c x, & 0\le x\le2\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $P(0.5<X<1.5)$。
解：
$$ P(0.5<X<1.5)=\int_{0.5}^{1.5}\frac12x dx $$
$$ =\frac12\cdot\frac{x^2}{2}\Big|_{0.5}^{1.5} =\frac14(2.25-0.25) =\frac14\times2=0.5 $$
例7
设
$$ X\sim N(0,1) $$
求 $P(X<1.96)$。
解：
$$ P(X<1.96)=\Phi(1.96)\approx0.975 $$
例8
设
$$ X\sim N(2,4) $$
求 $P(X<4)$。
解：
标准化：
$$ P(X<4)=P\left(\frac{X-2}{2}<\frac{4-2}{2}\right) =P(Z<1)=\Phi(1)\approx0.8413 $$
例9
设
$$ X\sim N(1,9) $$
求 $P(0<X<3)$。
解：
标准化：
$$ P(0<X<3)=P\left(\frac{0-1}{3}<Z<\frac{3-1}{3}\right) $$
$$ =P\left(-\frac13<Z<\frac23\right) $$
$$ =\Phi\left(\frac23\right)-\Phi\left(-\frac13\right) $$
$$ =\Phi(0.667)-\Phi(-0.333) $$
$$ =\Phi(0.667)-[1-\Phi(0.333)] $$
$$ \approx0.7486-(1-0.6306)=0.3792 $$
例10
设
$$ X\sim U(0,1) $$
求 $Y=2X+1$ 的密度函数。
解：
$Y=2X+1$ 是线性变换，$X$ 的密度为：
$$ f_X(x)=1,\quad 0<x<1 $$
由公式法：
$$ f_Y(y)=f_X\left(\frac{y-1}{2}\right)\cdot\frac12 $$
当 $0<\frac{y-1}{2}<1$，即 $1<y<3$ 时：
$$ f_Y(y)=1\times\frac12=\frac12 $$
所以：
$$ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac12, & 1<y<3\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
即：
$$ Y\sim U(1,3) $$
例11
设
$$ X\sim N(0,1) $$
求 $Y=X^2$ 的密度函数。
解：
$$ F_Y(y)=P(Y\le y)=P(X^2\le y) $$
当 $y>0$ 时：
$$ F_Y(y)=P(-\sqrt y\le X\le\sqrt y) =\Phi(\sqrt y)-\Phi(-\sqrt y) $$
$$ =2\Phi(\sqrt y)-1 $$
求导：
$$ f_Y(y)=2\varphi(\sqrt y)\cdot\frac{1}{2\sqrt y} =\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac y2} $$
所以：
$$ f_Y(y)= \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-\frac y2}, & y>0\\ 0, & y\le0 \end{cases} $$
这是自由度为 $1$ 的 $\chi^2$ 分布。
例12
设
$$ X\sim E(\lambda) $$
求 $Y=e^X$ 的密度函数。
解：
当 $y>1$ 时：
$$ F_Y(y)=P(e^X\le y)=P(X\le\ln y) =1-e^{-\lambda\ln y}=1-y^{-\lambda} $$
求导：
$$ f_Y(y)=\lambda y^{-\lambda-1},\quad y>1 $$
例13
设随机变量 $X$ 的分布函数为
$$ F(x)= \begin{cases} 0, & x<0\ x^2, & 0\le x<1\\ 1, & x\ge1 \end{cases} $$
求密度函数。
解：
在 $0<x<1$ 内：
$$ f(x)=F'(x)=2x $$
所以：
$$ f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1\\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
例14
设
$$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\le0 \end{cases} $$
求分布函数。
解：
当 $x\le0$ 时：
$$ F(x)=0 $$
当 $x>0$ 时：
$$ F(x)=\int_0^x\lambda e^{-\lambda t}dt =1-e^{-\lambda x} $$
所以：
$$ F(x)= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x>0\\ 0, & x\le0 \end{cases} $$
例15
设某电子元件寿命 $X$（小时）服从参数为 $\lambda=1/1000$ 的指数分布，求该元件寿命超过 $1000$ 小时的概率。
解：
$$ P(X>1000)=1-F(1000) =1-(1-e^{-1})=e^{-1}\approx0.368 $$
例16
设某班级考试成绩 $X\sim N(70,100)$，求成绩在 $60$ 到 $85$ 之间的概率。
解：
$$ P(60<X<85)=P\left(\frac{60-70}{10}<Z<\frac{85-70}{10}\right) $$
$$ =P(-1<Z<1.5) =\Phi(1.5)-\Phi(-1) $$
$$ =0.9332-(1-0.8413)=0.9332-0.1587=0.7745 $$
例17
设
$$ X\sim B(10,0.2) $$
求 $P(X\le2)$。
解：
$$ P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) $$
$$ =(0.8)^{10}+C_{10}^1(0.2)(0.8)^9+C_{10}^2(0.2)^2(0.8)^8 $$
计算略。
例18
设
$$ X\sim P(2) $$
求 $P(X\ge1)$。
解：
$$ P(X\ge1)=1-P(X=0) =1-\frac{2^0}{0!}e^{-2} =1-e^{-2}\approx0.865 $$
错误。
连续型随机变量取单点值的概率为 $0$。
$$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma} $$
$$ \Phi(-x)=1-\Phi(x) $$
$$ f(x)=\frac{1}{b-a},\quad a\le x\le b $$
$$ f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\quad x>0 $$
$$ F(x+0)=F(x) $$
公式法要求 $g(x)$ 严格单调可导。
$$ \sum p_i=1 $$
$$ f(x)\ge0 $$
$$ P(a<X\le b)=F(b)-F(a) $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
分布函数：
$$ F(x)=P(X\le x) $$
性质：
离散型：
$$ P(X=x_i)=p_i $$
$$ \sum p_i=1 $$
连续型：
$$ F(x)=\int_{-\infty}^xf(t)dt $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1 $$
常见分布：
0-1 分布：
$$ P(X=1)=p $$
二项分布：
$$ P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$
泊松分布：
$$ P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} $$
均匀分布：
$$ f(x)=\frac{1}{b-a} $$
指数分布：
$$ f(x)=\lambda e^{-\lambda x} $$
正态分布：
$$ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $$
标准正态：
$$ \Phi(-x)=1-\Phi(x) $$
标准化：
$$ Z=\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1) $$
随机变量函数：
$$ F_Y(y)=P(g(X)\le y) $$
$$ f_Y(y)=f_X(g^{-1}(y))\cdot|(g^{-1}(y))'| $$
口诀：
分布函数单调右连续，密度函数非负积分一；
离散求和连续积分，正态标准化查表；
随机变量函数分布，先求分布函数再求导；
均匀指数正态常见，二项泊松几何超几何。
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