适用：数一
地位：多元积分学的高阶内容，直接支撑高斯公式、斯托克斯公式、场论
核心任务：掌握第一类曲面积分与第二类曲面积分，掌握高斯公式与斯托克斯公式
定义：
设 $\Sigma$ 是空间中一张可求面积的曲面，函数 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。将 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 块，记第 $i$ 块面积为 $\Delta S_i$，在第 $i$ 块上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式
$$ S_n=\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i $$
令 $\lambda=\max{\Delta S_i}$，若当 $\lambda\to0$ 时，$S_n$ 的极限存在，且与分法和点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 的取法无关，则称该极限为 $f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上对面积的曲面积分，记作
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS $$
即：
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS =\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i $$
几何意义：
若 $f(x,y,z)\ge0$，则
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS $$
表示以 $\Sigma$ 为底、以 $z=f(x,y,z)$ 为高的柱面面积。
物理意义：
若 $f(x,y,z)$ 表示面密度，则
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS $$
表示曲面 $\Sigma$ 的质量。
性质：
（1）与方向无关：
第一类曲面积分与曲面的侧无关。
（2）线性性质：
$$ \iint_\Sigma[\alpha f+\beta g]dS =\alpha\iint_\Sigma f dS+\beta\iint_\Sigma g dS $$
（3）可加性：
若 $\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$，则
$$ \iint_\Sigma f dS=\iint_{\Sigma_1}f dS+\iint_{\Sigma_2}f dS $$
（1）曲面由 $z=z(x,y)$ 给出：
$$ \Sigma:\ z=z(x,y),\quad (x,y)\in D_{xy} $$
则
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS =\iint_{D_{xy}}f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy $$
（2）曲面由 $x=x(y,z)$ 给出：
$$ \iint_\Sigma f dS =\iint_{D_{yz}}f(x(y,z),y,z)\sqrt{1+x_y^2+x_z^2}dydz $$
（3）曲面由 $y=y(x,z)$ 给出：
$$ \iint_\Sigma f dS =\iint_{D_{xz}}f(x,y(x,z),z)\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}dxdz $$
（4）参数方程：
$$ \Sigma:\ \vec{r}(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\quad (u,v)\in D $$
则
$$ dS=|\vec{r}_u\times\vec{r}_v|dudv $$
$$ \iint_\Sigma f dS =\iint_D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))|\vec{r}_u\times\vec{r}_v|dudv $$
定义：
设 $\Sigma$ 是空间中有向光滑曲面，函数 $P(x,y,z)$、$Q(x,y,z)$、$R(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有界。将 $\Sigma$ 任意分成 $n$ 块，记第 $i$ 块在 $yOz$、$zOx$、$xOy$ 面上的投影面积为 $(\Delta S_i){yz}$、$(\Delta S_i)$，在第 $i$ 块上任取一点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$，作和式}$、$(\Delta S_i)_{xy
$$ S_n=\sum_{i=1}^n[P(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i){yz}+Q(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)] $$}+R(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)(\Delta S_i)_{xy
令 $\lambda=\max{\Delta S_i}$，若当 $\lambda\to0$ 时，$S_n$ 的极限存在，且与分法和点 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 的取法无关，则称该极限为 $P$、$Q$、$R$ 在 $\Sigma$ 上对坐标的曲面积分，记作
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
物理意义：
若 $\vec{F}=(P,Q,R)$ 表示流速场，则
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
表示单位时间通过曲面 $\Sigma$ 的流量（通量）。
性质：
（1）与方向有关：
$$ \iint_{-\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =-\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
（2）线性性质：
$$ \iint_\Sigma(\alpha P_1+\beta P_2)dydz+\cdots =\alpha\iint_\Sigma P_1dydz+\cdots+\beta\iint_\Sigma P_2dydz+\cdots $$
（3）可加性：
若 $\Sigma=\Sigma_1+\Sigma_2$，则
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_{\Sigma_1}+\iint_{\Sigma_2} $$
（1）投影法（分面投影）：
计算 $\iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy$：
若 $\Sigma$ 由 $z=z(x,y)$ 给出，取上侧：
$$ \iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy =\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy $$
