$$ D= \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} $$

其中：

$j_1j_2\cdots j_n$ 是 $1,2,\cdots,n$ 的一个排列；
$\tau(j_1j_2\cdots j_n)$ 是该排列的逆序数；
求和遍及所有 $n!$ 个排列。

逆序数：

在一个排列中，若前面的数大于后面的数，则称这两个数构成一个逆序。排列中逆序的总数称为逆序数。

例：

排列 $321$ 的逆序数：

$3>2$，$3>1$，$2>1$，共 $3$ 个逆序，所以 $\tau(321)=3$。

4. 余子式与代数余子式

余子式：

在 $n$ 阶行列式中，划去元素 $a_{ij}$ 所在的第 $i$ 行和第 $j$ 列，剩下的 $n-1$ 阶行列式称为 $a_{ij}$ 的余子式，记作 $M_{ij}$。

代数余子式：

$$ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$

注意：

余子式 $M_{ij}$ 是一个行列式；
代数余子式 $A_{ij}$ 是带符号的余子式。

5. 行列式按行（列）展开

按第 $i$ 行展开：

$$ D=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} =a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+\cdots+a_{in}A_{in} $$

按第 $j$ 列展开：

$$ D=\sum_{i=1}^n a_{ij}A_{ij} =a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+\cdots+a_{nj}A_{nj} $$

重要结论：

某行（列）元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和为零：

$$ \sum_{k=1}^n a_{ik}A_{jk}=0,\quad i\neq j $$

$$ \sum_{k=1}^n a_{ki}A_{kj}=0,\quad i\neq j $$

6. 行列式的基本性质

性质1：转置不变

$$ D^T=D $$

即行列式与它的转置行列式相等。

性质2：两行（列）互换变号

互换行列式的两行（列），行列式变号。

推论：

若行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。

性质3：某行（列）有公因子可提出

行列式中某一行（列）的所有元素有公因子 $k$，则 $k$ 可以提到行列式外面。

$$ \begin{vmatrix} ka_{11} & ka_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} =k\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$

推论：

若行列式有一行（列）元素全为零，则行列式为零。

性质4：两行（列）成比例，行列式为零

若行列式有两行（列）对应元素成比例，则行列式为零。

性质5：行列式可拆分为两个行列式之和

若某一行（列）元素是两组数之和，则行列式可拆分为两个行列式之和。

$$ \begin{vmatrix} a_{11}+b_{1} & a_{12}+b_{2}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} b_{1} & b_{2}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$

性质6：某行（列）加上另一行（列）的 $k$ 倍，行列式不变

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11}+ka_{21} & a_{12}+ka_{22}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix} $$

这是行列式计算中最常用的性质。

7. 特殊行列式

（1）上三角行列式：

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$

（2）下三角行列式：

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$

（3）对角行列式：

$$ \begin{vmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0\\ 0 & a_{22} & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} =a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$

（4）副对角行列式：

$$ \begin{vmatrix} 0 & \cdots & 0 & a_{1n}\\ 0 & \cdots & a_{2,n-1} & 0\\ \vdots & \reflectbox{$\ddots$} & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & 0 & 0 \end{vmatrix} =(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $$

（5）分块行列式：

$$ \begin{vmatrix} A & O\\ C & B \end{vmatrix} =|A||B| $$

$$ \begin{vmatrix} A & C\\ O & B \end{vmatrix} =|A||B| $$

其中 $A$、$B$ 为方阵。

注意：

$$ \begin{vmatrix} O & A\\ B & O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A||B| $$

其中 $A$ 为 $m$ 阶方阵，$B$ 为 $n$ 阶方阵。

8. 常用行列式公式

范德蒙德行列式：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ x_1^2 & x_2^2 & \cdots & x_n^2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} =\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$

记忆口诀：

后减前，所有差相乘。

例：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ x_1 & x_2 & x_3\\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \end{vmatrix} =(x_2-x_1)(x_3-x_1)(x_3-x_2) $$

爪型行列式：

$$ \begin{vmatrix} a_1 & b_2 & b_3 & \cdots & b_n\\ c_2 & a_2 & 0 & \cdots & 0\\ c_3 & 0 & a_3 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ c_n & 0 & 0 & \cdots & a_n \end{vmatrix} $$

当 $a_2a_3\cdots a_n\neq0$ 时，可用消元法化为三角行列式。

三对角行列式：

$$ D_n= \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ c & a & b & \cdots & 0\\ 0 & c & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix} $$

可用递推法：

$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$

9. 行列式的计算方法总结

方法	适用情形
对角线法则	二阶、三阶
按行（列）展开	某行（列）零元素多
化为三角行列式	一般数字行列式
递推法	三对角、$n$ 阶有规律
加边法	爪型、行和相等
拆分法	某行（列）为两组数之和
数学归纳法	$n$ 阶有规律
范德蒙德	特殊形式

