适用：数一、数二、数三通用
地位：线性代数的核心枢纽，直接支撑向量组、线性方程组、特征值、二次型
核心任务：理解秩的定义，掌握秩的计算与性质，会利用秩讨论方程组解的情况
定义一（子式定义）：
矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为矩阵 $A$ 的秩，记作
$$ r(A) $$
定义二（行阶梯形定义）：
矩阵 $A$ 的行阶梯形中非零行的行数称为 $A$ 的秩。
规定：
零矩阵的秩为 $0$。
$$ r(O)=0 $$
性质1：
$$ 0\le r(A)\le\min{m,n} $$
其中 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。
性质2：
$$ r(A^T)=r(A) $$
性质3：
$$ r(kA)=r(A),\quad k\neq0 $$
性质4：
$$ r(A)=0\iff A=O $$
性质5：
若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，则
$$ r(A)=n\iff|A|\neq0 $$
$$ r(A)<n\iff|A|=0 $$
性质6：
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
性质7：
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
性质8（Sylvester 秩不等式）：
设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵，则
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
即：
$$ r(AB)\ge r(A)+r(B)-n $$
综合：
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
性质9：
若 $A$ 可逆，则
$$ r(AB)=r(B) $$
$$ r(CA)=r(C) $$
性质10：
$$ r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B) $$
性质11：
$$ r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B) $$
性质12：
$$ r(A^TA)=r(A) $$
$$ r(AA^T)=r(A) $$
性质13：
若 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^*$ 为伴随矩阵，则
$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$
重要结论：
初等变换不改变矩阵的秩。
即：
$$ A\sim B\Rightarrow r(A)=r(B) $$
求秩的方法：
用初等行变换将矩阵化为行阶梯形，非零行的行数即为矩阵的秩。
行阶梯形：
行最简形：
在行阶梯形基础上，主元为 $1$，且主元所在列其他元素为 $0$。
（1）齐次线性方程组 $Ax=0$：
设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵。
$$ r(A)=n $$
$$ r(A)<n $$
（2）非齐次线性方程组 $Ax=b$：
设 $\bar{A}=(A|b)$ 为增广矩阵。
$$ r(A)<r(\bar{A}) $$
$$ r(A)=r(\bar{A})=n $$
$$ r(A)=r(\bar{A})<n $$
总结：
$$ r(A)=r(\bar{A}) \begin{cases} =n, & \text{唯一解}\\ <n, & \text{无穷多解} \end{cases} $$
$$ r(A)<r(\bar{A})\Rightarrow\text{无解} $$
向量组的秩：
向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的秩等于其极大线性无关组中向量的个数。
矩阵的秩与向量组的秩：
重要结论：
若
$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) $$
则
$$ r(A)=r(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n) $$
（1）可对角化条件：
$n$ 阶方阵 $A$ 可对角化 $\iff$ $A$ 有 $n$ 个线性无关的特征向量。
（2）实对称矩阵：
实对称矩阵一定可对角化，且
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
（3）秩与特征值：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数（计重数）} $$
二次型矩阵：
二次型
$$ f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_{ij}x_ix_j $$
的矩阵 $A=(a_{ij})$ 为对称矩阵。
二次型的秩：
$$ r(f)=r(A) $$
正定判定：
$n$ 元二次型正定 $\iff$ $A$ 的特征值全大于 $0$ $\iff$ $A$ 的各阶顺序主子式全大于 $0$。
（1）和的秩：
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
（2）积的秩：
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
（3）Sylvester 不等式：
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
（4）Frobenius 不等式：
$$ r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B) $$
（5）分块矩阵：
$$ r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B) $$
$$ r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B) $$
（6）幂的秩：
$$ r(A^k)\le r(A) $$
（7）转置的秩：
$$ r(A^TA)=r(A) $$
$$ r(AA^T)=r(A) $$
| 方法 | 适用情形 |
|---|---|
| 定义法 | 小矩阵 |
| 初等变换法 | 一般矩阵 |
| 子式法 | 特殊矩阵 |
| 利用性质 | 抽象矩阵 |
| 利用方程组 | 与方程组综合 |
| 利用向量组 | 与向量组综合 |
例1
求
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
用初等行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
非零行有 $1$ 行，所以：
$$ r(A)=1 $$
例2
求
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
$$ r_2-4r_1,\quad r_3-7r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
