适用：数一、数二、数三通用
地位：极限理论的基础，直接支撑函数极限、级数、微分方程稳定性等问题
核心任务：理解数列极限的定义，掌握极限性质与存在准则，会处理递推数列极限
设 ${x_n}$ 是一个数列，$A$ 是一个常数。若对任意给定的 $\varepsilon>0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时，都有
$$ |x_n-A|<\varepsilon $$
则称数列 ${x_n}$ 收敛于 $A$，或称 $A$ 为数列 ${x_n}$ 的极限，记作
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=A $$
或
$$ x_n\to A\quad(n\to\infty) $$
若数列不收敛，则称其发散。
几何意义：
对任意 $\varepsilon>0$，数列 ${x_n}$ 中从某一项之后的所有项，都落在区间
$$ (A-\varepsilon,\ A+\varepsilon) $$
内。
等价说法：
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N\in\mathbb N_+,\ \forall n>N,\ |x_n-A|<\varepsilon $$
设 ${x_n}$、${y_n}$ 均收敛。
（1）唯一性
若 $\lim_{n\to\infty}x_n=A$，$\lim_{n\to\infty}x_n=B$，则
$$ A=B $$
即收敛数列的极限唯一。
（2）有界性
若 ${x_n}$ 收敛，则 ${x_n}$ 有界。即存在 $M>0$，使得对任意 $n$，都有
$$ |x_n|\le M $$
注意：有界不一定收敛。例如
$$ x_n=(-1)^n $$
有界，但不收敛。
（3）保号性
若 $\lim_{n\to\infty}x_n=A>0$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，有
$$ x_n>0 $$
更一般地，若 $A>0$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$x_n>\frac A2>0$。
若 $A<0$，则存在 $N$，当 $n>N$ 时，$x_n<0$。
（4）保不等式性
若存在 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，有
$$ x_n\le y_n $$
且
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=A,\quad \lim_{n\to\infty}y_n=B $$
则
$$ A\le B $$
注意：条件是 $x_n\le y_n$，结论只能是 $A\le B$，不能加强为 $A<B$。
（5）四则运算
若 $\lim_{n\to\infty}x_n=A$，$\lim_{n\to\infty}y_n=B$，则
$$ \lim_{n\to\infty}(x_n\pm y_n)=A\pm B $$
$$ \lim_{n\to\infty}(x_ny_n)=AB $$
若 $B\neq0$，则
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac AB $$
（6）夹逼性
若存在 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，有
$$ x_n\le z_n\le y_n $$
且
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=A $$
则
$$ \lim_{n\to\infty}z_n=A $$
（1）单调有界准则
若数列 ${x_n}$ 单调递增且有上界，则 ${x_n}$ 收敛。
若数列 ${x_n}$ 单调递减且有下界，则 ${x_n}$ 收敛。
即：
$$ \text{单调 + 有界} \Rightarrow \text{收敛} $$
（2）夹逼准则
若存在 $N_0$，当 $n>N_0$ 时，有
$$ x_n\le z_n\le y_n $$
且
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=A $$
则
$$ \lim_{n\to\infty}z_n=A $$
（3）柯西收敛准则
数列 ${x_n}$ 收敛的充要条件是：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$，使得当 $m,n>N$ 时，都有
$$ |x_m-x_n|<\varepsilon $$
即：
$$ {x_n}\text{ 收敛} \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall m,n>N,\ |x_m-x_n|<\varepsilon $$
子列定义：
从数列 ${x_n}$ 中按自然数顺序取出无穷多项，得到的新数列称为 ${x_n}$ 的子列，记作
$$ {x_{n_k}} $$
其中
$$ n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots $$
重要结论：
若 $\lim_{n\to\infty}x_n=A$，则 ${x_n}$ 的任意子列都收敛，且
$$ \lim_{k\to\infty}x_{n_k}=A $$
逆否命题（常用于证明发散）：
若 ${x_n}$ 有两个子列收敛于不同极限，则 ${x_n}$ 发散。
典型例子：
$$ x_n=(-1)^n $$
取子列：
$$ x_{2k}=1\to1 $$
$$ x_{2k-1}=-1\to-1 $$
两个子列极限不同，所以 ${x_n}$ 发散。
无穷小：
若
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=0 $$
则称 ${x_n}$ 为无穷小数列。
无穷大：
若对任意 $M>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，有
$$ |x_n|>M $$
则称 ${x_n}$ 为无穷大数列，记作
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\infty $$
关系：
必须同时满足：
仅单调不一定收敛。例如：
$$ x_n=n $$
单调递增，但无上界，发散。
仅有界不一定收敛。例如：
$$ x_n=(-1)^n $$
有界，但不单调，发散。
使用步骤：
必须满足：
$$ x_n\le z_n\le y_n $$
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}y_n=A $$
常见放缩技巧：