取下侧：
$$ \iint_\Sigma R(x,y,z)dxdy =-\iint_{D_{xy}}R(x,y,z(x,y))dxdy $$
同理：
$$ \iint_\Sigma P(x,y,z)dydz =\pm\iint_{D_{yz}}P(x(y,z),y,z)dydz $$
$$ \iint_\Sigma Q(x,y,z)dzdx =\pm\iint_{D_{zx}}Q(x,y(x,z),z)dzdx $$
（2）合一投影法：
若 $\Sigma$ 由 $z=z(x,y)$ 给出，取上侧，则
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_{D_{xy}}[P(-z_x)+Q(-z_y)+R]dxdy $$
即：
$$ =\iint_{D_{xy}}[-Pz_x-Qz_y+R]dxdy $$
（3）高斯公式：
条件：
设 $\Omega$ 是由分片光滑闭曲面 $\Sigma$ 围成的有界闭区域，$P$、$Q$、$R$ 在 $\Omega$ 上有连续的一阶偏导数。
结论：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV $$
其中 $\Sigma$ 取外侧。
注意：
条件：
设 $\Gamma$ 是分段光滑的空间有向闭曲线，$\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑有向曲面，$P$、$Q$、$R$ 在包含 $\Sigma$ 的某个空间区域内有连续的一阶偏导数。
结论：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
即：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz +\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy $$
方向规定：
$\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的侧符合右手法则。
向量形式：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma(\nabla\times\vec{F})\cdot d\vec{S} $$
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS $$
其中 $\cos\alpha$、$\cos\beta$、$\cos\gamma$ 是有向曲面 $\Sigma$ 的法向量的方向余弦。
法向量方向余弦：
若 $\Sigma$ 由 $z=z(x,y)$ 给出，取上侧，则
$$ \cos\alpha=\frac{-z_x}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} $$
$$ \cos\beta=\frac{-z_y}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} $$
$$ \cos\gamma=\frac{1}{\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}} $$
（1）球面面积：
$$ S=4\pi a^2 $$
（2）球面上第一类曲面积分：
若 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$，则
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS =a^2\cdot4\pi a^2 =4\pi a^4 $$
（3）高斯公式典型应用：
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =3V_\Omega $$
（4）通量与散度：
$$ \text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
$$ \oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega\text{div}\vec{F}dV $$
注意：
例1
计算
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS $$
其中 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限的部分。
解：
曲面：
$$ z=1-x-y,\quad (x,y)\in D_{xy} $$
其中
$$ D_{xy}={(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1} $$
$$ z_x=-1,\quad z_y=-1 $$
$$ dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy =\sqrt{1+1+1}dxdy =\sqrt3dxdy $$
$$ x+y+z=x+y+1-x-y=1 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS =\iint_{D_{xy}}1\cdot\sqrt3dxdy =\sqrt3\cdot S_{D_{xy}} $$
$D_{xy}$ 为直角三角形，面积：
$$ S_{D_{xy}}=\frac12 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS =\sqrt3\cdot\frac12 =\frac{\sqrt3}{2} $$
例2
计算
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
由对称性：
$$ \iint_\Sigma x^2dS=\iint_\Sigma y^2dS=\iint_\Sigma z^2dS $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2)dS =\frac23\iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS $$
在球面上：
$$ x^2+y^2+z^2=a^2 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2)dS =\frac23a^2\cdot4\pi a^2 =\frac{8\pi a^4}{3} $$
例3
计算
$$ \iint_\Sigma zdS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的上半部分。
解：
用球坐标：
$$ z=a\cos\varphi,\quad 0\le\varphi\le\frac\pi2 $$
$$ dS=a^2\sin\varphi d\varphi d\theta $$
$$ \iint_\Sigma zdS =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^{\frac\pi2}a\cos\varphi\cdot a^2\sin\varphi d\varphi $$
$$ =2\pi a^3\int_0^{\frac\pi2}\sin\varphi\cos\varphi d\varphi $$
$$ =2\pi a^3\cdot\frac12 =\pi a^3 $$
例4
计算
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
在球面上：
