适用：数一
地位：多元微分学的几何应用，直接支撑场论、曲面积分、高斯公式
核心任务：理解方向导数定义，掌握梯度计算，掌握方向导数与梯度的关系
设函数 $f(x,y,z)$ 在点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ 的某个邻域内有定义，$\vec{l}$ 是一个方向向量。若极限
$$ \left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{P_0} =\lim_{t\to0^+}\frac{f(P_0+t\vec{e}_l)-f(P_0)}{t} $$
存在，则称该极限为 $f$ 在点 $P_0$ 沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数。
其中 $\vec{e}_l$ 是 $\vec{l}$ 的单位向量。
注意：
（1）二元函数：
设 $f(x,y)$ 在点 $(x_0,y_0)$ 处可微，方向 $\vec{l}$ 的单位向量为
$$ \vec{e}_l=(\cos\alpha,\cos\beta) $$
其中 $\alpha$、$\beta$ 为方向角，则
$$ \left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(x_0,y_0)} =f_x(x_0,y_0)\cos\alpha+f_y(x_0,y_0)\cos\beta $$
（2）三元函数：
设 $f(x,y,z)$ 在点 $(x_0,y_0,z_0)$ 处可微，方向 $\vec{l}$ 的单位向量为
$$ \vec{e}_l=(\cos\alpha,\cos\beta,\cos\gamma) $$
则
$$ \left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{(x_0,y_0,z_0)} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma $$
（3）方向余弦：
若方向 $\vec{l}=(a,b,c)$，则单位向量为：
$$ \vec{e}_l=\frac{\vec{l}}{|\vec{l}|} =\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}},\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\right) $$
设函数 $f(x,y,z)$ 在点 $P_0$ 处可偏导，则称向量
$$ \nabla f(P_0)=(f_x(P_0),f_y(P_0),f_z(P_0)) $$
为 $f$ 在点 $P_0$ 处的梯度，记作
$$ \text{grad}\,f(P_0)=\nabla f(P_0) $$
二元函数：
$$ \nabla f(x,y)=(f_x(x,y),f_y(x,y)) $$
三元函数：
$$ \nabla f(x,y,z)=(f_x,f_y,f_z) $$
梯度算子：
$$ \nabla=\left(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z}\right) $$
$$ \left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{P_0} =\nabla f(P_0)\cdot\vec{e}_l $$
即方向导数等于梯度与方向单位向量的内积。
重要结论：
（1）梯度方向是方向导数最大的方向：
$$ \max_{\vec{e}_l}\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =|\nabla f(P_0)| $$
当 $\vec{e}_l$ 与 $\nabla f(P_0)$ 同向时取得。
（2）负梯度方向是方向导数最小的方向：
$$ \min_{\vec{e}_l}\frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =-|\nabla f(P_0)| $$
当 $\vec{e}_l$ 与 $\nabla f(P_0)$ 反向时取得。
（3）垂直于梯度方向的方向导数为零：
当 $\vec{e}_l\perp\nabla f(P_0)$ 时，
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=0 $$
（4）梯度的模：
$$ |\nabla f(P_0)|=\sqrt{f_x^2+f_y^2+f_z^2} $$
（1）梯度方向是函数增长最快的方向；
（2）梯度的模是最大方向导数的值；
（3）梯度垂直于等值面（或等值线）：
（4）等值面法向量：
曲面 $f(x,y,z)=C$ 在点 $P_0$ 处的法向量为：
$$ \vec{n}=\nabla f(P_0) $$
设 $f$、$g$ 可微，$c$ 为常数。
（1）线性性质：
$$ \nabla(cf)=c\nabla f $$
$$ \nabla(f\pm g)=\nabla f\pm\nabla g $$
（2）乘积法则：
$$ \nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f $$
（3）商法则：
$$ \nabla\left(\frac fg\right)=\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2},\quad g\neq0 $$
（4）复合函数：
$$ \nabla F(f)=F'(f)\nabla f $$
$$ \nabla x=(1,0,0) $$
$$ \nabla y=(0,1,0) $$
$$ \nabla z=(0,0,1) $$
$$ \nabla(x^2+y^2+z^2)=(2x,2y,2z) $$
$$ \nabla\left(\frac{1}{r}\right)=-\frac{\vec{r}}{r^3} $$
其中
$$ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2},\quad \vec{r}=(x,y,z) $$
$$ \nabla r=\frac{\vec{r}}{r} $$
$$ \nabla(\ln r)=\frac{\vec{r}}{r^2} $$
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\nabla f\cdot\vec{e}_l $$
要求：
例1
设
$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$
求 $f$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,1)$ 的方向导数。
