《考研数学核心考点公式大全》

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1 百分冲刺复习计划

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2 函数、极限与连续

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3 一元函数微分学

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4 一元函数积分学

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5 多元函数微分学

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6 多元函数积分学

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7 常微分方程

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8 行列式

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9 矩阵

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10 向量

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11 线性方程组

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12 特征值与特征向量

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13 二次型

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14 随机事件与概率

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15 随机变量及其分布

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16 数字特征

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17 数理统计

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18 附录

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适用：数一、数二、数三通用
地位：积分学的起点，直接支撑定积分、微分方程、多元积分
核心任务：熟记基本积分公式，掌握第一类换元法与第二类换元法

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一、核心公式与定义

1. 原函数与不定积分

原函数：

若在区间 $I$ 上，有

$$ F'(x)=f(x) $$

则称 $F(x)$ 为 $f(x)$ 在区间 $I$ 上的一个原函数。

原函数存在定理：

若 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，则 $f(x)$ 在 $I$ 上存在原函数。

不定积分：

$f(x)$ 的全体原函数称为 $f(x)$ 的不定积分，记作

$$ \int f(x)dx $$

即：

$$ \int f(x)dx=F(x)+C $$

其中 $F'(x)=f(x)$，$C$ 为任意常数。

基本性质：

$$ \left(\int f(x)dx\right)'=f(x) $$

$$ \int f'(x)dx=f(x)+C $$

$$ \int [f(x)\pm g(x)]dx=\int f(x)dx\pm\int g(x)dx $$

$$ \int kf(x)dx=k\int f(x)dx,\quad k\neq0 $$

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2. 基本积分公式

以下公式必须熟记：

幂函数：

$$ \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad\alpha\neq-1 $$

$$ \int \frac1x dx=\ln|x|+C $$

特别地：

$$ \int dx=x+C $$

$$ \int xdx=\frac{x^2}{2}+C $$

$$ \int x^2dx=\frac{x^3}{3}+C $$

$$ \int \frac{1}{x^2}dx=-\frac1x+C $$

$$ \int \sqrt{x}dx=\frac23x^{\frac32}+C $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x}}dx=2\sqrt{x}+C $$

指数函数：

$$ \int e^xdx=e^x+C $$

$$ \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C,\quad a>0,\ a\neq1 $$

三角函数：

$$ \int \sin xdx=-\cos x+C $$

$$ \int \cos xdx=\sin x+C $$

$$ \int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C $$

$$ \int \cot xdx=\ln|\sin x|+C $$

$$ \int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C $$

$$ \int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C $$

$$ \int \sec^2xdx=\tan x+C $$

$$ \int \csc^2xdx=-\cot x+C $$

$$ \int \sec x\tan xdx=\sec x+C $$

$$ \int \csc x\cot xdx=-\csc x+C $$

反三角函数：

$$ \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C $$

分式：

$$ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac1a\arctan\frac xa+C,\quad a>0 $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C,\quad a>0 $$

$$ \int \frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C $$

$$ \int \frac{1}{a^2-x^2}dx=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+x}{a-x}\right|+C $$

根式：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2-a^2}}dx=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C $$

$$ \int \sqrt{a^2-x^2}dx=\frac x2\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\arcsin\frac xa+C $$

双曲函数（数一了解）：

$$ \int \sinh xdx=\cosh x+C $$

$$ \int \cosh xdx=\sinh x+C $$

$$ \int \tanh xdx=\ln\cosh x+C $$

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3. 第一类换元法（凑微分法）

公式：

若

$$ \int f(u)du=F(u)+C $$

则

$$ \int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=\int f(\varphi(x))d\varphi(x)=F(\varphi(x))+C $$