$$ x^2+y^2+z^2=a^2 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS =a^2\iint_\Sigma dS =a^2\cdot4\pi a^2 =4\pi a^4 $$
例5
计算
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
由对称性：
$$ \iint_\Sigma xdS=\iint_\Sigma ydS=\iint_\Sigma zdS=0 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS=0 $$
例6
计算
$$ \iint_\Sigma zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限部分的上侧。
解：
曲面：
$$ z=1-x-y $$
取上侧，投影区域：
$$ D_{xy}={(x,y)\mid x\ge0,\ y\ge0,\ x+y\le1} $$
$$ \iint_\Sigma zdxdy =\iint_{D_{xy}}(1-x-y)dxdy $$
$$ =\int_0^1dx\int_0^{1-x}(1-x-y)dy $$
先对 $y$ 积分：
$$ \int_0^{1-x}(1-x-y)dy =\left[(1-x)y-\frac{y^2}{2}\right]\Big|_0^{1-x} $$
$$ =(1-x)^2-\frac{(1-x)^2}{2} =\frac{(1-x)^2}{2} $$
再对 $x$ 积分：
$$ \int_0^1\frac{(1-x)^2}{2}dx =\frac12\cdot\frac13 =\frac16 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma zdxdy=\frac16 $$
例7
计算
$$ \iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
用高斯公式：
$$ P=x,\quad Q=y,\quad R=z $$
$$ \frac{\partial P}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=1 $$
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =\iiint_\Omega 3dV =3V_\Omega $$
球体积：
$$ V_\Omega=\frac43\pi a^3 $$
所以：
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$
例8
计算
$$ \iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为立方体 $0\le x\le1$、$0\le y\le1$、$0\le z\le1$ 的外侧。
解：
用高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot1=3 $$
例9
计算
$$ \iint_\Sigma zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的上半部分外侧。
解：
上半球面：
$$ z=\sqrt{a^2-x^2-y^2} $$
取上侧，投影区域：
$$ D_{xy}={(x,y)\mid x^2+y^2\le a^2} $$
$$ \iint_\Sigma zdxdy =\iint_{D_{xy}}\sqrt{a^2-x^2-y^2}dxdy $$
用极坐标：
$$ =\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a\sqrt{a^2-r^2}rdr $$
先对 $r$ 积分：
$$ \int_0^a r\sqrt{a^2-r^2}dr =-\frac13(a^2-r^2)^{\frac32}\Big|_0^a =\frac{a^3}{3} $$
所以：
$$ \iint_\Sigma zdxdy =2\pi\cdot\frac{a^3}{3} =\frac{2\pi a^3}{3} $$
例10
计算
$$ \oiint_\Sigma (x^3+y^3)dydz+(y^3+z^3)dzdx+(z^3+x^3)dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x^3+y^3,\quad Q=y^3+z^3,\quad R=z^3+x^3 $$
$$ \frac{\partial P}{\partial x}=3x^2 $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial y}=3y^2 $$
$$ \frac{\partial R}{\partial z}=3z^2 $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2)dV $$
用球坐标：
$$ =3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho $$
$$ =3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{a^5}{5} =\frac{12\pi a^5}{5} $$
例11
计算
$$ \oiint_\Sigma (x+y)dydz+(y+z)dzdx+(z+x)dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x+y,\quad Q=y+z,\quad R=z+x $$
$$ \frac{\partial P}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=1 $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$
例12
计算
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与平面 $z=0$ 围成的闭曲面外侧。
解：
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =3V_\Omega $$
$\Omega$ 为上半球，体积：
$$ V_\Omega=\frac12\cdot\frac43\pi a^3 =\frac23\pi a^3 $$
所以：
$$ \oiint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =3\cdot\frac23\pi a^3 =2\pi a^3 $$
例13
计算
$$ \iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 的上侧。
解：
补面：平面 $z=0$，$x^2+y^2\le a^2$，取下侧，记为 $\Sigma_1$。
则 $\Sigma+\Sigma_1$ 为闭曲面外侧。
由高斯公式：
$$ \oiint_{\Sigma+\Sigma_1}xdydz+ydzdx+zdxdy =3V_\Omega =3\cdot\frac23\pi a^3 =2\pi a^3 $$
计算 $\Sigma_1$ 上的积分：
$\Sigma_1$：$z=0$，取下侧，$dz=0$。
$$ \iint_{\Sigma_1}xdydz+ydzdx+zdxdy =\iint_{\Sigma_1}0 =0 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy =2\pi a^3 $$
