适用：数一
地位：多元积分学的重要内容，直接支撑格林公式、路径无关、场论
核心任务：掌握第一类曲线积分与第二类曲线积分，掌握格林公式与路径无关条件
定义：
设 $L$ 是平面内一条可求长曲线，函数 $f(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 任意分成 $n$ 段，记第 $i$ 段弧长为 $\Delta s_i$，在第 $i$ 段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式
$$ S_n=\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i $$
令 $\lambda=\max{\Delta s_i}$，若当 $\lambda\to0$ 时，$S_n$ 的极限存在，且与分法和点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称该极限为 $f(x,y)$ 在 $L$ 上对弧长的曲线积分，记作
$$ \int_L f(x,y)ds $$
即：
$$ \int_L f(x,y)ds =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i)\Delta s_i $$
几何意义：
若 $f(x,y)\ge0$，则
$$ \int_L f(x,y)ds $$
表示以 $L$ 为准线、以 $z=f(x,y)$ 为高的柱面面积。
物理意义：
若 $f(x,y)$ 表示线密度，则
$$ \int_L f(x,y)ds $$
表示曲线 $L$ 的质量。
性质：
（1）与方向无关：
$$ \int_{L} f(x,y)ds=\int_{-L} f(x,y)ds $$
即第一类曲线积分与曲线方向无关。
（2）线性性质：
$$ \int_L[\alpha f+\beta g]ds =\alpha\int_L f ds+\beta\int_L g ds $$
（3）可加性：
若 $L=L_1+L_2$，则
$$ \int_L f ds=\int_{L_1}f ds+\int_{L_2}f ds $$
（1）参数方程：
设
$$ L:\begin{cases} x=\varphi(t)\ y=\psi(t) \end{cases},\quad \alpha\le t\le\beta $$
则
$$ \int_L f(x,y)ds =\int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
（2）直角坐标 $y=y(x)$：
$$ L:\ y=y(x),\quad a\le x\le b $$
则
$$ \int_L f(x,y)ds =\int_a^b f(x,y(x))\sqrt{1+[y'(x)]^2}dx $$
（3）直角坐标 $x=x(y)$：
$$ L:\ x=x(y),\quad c\le y\le d $$
则
$$ \int_L f(x,y)ds =\int_c^d f(x(y),y)\sqrt{1+[x'(y)]^2}dy $$
（4）极坐标：
$$ L:\ r=r(\theta),\quad \alpha\le\theta\le\beta $$
则
$$ \int_L f(x,y)ds =\int_\alpha^\beta f(r\cos\theta,r\sin\theta)\sqrt{r^2+[r']^2}d\theta $$
（5）空间曲线：
设
$$ L:\begin{cases} x=\varphi(t)\ y=\psi(t)\ z=\omega(t) \end{cases},\quad \alpha\le t\le\beta $$
则
$$ \int_L f(x,y,z)ds =\int_\alpha^\beta f(\varphi,\psi,\omega)\sqrt{[\varphi']^2+[\psi']^2+[\omega']^2}dt $$
定义：
设 $L$ 是平面内一条有向光滑曲线，函数 $P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $L$ 上有界。将 $L$ 任意分成 $n$ 段，记第 $i$ 段弧长为 $\Delta s_i$，在第 $i$ 段上任取一点 $(\xi_i,\eta_i)$，作和式
$$ S_n=\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i] $$
令 $\lambda=\max{\Delta s_i}$，若当 $\lambda\to0$ 时，$S_n$ 的极限存在，且与分法和点 $(\xi_i,\eta_i)$ 的取法无关，则称该极限为 $P$、$Q$ 在 $L$ 上对坐标的曲线积分，记作
$$ \int_L P(x,y)dx+Q(x,y)dy $$
即：
$$ \int_L Pdx+Qdy =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i+Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i] $$
物理意义：
若 $\vec{F}=(P,Q)$ 表示力场，则
$$ \int_L Pdx+Qdy $$
表示力沿曲线 $L$ 所做的功。
性质：
（1）与方向有关：