使用四则运算时，必须保证：
若出现 $\infty-\infty$、$\frac00$、$\frac\infty\infty$ 等未定式，不能直接使用四则运算。
两者方向相反，不要混淆。
例1
证明
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n=0 $$
证明：
对任意 $\varepsilon>0$，要使
$$ \left|\frac1n-0\right|=\frac1n<\varepsilon $$
只需
$$ n>\frac1\varepsilon $$
取
$$ N=\left[\frac1\varepsilon\right]+1 $$
则当 $n>N$ 时，有
$$ \frac1n<\varepsilon $$
所以
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n=0 $$
例2
证明
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1 $$
证明：
$$ \left|\frac{n}{n+1}-1\right| =\left|\frac{-1}{n+1}\right| =\frac1{n+1} $$
对任意 $\varepsilon>0$，要使
$$ \frac1{n+1}<\varepsilon $$
只需
$$ n+1>\frac1\varepsilon $$
取
$$ N=\left[\frac1\varepsilon\right]+1 $$
则当 $n>N$ 时，有
$$ \left|\frac{n}{n+1}-1\right|<\varepsilon $$
所以
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1}=1 $$
例3
求
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac1{\sqrt{n^2+1}}+\frac1{\sqrt{n^2+2}}+\cdots+\frac1{\sqrt{n^2+n}}\right) $$
解：
设
$$ S_n=\sum_{k=1}^n\frac1{\sqrt{n^2+k}} $$
对每一项放缩：
$$ \frac1{\sqrt{n^2+n}}\le \frac1{\sqrt{n^2+k}}\le \frac1{\sqrt{n^2+1}} $$
所以
$$ \frac{n}{\sqrt{n^2+n}}\le S_n\le \frac{n}{\sqrt{n^2+1}} $$
而
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+n}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1n}} =1 $$
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{n}{\sqrt{n^2+1}} =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac1{n^2}}} =1 $$
由夹逼准则：
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=1 $$
例4
求
$$ \lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2+1}+\frac2{n^2+2}+\cdots+\frac n{n^2+n}\right) $$
解：
设
$$ S_n=\sum_{k=1}^n\frac{k}{n^2+k} $$
放缩：
$$ \frac{k}{n^2+n}\le \frac{k}{n^2+k}\le \frac{k}{n^2+1} $$
所以
$$ \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+n}\le S_n\le \frac{\sum_{k=1}^n k}{n^2+1} $$
而
$$ \sum_{k=1}^n k=\frac{n(n+1)}2 $$
所以
$$ \frac{n(n+1)}{2(n^2+n)}=\frac12 $$
$$ \frac{n(n+1)}{2(n^2+1)}\to\frac12 $$
由夹逼准则：
$$ \lim_{n\to\infty}S_n=\frac12 $$
例5
设
$$ x_1=1,\quad x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} $$
求 $\lim_{n\to\infty}x_n$。
解：
第一步：证明有界。
用数学归纳法证明 $x_n<2$。
当 $n=1$ 时，$x_1=1<2$。
假设 $x_n<2$，则
$$ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}<\sqrt{2+2}=2 $$
所以 $x_n<2$ 对所有 $n$ 成立。
第二步：证明单调。
$$ x_{n+1}-x_n=\sqrt{2+x_n}-x_n $$
由于 $x_n<2$，有
$$ 2+x_n>x_n^2 \iff x_n^2-x_n-2<0 \iff (x_n-2)(x_n+1)<0 $$
因为 $x_n<2$ 且 $x_n>0$，所以
$$ x_n^2<2+x_n $$
因此
$$ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n}>x_n $$
所以 ${x_n}$ 单调递增。
第三步：求极限。
由单调有界准则，${x_n}$ 收敛。设
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=A $$
对递推式两边取极限：
$$ A=\sqrt{2+A} $$
平方：
$$ A^2=2+A $$
$$ A^2-A-2=0 $$
$$ (A-2)(A+1)=0 $$
所以
$$ A=2\quad\text{或}\quad A=-1 $$
由于 $x_n>0$，所以
$$ A=2 $$
因此
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=2 $$
例6
证明
$$ x_n=(-1)^n $$
发散。
证明：
取子列
$$ x_{2k}=1\to1 $$
$$ x_{2k-1}=-1\to-1 $$
两个子列极限不同，所以 ${x_n}$ 发散。
例7
证明
$$ x_n=\sin\frac{n\pi}{2} $$
发散。
证明：
取子列
$$ x_{4k}=\sin2k\pi=0\to0 $$
$$ x_{4k+1}=\sin\left(2k\pi+\frac\pi2\right)=1\to1 $$
两个子列极限不同，所以 ${x_n}$ 发散。
