适用：数一、数二、数三通用
地位：微分学的理论核心，直接支撑导数应用、不等式证明、方程根讨论、泰勒展开
核心任务：理解四大中值定理的条件与结论，掌握证明等式、不等式、根的存在性
条件：
设函数 $f(x)$ 满足：
结论：
至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f'(\xi)=0 $$
几何意义：
若曲线两端点高度相同，则曲线上至少有一点的切线水平。
注意：
三个条件缺一不可。特别是 $f(a)=f(b)$ 不能少。
条件：
设函数 $f(x)$ 满足：
结论：
至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
或写成：
$$ f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} $$
几何意义：
曲线上至少有一点的切线平行于两端点连线。
有限增量公式：
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
重要推论：
若 $f'(x)=0$ 在区间 $I$ 上恒成立，则 $f(x)$ 在 $I$ 上为常数。
若 $f'(x)=g'(x)$ 在区间 $I$ 上恒成立，则
$$ f(x)=g(x)+C $$
其中 $C$ 为常数。
条件：
设函数 $f(x)$、$g(x)$ 满足：
结论：
至少存在一点 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$
注意：
柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。当 $g(x)=x$ 时，柯西中值定理退化为拉格朗日中值定理。
条件：
设函数 $f(x)$ 在包含 $x_0$ 的某个开区间内具有 $n+1$ 阶导数。
结论：
对任意 $x$ 在该区间内，至少存在一点 $\xi$ 介于 $x_0$ 与 $x$ 之间，使得
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+R_n(x) $$
其中余项为：
$$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
称为拉格朗日型余项。
麦克劳林公式：
当 $x_0=0$ 时：
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1} $$
佩亚诺型余项：
$$ R_n(x)=o((x-x_0)^n) $$
$$ \text{泰勒中值定理} \begin{cases} n=0 & \Rightarrow \text{拉格朗日中值定理}\ g(x)=x & \Rightarrow \text{拉格朗日中值定理} \end{cases} $$
$$ \text{柯西中值定理} \begin{cases} g(x)=x & \Rightarrow \text{拉格朗日中值定理} \end{cases} $$
$$ \text{拉格朗日中值定理} \begin{cases} f(a)=f(b) & \Rightarrow \text{罗尔定理} \end{cases} $$
关系图：
$$ \text{泰勒} \supset \text{柯西} \supset \text{拉格朗日} \supset \text{罗尔} $$
（1）证明 $f'(\xi)=0$：
直接对 $f(x)$ 用罗尔定理。
（2）证明 $f'(\xi)+g'(\xi)f(\xi)=0$：
构造
$$ F(x)=f(x)e^{g(x)} $$
则
$$ F'(x)=e^{g(x)}[f'(x)+g'(x)f(x)] $$
（3）证明 $f'(\xi)+f(\xi)=0$：
构造
$$ F(x)=f(x)e^x $$
（4）证明 $f'(\xi)-f(\xi)=0$：
构造
$$ F(x)=f(x)e^{-x} $$
（5）证明 $\xi f'(\xi)+f(\xi)=0$：
构造
$$ F(x)=xf(x) $$
（6）证明 $\xi f'(\xi)-f(\xi)=0$：
构造
$$ F(x)=\frac{f(x)}{x} $$
（7）证明 $f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0$：
构造
$$ F(x)=f(x)e^{x^2} $$
（8）证明 $f'(\xi)\sin\xi+f(\xi)\cos\xi=0$：
构造
$$ F(x)=f(x)\sin x $$
（9）证明 $f'(\xi)\cos\xi-f(\xi)\sin\xi=0$：
构造
$$ F(x)=f(x)\cos x $$
（10）证明 $\frac{f'(\xi)}{f(\xi)}=\frac{g'(\xi)}{g(\xi)}$：
构造
$$ F(x)=\frac{f(x)}{g(x)} $$
拉格朗日中值定理推论：
若 $|f'(x)|\le M$，则
$$ |f(b)-f(a)|\le M|b-a| $$
重要不等式：
$$ |\sin x-\sin y|\le|x-y| $$
$$ |\arctan x-\arctan y|\le|x-y| $$
$$ |\ln x-\ln y|\le\frac{|x-y|}{\min(x,y)} $$
$$ |e^x-e^y|\le e^{\max(x,y)}|x-y| $$
必须同时满足：
三个条件缺一不可。
常见验证方式：
必须同时满足：
使用步骤：
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
必须同时满足：
注意：
$g'(x)\neq0$ 是保证分母不为零。
必须保证：
使用辅助函数法时：
例1
验证函数
$$ f(x)=x^2 $$
在区间 $[0,1]$ 上满足拉格朗日中值定理，并求 $\xi$。
解：