$$ \int_{-L} Pdx+Qdy=-\int_L Pdx+Qdy $$
（2）线性性质：
$$ \int_L(\alpha P_1+\beta P_2)dx+(\alpha Q_1+\beta Q_2)dy =\alpha\int_L P_1dx+Q_1dy+\beta\int_L P_2dx+Q_2dy $$
（3）可加性：
若 $L=L_1+L_2$，则
$$ \int_L Pdx+Qdy=\int_{L_1}Pdx+Qdy+\int_{L_2}Pdx+Qdy $$
（1）参数方程：
设
$$ L:\begin{cases} x=\varphi(t)\ y=\psi(t) \end{cases},\quad \alpha\le t\le\beta $$
则
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_\alpha^\beta[P(\varphi,\psi)\varphi'(t)+Q(\varphi,\psi)\psi'(t)]dt $$
（2）直角坐标 $y=y(x)$：
$$ L:\ y=y(x),\quad x\text{ 从 }a\text{ 到 }b $$
则
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_a^b[P(x,y(x))+Q(x,y(x))y'(x)]dx $$
（3）直角坐标 $x=x(y)$：
$$ L:\ x=x(y),\quad y\text{ 从 }c\text{ 到 }d $$
则
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_c^d[P(x(y),y)x'(y)+Q(x(y),y)]dy $$
（4）空间曲线：
$$ \int_L Pdx+Qdy+Rdz =\int_\alpha^\beta[P\varphi'+Q\psi'+R\omega']dt $$
条件：
设 $D$ 是由分段光滑闭曲线 $L$ 围成的有界闭区域，$P(x,y)$、$Q(x,y)$ 在 $D$ 上有连续的一阶偏导数。
结论：
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
其中 $L$ 取正向（逆时针方向）。
正向规定：
应用：
（1）计算曲线积分：
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
（2）计算面积：
取 $P=-y$，$Q=x$，则
$$ S_D=\frac12\oint_L xdy-ydx $$
（3）简化计算：
若 $\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，则
$$ \oint_L Pdx+Qdy=0 $$
定义：
若对于区域 $G$ 内任意两点 $A$、$B$，以及 $G$ 内任意两条从 $A$ 到 $B$ 的路径 $L_1$、$L_2$，都有
$$ \int_{L_1}Pdx+Qdy=\int_{L_2}Pdx+Qdy $$
则称曲线积分在 $G$ 内与路径无关。
等价条件：
设 $P$、$Q$ 在单连通区域 $G$ 内有连续的一阶偏导数，则以下四个条件等价：
（1）曲线积分与路径无关：
$$ \int_L Pdx+Qdy $$
在 $G$ 内与路径无关。
（2）沿任意闭曲线的积分为零：
$$ \oint_C Pdx+Qdy=0 $$
对 $G$ 内任意闭曲线 $C$ 成立。
（3）偏导数相等：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
在 $G$ 内处处成立。
（4）存在原函数：
存在可微函数 $u(x,y)$，使得
$$ du=Pdx+Qdy $$
即：
$$ \frac{\partial u}{\partial x}=P,\quad \frac{\partial u}{\partial y}=Q $$
原函数求法：
$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t)dt $$
或：
$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y)dt+\int_{y_0}^y Q(x_0,t)dt $$
全微分求积公式：
若
$$ du=Pdx+Qdy $$
则
$$ \int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}Pdx+Qdy =u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0) $$
平面曲线：
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds $$
其中 $\cos\alpha$、$\cos\beta$ 是有向曲线 $L$ 的切向量的方向余弦。
空间曲线：
$$ \int_L Pdx+Qdy+Rdz =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)ds $$
（1）圆周上的积分：
若 $L$ 为 $x^2+y^2=a^2$，取正向，则
$$ \oint_L xdy-ydx=2\pi a^2 $$