二、使用条件

1. 行列式定义的使用条件

$n$ 阶行列式有 $n!$ 项；
每项是不同行不同列的 $n$ 个元素之积；
符号由逆序数决定。

2. 按行（列）展开的使用条件

选择零元素最多的行或列；
代数余子式符号 $(-1)^{i+j}$ 不能忘。

3. 行列式性质的使用条件

互换两行（列）变号；
某行（列）乘 $k$，行列式乘 $k$；
某行（列）加另一行（列）的 $k$ 倍，行列式不变。

4. 化为三角行列式的使用条件

通过初等行变换化为上三角或下三角；
注意每次变换对行列式值的影响。

5. 递推法的使用条件

行列式有递推规律；
通常用于三对角行列式。

6. 加边法的使用条件

行列式各行（列）元素之和相等；
或行列式具有爪型结构。

三、典型题型

题型1：二阶、三阶行列式计算

例1

计算

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix} $$

解：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{vmatrix} =1\times4-2\times3=4-6=-2 $$

例2

计算

$$ \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix} $$

解：

$$ =1\times5\times9+2\times6\times7+3\times4\times8 -3\times5\times7-1\times6\times8-2\times4\times9 $$

$$ =45+84+96-105-48-72=0 $$

例3

计算

$$ \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1\\ 1 & 3 & 2\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} $$

解：

$$ =2\times3\times1+0\times2\times1+1\times1\times1 -1\times3\times1-2\times2\times1-0\times1\times1 $$

$$ =6+0+1-3-4-0=0 $$

题型2：按行（列）展开

例4

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 2 & 3 & 0 & 0\\ 4 & 5 & 6 & 0\\ 7 & 8 & 9 & 10 \end{vmatrix} $$

解：

这是下三角行列式：

$$ D=1\times3\times6\times10=180 $$

例5

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 5\\ 0 & 0 & 6 \end{vmatrix} $$

解：

这是上三角行列式：

$$ D=1\times4\times6=24 $$

例6

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0\\ 3 & 4 & 0\\ 5 & 6 & 7 \end{vmatrix} $$

解：

按第三列展开：

$$ D=7\times(-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 1 & 2\ 3 & 4 \end{vmatrix} =7\times(4-6)=-14 $$

例7

计算

$$ D= \begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b\\ 0 & c & d & 0\\ 0 & e & f & 0\\ g & 0 & 0 & h \end{vmatrix} $$

解：

按第一行展开：

$$ D=a(-1)^{1+1} \begin{vmatrix} c & d & 0\\ e & f & 0\\ 0 & 0 & h \end{vmatrix} +b(-1)^{1+4} \begin{vmatrix} 0 & c & d\\ 0 & e & f\\ g & 0 & 0 \end{vmatrix} $$

第一项：

$$ a\cdot h\begin{vmatrix}c&d\\e&f\end{vmatrix} =ah(cf-de) $$

第二项：

$$ b\cdot(-1)\cdot g(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}c&d\\e&f\end{vmatrix} =-bg(cf-de) $$

所以：

$$ D=(ah-bg)(cf-de) $$

题型3：化为三角行列式

例8

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{vmatrix} $$

解：

用行变换：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1 $$

例9

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} $$

解：

$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$

$$ r_3-2r_2 $$

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} =1 $$

例10

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} $$

解：

各行加到第一行：

$$ r_1+r_2+r_3+r_4 $$

第一行元素都变为 $10$。

$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 4 & 1\\ 3 & 4 & 1 & 2\\ 4 & 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} $$

用第一行消去其他行：

$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1,\quad r_4-4r_1 $$

$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & -2 & -1\\ 0 & -3 & -2 & -1 \end{vmatrix} $$

继续化简：

$$ r_3-r_2,\quad r_4+3r_2 $$

$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 4 & -4 \end{vmatrix} $$

$$ r_4+r_3 $$

$$ D=10 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & -1\\ 0 & 0 & -4 & 0\\ 0 & 0 & 0 & -4 \end{vmatrix} $$

$$ =10\times1\times1\times(-4)\times(-4)=160 $$

题型4：抽象行列式

例11

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|2A|$。

解：

$$ |2A|=2^3|A|=8\times2=16 $$

例12

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=3$，求 $|-2A|$。

解：

$$ |-2A|=(-2)^n|A|=(-2)^n\cdot3 $$

例13

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|A^*|$。

解：

$$ |A^*|=|A|^{n-1}=2^2=4 $$

例14

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|A^{-1}|$。

解：

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac12 $$

例15

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|A^2|$。

解：

$$ |A^2|=|A|^2=4 $$

例16

设 $A$、$B$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=2$，$|B|=3$，求 $|AB|$。