解：
第一步：求偏导数。
$$ f_x=2x,\quad f_y=2y $$
在 $(1,1)$ 处：
$$ f_x(1,1)=2,\quad f_y(1,1)=2 $$
第二步：单位化方向向量。
$$ |\vec{l}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2 $$
$$ \vec{e}_l=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right) $$
第三步：计算方向导数。
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta $$
$$ =2\cdot\frac{1}{\sqrt2}+2\cdot\frac{1}{\sqrt2} =\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2 $$
例2
设
$$ f(x,y)=xy $$
求 $f$ 在点 $(1,2)$ 处沿方向 $\vec{l}=(3,4)$ 的方向导数。
解：
第一步：求偏导数。
$$ f_x=y,\quad f_y=x $$
在 $(1,2)$ 处：
$$ f_x(1,2)=2,\quad f_y(1,2)=1 $$
第二步：单位化方向向量。
$$ |\vec{l}|=\sqrt{3^2+4^2}=5 $$
$$ \vec{e}_l=\left(\frac35,\frac45\right) $$
第三步：计算方向导数。
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =2\cdot\frac35+1\cdot\frac45 =\frac65+\frac45=2 $$
例3
设
$$ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $$
求 $f$ 在点 $(1,1,1)$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,-1,1)$ 的方向导数。
解：
第一步：求偏导数。
$$ f_x=2x,\quad f_y=2y,\quad f_z=2z $$
在 $(1,1,1)$ 处：
$$ f_x=2,\quad f_y=2,\quad f_z=2 $$
第二步：单位化方向向量。
$$ |\vec{l}|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3 $$
$$ \vec{e}_l=\left(\frac{1}{\sqrt3},-\frac{1}{\sqrt3},\frac{1}{\sqrt3}\right) $$
第三步：计算方向导数。
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =2\cdot\frac{1}{\sqrt3}+2\cdot\left(-\frac{1}{\sqrt3}\right)+2\cdot\frac{1}{\sqrt3} $$
$$ =\frac{2}{\sqrt3}=\frac{2\sqrt3}{3} $$
例4
设
$$ f(x,y)=e^{xy} $$
求 $f$ 在点 $(0,1)$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,1)$ 的方向导数。
解：
第一步：求偏导数。
$$ f_x=ye^{xy},\quad f_y=xe^{xy} $$
在 $(0,1)$ 处：
$$ f_x(0,1)=1\cdot e^0=1 $$
$$ f_y(0,1)=0\cdot e^0=0 $$
第二步：单位化方向向量。
$$ \vec{e}_l=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right) $$
第三步：计算方向导数。
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =1\cdot\frac{1}{\sqrt2}+0\cdot\frac{1}{\sqrt2} =\frac{1}{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2} $$
例5
设
$$ f(x,y)=x^2y+xy^2 $$
求 $\nabla f$。
解：
$$ f_x=2xy+y^2 $$
$$ f_y=x^2+2xy $$
所以：
$$ \nabla f=(2xy+y^2,\ x^2+2xy) $$
例6
设
$$ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $$
求 $\nabla f$。
解：
$$ \nabla f=(2x,2y,2z) $$
例7
设
$$ f(x,y,z)=\sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
求 $\nabla f$。
解：
$$ f_x=\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$
$$ f_y=\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$
$$ f_z=\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} $$
所以：
$$ \nabla f=\frac{(x,y,z)}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}} =\frac{\vec{r}}{r} $$
例8
设
$$ f(x,y)=e^{xy}\sin(x+y) $$
求 $\nabla f$。
解：
$$ f_x=ye^{xy}\sin(x+y)+e^{xy}\cos(x+y) $$
$$ =e^{xy}[y\sin(x+y)+\cos(x+y)] $$
$$ f_y=xe^{xy}\sin(x+y)+e^{xy}\cos(x+y) $$
$$ =e^{xy}[x\sin(x+y)+\cos(x+y)] $$
所以：
$$ \nabla f=e^{xy}[y\sin(x+y)+\cos(x+y),\ x\sin(x+y)+\cos(x+y)] $$
例9
设
$$ f(x,y)=x^2+y^2 $$
求 $f$ 在点 $(1,2)$ 处的梯度，并求最大方向导数。
解：
$$ \nabla f=(2x,2y) $$
在 $(1,2)$ 处：
$$ \nabla f(1,2)=(2,4) $$
最大方向导数：
$$ |\nabla f(1,2)|=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2\sqrt5 $$