$$ \oint_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=2\pi $$
（2）椭圆上的积分：
若 $L$ 为 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，取正向，则
$$ \oint_L xdy-ydx=2\pi ab $$
（3）格林公式典型应用：
$$ \oint_L xdy=\iint_D 1dxdy=S_D $$
$$ \oint_L ydx=-\iint_D 1dxdy=-S_D $$
注意：
注意：
例1
计算
$$ \int_L (x+y)ds $$
其中 $L$ 为连接 $(0,0)$ 与 $(1,1)$ 的直线段。
解：
直线方程：
$$ y=x,\quad 0\le x\le1 $$
$$ ds=\sqrt{1+(y')^2}dx=\sqrt{1+1}dx=\sqrt2dx $$
所以：
$$ \int_L (x+y)ds =\int_0^1(x+x)\sqrt2dx =2\sqrt2\int_0^1xdx =2\sqrt2\cdot\frac12 =\sqrt2 $$
例2
计算
$$ \int_L (x^2+y^2)ds $$
其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$。
解：
参数方程：
$$ x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ ds=\sqrt{(-a\sin t)^2+(a\cos t)^2}dt=adt $$
所以：
$$ \int_L (x^2+y^2)ds =\int_0^{2\pi}a^2\cdot adt =a^3\cdot2\pi =2\pi a^3 $$
例3
计算
$$ \int_L zds $$
其中 $L$ 为螺旋线
$$ x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=t,\quad 0\le t\le2\pi $$
解：
$$ ds=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2+1}dt =\sqrt{1+1}dt=\sqrt2dt $$
所以：
$$ \int_L zds =\int_0^{2\pi}t\sqrt2dt =\sqrt2\cdot\frac{t^2}{2}\Big|_0^{2\pi} =\sqrt2\cdot2\pi^2 =2\sqrt2\pi^2 $$
例4
计算
$$ \int_L \sqrt{x^2+y^2}ds $$
其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=2x$。
解：
圆 $x^2+y^2=2x$ 即
$$ (x-1)^2+y^2=1 $$
参数方程：
$$ x=1+\cos t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ ds=\sqrt{(-\sin t)^2+(\cos t)^2}dt=dt $$
$$ \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2x}=\sqrt{2(1+\cos t)} =2\left|\cos\frac t2\right| $$
所以：
$$ \int_L \sqrt{x^2+y^2}ds =\int_0^{2\pi}2\left|\cos\frac t2\right|dt $$
令 $u=\frac t2$，$dt=2du$：
$$ =4\int_0^\pi|\cos u|du =4\cdot2\int_0^{\frac\pi2}\cos udu =8 $$
例5
计算
$$ \int_L xdy+ydx $$
其中 $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段。
解：
直线方程：
$$ y=x,\quad x\text{ 从 }0\text{ 到 }1 $$
$$ dy=dx $$
所以：
$$ \int_L xdy+ydx =\int_0^1(x+x)dx =2\int_0^1xdx =1 $$
例6
计算
$$ \int_L xdy-ydx $$
其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$，取正向。
解：
参数方程：
$$ x=a\cos t,\quad y=a\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ dx=-a\sin tdt,\quad dy=a\cos tdt $$
$$ xdy-ydx =a\cos t\cdot a\cos tdt-a\sin t\cdot(-a\sin t)dt $$
$$ =a^2(\cos^2t+\sin^2t)dt=a^2dt $$
所以：
$$ \int_L xdy-ydx =\int_0^{2\pi}a^2dt =2\pi a^2 $$
例7
计算
$$ \int_L (x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy $$
其中 $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的直线段。
解：