解：

$$ |AB|=|A||B|=6 $$

题型5：范德蒙德行列式

例17

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 4 & 9 \end{vmatrix} $$

解：

这是范德蒙德行列式，$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$。

$$ D=(2-1)(3-1)(3-2)=1\times2\times1=2 $$

例18

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 4 & 9 & 16\\ 1 & 8 & 27 & 64 \end{vmatrix} $$

解：

这是范德蒙德行列式，$x_1=1$，$x_2=2$，$x_3=3$，$x_4=4$。

$$ D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3) $$

$$ =1\times2\times3\times1\times2\times1=12 $$

题型6：递推法

例19

计算 $n$ 阶行列式

$$ D_n= \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 1 & 2 & 1 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & 2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 2 \end{vmatrix} $$

解：

按第一行展开：

$$ D_n=2D_{n-1}-1\times(-1)^{1+2}\times1\times D_{n-2} $$

即：

$$ D_n=2D_{n-1}-D_{n-2} $$

特征方程：

$$ r^2-2r+1=0 $$

$$ r=1 $$

所以：

$$ D_n=(C_1+C_2n)\cdot1^n=C_1+C_2n $$

由 $D_1=2$，$D_2=3$：

$$ C_1+C_2=2 $$

$$ C_1+2C_2=3 $$

解得：

$$ C_1=1,\quad C_2=1 $$

所以：

$$ D_n=n+1 $$

例20

计算 $n$ 阶行列式

$$ D_n= \begin{vmatrix} a & b & 0 & \cdots & 0\\ c & a & b & \cdots & 0\\ 0 & c & a & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a \end{vmatrix} $$

解：

按第一行展开：

$$ D_n=aD_{n-1}-bcD_{n-2} $$

这是二阶线性递推，根据 $a^2-4bc$ 的符号，可求出通项。

题型7：加边法

例21

计算

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} $$

解：

加边：

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 3 & 6 \end{vmatrix} $$

用第一行消去其他行：

$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1,\quad r_4-r_1 $$

$$ D= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ -1 & 0 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$

按第二行展开：

$$ D=(-1)(-1)^{2+1} \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 5 \end{vmatrix} $$

$$ =1\times(5-4)=1 $$

题型8：行列式与矩阵综合

例22

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求

$$ |(2A)^{-1}-5A^*| $$

解：

$$ (2A)^{-1}=\frac12A^{-1} $$

$$ A^*=|A|A^{-1}=2A^{-1} $$

所以：

$$ (2A)^{-1}-5A^*=\frac12A^{-1}-10A^{-1}=-\frac{19}{2}A^{-1} $$

$$ |(2A)^{-1}-5A^*| =\left(-\frac{19}{2}\right)^3|A^{-1}| =-\frac{6859}{8}\cdot\frac12 =-\frac{6859}{16} $$

例23

设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，$|A|=3$，求 $|A^*|$。

解：

$$ |A^*|=|A|^{n-1}=3^3=27 $$

四、易错提醒

易错1：对角线法则用于四阶及以上

错误：

四阶行列式用对角线法则。

正确：

对角线法则只适用于二阶和三阶。

易错2：代数余子式符号搞错

$$ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$

不要漏掉符号。

易错3：行列式与矩阵混淆

行列式是一个数；
矩阵是一个表格。

易错4：$|kA|$ 写成 $k|A|$

错误：

$$ |kA|=k|A| $$

正确：

$$ |kA|=k^n|A| $$

其中 $n$ 为方阵阶数。

易错5：$|A+B|$ 写成 $|A|+|B|$

错误：

$$ |A+B|=|A|+|B| $$

正确：

$$ |A+B|\neq|A|+|B| $$

易错6：$|AB|$ 写成 $|A||B|$ 但忘记条件

$$ |AB|=|A||B| $$

要求 $A$、$B$ 为同阶方阵。

易错7：$|A^*|$ 公式记错

$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$

易错8：$|A^{-1}|$ 公式记错

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} $$

易错9：行变换对行列式值的影响搞错

互换两行：行列式变号；
某行乘 $k$：行列式乘 $k$；
某行加另一行的 $k$ 倍：行列式不变。

易错10：范德蒙德行列式公式记错

$$ D=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$

注意是后减前。

易错11：分块行列式符号搞错

$$ \begin{vmatrix} O & A\\ B & O \end{vmatrix} =(-1)^{mn}|A||B| $$

易错12：递推法初始条件计算错误

递推法需要两个初始值，要仔细计算。

五、真题链接思路

真题方向1：数字行列式计算

常见形式：

$$ D= \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n}\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} $$