$f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，满足条件。
$$ f(1)-f(0)=1-0=1 $$
$$ f'(\xi)=2\xi $$
由拉格朗日中值定理：
$$ 1=2\xi\cdot(1-0) $$
所以：
$$ \xi=\frac12 $$
例2
验证函数
$$ f(x)=x^3-x $$
在区间 $[-1,1]$ 上满足罗尔定理，并求 $\xi$。
解：
$f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，在 $(-1,1)$ 内可导。
$$ f(-1)=-1+1=0 $$
$$ f(1)=1-1=0 $$
所以 $f(-1)=f(1)$，满足罗尔定理条件。
$$ f'(x)=3x^2-1 $$
令 $f'(\xi)=0$：
$$ 3\xi^2-1=0 $$
$$ \xi=\pm\frac{1}{\sqrt3} $$
两个值都在 $(-1,1)$ 内。
例3
证明：若 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$ f(0)=f(1)=0 $$
则存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f'(\xi)=0 $$
证明：
由罗尔定理，直接得证。
例4
证明：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
证明：
这是拉格朗日中值定理，直接得证。
例5
证明：若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f'(x)\neq0$，则存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) $$
证明：
这是拉格朗日中值定理的直接形式。
例6
证明方程
$$ x^3-3x+1=0 $$
在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根。
证明：
设
$$ f(x)=x^3-3x+1 $$
$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
$$ f(0)=1>0 $$
$$ f(1)=-1<0 $$
由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f(\xi)=0 $$
即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个根。
例7
证明方程
$$ x^5-5x+1=0 $$
在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根。
证明：
设
$$ f(x)=x^5-5x+1 $$
$f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。
$$ f(0)=1>0 $$
$$ f(1)=1-5+1=-3<0 $$
由零点定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f(\xi)=0 $$
即方程在 $(0,1)$ 内至少有一个根。
例8
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$ f(0)=f(1)=0 $$
证明存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f'(\xi)+f(\xi)=0 $$
证明：
构造辅助函数：
$$ F(x)=f(x)e^x $$
则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。
$$ F(0)=f(0)e^0=0 $$
$$ F(1)=f(1)e^1=0 $$
所以 $F(0)=F(1)$，由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ F'(\xi)=0 $$
而：
$$ F'(x)=f'(x)e^x+f(x)e^x=e^x[f'(x)+f(x)] $$
因为 $e^\xi\neq0$，所以：
$$ f'(\xi)+f(\xi)=0 $$
例9
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且
$$ f(a)=f(b)=0 $$
证明存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0 $$
证明：
构造辅助函数：
$$ F(x)=f(x)e^{x^2} $$
则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导。
$$ F(a)=f(a)e^{a^2}=0 $$
$$ F(b)=f(b)e^{b^2}=0 $$
由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ F'(\xi)=0 $$
而：
$$ F'(x)=f'(x)e^{x^2}+f(x)\cdot2xe^{x^2} =e^{x^2}[f'(x)+2xf(x)] $$
所以：
$$ f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0 $$
例10
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$ f(0)=f(1)=0 $$
证明存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ \xi f'(\xi)+f(\xi)=0 $$
证明：
构造辅助函数：
$$ F(x)=xf(x) $$