$$ y=x,\quad dy=dx $$
$$ \int_L (x^2+y^2)dx+(x^2-y^2)dy =\int_0^1[(x^2+x^2)+(x^2-x^2)]dx $$
$$ =\int_0^12x^2dx =\frac23 $$
例8
计算
$$ \int_L ydx+xdy $$
其中 $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的路径：
（1）直线 $y=x$；
（2）抛物线 $y=x^2$。
解：
（1）直线 $y=x$：
$$ \int_L ydx+xdy =\int_0^1(x+x)dx =1 $$
（2）抛物线 $y=x^2$：
$$ dy=2xdx $$
$$ \int_L ydx+xdy =\int_0^1[x^2+x\cdot2x]dx =\int_0^13x^2dx =1 $$
两者相等，说明该积分与路径无关。
例9
计算
$$ \oint_L (x+y)dx-(x-y)dy $$
其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$，取正向。
解：
$$ P=x+y,\quad Q=-(x-y)=y-x $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=-1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=1 $$
由格林公式：
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
$$ =\iint_D(-1-1)dxdy =-2\iint_D dxdy =-2\pi a^2 $$
例10
计算
$$ \oint_L (e^x\sin y-y)dx+(e^x\cos y-1)dy $$
其中 $L$ 为上半圆周 $x^2+y^2=2x$ 从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$ 再沿 $x$ 轴回到 $(0,0)$，取正向。
解：
$$ P=e^x\sin y-y $$
$$ Q=e^x\cos y-1 $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y-1 $$
由格林公式：
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D(e^x\cos y-(e^x\cos y-1))dxdy $$
$$ =\iint_D 1dxdy =S_D $$
区域 $D$ 为上半圆 $x^2+y^2\le2x$，$y\ge0$。
$$ S_D=\frac12\pi\cdot1^2=\frac\pi2 $$
所以：
$$ \oint_L Pdx+Qdy=\frac\pi2 $$
例11
计算
$$ \oint_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$
其中 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$，取正向。
解：
$$ P=-\frac{y}{x^2+y^2},\quad Q=\frac{x}{x^2+y^2} $$
计算偏导数：
$$ \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{-(x^2+y^2)+y\cdot2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{(x^2+y^2)-x\cdot2x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $$
所以：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
但在原点处有奇点，不能直接使用格林公式。
直接计算：
参数方程：
$$ x=a\cos t,\quad y=a\sin t $$
$$ xdy-ydx=a^2dt $$
$$ \oint_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} =\int_0^{2\pi}\frac{a^2}{a^2}dt =2\pi $$
例12
计算
$$ \oint_L (2xy-x^2)dx+(x+y^2)dy $$
其中 $L$ 为抛物线 $y=x^2$ 与直线 $y=1$ 围成的区域边界，取正向。
解：
$$ P=2xy-x^2,\quad Q=x+y^2 $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2x $$
由格林公式：
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D(1-2x)dxdy $$
区域 $D$ 由 $y=x^2$、$y=1$ 围成：
$$ D={(x,y)\mid -1\le x\le1,\ x^2\le y\le1} $$
$$ \iint_D(1-2x)dxdy =\int_{-1}^1dx\int_{x^2}^1(1-2x)dy $$
$$ =\int_{-1}^1(1-2x)(1-x^2)dx $$
由对称性，$2x(1-x^2)$ 为奇函数，积分为 $0$。