例14
计算
$$ \oint_\Gamma ydx+zdy+xdz $$
其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面的交线，取正向。
解：
取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限的部分，取上侧。
$$ P=y,\quad Q=z,\quad R=x $$
$$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=0-1=-1 $$
$$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=0-1=-1 $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-1=-1 $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma(-1)dydz+(-1)dzdx+(-1)dxdy $$
$$ =-\iint_\Sigma(dydz+dzdx+dxdy) $$
转化为第一类曲面积分：
$$ =-\iint_\Sigma(\cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma)dS $$
平面 $x+y+z=1$ 的法向量：
$$ \vec{n}=(1,1,1) $$
单位法向量：
$$ \vec{e}_n=\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right) $$
所以：
$$ \cos\alpha+\cos\beta+\cos\gamma=\frac3{\sqrt3}=\sqrt3 $$
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =-\sqrt3\iint_\Sigma dS =-\sqrt3\cdot S_\Sigma $$
$\Sigma$ 为等边三角形，边长 $\sqrt2$，面积：
$$ S_\Sigma=\frac{\sqrt3}{4}(\sqrt2)^2=\frac{\sqrt3}{2} $$
所以：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =-\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =-\frac32 $$
例15
计算
$$ \oint_\Gamma (z-y)dx+(x-z)dy+(y-x)dz $$
其中 $\Gamma$ 为圆周 $x^2+y^2=1$、$z=0$，取正向。
解：
取 $\Sigma$ 为圆盘 $x^2+y^2\le1$、$z=0$，取上侧。
$$ P=z-y,\quad Q=x-z,\quad R=y-x $$
$$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=1-(-1)=2 $$
$$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=1-(-1)=2 $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2 $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma 2dydz+2dzdx+2dxdy $$
在 $\Sigma$ 上，$z=0$，法向量为 $(0,0,1)$，所以：
$$ dydz=0,\quad dzdx=0,\quad dxdy=dxdy $$
所以：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =2\iint_{D_{xy}}dxdy =2\pi $$
例16
计算
$$ \oint_\Gamma (y^2+z^2)dx+(z^2+x^2)dy+(x^2+y^2)dz $$
其中 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 与平面 $x+y+z=0$ 的交线，取正向。
解：
取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=0$ 上的圆盘 $x^2+y^2+z^2\le a^2$。
$$ P=y^2+z^2,\quad Q=z^2+x^2,\quad R=x^2+y^2 $$
$$ \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=2y-2z $$
$$ \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=2z-2x $$
$$ \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x-2y $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma(2y-2z)dydz+(2z-2x)dzdx+(2x-2y)dxdy $$
平面 $x+y+z=0$ 的法向量为 $(1,1,1)$，单位法向量：
$$ \vec{e}_n=\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right) $$
所以：
$$ \cos\alpha=\cos\beta=\cos\gamma=\frac1{\sqrt3} $$
转化为第一类曲面积分：
$$ \iint_\Sigma\left[(2y-2z)\frac1{\sqrt3}+(2z-2x)\frac1{\sqrt3}+(2x-2y)\frac1{\sqrt3}\right]dS $$
括号内：
$$ (2y-2z)+(2z-2x)+(2x-2y)=0 $$
所以：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz=0 $$
例17
计算
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
由对称性：
$$ \iint_\Sigma xdS=\iint_\Sigma ydS=\iint_\Sigma zdS=0 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS=0 $$
例18
计算
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
在球面上：
$$ x^2+y^2+z^2=a^2 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS =a^2\iint_\Sigma dS =a^2\cdot4\pi a^2 =4\pi a^4 $$
例19
计算向量场
$$ \vec{F}=(x,y,z) $$
通过球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}=3 $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$
例20
计算向量场
$$ \vec{F}=(x^2,y^2,z^2) $$
通过立方体 $0\le x\le1$、$0\le y\le1$、$0\le z\le1$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=2x+2y+2z $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\iiint_\Omega(2x+2y+2z)dV $$