核心思想：

将被积表达式凑成

$$ f(\varphi(x))d\varphi(x) $$

的形式，然后令 $u=\varphi(x)$。

常用凑微分公式：

$$ dx=\frac{1}{a}d(ax+b) $$

$$ xdx=\frac12d(x^2) $$

$$ \frac{1}{x}dx=d(\ln|x|) $$

$$ e^xdx=d(e^x) $$

$$ \sin xdx=-d(\cos x) $$

$$ \cos xdx=d(\sin x) $$

$$ \frac{1}{\cos^2x}dx=d(\tan x) $$

$$ \frac{1}{\sin^2x}dx=-d(\cot x) $$

$$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arcsin x) $$

$$ \frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x) $$

$$ \frac{1}{x^2}dx=-d\left(\frac1x\right) $$

$$ \frac{1}{2\sqrt{x}}dx=d(\sqrt{x}) $$

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4. 第二类换元法

公式：

若

$$ x=\varphi(t) $$

单调可导，且 $\varphi'(t)\neq0$，则

$$ \int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$

求出右边关于 $t$ 的原函数后，再回代 $t=\varphi^{-1}(x)$。

常用代换：

（1）根式代换：

被积函数含 $\sqrt[n]{ax+b}$ 时，令

$$ t=\sqrt[n]{ax+b} $$

即：

$$ x=\frac{t^n-b}{a} $$

（2）三角代换：

含 $\sqrt{a^2-x^2}$ 时，令

$$ x=a\sin t,\quad t\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] $$

则：

$$ \sqrt{a^2-x^2}=a\cos t $$

$$ dx=a\cos tdt $$

含 $\sqrt{a^2+x^2}$ 时，令

$$ x=a\tan t,\quad t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) $$

则：

$$ \sqrt{a^2+x^2}=a\sec t $$

$$ dx=a\sec^2tdt $$

含 $\sqrt{x^2-a^2}$ 时，令

$$ x=a\sec t,\quad t\in\left[0,\frac\pi2\right)\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right) $$

则：

$$ \sqrt{x^2-a^2}=a\tan t $$

$$ dx=a\sec t\tan tdt $$

（3）倒代换：

当分母次数高于分子次数时，令

$$ x=\frac1t $$

则：

$$ dx=-\frac{1}{t^2}dt $$

（4）根式整体代换：

含 $\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}}$ 时，令

$$ t=\sqrt{\frac{ax+b}{cx+d}} $$

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5. 常用三角恒等式

$$ \sin^2x+\cos^2x=1 $$

$$ 1+\tan^2x=\sec^2x $$

$$ 1+\cot^2x=\csc^2x $$

$$ \sin2x=2\sin x\cos x $$

$$ \cos2x=\cos^2x-\sin^2x=1-2\sin^2x=2\cos^2x-1 $$

降幂公式：

$$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} $$

$$ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} $$

万能公式：

令

$$ t=\tan\frac x2 $$

则：

$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2} $$

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} $$

$$ dx=\frac{2}{1+t^2}dt $$

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二、使用条件

1. 不定积分的使用条件

• 被积函数在积分区间上连续或有原函数；
• 不定积分结果必须加常数 $C$；
• 积分变量与微分变量一致。

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2. 第一类换元法的使用条件

• 被积函数可以写成

$$ f(\varphi(x))\varphi'(x) $$

的形式； - $\varphi(x)$ 可导； - $\int f(u)du$ 容易求出。

判断方法：

观察被积函数中是否有一个因子是另一个因子的导数。

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3. 第二类换元法的使用条件

• $x=\varphi(t)$ 单调可导；
• $\varphi'(t)\neq0$；
• 代换后积分容易求出；
• 最后必须回代原变量。

注意：

• 三角代换后，回代时通常需要画直角三角形；
• 根式代换后，回代直接代入 $t$ 的表达式。

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4. 三角代换的使用条件

根式形式	代换	回代辅助
$\sqrt{a^2-x^2}$	$x=a\sin t$	$\sin t=\frac xa$，$\cos t=\frac{\sqrt{a^2-x^2}}{a}$
$\sqrt{a^2+x^2}$	$x=a\tan t$	$\tan t=\frac xa$，$\sec t=\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{a}$
$\sqrt{x^2-a^2}$	$x=a\sec t$	$\sec t=\frac xa$，$\tan t=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}$