$$ =\int_{-1}^1(1-x^2)dx =2\int_0^1(1-x^2)dx =2\left(1-\frac13\right) =\frac43 $$
所以：
$$ \oint_L Pdx+Qdy=\frac43 $$
例13
验证
$$ (2x+y)dx+(x+2y)dy $$
是全微分，并求原函数。
解：
$$ P=2x+y,\quad Q=x+2y $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=1 $$
所以：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
因此是全微分。
求原函数：
$$ u(x,y)=\int_0^x P(t,0)dt+\int_0^y Q(x,t)dt $$
$$ =\int_0^x 2tdt+\int_0^y(x+2t)dt $$
$$ =x^2+xy+y^2 $$
所以：
$$ du=(2x+y)dx+(x+2y)dy $$
例14
计算
$$ \int_{(0,0)}^{(1,1)}(2x+y)dx+(x+2y)dy $$
解：
由例13，原函数为：
$$ u=x^2+xy+y^2 $$
所以：
$$ \int_{(0,0)}^{(1,1)} =u(1,1)-u(0,0) =1+1+1-0=3 $$
例15
验证
$$ \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$
在除去原点的区域上不是全微分。
解：
$$ P=-\frac{y}{x^2+y^2},\quad Q=\frac{x}{x^2+y^2} $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2)^2} $$
偏导数相等，但区域不是单连通的（除去原点）。
绕原点的闭曲线积分：
$$ \oint_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=2\pi\neq0 $$
所以不是全微分。
例16
计算
$$ \int_{(0,1)}^{(1,2)}(x^2+2xy)dx+(x^2+y)dy $$
解：
$$ P=x^2+2xy,\quad Q=x^2+y $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x $$
所以积分与路径无关。
选择路径：先水平后竖直。
水平：$y=1$，$x$ 从 $0$ 到 $1$，$dy=0$：
$$ \int_0^1(x^2+2x)dx =\frac13+1=\frac43 $$
竖直：$x=1$，$y$ 从 $1$ 到 $2$，$dx=0$：
$$ \int_1^2(1+y)dy =\left(y+\frac{y^2}{2}\right)\Big|_1^2 =(2+2)-\left(1+\frac12\right) =4-\frac32 =\frac52 $$
所以：
$$ \int_{(0,1)}^{(1,2)} =\frac43+\frac52 =\frac{8+15}{6} =\frac{23}{6} $$
例17
计算
$$ \int_L (e^x\sin y-y)dx+(e^x\cos y-1)dy $$
其中 $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(2,0)$ 的上半圆周 $x^2+y^2=2x$。
解：
补线：从 $(2,0)$ 沿 $x$ 轴到 $(0,0)$，记为 $L_1$。
则 $L+L_1$ 为闭曲线，取正向。
由格林公式：
$$ \oint_{L+L_1}Pdx+Qdy =\iint_D 1dxdy =S_D =\frac\pi2 $$
计算 $L_1$ 上的积分：
$L_1$：$y=0$，$x$ 从 $2$ 到 $0$，$dy=0$。
$$ \int_{L_1}Pdx+Qdy =\int_2^0(e^x\sin0-0)dx =0 $$
所以：
$$ \int_L Pdx+Qdy =\frac\pi2-0 =\frac\pi2 $$
例18
计算
$$ \int_L (x^2-y)dx+(x+y^2)dy $$
其中 $L$ 为从 $(0,0)$ 到 $(1,1)$ 的圆弧 $x^2+y^2=1$ 在第一象限的部分。
解：
补线：从 $(1,1)$ 到 $(0,0)$ 的直线段，记为 $L_1$。
则 $L+L_1$ 为闭曲线。
由格林公式：
$$ \oint_{L+L_1}Pdx+Qdy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
$$ P=x^2-y,\quad Q=x+y^2 $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=-1 $$
$$ \oint_{L+L_1}Pdx+Qdy =\iint_D 2dxdy =2S_D $$
区域 $D$ 为扇形，面积：
$$ S_D=\frac14\pi\cdot1^2=\frac\pi4 $$
所以：
$$ \oint_{L+L_1}Pdx+Qdy =\frac\pi2 $$
计算 $L_1$ 上的积分：
$L_1$：$y=x$，$x$ 从 $1$ 到 $0$，$dy=dx$。
