适用：数一、数二、数三通用
地位：定积分的推广，直接支撑级数、概率论、微分方程
核心任务：理解反常积分定义，掌握反常积分计算与敛散性判别
反常积分又称广义积分，包括两类：
（1）无穷区间上的反常积分：
$$ \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)dx $$
$$ \int_{-\infty}^b f(x)dx=\lim_{a\to-\infty}\int_a^b f(x)dx $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx =\int_{-\infty}^c f(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx $$
其中 $c$ 为任意实数。
若极限存在，则称反常积分收敛；若极限不存在，则称发散。
（2）无界函数的反常积分（瑕积分）：
若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处无界，则
$$ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx $$
若 $f(x)$ 在 $x=b$ 处无界，则
$$ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_a^{b-\varepsilon}f(x)dx $$
若 $f(x)$ 在 $x=c\in(a,b)$ 处无界，则
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx $$
若右边两个积分都收敛，则称原积分收敛；否则发散。
瑕点：
使 $f(x)$ 无界的点称为瑕点。
（1）$p$ 积分（无穷区间）：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
即：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx = \begin{cases} \dfrac{1}{p-1}, & p>1\\ \text{发散}, & p\le1 \end{cases} $$
（2）$p$ 积分（瑕积分）：
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx $$
即：
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx = \begin{cases} \dfrac{1}{1-p}, & p<1\\ \text{发散}, & p\ge1 \end{cases} $$
（3）指数型：
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1 $$
$$ \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx=\frac1a,\quad a>0 $$
$$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n! $$
（4）高斯积分：
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}{2} $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi $$
（5）$\Gamma$ 函数（数一）：
$$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx,\quad s>0 $$
性质：
$$ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) $$
$$ \Gamma(n+1)=n! $$
$$ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi $$
（1）线性性质：
若 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$、$\int_a^{+\infty}g(x)dx$ 都收敛，则
$$ \int_a^{+\infty}[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx =\alpha\int_a^{+\infty}f(x)dx+\beta\int_a^{+\infty}g(x)dx $$
（2）区间可加性：
$$ \int_a^{+\infty}f(x)dx =\int_a^c f(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx $$
（3）牛顿-莱布尼茨公式推广：
若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的原函数，则
$$ \int_a^{+\infty}f(x)dx=F(x)\Big|_a^{+\infty} =\lim_{x\to+\infty}F(x)-F(a) $$
（4）分部积分：
$$ \int_a^{+\infty}u\,dv=uv\Big|_a^{+\infty}-\int_a^{+\infty}v\,du $$
（5）换元积分：
$$ \int_a^{+\infty}f(x)dx =\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$
（1）比较判别法（无穷区间）：
设 $0\le f(x)\le g(x)$，$x\in[a,+\infty)$。
（2）极限比较判别法：
设 $f(x)\ge0$，$g(x)>0$，且
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L $$
（3）常用比较基准：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
（4）绝对收敛：
若 $\int_a^{+\infty}|f(x)|dx$ 收敛，则 $\int_a^{+\infty}f(x)dx$ 收敛。
（5）瑕积分的比较判别法：
设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处无界，$f(x)\ge0$。
若
$$ \lim_{x\to a^+}(x-a)^pf(x)=L $$
例1
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx $$
解：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx =\lim_{b\to+\infty}\int_1^b x^{-2}dx $$
$$ =\lim_{b\to+\infty}\left(-\frac1x\right)\Big|_1^b =\lim_{b\to+\infty}\left(1-\frac1b\right)=1 $$
例2
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx $$
解：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx =\lim_{b\to+\infty}\ln x\Big|_1^b =\lim_{b\to+\infty}\ln b=+\infty $$
所以发散。
例3
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx $$
解：
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx =\lim_{b\to+\infty}(-e^{-x})\Big|_0^b =\lim_{b\to+\infty}(1-e^{-b})=1 $$
例4
$$ \int_0^{+\infty}xe^{-x}dx $$
解：
用分部积分：
$$ \int_0^{+\infty}xe^{-x}dx =\lim_{b\to+\infty}\int_0^b xe^{-x}dx $$
取
$$ u=x,\quad dv=e^{-x}dx $$
则
$$ du=dx,\quad v=-e^{-x} $$
$$ \int_0^b xe^{-x}dx =-xe^{-x}\Big|_0^b+\int_0^b e^{-x}dx $$
$$ =-be^{-b}+(1-e^{-b}) $$
所以：
$$ \int_0^{+\infty}xe^{-x}dx =\lim_{b\to+\infty}(-be^{-b}+1-e^{-b})=1 $$
例5
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx $$
解：
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx =\arctan x\Big|_{-\infty}^{+\infty} =\frac\pi2-\left(-\frac\pi2\right)=\pi $$