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5. 凑微分的使用条件

凑微分的关键是识别：

$$ g(x)dx=d(\varphi(x)) $$

即 $g(x)=\varphi'(x)$。

常见识别：

• 含 $xdx$，凑 $d(x^2)$；
• 含 $\frac{1}{x}dx$，凑 $d(\ln|x|)$；
• 含 $e^xdx$，凑 $d(e^x)$；
• 含 $\sin xdx$，凑 $-d(\cos x)$；
• 含 $\cos xdx$，凑 $d(\sin x)$。

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三、典型题型

题型1：直接套用基本积分公式

例1

$$ \int x^3dx $$

解：

$$ \int x^3dx=\frac{x^4}{4}+C $$

例2

$$ \int \frac{1}{x^2}dx $$

解：

$$ \int \frac{1}{x^2}dx=\int x^{-2}dx=\frac{x^{-1}}{-1}+C=-\frac1x+C $$

例3

$$ \int \sqrt{x}dx $$

解：

$$ \int \sqrt{x}dx=\int x^{\frac12}dx=\frac{x^{\frac32}}{\frac32}+C=\frac23x^{\frac32}+C $$

例4

$$ \int (2x+3)dx $$

解：

$$ \int (2x+3)dx=x^2+3x+C $$

例5

$$ \int \frac{1}{1+x^2}dx $$

解：

$$ \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C $$

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题型2：第一类换元法（凑微分）

例6

$$ \int (2x+1)^5dx $$

解：

令

$$ u=2x+1 $$

则

$$ du=2dx $$

$$ dx=\frac12du $$

所以：

$$ \int (2x+1)^5dx =\frac12\int u^5du =\frac12\cdot\frac{u^6}{6}+C =\frac{(2x+1)^6}{12}+C $$

例7

$$ \int e^{3x}dx $$

解：

令

$$ u=3x $$

则

$$ du=3dx $$

$$ dx=\frac13du $$

所以：

$$ \int e^{3x}dx =\frac13\int e^udu =\frac13e^{3x}+C $$

例8

$$ \int \frac{1}{2x+1}dx $$

解：

令

$$ u=2x+1 $$

则

$$ du=2dx $$

$$ dx=\frac12du $$

所以：

$$ \int \frac{1}{2x+1}dx =\frac12\int\frac1udu =\frac12\ln|2x+1|+C $$

例9

$$ \int x e^{x^2}dx $$

解：

令

$$ u=x^2 $$

则

$$ du=2xdx $$

$$ xdx=\frac12du $$

所以：

$$ \int xe^{x^2}dx =\frac12\int e^udu =\frac12e^{x^2}+C $$

例10

$$ \int \frac{x}{1+x^2}dx $$

解：

令

$$ u=1+x^2 $$

则

$$ du=2xdx $$

$$ xdx=\frac12du $$

所以：

$$ \int \frac{x}{1+x^2}dx =\frac12\int\frac1udu =\frac12\ln(1+x^2)+C $$

例11

$$ \int \sin 3xdx $$

解：

令

$$ u=3x $$

则

$$ du=3dx $$

$$ dx=\frac13du $$

所以：

$$ \int \sin 3xdx =\frac13\int\sin udu =-\frac13\cos 3x+C $$

例12

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx $$

解：

这是基本公式：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C $$

例13

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx $$

解：

令

$$ u=2x $$

则

$$ du=2dx $$

$$ dx=\frac12du $$

所以：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx =\frac12\int\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}du =\frac12\arcsin 2x+C $$