最大方向导数方向为：
$$ \vec{e}=\frac{(2,4)}{2\sqrt5}=\left(\frac{1}{\sqrt5},\frac{2}{\sqrt5}\right) $$
例10
设
$$ f(x,y,z)=xyz $$
求 $f$ 在点 $(1,1,1)$ 处的梯度，并求最大方向导数。
解：
$$ \nabla f=(yz,xz,xy) $$
在 $(1,1,1)$ 处：
$$ \nabla f(1,1,1)=(1,1,1) $$
最大方向导数：
$$ |\nabla f|=\sqrt{1+1+1}=\sqrt3 $$
例11
求 $f(x,y)=x^2-y^2$ 在点 $(1,1)$ 处沿哪个方向方向导数最大？最大值是多少？
解：
$$ \nabla f=(2x,-2y) $$
在 $(1,1)$ 处：
$$ \nabla f(1,1)=(2,-2) $$
方向导数最大的方向为梯度方向：
$$ \vec{e}=\frac{(2,-2)}{\sqrt{4+4}}=\left(\frac{1}{\sqrt2},-\frac{1}{\sqrt2}\right) $$
最大值：
$$ |\nabla f|=\sqrt{4+4}=2\sqrt2 $$
例12
求曲面
$$ x^2+y^2+z^2=3 $$
在点 $(1,1,1)$ 处的法向量。
解：
令
$$ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $$
则：
$$ \nabla f=(2x,2y,2z) $$
在 $(1,1,1)$ 处：
$$ \nabla f(1,1,1)=(2,2,2) $$
所以法向量为：
$$ \vec{n}=(2,2,2) $$
即：
$$ \vec{n}=(1,1,1) $$
例13
求曲面
$$ z=x^2+y^2 $$
在点 $(1,1,2)$ 处的法向量。
解：
令
$$ f(x,y,z)=x^2+y^2-z $$
则：
$$ \nabla f=(2x,2y,-1) $$
在 $(1,1,2)$ 处：
$$ \nabla f(1,1,2)=(2,2,-1) $$
所以法向量为：
$$ \vec{n}=(2,2,-1) $$
例14
求曲面
$$ e^z-xyz=0 $$
在点 $(1,1,0)$ 处的切平面方程。
解：
令
$$ F(x,y,z)=e^z-xyz $$
则：
$$ \nabla F=(F_x,F_y,F_z)=(-yz,-xz,e^z-xy) $$
在 $(1,1,0)$ 处：
$$ F_x=-1,\quad F_y=-1,\quad F_z=1-1=0 $$
所以法向量为：
$$ \vec{n}=(-1,-1,0) $$
切平面方程：
$$ -1(x-1)-1(y-1)+0(z-0)=0 $$
即：
$$ x+y=2 $$
例15
设
$$ f(x,y)=x^2+2y^2 $$
求 $f$ 在点 $(1,1)$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,1)$ 的方向导数。
解：
方法一：用方向导数公式。
$$ f_x=2x,\quad f_y=4y $$
在 $(1,1)$ 处：
$$ f_x=2,\quad f_y=4 $$
$$ \vec{e}_l=\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right) $$
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =2\cdot\frac{1}{\sqrt2}+4\cdot\frac{1}{\sqrt2} =\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2 $$
方法二：用梯度。
$$ \nabla f(1,1)=(2,4) $$
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =\nabla f\cdot\vec{e}_l =(2,4)\cdot\left(\frac{1}{\sqrt2},\frac{1}{\sqrt2}\right) =\frac{6}{\sqrt2}=3\sqrt2 $$
例16
设
$$ f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2 $$
求 $f$ 在点 $(1,2,2)$ 处沿方向 $\vec{l}=(1,2,2)$ 的方向导数。
解：
$$ \nabla f=(2x,2y,2z) $$
在 $(1,2,2)$ 处：
$$ \nabla f=(2,4,4) $$
$$ |\vec{l}|=\sqrt{1+4+4}=3 $$
$$ \vec{e}_l=\left(\frac13,\frac23,\frac23\right) $$
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =(2,4,4)\cdot\left(\frac13,\frac23,\frac23\right) $$
$$ =\frac23+\frac83+\frac83 =\frac{18}{3}=6 $$
例17
设
$$ f(x,y)=x^2-y^2 $$
求 $f$ 在点 $(2,1)$ 处方向导数的最大值和最小值。
解：
$$ \nabla f=(2x,-2y) $$
在 $(2,1)$ 处：
$$ \nabla f(2,1)=(4,-2) $$
最大方向导数：
$$ |\nabla f|=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}=2\sqrt5 $$
最小方向导数：
$$ -|\nabla f|=-2\sqrt5 $$
例18
设
$$ f(x,y,z)=x+y+z $$
求 $f$ 在点 $(1,1,1)$ 处方向导数的最大值。
解：
$$ \nabla f=(1,1,1) $$
$$ |\nabla f|=\sqrt{3} $$
所以最大方向导数为：
$$ \sqrt3 $$
例19
设
$$ f(x,y)=x^2y $$
求 $\nabla f$ 在点 $(1,2)$ 处的值。
解：
$$ \nabla f=(2xy,x^2) $$
在 $(1,2)$ 处：
$$ \nabla f(1,2)=(4,1) $$
例20
设
$$ f(x,y,z)=\ln(x^2+y^2+z^2) $$
求 $\nabla f$。
解：
$$ f_x=\frac{2x}{x^2+y^2+z^2} $$
$$ f_y=\frac{2y}{x^2+y^2+z^2} $$
$$ f_z=\frac{2z}{x^2+y^2+z^2} $$
所以：
$$ \nabla f=\frac{2(x,y,z)}{x^2+y^2+z^2} $$