例6
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx $$
解：
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx =\arctan x\Big|_0^{+\infty} =\frac\pi2-0=\frac\pi2 $$
例7
$$ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}dx $$
解：
用分部积分：
取
$$ u=\ln x,\quad dv=\frac{1}{x^2}dx $$
则
$$ du=\frac1xdx,\quad v=-\frac1x $$
$$ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}dx =\left(-\frac{\ln x}{x}\right)\Big|_1^{+\infty} +\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx $$
第一项：
$$ \lim_{x\to+\infty}\left(-\frac{\ln x}{x}\right)-\left(-\frac{\ln1}{1}\right) =0-0=0 $$
第二项：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx=1 $$
所以：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2}dx=1 $$
例8
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx $$
解：
$x=0$ 为瑕点。
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1 x^{-\frac12}dx $$
$$ =\lim_{\varepsilon\to0^+}2\sqrt{x}\Big|_\varepsilon^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}(2-2\sqrt\varepsilon)=2 $$
例9
$$ \int_0^1\frac{1}{x}dx $$
解：
$x=0$ 为瑕点。
$$ \int_0^1\frac{1}{x}dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\ln x\Big|_\varepsilon^1 =\lim_{\varepsilon\to0^+}(0-\ln\varepsilon)=+\infty $$
所以发散。
例10
$$ \int_0^1\ln x\,dx $$
解：
$x=0$ 为瑕点。
$$ \int_0^1\ln x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_\varepsilon^1\ln x\,dx $$
用分部积分：
$$ \int\ln x\,dx=x\ln x-x $$
所以：
$$ \int_0^1\ln x\,dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[x\ln x-x\right]\Big|_\varepsilon^1 $$
$$ =\lim_{\varepsilon\to0^+}\left[(1\ln1-1)-(\varepsilon\ln\varepsilon-\varepsilon)\right] $$
$$ =-1-\lim_{\varepsilon\to0^+}\varepsilon\ln\varepsilon =-1-0=-1 $$
例11
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx $$
解：
$x=1$ 为瑕点。
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\arcsin x\Big|_0^{1-\varepsilon} $$
$$ =\lim_{\varepsilon\to0^+}\arcsin(1-\varepsilon) =\frac\pi2 $$
例12
$$ \int_0^2\frac{1}{(x-1)^2}dx $$
解：
$x=1$ 为瑕点，需要拆分：
$$ \int_0^2\frac{1}{(x-1)^2}dx =\int_0^1\frac{1}{(x-1)^2}dx+\int_1^2\frac{1}{(x-1)^2}dx $$
第一项：
$$ \int_0^1\frac{1}{(x-1)^2}dx =\lim_{\varepsilon\to0^+}\left(-\frac{1}{x-1}\right)\Big|_0^{1-\varepsilon} $$
$$ =\lim_{\varepsilon\to0^+}\left(\frac1\varepsilon-1\right)=+\infty $$
所以原积分发散。
例13
判断
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3+1}dx $$
的敛散性。
解：
当 $x\to+\infty$ 时，
$$ \frac{1}{x^3+1}\sim\frac{1}{x^3} $$
而
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^3}dx $$
收敛（$p=3>1$），所以原积分收敛。
例14
判断
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx $$
的敛散性。
解：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{x}}dx =\int_1^{+\infty}x^{-\frac12}dx $$
$p=\frac12\le1$，所以发散。
例15
判断
$$ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x}dx $$
的敛散性。
解：
当 $x\to+\infty$ 时，
$$ \frac{\ln x}{x}\ge\frac{1}{x} $$
而
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x}dx $$
发散，所以原积分发散。
例16
判断
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}dx $$
的敛散性。
解：
$x=0$ 和 $x=1$ 都是瑕点。
拆分：
$$ \int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}dx =\int_0^{\frac12}\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}dx +\int_{\frac12}^1\frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}dx $$
在 $x=0$ 附近：
$$ \frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}\sim\frac{1}{\sqrt{x}} $$
而
$$ \int_0^{\frac12}\frac{1}{\sqrt{x}}dx $$
收敛（$p=\frac12<1$）。
在 $x=1$ 附近：
$$ \frac{1}{\sqrt{x}(1-x)}\sim\frac{1}{1-x} $$
而
$$ \int_{\frac12}^1\frac{1}{1-x}dx $$
发散（$p=1\ge1$）。
所以原积分发散。
例17
判断
$$ \int_1^{+\infty}\frac{\sin x}{x^2}dx $$
的敛散性。
解：
$$ \left|\frac{\sin x}{x^2}\right|\le\frac{1}{x^2} $$
而
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx $$
收敛，所以
$$ \int_1^{+\infty}\left|\frac{\sin x}{x^2}\right|dx $$
收敛。
因此原积分绝对收敛。
例18
讨论
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
的敛散性。
解：
例19
讨论
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx $$
的敛散性。
解：
例20
讨论
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
的敛散性。
解：
拆分：
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx =\int_0^1\frac{1}{x^p}dx+\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