例8
求
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n} $$
解：
因为
$$ \left|\frac{\sin n}{n}\right|\le\frac1n\to0 $$
所以
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{\sin n}{n}=0 $$
这里用了“无穷小 × 有界 = 无穷小”。
例9
求
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n} $$
解：
$$ \left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac1n\to0 $$
所以
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{n}=0 $$
例10
求
$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n $$
解：
这是重要极限的数列形式：
$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e $$
例11
求
$$ \lim_{n\to\infty}n\sin\frac1n $$
解：
令
$$ x=\frac1n $$
则 $x\to0$，所以
$$ \lim_{n\to\infty}n\sin\frac1n =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x} =1 $$
错误。
$$ x_n=(-1)^n $$
有界，但不收敛。
正确结论：
$$ \text{收敛} \Rightarrow \text{有界} $$
但
$$ \text{有界} \nRightarrow \text{收敛} $$
错误。
$$ x_n=n $$
单调递增，但发散。
正确结论：
$$ \text{单调 + 有界} \Rightarrow \text{收敛} $$
仅单调不够，仅有界也不够。
错误。
若
$$ x_n<y_n,\quad x_n\to A,\quad y_n\to B $$
只能得到
$$ A\le B $$
不能得到 $A<B$。
例如：
$$ x_n=0,\quad y_n=\frac1n $$
有 $x_n<y_n$，但
$$ A=B=0 $$
子列 ${x_{n_k}}$ 必须满足
$$ n_1<n_2<\cdots<n_k<\cdots $$
不能随意选取。若下标不递增，就不是子列。
错误做法：
设
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=A $$
直接对递推式取极限。
正确做法：
先用单调有界准则或夹逼准则证明收敛，再设极限为 $A$。
例如例5中解出
$$ A=2\quad\text{或}\quad A=-1 $$
必须根据数列项的范围舍去不合理的值。
无穷大一定无界，但无界不一定是无穷大。
例如：
$$ x_n=n\sin n $$
无界，但不是无穷大，因为存在子列趋于 0。
错误：
$$ \lim_{n\to\infty}(n-n)=\infty-\infty=0 $$
正确：
$$ n-n=0 $$
所以
$$ \lim_{n\to\infty}(n-n)=0 $$
但这不是用四则运算，而是先化简。
未定式必须先变形，不能直接套四则运算。
常见形式：
$$ x_{n+1}=f(x_n) $$
处理方法：
典型递推式：
$$ x_{n+1}=\sqrt{2+x_n} $$
$$ x_{n+1}=\frac12\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right) $$
$$ x_{n+1}=1+\frac{x_n}{1+x_n} $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac kn\right) =\int_0^1 f(x)dx $$
处理方法：
例：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n\sin\frac{k}{n} =\int_0^1\sin xdx =1-\cos1 $$
常见形式：
重要结论：
$$ \sum_{n=1}^\infty a_n\text{ 收敛} \Rightarrow \lim_{n\to\infty}a_n=0 $$
但反之不成立。例如调和级数
$$ \sum_{n=1}^\infty\frac1n $$
虽然
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n=0 $$
但级数发散。
数列极限定义：
$$ \lim_{n\to\infty}x_n=A \iff \forall\varepsilon>0,\ \exists N,\ \forall n>N,\ |x_n-A|<\varepsilon $$
收敛数列性质：
存在准则：
$$ \text{单调 + 有界} \Rightarrow \text{收敛} $$
$$ x_n\le z_n\le y_n,\quad x_n\to A,\quad y_n\to A \Rightarrow z_n\to A $$
子列结论：
$$ x_n\to A \Rightarrow x_{n_k}\to A $$
$$ x_{n_k}\to A,\quad x_{m_k}\to B,\quad A\neq B \Rightarrow x_n\text{ 发散} $$
无穷小与有界：
$$ \text{无穷小}\times\text{有界}=\text{无穷小} $$
重要极限（数列形式）：
$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n=e $$
常用结论：
$$ \lim_{n\to\infty}\frac1n=0 $$
$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{n}=1 $$
$$ \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a}=1,\quad a>0 $$
$$ \lim_{n\to\infty}\frac{a^n}{n!}=0,\quad a>0 $$
$$ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n=e^x $$
口诀：
收敛必有界，有界未必收敛；
单调加有界，极限必存在；
夹逼找两端，子列判发散；
递推先证敛，再设极限算。
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