$$ =2\int_0^1dx\int_0^1dy\int_0^1(x+y+z)dz $$
$$ =2\int_0^1dx\int_0^1dy\left(xy+\frac12\right) $$
$$ =2\int_0^1\left(\frac x2+\frac12\right)dx =2\cdot\frac34 =\frac32 $$
例21
计算向量场
$$ \vec{F}=(x^3,y^3,z^3) $$
通过球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 外侧的通量。
解：
$$ \text{div}\vec{F}=3x^2+3y^2+3z^2=3r^2 $$
由高斯公式：
$$ \Phi=\iiint_\Omega 3(x^2+y^2+z^2)dV $$
用球坐标：
$$ =3\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\pi d\varphi\int_0^a\rho^2\cdot\rho^2\sin\varphi d\rho $$
$$ =3\cdot2\pi\cdot2\cdot\frac{a^5}{5} =\frac{12\pi a^5}{5} $$
例22
计算
$$ \iint_\Sigma xdydz+ydzdx+zdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 在 $0\le z\le1$ 部分的下侧。
解：
补面：平面 $z=1$，$x^2+y^2\le1$，取上侧，记为 $\Sigma_1$。
则 $\Sigma+\Sigma_1$ 为闭曲面内侧。
由高斯公式：
$$ \oiint_{\Sigma+\Sigma_1}xdydz+ydzdx+zdxdy =-3V_\Omega $$
$\Omega$ 为圆锥体，体积：
$$ V_\Omega=\frac13\pi\cdot1^2\cdot1=\frac\pi3 $$
所以：
$$ \oiint_{\Sigma+\Sigma_1}=-3\cdot\frac\pi3=-\pi $$
计算 $\Sigma_1$ 上的积分：
$\Sigma_1$：$z=1$，取上侧。
$$ \iint_{\Sigma_1}xdydz+ydzdx+zdxdy =\iint_{D_{xy}}1dxdy =\pi $$
所以：
$$ \iint_\Sigma =-\pi-\pi =-2\pi $$
例23
计算
$$ \iint_\Sigma (x^3-x)dydz+(y^3-y)dzdx+(z^3-z)dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x^3-x,\quad Q=y^3-y,\quad R=z^3-z $$
$$ \text{div}\vec{F}=3x^2-1+3y^2-1+3z^2-1 =3(x^2+y^2+z^2)-3 $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega[3(x^2+y^2+z^2)-3]dV $$
$$ =3\iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)dV-3V_\Omega $$
用球坐标：
$$ \iiint_\Omega(x^2+y^2+z^2)dV =\frac{4\pi a^5}{5} $$
$$ V_\Omega=\frac43\pi a^3 $$
所以：
$$ \oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =3\cdot\frac{4\pi a^5}{5}-3\cdot\frac43\pi a^3 $$
$$ =\frac{12\pi a^5}{5}-4\pi a^3 $$
例24
计算
$$ \oint_\Gamma ydx+zdy+xdz $$
其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 与三个坐标面的交线，取正向。
解：
$$ \vec{F}=(y,z,x) $$
$$ \text{rot}\vec{F} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ y & z & x \end{vmatrix} $$
$$ =(0-1)\vec{i}+(0-1)\vec{j}+(0-1)\vec{k} =(-1,-1,-1) $$
取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限部分，取上侧。
单位法向量：
$$ \vec{e}_n=\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right) $$
由斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =\iint_\Sigma\text{rot}\vec{F}\cdot d\vec{S} $$
$$ =\iint_\Sigma(-1,-1,-1)\cdot\left(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\right)dS $$
$$ =-\frac3{\sqrt3}\iint_\Sigma dS =-\sqrt3\cdot S_\Sigma $$
$\Sigma$ 为等边三角形，边长 $\sqrt2$，面积：
$$ S_\Sigma=\frac{\sqrt3}{4}\cdot2=\frac{\sqrt3}{2} $$
所以：
$$ \oint_\Gamma \vec{F}\cdot d\vec{r} =-\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}{2} =-\frac32 $$
例25
计算
$$ \iint_\Sigma x^2dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
由轮换对称性：
$$ \iint_\Sigma x^2dS=\iint_\Sigma y^2dS=\iint_\Sigma z^2dS $$
所以：
$$ \iint_\Sigma x^2dS =\frac13\iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)dS $$
$$ =\frac13\cdot a^2\cdot4\pi a^2 =\frac{4\pi a^4}{3} $$
例26
计算
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
由轮换对称性：
$$ \iint_\Sigma x^2dS=\iint_\Sigma y^2dS=\iint_\Sigma z^2dS $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2)dS =\frac23\iint_\Sigma(x^2+y^2+z^2)dS $$
$$ =\frac23\cdot a^2\cdot4\pi a^2 =\frac{8\pi a^4}{3} $$
例27
计算
$$ \oiint_\Sigma (x+y+z)dydz+(y+z+x)dzdx+(z+x+y)dxdy $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。
解：
$$ P=x+y+z,\quad Q=y+z+x,\quad R=z+x+y $$