例21
设
$$ \vec{r}=(x,y,z),\quad r=|\vec{r}| $$
求 $\nabla r$。
解：
$$ r=\sqrt{x^2+y^2+z^2} $$
$$ \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r} $$
同理：
$$ \frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{r},\quad \frac{\partial r}{\partial z}=\frac{z}{r} $$
所以：
$$ \nabla r=\left(\frac xr,\frac yr,\frac zr\right)=\frac{\vec{r}}{r} $$
例22
设
$$ f=\frac{1}{r} $$
求 $\nabla f$。
解：
$$ f=r^{-1} $$
$$ \nabla f=-r^{-2}\nabla r =-\frac{1}{r^2}\cdot\frac{\vec{r}}{r} =-\frac{\vec{r}}{r^3} $$
错误：
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=f_x a+f_y b $$
其中 $\vec{l}=(a,b)$。
正确：
必须先将 $\vec{l}$ 单位化：
$$ \vec{e}_l=\frac{(a,b)}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
然后：
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=f_x\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}+f_y\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} $$
$$ f_x=\frac{\partial f}{\partial x} $$
是沿 $x$ 轴正方向的方向导数。
若
$$ \nabla f(P_0)=\vec{0} $$
则所有方向的方向导数都为 $0$，没有最大方向。
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta $$
要求 $f$ 在给定点处可微。
方向导数定义：
$$ \left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{P_0} =\lim_{t\to0^+}\frac{f(P_0+t\vec{e}_l)-f(P_0)}{t} $$
必须是 $t\to0^+$。
两者不同。
曲面 $f(x,y,z)=C$ 在点 $P_0$ 处的法向量为：
$$ \vec{n}=\nabla f(P_0) $$
最小方向导数：
$$ -|\nabla f| $$
$$ \nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f $$
不要写成 $\nabla f\cdot\nabla g$。
$$ \nabla F(f)=F'(f)\nabla f $$
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=\nabla f\cdot\vec{e}_l $$
注意是内积，结果是数。
常见形式：
$$ f(x,y) $$
在点 $(x_0,y_0)$ 处沿方向 $\vec{l}$ 的方向导数。
处理方法：
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta $$
常见形式：
$$ f(x,y,z) $$
求 $\nabla f$。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ \nabla F(P_0)\cdot((x,y,z)-P_0)=0 $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \nabla r,\quad \nabla\left(\frac1r\right) $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
方向导数定义：
$$ \left.\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}\right|_{P_0} =\lim_{t\to0^+}\frac{f(P_0+t\vec{e}_l)-f(P_0)}{t} $$
方向导数公式（二元）：
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta $$
方向导数公式（三元）：
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =f_x\cos\alpha+f_y\cos\beta+f_z\cos\gamma $$
梯度：
$$ \nabla f=(f_x,f_y,f_z) $$
方向导数与梯度关系：
$$ \frac{\partial f}{\partial \vec{l}} =\nabla f\cdot\vec{e}_l $$
最大方向导数：
$$ \max\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=|\nabla f| $$
最小方向导数：
$$ \min\frac{\partial f}{\partial \vec{l}}=-|\nabla f| $$
梯度方向：
$$ \vec{e}_{\max}=\frac{\nabla f}{|\nabla f|} $$
梯度与等值面：
$$ \vec{n}=\nabla f(P_0) $$
常用梯度：
$$ \nabla r=\frac{\vec{r}}{r} $$
$$ \nabla\left(\frac1r\right)=-\frac{\vec{r}}{r^3} $$
$$ \nabla(\ln r)=\frac{\vec{r}}{r^2} $$
梯度运算性质：
$$ \nabla(fg)=f\nabla g+g\nabla f $$
$$ \nabla\left(\frac fg\right)=\frac{g\nabla f-f\nabla g}{g^2} $$
$$ \nabla F(f)=F'(f)\nabla f $$
口诀：
方向导数先单位化，偏导乘方向余弦；
梯度方向增长快，模是最大方向导；
等值面法向量是梯度，切平面方程用点法式；
最大方向导数为模，最小方向导数为负模。
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