处理方法：

观察零元素；
化为三角行列式；
按行（列）展开；
计算。

真题方向2：抽象行列式

常见形式：

$$ |kA|,\quad |A^*|,\quad |A^{-1}|,\quad |AB| $$

处理方法：

利用行列式性质；
利用公式：
$|kA|=k^n|A|$
$|A^*|=|A|^{n-1}$
$|A^{-1}|=\frac{1}{|A|}$
$|AB|=|A||B|$

真题方向3：范德蒙德行列式

常见形式：

$$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ x_1 & x_2 & \cdots & x_n\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \cdots & x_n^{n-1} \end{vmatrix} $$

处理方法：

识别范德蒙德形式；
套用公式；
计算。

真题方向4：递推法

常见形式：

三对角行列式；
$n$ 阶有规律的行列式。

处理方法：

按行（列）展开；
得到递推关系；
求通项；
代入初始值。

真题方向5：加边法

常见形式：

行和相等；
爪型行列式。

处理方法：

加一行一列；
化简；
计算。

真题方向6：行列式与矩阵综合

常见形式：

$$ |A^*|,\quad |A^{-1}|,\quad |(kA)^{-1}| $$

处理方法：

利用 $A^*=|A|A^{-1}$；
利用行列式性质；
计算。

真题方向7：行列式与线性方程组综合

常见形式：

用克拉默法则解方程组；
讨论方程组解的情况。

处理方法：

计算系数行列式；
判断是否为零；
讨论解的情况。

六、记忆清单

二阶行列式：

$$ \begin{vmatrix} a & b\ c & d \end{vmatrix} =ad-bc $$

三阶行列式：

对角线法则。

$n$ 阶行列式定义：

$$ D=\sum_{j_1j_2\cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1j_2\cdots j_n)}a_{1j_1}a_{2j_2}\cdots a_{nj_n} $$

代数余子式：

$$ A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} $$

按行展开：

$$ D=\sum_{j=1}^n a_{ij}A_{ij} $$

行列式性质：

$D^T=D$
互换两行变号
某行乘 $k$，行列式乘 $k$
两行成比例，行列式为零
某行加另一行 $k$ 倍，行列式不变

特殊行列式：

上三角、下三角、对角：

$$ D=a_{11}a_{22}\cdots a_{nn} $$

副对角：

$$ D=(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}a_{1n}a_{2,n-1}\cdots a_{n1} $$

分块：

$$ \begin{vmatrix} A & O\ C & B \end{vmatrix} =|A||B| $$

范德蒙德行列式：

$$ D=\prod_{1\le i<j\le n}(x_j-x_i) $$

常用公式：

$$ |kA|=k^n|A| $$

$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} $$

$$ |AB|=|A||B| $$

口诀：

二阶三阶对角线，四阶以上化三角；
按行展开选零多，代数余子带符号；
互换变号乘提 $k$，加消不变记心间；
范德蒙德后减前，抽象行列式用公式。

_{本教程共58节，当前为第35节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

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# 考点32 行列式定义与性质

一、核心公式与定义

1. 二阶行列式

2. 三阶行列式

3. $n$ 阶行列式的定义

4. 余子式与代数余子式

5. 行列式按行（列）展开

6. 行列式的基本性质

7. 特殊行列式

8. 常用行列式公式

9. 行列式的计算方法总结

二、使用条件

1. 行列式定义的使用条件

2. 按行（列）展开的使用条件

3. 行列式性质的使用条件

4. 化为三角行列式的使用条件

5. 递推法的使用条件

6. 加边法的使用条件

三、典型题型

题型1：二阶、三阶行列式计算

题型2：按行（列）展开

题型3：化为三角行列式

题型4：抽象行列式

题型5：范德蒙德行列式

题型6：递推法

题型7：加边法

题型8：行列式与矩阵综合

四、易错提醒

易错1：对角线法则用于四阶及以上

易错2：代数余子式符号搞错

易错3：行列式与矩阵混淆

易错4：$|kA|$ 写成 $k|A|$

易错5：$|A+B|$ 写成 $|A|+|B|$

易错6：$|AB|$ 写成 $|A||B|$ 但忘记条件

易错7：$|A^*|$ 公式记错

易错8：$|A^{-1}|$ 公式记错

易错9：行变换对行列式值的影响搞错

易错10：范德蒙德行列式公式记错

易错11：分块行列式符号搞错

易错12：递推法初始条件计算错误

五、真题链接思路

真题方向1：数字行列式计算

真题方向2：抽象行列式

真题方向3：范德蒙德行列式

真题方向4：递推法

真题方向5：加边法

真题方向6：行列式与矩阵综合

真题方向7：行列式与线性方程组综合

六、记忆清单

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