例14

$$ \int \tan xdx $$

解：

$$ \int \tan xdx=\int\frac{\sin x}{\cos x}dx $$

令

$$ u=\cos x $$

则

$$ du=-\sin xdx $$

所以：

$$ \int \tan xdx =-\int\frac1udu =-\ln|\cos x|+C $$

例15

$$ \int \frac{1}{x\ln x}dx $$

解：

令

$$ u=\ln x $$

则

$$ du=\frac1xdx $$

所以：

$$ \int \frac{1}{x\ln x}dx =\int\frac1udu =\ln|\ln x|+C $$

例16

$$ \int \frac{e^x}{1+e^x}dx $$

解：

令

$$ u=1+e^x $$

则

$$ du=e^xdx $$

所以：

$$ \int \frac{e^x}{1+e^x}dx =\int\frac1udu =\ln(1+e^x)+C $$

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题型3：第二类换元法（根式代换）

例17

$$ \int \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx $$

解：

令

$$ t=\sqrt{x} $$

则

$$ x=t^2,\quad dx=2tdt $$

所以：

$$ \int \frac{1}{1+\sqrt{x}}dx =\int\frac{2t}{1+t}dt =2\int\frac{t}{1+t}dt $$

而：

$$ \frac{t}{1+t}=1-\frac{1}{1+t} $$

所以：

$$ 2\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt =2(t-\ln|1+t|)+C $$

回代 $t=\sqrt{x}$：

$$ =2(\sqrt{x}-\ln(1+\sqrt{x}))+C $$

例18

$$ \int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}dx $$

解：

令

$$ t=\sqrt[3]{x} $$

则

$$ x=t^3,\quad dx=3t^2dt $$

所以：

$$ \int \frac{1}{1+\sqrt[3]{x}}dx =\int\frac{3t^2}{1+t}dt $$

而：

$$ \frac{3t^2}{1+t} =3\left(t-1+\frac{1}{1+t}\right) $$

所以：

$$ \int\frac{3t^2}{1+t}dt =3\left(\frac{t^2}{2}-t+\ln|1+t|\right)+C $$

回代 $t=\sqrt[3]{x}$：

$$ =3\left(\frac{x^{\frac23}}{2}-\sqrt[3]{x}+\ln|1+\sqrt[3]{x}|\right)+C $$

例19

$$ \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx $$

解：

令

$$ t=\sqrt{x} $$

则

$$ x=t^2,\quad dx=2tdt $$

所以：

$$ \int \frac{\sqrt{x}}{1+x}dx =\int\frac{t}{1+t^2}\cdot 2tdt =2\int\frac{t^2}{1+t^2}dt $$

而：

$$ \frac{t^2}{1+t^2}=1-\frac{1}{1+t^2} $$

所以：

$$ 2\int\left(1-\frac{1}{1+t^2}\right)dt =2(t-\arctan t)+C $$

回代 $t=\sqrt{x}$：

$$ =2(\sqrt{x}-\arctan\sqrt{x})+C $$

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题型4：第二类换元法（三角代换）

例20

$$ \int \sqrt{1-x^2}dx $$

解：

令

$$ x=\sin t,\quad t\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right] $$

则

$$ dx=\cos tdt $$

$$ \sqrt{1-x^2}=\cos t $$

所以：

$$ \int \sqrt{1-x^2}dx =\int\cos^2tdt $$

用降幂公式：

$$ \cos^2t=\frac{1+\cos2t}{2} $$

所以：

$$ \int\cos^2tdt =\frac12\int(1+\cos2t)dt =\frac12\left(t+\frac{\sin2t}{2}\right)+C $$

$$ =\frac t2+\frac{\sin2t}{4}+C $$

回代：

$$ t=\arcsin x $$

$$ \sin2t=2\sin t\cos t=2x\sqrt{1-x^2} $$

所以：

$$ \int \sqrt{1-x^2}dx =\frac12\arcsin x+\frac12x\sqrt{1-x^2}+C $$

例21

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx $$

解：

令

$$ x=\tan t,\quad t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right) $$

则

$$ dx=\sec^2tdt $$

$$ \sqrt{1+x^2}=\sec t $$

所以：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx =\int\frac{\sec^2t}{\sec t}dt =\int\sec tdt $$

$$ =\ln|\sec t+\tan t|+C $$

回代：

$$ \tan t=x,\quad \sec t=\sqrt{1+x^2} $$

所以：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx =\ln(x+\sqrt{1+x^2})+C $$