则 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导。
$$ F(0)=0\cdot f(0)=0 $$
$$ F(1)=1\cdot f(1)=0 $$
由罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ F'(\xi)=0 $$
而：
$$ F'(x)=f(x)+xf'(x) $$
所以：
$$ \xi f'(\xi)+f(\xi)=0 $$
例11
证明：当 $x>0$ 时，
$$ \ln(1+x)<x $$
证明：
设
$$ f(t)=\ln(1+t) $$
在 $[0,x]$ 上应用拉格朗日中值定理：
$$ f(x)-f(0)=f'(\xi)(x-0) $$
即：
$$ \ln(1+x)-\ln1=\frac{1}{1+\xi}\cdot x $$
$$ \ln(1+x)=\frac{x}{1+\xi} $$
其中 $0<\xi<x$。
因为 $\xi>0$，所以：
$$ \frac{x}{1+\xi}<x $$
因此：
$$ \ln(1+x)<x $$
例12
证明：当 $x>0$ 时，
$$ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x)<x $$
证明：
左边：
设
$$ f(t)=\ln(1+t) $$
在 $[0,x]$ 上用拉格朗日中值定理：
$$ \ln(1+x)=\frac{x}{1+\xi} $$
其中 $0<\xi<x$。
因为 $\xi<x$，所以：
$$ \frac{x}{1+\xi}>\frac{x}{1+x} $$
所以：
$$ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x) $$
右边已由例11证明。
例13
证明：
$$ |\sin x-\sin y|\le|x-y| $$
证明：
设
$$ f(t)=\sin t $$
在 $[x,y]$ 上用拉格朗日中值定理：
$$ \sin x-\sin y=\cos\xi\cdot(x-y) $$
所以：
$$ |\sin x-\sin y|=|\cos\xi|\cdot|x-y|\le|x-y| $$
例14
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，证明存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) $$
证明：
这是拉格朗日中值定理。
例15
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f'(x)\neq0$，证明存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi) $$
证明：
取 $g(x)=x$，对 $f(x)$、$g(x)$ 用柯西中值定理：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$
即：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{f'(\xi)}{1}=f'(\xi) $$
例16
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，证明存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\frac ba $$
证明：
取
$$ g(x)=\ln x $$
则 $g(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且
$$ g'(x)=\frac1x\neq0 $$
由柯西中值定理：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{\ln b-\ln a}=\frac{f'(\xi)}{\frac1\xi} $$
即：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{\ln\frac ba}=\xi f'(\xi) $$
所以：
$$ f(b)-f(a)=\xi f'(\xi)\ln\frac ba $$
例17
证明：
$$ e^x>1+x+\frac{x^2}{2},\quad x>0 $$
证明：
设
$$ f(t)=e^t $$
在 $[0,x]$ 上用泰勒中值定理，展开到二阶：
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{e^\xi}{6}x^3 $$
其中 $0<\xi<x$。
因为 $e^\xi>0$，所以：
$$ e^x>1+x+\frac{x^2}{2} $$
例18
证明：
$$ \sin x>x-\frac{x^3}{6},\quad x>0 $$
证明：
设
$$ f(t)=\sin t $$
在 $[0,x]$ 上用泰勒中值定理，展开到三阶：
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{\sin\xi}{24}x^4 $$
其中 $0<\xi<x$。
因为 $\sin\xi$ 的符号不确定，所以这个余项不能直接判断。
改用拉格朗日余项：
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+\frac{-\cos\xi}{24}x^4 $$
由于 $-\cos\xi$ 的符号不确定，需要更精细的分析。
实际上，对于 $x>0$，有：
$$ \sin x>x-\frac{x^3}{6} $$
证明略（可用导数法）。
例19
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且
$$ f(0)=0,\quad f(1)=1 $$
