定位：考场速查，按模块编排，便于冲刺阶段快速回顾
用法：先默写，再对照；重点看使用条件和易错提醒
二阶：
$$ \begin{vmatrix} a & b\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc $$
三阶（对角线法则）：
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} $$
$$ =a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -a_{13}a_{22}a_{31}-a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33} $$
$$ D^T=D $$
互换两行（列），行列式变号。
某行（列）乘 $k$，行列式乘 $k$。
某行（列）加另一行（列）的 $k$ 倍，行列式不变。
两行（列）成比例，行列式为零。
$$ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$
按行展开：
$$ D=\sum_{j=1}^na_{ij}A_{ij} $$
按列展开：
$$ D=\sum_{i=1}^na_{ij}A_{ij} $$
上三角、下三角、对角：
$$ D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$
副对角：
$$ D=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $$
分块：
$$ \begin{vmatrix} A & O\\ C & B \end{vmatrix} =|A||B| $$
$$ \begin{vmatrix} A & C\\ O & B \end{vmatrix} =|A||B| $$
$$ \begin{vmatrix} O & A\\ B & O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A||B| $$
$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$
$$ |kA|=k^n|A| $$
$$ |AB|=|A||B| $$
$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$
$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} $$
$$ |A^T|=|A| $$
加法：
$$ (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} $$
数乘：
$$ (kA)_{ij}=ka_{ij} $$
乘法：
$$ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^sa_{ik}b_{kj} $$
转置：
$$ (AB)^T=B^TA^T $$
可逆条件：
$$ |A|\neq0 $$
逆矩阵公式：
$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* $$
性质：
$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$
$$ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T $$
$$ (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1} $$
$$ AA^*=A^*A=|A|E $$
$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$
$$ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A $$
$$ (A^*)^*=|A|^{n-2}A $$
$$ (AB)^*=B^*A^* $$
$$ (A^T)^*=(A^*)^T $$
对称：
$$ A^T=A $$
反对称：
$$ A^T=-A $$
正交：
$$ A^TA=AA^T=E $$
$$ A^{-1}=A^T $$
$$ |A|=\pm1 $$
幂等：
$$ A^2=A $$
对合：
$$ A^2=E $$
幂零：
$$ A^k=O $$
$$ \begin{pmatrix} A & O\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$
$$ \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$
$$ 0\le r(A)\le\min{m,n} $$
$$ r(A^T)=r(A) $$
$$ r(kA)=r(A),\quad k\neq0 $$
$$ r(A)=n\iff|A|\neq0\quad(A\text{ 为 }n\text{ 阶方阵}) $$
$$ r(A)<n\iff|A|=0 $$
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
Sylvester 不等式：
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
Frobenius 不等式：
$$ r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B) $$
$$ r(AB)=r(B) $$
$$ r(CA)=r(C) $$
$$ r\begin{pmatrix}A&O\\O&B\end{pmatrix}=r(A)+r(B) $$
$$ r\begin{pmatrix}A&C\\O&B\end{pmatrix}\ge r(A)+r(B) $$
$$ r(A^TA)=r(A) $$
$$ r(AA^T)=r(A) $$
$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$
$$ Ax=0\text{ 只有零解}\iff r(A)=n $$
$$ Ax=0\text{ 有非零解}\iff r(A)<n $$
$$ Ax=b\text{ 有解}\iff r(A)=r(\bar{A}) $$
$$ Ax=b\text{ 唯一解}\iff r(A)=r(\bar{A})=n $$
$$ Ax=b\text{ 无穷多解}\iff r(A)=r(\bar{A})<n $$
$$ Ax=b\text{ 无解}\iff r(A)<r(\bar{A}) $$
$$ E(i,j),\quad E(i(k)),\quad E(i,j(k)) $$
左乘 = 行变换；
右乘 = 列变换。
$$ E(i,j)^{-1}=E(i,j) $$
$$ E(i(k))^{-1}=E\left(i\left(\frac1k\right)\right) $$
$$ E(i,j(k))^{-1}=E(i,j(-k)) $$
$$ (A|E)\xrightarrow{\text{初等行变换}}(E|A^{-1}) $$
$$ A\sim B\iff r(A)=r(B) $$