例22

$$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx $$

解：

令

$$ x=\tan t $$

则

$$ dx=\sec^2tdt $$

$$ \sqrt{1+x^2}=\sec t $$

所以：

$$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx =\int\frac{\sec^2t}{\tan^2t\cdot\sec t}dt =\int\frac{\sec t}{\tan^2t}dt $$

而：

$$ \frac{\sec t}{\tan^2t} =\frac{\frac{1}{\cos t}}{\frac{\sin^2t}{\cos^2t}} =\frac{\cos t}{\sin^2t} $$

所以：

$$ \int\frac{\cos t}{\sin^2t}dt =\int\frac{1}{\sin^2t}d(\sin t) =-\frac{1}{\sin t}+C $$

回代：

$$ \sin t=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

所以：

$$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx =-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C $$

例23

$$ \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}dx $$

解：

令

$$ x=a\sec t $$

则

$$ dx=a\sec t\tan tdt $$

$$ \sqrt{x^2-a^2}=a\tan t $$

所以：

$$ \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}dx =\int\frac{a\tan t}{a\sec t}\cdot a\sec t\tan tdt =a\int\tan^2tdt $$

而：

$$ \tan^2t=\sec^2t-1 $$

所以：

$$ a\int(\sec^2t-1)dt =a(\tan t-t)+C $$

回代：

$$ \tan t=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a},\quad t=\operatorname{arcsec}\frac xa $$

所以：

$$ \int \frac{\sqrt{x^2-a^2}}{x}dx =\sqrt{x^2-a^2}-a\operatorname{arcsec}\frac xa+C $$

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题型5：倒代换

例24

$$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx $$

解：

令

$$ x=\frac1t $$

则

$$ dx=-\frac{1}{t^2}dt $$

$$ \sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+\frac{1}{t^2}}=\frac{\sqrt{t^2+1}}{t} $$

所以：

$$ \int \frac{1}{x^2\sqrt{1+x^2}}dx =\int\frac{1}{\frac{1}{t^2}\cdot\frac{\sqrt{t^2+1}}{t}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt $$

$$ =\int\frac{t^3}{\sqrt{t^2+1}}\cdot\left(-\frac{1}{t^2}\right)dt =-\int\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt $$

令

$$ u=t^2+1 $$

则

$$ du=2tdt $$

所以：

$$ -\int\frac{t}{\sqrt{t^2+1}}dt =-\frac12\int u^{-\frac12}du =-\frac12\cdot 2u^{\frac12}+C =-\sqrt{t^2+1}+C $$

回代 $t=\frac1x$：

$$ =-\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}+C =-\frac{\sqrt{1+x^2}}{x}+C $$

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题型6：综合换元

例25

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx $$

解：

配方：

$$ x^2+2x+5=(x+1)^2+4 $$

令

$$ u=x+1 $$

则

$$ du=dx $$

所以：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx =\int\frac{1}{\sqrt{u^2+4}}du $$

用公式：

$$ \int\frac{1}{\sqrt{u^2+a^2}}du =\ln(u+\sqrt{u^2+a^2})+C $$

所以：

$$ =\ln(u+\sqrt{u^2+4})+C $$

回代 $u=x+1$：

$$ =\ln(x+1+\sqrt{x^2+2x+5})+C $$

例26

$$ \int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}dx $$

解：

分母求导：

$$ (x^2+3x+5)'=2x+3 $$

所以分子恰好是分母的导数。

令

$$ u=x^2+3x+5 $$

则

$$ du=(2x+3)dx $$

所以：

$$ \int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}dx =\int\frac1udu =\ln|x^2+3x+5|+C $$