$$ \int_{L_1}Pdx+Qdy =\int_1^0[(x^2-x)+(x+x^2)]dx $$
$$ =\int_1^0 2x^2dx =-\frac23 $$
所以：
$$ \int_L Pdx+Qdy =\frac\pi2-\left(-\frac23\right) =\frac\pi2+\frac23 $$
例19
用曲线积分求椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 的面积。
解：
参数方程：
$$ x=a\cos t,\quad y=b\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ S=\frac12\oint_L xdy-ydx $$
$$ xdy-ydx =a\cos t\cdot b\cos tdt-b\sin t\cdot(-a\sin t)dt $$
$$ =ab(\cos^2t+\sin^2t)dt=abdt $$
所以：
$$ S=\frac12\int_0^{2\pi}abdt =\frac12\cdot ab\cdot2\pi =\pi ab $$
例20
用曲线积分求圆 $x^2+y^2=2x$ 的面积。
解：
参数方程：
$$ x=1+\cos t,\quad y=\sin t,\quad 0\le t\le2\pi $$
$$ S=\frac12\oint_L xdy-ydx $$
$$ xdy-ydx =(1+\cos t)\cos tdt-\sin t\cdot(-\sin t)dt $$
$$ =(\cos t+\cos^2t+\sin^2t)dt =(1+\cos t)dt $$
所以：
$$ S=\frac12\int_0^{2\pi}(1+\cos t)dt =\frac12\cdot2\pi =\pi $$
例21
计算
$$ \int_L ydx+zdy+xdz $$
其中 $L$ 为螺旋线
$$ x=\cos t,\quad y=\sin t,\quad z=t,\quad 0\le t\le2\pi $$
解：
$$ dx=-\sin tdt,\quad dy=\cos tdt,\quad dz=dt $$
$$ ydx+zdy+xdz =\sin t\cdot(-\sin t)dt+t\cos tdt+\cos tdt $$
$$ =-\sin^2tdt+t\cos tdt+\cos tdt $$
所以：
$$ \int_L ydx+zdy+xdz =\int_0^{2\pi}(-\sin^2t+t\cos t+\cos t)dt $$
分别计算：
$$ \int_0^{2\pi}\sin^2tdt=\pi $$
$$ \int_0^{2\pi}t\cos tdt =t\sin t\Big|_0^{2\pi}-\int_0^{2\pi}\sin tdt =0 $$
$$ \int_0^{2\pi}\cos tdt=0 $$
所以：
$$ \int_L ydx+zdy+xdz=-\pi $$
例22
计算
$$ \int_L xdx+ydy+zdz $$
其中 $L$ 为从 $(0,0,0)$ 到 $(1,1,1)$ 的直线段。
解：
参数方程：
$$ x=t,\quad y=t,\quad z=t,\quad 0\le t\le1 $$
$$ dx=dy=dz=dt $$
$$ \int_L xdx+ydy+zdz =\int_0^1(t+t+t)dt =3\int_0^1tdt =\frac32 $$
例23
设 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$，取正向，求
$$ \oint_L (x+y)ds $$
解：
由对称性：
$$ \oint_L xds=\oint_L yds=0 $$
所以：
$$ \oint_L (x+y)ds=0 $$
例24
设 $L$ 为圆 $x^2+y^2=a^2$，取正向，求
$$ \oint_L xdy $$
解：
由格林公式：
$$ \oint_L xdy=\iint_D 1dxdy=\pi a^2 $$
例25
设 $f(x)$ 可导，且
$$ \int_L f(x)dx+x^2f(x)dy $$
与路径无关，求 $f(x)$。
解：
$$ P=f(x),\quad Q=x^2f(x) $$
路径无关条件：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
$$ 2xf(x)+x^2f'(x)=0 $$
即：
$$ x^2f'(x)+2xf(x)=0 $$
$$ (x^2f(x))'=0 $$
所以：
$$ x^2f(x)=C $$
$$ f(x)=\frac{C}{x^2} $$
例26
设
$$ \vec{F}=(2xy,x^2+3y^2) $$
判断 $\vec{F}$ 是否为梯度场。
解：
$$ P=2xy,\quad Q=x^2+3y^2 $$
$$ \frac{\partial P}{\partial y}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=2x $$
所以：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
$\vec{F}$ 是梯度场。
求原函数：
$$ u(x,y)=\int_0^xP(t,0)dt+\int_0^yQ(x,t)dt $$