证明存在 $\xi\in(0,1)$，使得
$$ f'(\xi)=1 $$
证明：
由拉格朗日中值定理：
$$ f(1)-f(0)=f'(\xi)(1-0) $$
即：
$$ 1=f'(\xi) $$
所以：
$$ f'(\xi)=1 $$
例20
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且 $f'(x)>0$，证明 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上严格单调递增。
证明：
对任意 $x_1<x_2$，在 $[x_1,x_2]$ 上用拉格朗日中值定理：
$$ f(x_2)-f(x_1)=f'(\xi)(x_2-x_1) $$
其中 $\xi\in(x_1,x_2)$。
因为 $f'(\xi)>0$，$x_2-x_1>0$，所以：
$$ f(x_2)-f(x_1)>0 $$
即：
$$ f(x_2)>f(x_1) $$
所以 $f(x)$ 严格单调递增。
使用中值定理前，必须验证：
条件不满足，不能使用。
构造辅助函数时，要使得：
$$ F'(\xi)=0 $$
即 $F'(\xi)$ 恰好等于要证明的式子。
常见构造：
使用柯西中值定理时，必须验证 $g'(x)\neq0$。
拉格朗日余项：
$$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
注意是 $(n+1)!$，不是 $n!$。
中值定理只保证存在性，不保证唯一性。
题目中若要求“至少存在一个”，用中值定理即可。
$\xi$ 必须在 $(a,b)$ 内，不能取端点。
例如：
$$ \ln(1+x)=\frac{x}{1+\xi} $$
因为 $0<\xi<x$，所以：
$$ \frac{x}{1+\xi}<\frac{x}{1}=x $$
放缩方向要正确。
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
若 $b<a$，则 $b-a<0$，公式仍然成立。
展开点 $x_0$ 通常选为：
选择不当会导致计算复杂。
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) $$
处理方法：
$$ F(x)=\int_a^x f(t)dt $$
例：
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，证明存在 $\xi\in(a,b)$，使得
$$ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) $$
证明：
设
$$ F(x)=\int_a^x f(t)dt $$
则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，且
$$ F'(x)=f(x) $$
由拉格朗日中值定理：
$$ F(b)-F(a)=F'(\xi)(b-a) $$
即：
$$ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) $$
罗尔定理：
$$ f(a)=f(b) \Rightarrow \exists\xi\in(a,b),\ f'(\xi)=0 $$
拉格朗日中值定理：
$$ f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a) $$
柯西中值定理：
$$ \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$
泰勒中值定理：
$$ f(x)=\sum_{k=0}^n\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k+\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1} $$
辅助函数构造：
$$ f'(\xi)+f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=f(x)e^x $$
$$ f'(\xi)-f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=f(x)e^{-x} $$
$$ \xi f'(\xi)+f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=xf(x) $$
$$ \xi f'(\xi)-f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=\frac{f(x)}{x} $$
$$ f'(\xi)+2\xi f(\xi)=0 \Rightarrow F(x)=f(x)e^{x^2} $$
$$ f'(\xi)\sin\xi+f(\xi)\cos\xi=0 \Rightarrow F(x)=f(x)\sin x $$
$$ f'(\xi)\cos\xi-f(\xi)\sin\xi=0 \Rightarrow F(x)=f(x)\cos x $$
重要不等式：
$$ |\sin x-\sin y|\le|x-y| $$
$$ |\arctan x-\arctan y|\le|x-y| $$
$$ \ln(1+x) < x,\quad x>0 $$
$$ \frac{x}{1+x}<\ln(1+x) < x,\quad x>0 $$
四大中值定理关系：
$$ \text{泰勒} \supset \text{柯西} \supset \text{拉格朗日} \supset \text{罗尔} $$
口诀：
罗尔端点等，拉氏连可导；
柯西两函数，泰勒高阶展；
构造辅助函数找原函数，验证条件再用定理；
证明等式找零点，证明不等式用放缩。
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