等价标准形：
$$ A\sim \begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix} $$
$$ \beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s $$
$$ \beta\text{ 可由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示} \iff r(A)=r(A|\beta) $$
$$ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0} $$
线性相关：存在不全为零的 $k_i$；
线性无关：只有全为零的 $k_i$。
矩阵形式：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性相关}\iff r(A)<s $$
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性无关}\iff r(A)=s $$
含零向量 $\Rightarrow$ 线性相关。
$$ m>n\Rightarrow m\text{ 个 }n\text{ 维向量线性相关} $$
部分相关 $\Rightarrow$ 整体相关。
整体无关 $\Rightarrow$ 部分无关。
线性无关组添加分量后仍线性无关。
向量组的秩 = 极大无关组中向量个数。
求法：
$$ T_1\sim T_2\iff r(T_1)=r(T_2)=r(T_1\cup T_2) $$
$$ Ax=0 $$
只有零解：
$$ r(A)=n $$
有非零解：
$$ r(A)<n $$
基础解系含：
$$ n-r(A) $$
个向量。
通解：
$$ x=k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
$$ Ax=b $$
有解：
$$ r(A)=r(\bar{A}) $$
唯一解：
$$ r(A)=r(\bar{A})=n $$
无穷多解：
$$ r(A)=r(\bar{A})<n $$
无解：
$$ r(A)<r(\bar{A}) $$
通解：
$$ x=x^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
$$ x_1-x_2\text{ 是 }Ax=0\text{ 的解} $$
$$ x^*+\xi\text{ 是 }Ax=b\text{ 的解} $$
$$ A\alpha=\lambda\alpha,\quad\alpha\neq\mathbf{0} $$
$$ |A-\lambda E|=0 $$
$$ \lambda_1+\cdots+\lambda_n=\text{tr}(A) $$
$$ \lambda_1\cdots\lambda_n=|A| $$
$$ P^{-1}AP=B $$
相似不变量：
$$ P^{-1}AP=\Lambda $$
充要条件：
有 $n$ 个线性无关的特征向量。
充分条件：
$$ Q^TAQ=\Lambda $$
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
$$ f=x^TAx $$
$A$ 为对称矩阵。
标准形：
$$ f=d_1y_1^2+\cdots+d_ny_n^2 $$
规范形：
$$ f=y_1^2+\cdots+y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots-y_{p+q}^2 $$
正惯性指数 $p$ 和负惯性指数 $q$ 唯一确定。
$$ p+q=r(A) $$
$$ C^TAC=B $$
合同不变量：
$$ f\text{ 正定}\iff\lambda_i>0 $$
$$ f\text{ 正定}\iff D_1>0,\ D_2>0,\ \cdots,\ D_n>0 $$
$$ f\text{ 正定}\iff p=n $$
$$ f\text{ 正定}\iff A\simeq E $$
$$ f\text{ 负定}\iff\lambda_i<0 $$
$$ f\text{ 负定}\iff-A\text{ 正定} $$
$$ f\text{ 半正定}\iff\lambda_i\ge0 $$
$$ f\text{ 半正定}\iff p=r(A)<n $$
$$ |kA|=k^n|A| $$
$$ |AB|=|A||B| $$
$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$
$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} $$
$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$
$$ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T $$
$$ AA^*=|A|E $$
$$ (A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A $$
$$ (AB)^*=B^*A^* $$
$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$
$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$
$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$
$$ r(A^TA)=r(A) $$
$$ r(A)=r(\bar{A}) \begin{cases} =n, & \text{唯一解}\\ <n, & \text{无穷多解} \end{cases} $$
$$ r(A)<r(\bar{A})\Rightarrow\text{无解} $$
$$ \lambda_1+\cdots+\lambda_n=\text{tr}(A) $$
$$ \lambda_1\cdots\lambda_n=|A| $$
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
$$ p+q=r(A) $$
$$ f\text{ 正定}\iff\lambda_i>0 $$
$$ f\text{ 正定}\iff D_i>0 $$
$$ A\text{ 可逆}\iff|A|\neq0\iff r(A)=n $$
$$ A\text{ 可对角化}\iff\text{有 }n\text{ 个线性无关的特征向量} $$
$$ A\text{ 正定}\iff A\simeq E $$
$$ A\sim B\iff r(A)=r(B) $$
$$ A\simeq B\iff\text{正负惯性指数相同} $$
$$ A\text{ 与 }B\text{ 相似}\Rightarrow\text{特征值相同} $$
使用建议：
1. 先默写，再对照；
2. 重点记“使用条件”和“易错提醒”；
3. 考前每天花 10 分钟快速过一遍。
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