非零行有 $2$ 行，所以：
$$ r(A)=2 $$
例3
求
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 5\\ 3 & 4 & 5 & 6\\ 4 & 5 & 6 & 7 \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1,\quad r_4-4r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & -2 & -4 & -6\\ 0 & -3 & -6 & -9 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2,\quad r_4-3r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 0 & -1 & -2 & -3\\ 0 & 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
非零行有 $2$ 行，所以：
$$ r(A)=2 $$
例4
求
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
$$ r_3-r_1-r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2 $$
例5
求
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & a \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & a-9 \end{pmatrix} $$
例6
求
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & a-1 & 0\\ 0 & 0 & a-1 \end{pmatrix} $$
例7
求
$$ A= \begin{pmatrix} a & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} $$
的秩。
解：
用行变换：
$$ r_1+r_2+r_3 $$
第一行变为 $(a+2,a+2,a+2)$。
注意：
还需考虑 $a=1$ 的情形，此时 $r(A)=1$。
例8
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，且 $A^2=A$，证明
$$ r(A)+r(E-A)=n $$
证明：
由 $A^2=A$：
$$ A(E-A)=O $$
由 Sylvester 不等式：
$$ r(A)+r(E-A)-n\le r(A(E-A))=0 $$
所以：
$$ r(A)+r(E-A)\le n $$
又：
$$ A+(E-A)=E $$
所以：
$$ r(A)+r(E-A)\ge r(E)=n $$
因此：
$$ r(A)+r(E-A)=n $$
例9
设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times m$ 矩阵，且 $AB=E_m$，证明
$$ r(A)=r(B)=m $$
证明：
由 $AB=E_m$：
$$ r(AB)=r(E_m)=m $$
又：
$$ r(AB)\le r(A)\le m $$
所以：
$$ r(A)=m $$
同理：
$$ r(AB)\le r(B)\le m $$
所以：
$$ r(B)=m $$
例10
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A^2=E$，证明
$$ r(A+E)+r(A-E)=n $$
证明：
由 $A^2=E$：
$$ (A+E)(A-E)=A^2-E=O $$
由 Sylvester 不等式：
$$ r(A+E)+r(A-E)-n\le r((A+E)(A-E))=0 $$
所以：
$$ r(A+E)+r(A-E)\le n $$
又：
$$ (A+E)-(A-E)=2E $$
所以：
$$ r(A+E)+r(A-E)\ge r(2E)=n $$
因此：
$$ r(A+E)+r(A-E)=n $$
例11
设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，$r(A)=3$，求 $r(A^*)$。
解：
$$ r(A)=n-1=3 $$
所以：
$$ r(A^*)=1 $$
例12
设 $A$ 为 $5$ 阶方阵，$r(A)=4$，求 $r(A^*)$。
解：
$$ r(A)=n-1=4 $$
所以：
$$ r(A^*)=1 $$
例13
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$r(A)=1$，求 $r(A^*)$。
解：
$$ r(A)=1\le n-2=1 $$
所以：
$$ r(A^*)=0 $$
即：
$$ A^*=O $$
例14
设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$r(A)=n$，求 $r(A^*)$。
解：
$$ r(A)=n $$
所以：
$$ r(A^*)=n $$
例15
设
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$
讨论 $Ax=0$ 的解的情况。
解：
由例1：
$$ r(A)=1<3 $$
所以 $Ax=0$ 有非零解。
基础解系含：
$$ n-r(A)=3-1=2 $$
个向量。
例16
设
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} $$
讨论 $Ax=b$ 的解的情况。
解：
由例2：
$$ r(A)=2 $$
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 4 & 5 & 6 & 2\\ 7 & 8 & 9 & 3 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-4r_1,\quad r_3-7r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & -3 & -6 & -2\\ 0 & -6 & -12 & -4 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & -3 & -6 & -2\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(\bar{A})=2=r(A) $$
且
$$ r(A)=2<3 $$
所以 $Ax=b$ 有无穷多解。
例17
求向量组
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(1,0,1)^T $$
的秩。
解：
以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为列构成矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2 $$
即向量组的秩为 $2$。
例18
求向量组
$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,5)^T $$