$$ \frac{\partial P}{\partial x}=1,\quad \frac{\partial Q}{\partial y}=1,\quad \frac{\partial R}{\partial z}=1 $$
由高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega 3dV =3\cdot\frac43\pi a^3 =4\pi a^3 $$
例28
计算
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS $$
其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$。
解：
在球面上：
$$ x^2+y^2+z^2=a^2 $$
所以：
$$ \iint_\Sigma (x^2+y^2+z^2)dS =a^2\cdot4\pi a^2 =4\pi a^4 $$
例29
设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧，计算
$$ \oiint_\Sigma (x^3+y^3)dydz+(y^3+z^3)dzdx+(z^3+x^3)dxdy $$
解：
由例10：
$$ \oiint_\Sigma (x^3+y^3)dydz+(y^3+z^3)dzdx+(z^3+x^3)dxdy =\frac{12\pi a^5}{5} $$
例30
计算
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS $$
其中 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 在第一卦限的部分。
解：
由例1：
$$ \iint_\Sigma (x+y+z)dS =\frac{\sqrt3}{2} $$
$$ \iint_\Sigma f dS=\iint_{-\Sigma}f dS $$
第一类曲面积分与方向无关。
$$ \iint_{-\Sigma}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =-\iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
第二类曲面积分与方向有关。
高斯公式要求 $\Sigma$ 取外侧。
若取内侧，结果为负。
使用高斯公式前，必须验证：
若 $P$、$Q$、$R$ 在 $\Omega$ 内有奇点，不能直接使用高斯公式。
$\Gamma$ 的方向与 $\Sigma$ 的侧符合右手法则。
$$ dS=\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy $$
不要漏掉根号。
取上侧：
$$ \iint_\Sigma Rdxdy=\iint_{D_{xy}}Rdxdy $$
取下侧：
$$ \iint_\Sigma Rdxdy=-\iint_{D_{xy}}Rdxdy $$
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_{D_{xy}}[-Pz_x-Qz_y+R]dxdy $$
注意负号。
$$ \text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
$$ \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
注意 $dydz$、$dzdx$、$dxdy$ 的顺序。
补面后，原积分 = 闭曲面积分 - 补面积分。
在球面上：
$$ dS=a^2\sin\varphi d\varphi d\theta $$
轮换对称性要求曲面关于 $x$、$y$、$z$ 轮换对称。
常见形式：
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS $$
其中 $\Sigma$ 为平面、球面、柱面等。
处理方法：
常见形式：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为有向曲面。
处理方法：
常见形式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
其中 $\Sigma$ 为闭曲面。
处理方法：
常见形式：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
其中 $\Sigma$ 不是闭曲面。
处理方法：
常见形式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz $$
其中 $\Gamma$ 为空间闭曲线。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS $$
处理方法：
常见形式：
$$ \iint_\Sigma f(x,y,z)dS $$
其中 $\Sigma$ 对称。
处理方法：
常见形式：
处理方法：
第一类曲面积分：
$$ \iint_\Sigma f dS $$
与方向无关。
第二类曲面积分：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy $$
与方向有关。
第一类曲面积分计算：
$$ \iint_\Sigma f dS =\iint_{D_{xy}}f\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy $$
第二类曲面积分计算：
$$ \iint_\Sigma Rdxdy =\pm\iint_{D_{xy}}Rdxdy $$
合一投影法：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_{D_{xy}}[-Pz_x-Qz_y+R]dxdy $$
高斯公式：
$$ \oiint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iiint_\Omega\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right)dV $$
斯托克斯公式：
$$ \oint_\Gamma Pdx+Qdy+Rdz =\iint_\Sigma \begin{vmatrix} dydz & dzdx & dxdy\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z}\ P & Q & R \end{vmatrix} $$
两类曲面积分关系：
$$ \iint_\Sigma Pdydz+Qdzdx+Rdxdy =\iint_\Sigma(P\cos\alpha+Q\cos\beta+R\cos\gamma)dS $$
通量与散度：
$$ \text{div}\vec{F}=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z} $$
$$ \oiint_\Sigma \vec{F}\cdot d\vec{S} =\iiint_\Omega\text{div}\vec{F}dV $$
常用结论：
$$ \oiint_{x^2+y^2+z^2=a^2}xdydz+ydzdx+zdxdy =4\pi a^3 $$
$$ \iint_{x^2+y^2+z^2=a^2}(x^2+y^2+z^2)dS =4\pi a^4 $$
口诀：
第一类曲面积分，与方向无关；
第二类曲面积分，与方向有关；
高斯公式闭曲面，外侧方向别搞错；
斯托克斯闭曲线，右手法则定方向；
补面之后用高斯，减去补面别忘记。
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