第一项：$p<1$ 收敛；
第二项：$p>1$ 收敛。
两者不能同时满足，所以
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
对任意 $p$ 都发散。
例21
计算
$$ \int_0^{+\infty}x^3e^{-x}dx $$
解：
$$ \int_0^{+\infty}x^3e^{-x}dx=\Gamma(4)=3!=6 $$
例22
计算
$$ \int_0^{+\infty}x^2e^{-2x}dx $$
解：
令
$$ u=2x $$
则
$$ dx=\frac12du $$
$$ \int_0^{+\infty}x^2e^{-2x}dx =\int_0^{+\infty}\frac{u^2}{4}e^{-u}\cdot\frac12du $$
$$ =\frac18\int_0^{+\infty}u^2e^{-u}du =\frac18\Gamma(3)=\frac18\cdot2!=\frac14 $$
例23
计算
$$ \int_0^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx $$
解：
$$ \int_0^{+\infty}\sqrt{x}e^{-x}dx =\int_0^{+\infty}x^{\frac12}e^{-x}dx =\Gamma\left(\frac32\right) $$
$$ =\frac12\Gamma\left(\frac12\right) =\frac12\sqrt\pi $$
例24
计算
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx $$
解：
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}{2} $$
例25
求
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x e^{t^2}dt}{e^{x^2}} $$
解：
这是 $\frac\infty\infty$ 型。
用洛必达：
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x e^{t^2}dt}{e^{x^2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x^2}}{2xe^{x^2}} =\lim_{x\to+\infty}\frac{1}{2x}=0 $$
例26
求
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{\int_0^x\frac{1}{\sqrt{t}}dt}{\sqrt{x}} $$
解：
$$ \int_0^x\frac{1}{\sqrt{t}}dt=2\sqrt{x} $$
所以：
$$ \lim_{x\to0^+}\frac{\int_0^x\frac{1}{\sqrt{t}}dt}{\sqrt{x}} =\lim_{x\to0^+}\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2 $$
例如：
$$ \int_0^1\frac{1}{x}dx $$
$x=0$ 是瑕点，不能直接使用牛顿-莱布尼茨公式。
例如：
$$ \int_0^2\frac{1}{(x-1)^2}dx $$
$x=1$ 是瑕点，必须拆分：
$$ \int_0^1+\int_1^2 $$
无穷区间：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
瑕积分：
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx $$
两者条件相反，不要混淆。
若 $0\le f(x)\le g(x)$：
$$ \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
对任意 $p$ 都发散。
$$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx $$
要求 $s>0$。
换元时，积分限也要相应改变。
$$ \int_a^{+\infty}u\,dv =uv\Big|_a^{+\infty}-\int_a^{+\infty}v\,du $$
第一项需要求极限。
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx =\int_{-\infty}^c f(x)dx+\int_c^{+\infty}f(x)dx $$
必须拆分为两个积分，且两个都收敛才收敛。
常见形式：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx $$
$$ \int_0^{+\infty}e^{-ax}dx $$
$$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx $$
$$ \int_1^{+\infty}\frac{\ln x}{x^p}dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx $$
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx $$
$$ \int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{\int_0^x f(t)dt}{g(x)} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
积分判别法：
若 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上非负、连续、单调递减，则
$$ \sum_{n=1}^\infty f(n) \quad\text{与}\quad \int_1^{+\infty}f(x)dx $$
同敛散。
无穷区间反常积分：
$$ \int_a^{+\infty}f(x)dx=\lim_{b\to+\infty}\int_a^b f(x)dx $$
瑕积分：
$$ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{a+\varepsilon}^b f(x)dx $$
$p$ 积分（无穷区间）：
$$ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^p}dx \begin{cases} \text{收敛}, & p>1\ \text{发散}, & p\le1 \end{cases} $$
$p$ 积分（瑕积分）：
$$ \int_0^1\frac{1}{x^p}dx \begin{cases} \text{收敛}, & p<1\ \text{发散}, & p\ge1 \end{cases} $$
重要反常积分：
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x}dx=1 $$
$$ \int_0^{+\infty}x^ne^{-x}dx=n! $$
$$ \int_0^{+\infty}e^{-x^2}dx=\frac{\sqrt\pi}{2} $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt\pi $$
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{1+x^2}dx=\pi $$
$\Gamma$ 函数：
$$ \Gamma(s)=\int_0^{+\infty}x^{s-1}e^{-x}dx,\quad s>0 $$
$$ \Gamma(s+1)=s\Gamma(s) $$
$$ \Gamma(n+1)=n! $$
$$ \Gamma\left(\frac12\right)=\sqrt\pi $$
比较判别法：
$$ 0\le f(x)\le g(x) $$
$$ \int g\text{ 收敛}\Rightarrow\int f\text{ 收敛} $$
$$ \int f\text{ 发散}\Rightarrow\int g\text{ 发散} $$
极限比较判别法：
$$ \lim_{x\to+\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=L,\quad 0<L<+\infty $$
则 $\int f$ 与 $\int g$ 同敛散。
口诀：
反常积分分两类，无穷区间和瑕点；
$p$ 积分条件要记牢，无穷大于1，瑕点小于1；
比较判别找基准，$\frac{1}{x^p}$ 最常用；
绝对收敛必收敛，条件收敛要小心；
$\Gamma$ 函数记性质，$n!$ 和 $\sqrt\pi$ 不能忘。
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