的秩。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2 $$
例19
设 $A$ 为 $4\times 3$ 矩阵，$B$ 为 $3\times 5$ 矩阵，且 $r(A)=3$，$r(B)=3$，求 $r(AB)$。
解：
由 Sylvester 不等式：
$$ r(AB)\ge r(A)+r(B)-3=3+3-3=3 $$
又：
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)}=3 $$
所以：
$$ r(AB)=3 $$
例20
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$r(A)=2$，$B$ 为 $3$ 阶方阵，$r(B)=2$，求 $r(AB)$ 的取值范围。
解：
由 Sylvester 不等式：
$$ r(AB)\ge r(A)+r(B)-3=2+2-3=1 $$
又：
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)}=2 $$
所以：
$$ 1\le r(AB)\le2 $$
例21
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,0$，求 $r(A)$。
解：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数}=2 $$
例22
设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，特征值为 $1,1,0,0$，求 $r(A)$。
解：
$$ r(A)=2 $$
例23
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$A^2=A$，且 $r(A)=2$，求 $A$ 的特征值。
解：
由 $A^2=A$，特征值只能是 $0$ 或 $1$。
又：
$$ r(A)=2 $$
所以非零特征值有 $2$ 个，即：
$$ \lambda_1=\lambda_2=1,\quad\lambda_3=0 $$
例24
设二次型
$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3+2cx_2x_3 $$
的矩阵为 $A$，若 $r(A)=2$，求 $a$、$b$、$c$ 满足的条件。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & a & b\\ a & 1 & c\\ b & c & 1 \end{pmatrix} $$
由 $r(A)=2$：
$$ |A|=0 $$
即：
$$ 1+2abc-a^2-b^2-c^2=0 $$
所以：
$$ a^2+b^2+c^2-2abc=1 $$
例25
设二次型
$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$
求二次型的秩。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
计算行列式：
$$ |A|=1\times(6-0)-1\times(3-0)+1\times(0-2) =6-3-2=1\neq0 $$
所以：
$$ r(A)=3 $$
即二次型的秩为 $3$。
错误。
初等变换不改变矩阵的秩。
错误。
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
错误。
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
注意是小于等于。
$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$
$$ r(A^TA)=r(A) $$
$$ r(AA^T)=r(A) $$
$$ r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B) $$
$$ r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B) $$
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数（计重数）} $$
要分情况讨论，不要遗漏特殊值。
要灵活运用：
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
常见形式：
$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$
处理方法：
常见形式：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & a & 1\\ 1 & 1 & a \end{pmatrix} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ r(A^*)=? $$
处理方法：
$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
常见形式：
处理方法：
秩的定义：
非零子式的最高阶数。
基本性质：
$$ 0\le r(A)\le\min{m,n} $$
$$ r(A^T)=r(A) $$
$$ r(kA)=r(A),\quad k\neq0 $$
方阵的秩与行列式：
$$ r(A)=n\iff|A|\neq0 $$
$$ r(A)<n\iff|A|=0 $$
秩的不等式：
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
可逆矩阵：
$$ r(AB)=r(B),\quad r(CA)=r(C) $$
分块矩阵：
$$ r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B) $$
$$ r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B) $$
转置乘积：
$$ r(A^TA)=r(A) $$
$$ r(AA^T)=r(A) $$
伴随矩阵：
$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$
方程组：
$$ r(A)=r(\bar{A}) \begin{cases} =n, & \text{唯一解}\\ <n, & \text{无穷多解} \end{cases} $$
$$ r(A)<r(\bar{A})\Rightarrow\text{无解} $$
齐次方程组：
$$ r(A)=n\Rightarrow\text{只有零解} $$
$$ r(A)<n\Rightarrow\text{有非零解} $$
基础解系：
含 $n-r(A)$ 个向量。
特征值：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
口诀：
求秩用行变换，非零行数就是秩；
初等变换秩不变，可逆矩阵乘不变；
和的秩小于等于和，积的秩小于等于小；
Sylvester 不等式，伴随矩阵分三种；
方程组看秩比较，齐次非齐要分清。
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