$$ =\int_0^x0dt+\int_0^y(x^2+3t^2)dt $$
$$ =x^2y+y^3 $$
所以：
$$ \vec{F}=\nabla u $$
$$ \int_L fds=\int_{-L}fds $$
第一类曲线积分与方向无关。
$$ \int_{-L}Pdx+Qdy=-\int_L Pdx+Qdy $$
第二类曲线积分与方向有关。
格林公式要求 $L$ 取正向：
使用格林公式前，必须验证：
若 $P$、$Q$ 在 $D$ 内有奇点，不能直接使用格林公式。
例如：
$$ \oint_L \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$
在原点有奇点，不能直接用格林公式。
路径无关要求：
两者缺一不可。
$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t)dt $$
或：
$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y)dt+\int_{y_0}^y Q(x_0,t)dt $$
$$ ds=\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
不要漏掉根号。
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_\alpha^\beta[P\varphi'+Q\psi']dt $$
注意 $dx=\varphi'dt$，$dy=\psi'dt$。
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
注意是 $Q$ 对 $x$ 减 $P$ 对 $y$。
选择路径时，通常选择平行于坐标轴的折线，计算最简单。
补线后，原积分 = 闭曲线积分 - 补线积分。
$$ ds=\sqrt{[\varphi']^2+[\psi']^2+[\omega']^2}dt $$
常见形式：
$$ \int_L f(x,y)ds $$
其中 $L$ 为直线、圆、抛物线等。
处理方法：
常见形式：
$$ \int_L Pdx+Qdy $$
其中 $L$ 为有向曲线。
处理方法：
常见形式：
$$ \oint_L Pdx+Qdy $$
其中 $L$ 为闭曲线。
处理方法：
常见形式：
$$ \int_L Pdx+Qdy $$
其中 $L$ 不是闭曲线。
处理方法：
常见形式：
$$ \int_L Pdx+Qdy $$
与路径无关。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ S=\frac12\oint_L xdy-ydx $$
常见形式：
$$ \int_L Pdx+Qdy+Rdz $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
第一类曲线积分：
$$ \int_L fds $$
与方向无关。
第二类曲线积分：
$$ \int_L Pdx+Qdy $$
与方向有关。
第一类曲线积分计算：
参数方程：
$$ \int_L fds =\int_\alpha^\beta f\sqrt{[\varphi']^2+[\psi']^2}dt $$
直角坐标：
$$ \int_L fds =\int_a^b f\sqrt{1+[y']^2}dx $$
第二类曲线积分计算：
参数方程：
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_\alpha^\beta[P\varphi'+Q\psi']dt $$
格林公式：
$$ \oint_L Pdx+Qdy =\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
格林公式求面积：
$$ S_D=\frac12\oint_L xdy-ydx $$
路径无关等价条件：
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y} $$
在单连通区域内处处成立。
原函数：
$$ u(x,y)=\int_{x_0}^x P(t,y_0)dt+\int_{y_0}^y Q(x,t)dt $$
全微分求积：
$$ \int_{(x_0,y_0)}^{(x_1,y_1)}Pdx+Qdy =u(x_1,y_1)-u(x_0,y_0) $$
两类曲线积分关系：
$$ \int_L Pdx+Qdy =\int_L(P\cos\alpha+Q\cos\beta)ds $$
常用结论：
$$ \oint_{x^2+y^2=a^2} xdy-ydx=2\pi a^2 $$
$$ \oint_{x^2+y^2=a^2} \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2}=2\pi $$
$$ \oint_{\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1} xdy-ydx=2\pi ab $$
口诀：
第一类曲线积分，与方向无关；
第二类曲线积分，与方向有关；
格林公式闭曲线，正向区域在左；
路径无关单连通，偏导相等是全微分；
补线之后用格林，减去补线别忘记。
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