例27

$$ \int \frac{1}{x^2+3x+5}dx $$

解：

配方：

$$ x^2+3x+5=\left(x+\frac32\right)^2+\frac{11}{4} $$

令

$$ u=x+\frac32 $$

则

$$ du=dx $$

所以：

$$ \int \frac{1}{x^2+3x+5}dx =\int\frac{1}{u^2+\frac{11}{4}}du $$

用公式：

$$ \int\frac{1}{u^2+a^2}du =\frac1a\arctan\frac ua+C $$

所以：

$$ =\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\frac{2u}{\sqrt{11}}+C $$

回代 $u=x+\frac32$：

$$ =\frac{2}{\sqrt{11}}\arctan\frac{2x+3}{\sqrt{11}}+C $$

例28

$$ \int \frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}}dx $$

解：

拆开：

$$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx+\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx $$

第一项：

令

$$ u=1-x^2 $$

则

$$ du=-2xdx $$

所以：

$$ \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}dx =-\frac12\int u^{-\frac12}du =-\sqrt{1-x^2}+C $$

第二项：

$$ \int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C $$

所以：

$$ \int \frac{x+1}{\sqrt{1-x^2}}dx =-\sqrt{1-x^2}+\arcsin x+C $$

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四、易错提醒

易错1：忘记加常数 $C$

不定积分的结果必须加常数 $C$。

错误：

$$ \int xdx=\frac{x^2}{2} $$

正确：

$$ \int xdx=\frac{x^2}{2}+C $$

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易错2：$\int \frac1x dx$ 写成 $\ln x+C$

正确：

$$ \int \frac1x dx=\ln|x|+C $$

不要漏掉绝对值。

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易错3：幂函数积分公式 $\alpha=-1$ 情形

$$ \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad\alpha\neq-1 $$

当 $\alpha=-1$ 时：

$$ \int x^{-1}dx=\ln|x|+C $$

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易错4：第一类换元法忘记换回原变量

错误：

$$ \int (2x+1)^5dx=\frac{u^6}{12}+C $$

正确：

$$ =\frac{(2x+1)^6}{12}+C $$

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易错5：凑微分时符号搞错

$$ \int \sin xdx=-\cos x+C $$

$$ \int \cos xdx=\sin x+C $$

不要混淆。

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易错6：三角代换后不回代

三角代换后，最终结果必须回代为 $x$ 的表达式。

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易错7：三角代换范围选取不当

• $x=a\sin t$：$t\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$；
• $x=a\tan t$：$t\in\left(-\frac\pi2,\frac\pi2\right)$；
• $x=a\sec t$：$t\in\left[0,\frac\pi2\right)\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$。

范围选取要保证根式开出来为正。

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易错8：根式代换后忘记换 $dx$

令 $t=\sqrt{x}$，则 $x=t^2$，$dx=2tdt$。

不要忘记 $dx$ 的替换。

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易错9：倒代换后忘记负号

令 $x=\frac1t$，则

$$ dx=-\frac{1}{t^2}dt $$

不要漏掉负号。

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易错10：万能公式代换后计算复杂

万能公式 $t=\tan\frac x2$ 适用于三角有理式，但计算量较大。

优先考虑其他方法。

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易错11：分式积分不先拆分

对于

$$ \int \frac{2x+3}{x^2+3x+5}dx $$

先看分子是否为分母的导数。

若是，直接凑微分。

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易错12：忘记验证原函数

积分完成后，可以求导验证：

$$ \left(\int f(x)dx\right)'=f(x) $$

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五、真题链接思路

真题方向1：基本积分公式

常见形式：

• 直接套用基本公式；
• 简单变形后套用公式。

处理方法：

1. 化简被积函数；
2. 套用基本积分公式；
3. 加常数 $C$。

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真题方向2：第一类换元法

常见形式：

$$ \int f(ax+b)dx $$

$$ \int f(x^n)x^{n-1}dx $$

$$ \int f(e^x)e^xdx $$

$$ \int f(\ln x)\frac1xdx $$

处理方法：

1. 识别内层函数；
2. 凑微分；
3. 换元；
4. 回代。

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真题方向3：第二类换元法

常见形式：

• 含根式的积分；
• 含 $\sqrt{a^2-x^2}$、$\sqrt{a^2+x^2}$、$\sqrt{x^2-a^2}$ 的积分。

处理方法：

1. 选择合适的代换；
2. 替换 $x$、$dx$、根式；
3. 积分；
4. 回代。

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真题方向4：三角有理式积分

常见形式：

$$ \int \sin^mx\cos^nxdx $$

处理方法：

• 若 $m$、$n$ 中有一个为奇数，用凑微分；
• 若 $m$、$n$ 均为偶数，用降幂公式；
• 若含 $\tan x$、$\sec x$，用相应公式。

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真题方向5：有理函数积分

常见形式：

$$ \int \frac{P(x)}{Q(x)}dx $$

处理方法：

1. 若为假分式，先做多项式除法；
2. 分母因式分解；
3. 部分分式分解；
4. 逐项积分。

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真题方向6：综合换元

常见形式：

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+2x+5}}dx $$

处理方法：

1. 配方；
2. 令 $u=x+a$；
3. 套用公式。

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真题方向7：分段函数积分

常见形式：

$$ f(x)= \begin{cases} g(x), & x<x_0\ h(x), & x\ge x_0 \end{cases} $$

处理方法：

1. 分段积分；
2. 利用连续性确定常数。

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六、记忆清单

不定积分定义：

$$ \int f(x)dx=F(x)+C $$

基本积分公式：

$$ \int x^\alpha dx=\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C,\quad\alpha\neq-1 $$

$$ \int \frac1x dx=\ln|x|+C $$

$$ \int e^xdx=e^x+C $$

$$ \int a^xdx=\frac{a^x}{\ln a}+C $$

$$ \int \sin xdx=-\cos x+C $$

$$ \int \cos xdx=\sin x+C $$

$$ \int \tan xdx=-\ln|\cos x|+C $$

$$ \int \cot xdx=\ln|\sin x|+C $$

$$ \int \sec xdx=\ln|\sec x+\tan x|+C $$

$$ \int \csc xdx=\ln|\csc x-\cot x|+C $$

$$ \int \sec^2xdx=\tan x+C $$

$$ \int \csc^2xdx=-\cot x+C $$

$$ \int \frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=\arcsin x+C $$

$$ \int \frac{1}{a^2+x^2}dx=\frac1a\arctan\frac xa+C $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}dx=\arcsin\frac xa+C $$

$$ \int \frac{1}{\sqrt{x^2+a^2}}dx=\ln(x+\sqrt{x^2+a^2})+C $$

第一类换元法：

$$ \int f(\varphi(x))\varphi'(x)dx=F(\varphi(x))+C $$

常用凑微分：

$$ xdx=\frac12d(x^2) $$

$$ \frac1xdx=d(\ln|x|) $$

$$ e^xdx=d(e^x) $$

$$ \sin xdx=-d(\cos x) $$

$$ \cos xdx=d(\sin x) $$

$$ \frac{1}{\cos^2x}dx=d(\tan x) $$

$$ \frac{1}{1+x^2}dx=d(\arctan x) $$

$$ \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx=d(\arcsin x) $$

第二类换元法：

$$ \int f(x)dx=\int f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$

三角代换：

$$ \sqrt{a^2-x^2}\Rightarrow x=a\sin t $$

$$ \sqrt{a^2+x^2}\Rightarrow x=a\tan t $$

$$ \sqrt{x^2-a^2}\Rightarrow x=a\sec t $$

降幂公式：

$$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} $$

$$ \cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2} $$

万能公式：

$$ t=\tan\frac x2 $$

$$ \sin x=\frac{2t}{1+t^2} $$

$$ \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2} $$

$$ dx=\frac{2}{1+t^2}dt $$

口诀：

基本公式要背熟，凑微积分看导数；
根式代换去根号，三角代换画三角；
倒代换用于高次，回代原变量不能少；
积分结果加常数，求导验证错不了。

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