适用：数一、数二、数三通用
地位：极限计算的核心工具，每年必考，常与洛必达、泰勒、导数定义综合
核心任务：识别未定式，选择最快方法，避免替换陷阱
重要极限 I
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
推广形式：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)}=1, \quad \text{其中 } \varphi(x)\to 0 $$
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\arcsin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\arctan x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 $$
重要极限 II
$$ \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e $$
推广形式：
$$ \lim_{\varphi(x)\to 0}\left(1+\varphi(x)\right)^{\frac{1}{\varphi(x)}}=e $$
$$ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac1x}=e $$
更一般地：
$$ \lim_{x\to 0}(1+ax)^{\frac{b}{x}}=e^{ab} $$
$$ \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{bx}=e^{ab} $$
$1^\infty$ 型通用公式
若 $\lim u(x)=1$，$\lim v(x)=\infty$，则
$$ \lim u(x)^{v(x)}=e^{\lim v(x)[u(x)-1]} $$
这是考试中最常用的 $1^\infty$ 型处理公式。
以下公式是极限计算中使用频率最高的等价无穷小：
$$ \sin x \sim x $$
$$ \tan x \sim x $$
$$ \arcsin x \sim x $$
$$ \arctan x \sim x $$
$$ \ln(1+x)\sim x $$
$$ e^x-1\sim x $$
$$ a^x-1\sim x\ln a \quad (a>0,\ a\neq 1) $$
$$ 1-\cos x\sim \frac12 x^2 $$
$$ (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x \quad (\alpha\neq 0) $$
$$ \sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac1n x $$
$$ x-\ln(1+x)\sim \frac12 x^2 $$
$$ x-\sin x\sim \frac16 x^3 $$
$$ \tan x-x\sim \frac13 x^3 $$
$$ \sin x-\tan x\sim -\frac12 x^3 $$
$$ \ln(1+x)-x\sim -\frac12 x^2 $$
$$ e^x-1-x\sim \frac12 x^2 $$
$$ \arcsin x-x\sim \frac16 x^3 $$
$$ x-\arctan x\sim \frac13 x^3 $$
等价无穷小替换原则
若 $\alpha\sim \alpha'$，$\beta\sim \beta'$，且 $\lim \frac{\alpha'}{\beta'}$ 存在，则
$$ \lim \frac{\alpha}{\beta}=\lim \frac{\alpha'}{\beta'} $$
注意：等价无穷小一般只能用于乘除，不能随意用于加减。
重要极限 I：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
使用条件：
即必须是：
$$ \frac{\sin \varphi(x)}{\varphi(x)} $$
而不是：
$$ \frac{\sin \varphi(x)}{\psi(x)} $$
若 $\varphi(x)\sim \psi(x)$，也可以转化为重要极限。
重要极限 II：
$$ \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac1x\right)^x=e $$
使用条件：
即标准形式为：
$$ (1+\Delta)^{\frac{1}{\Delta}} $$
其中 $\Delta\to 0$。
等价无穷小替换的严格条件：
例如：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} $$
不能把 $\tan x$ 换成 $x$，$\sin x$ 换成 $x$，否则分子变成 $0$，得到错误结果。
正确做法：
$$ \tan x-\sin x = \left(x+\frac13x^3+o(x^3)\right)-\left(x-\frac16x^3+o(x^3)\right) =\frac12x^3+o(x^3) $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac12 $$
等价无穷小本质上是泰勒展开的一阶项或低阶主部。
常用泰勒展开：
$$ \sin x=x-\frac{x^3}{6}+o(x^3) $$
$$ \tan x=x+\frac{x^3}{3}+o(x^3) $$
$$ \ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3) $$
$$ e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+o(x^3) $$
$$ \cos x=1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+o(x^4) $$
$$ (1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2+o(x^2) $$
原则：
例1
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 3x}{x} $$
解：
$$ \frac{\sin 3x}{x} =3\cdot \frac{\sin 3x}{3x} \to 3\cdot 1=3 $$
例2
$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2} $$
解：
$$ 1-\cos x\sim \frac12x^2 $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac12 $$
例3
$$ \lim_{x\to \infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x} $$
解：
$$ \left(1+\frac{2}{x}\right)^{3x} =\left[\left(1+\frac{2}{x}\right)^{\frac{x}{2}}\right]^{6} \to e^6 $$
例4
$$ \lim_{x\to 0}(1+2x)^{\frac{3}{x}} $$
解：
$$ (1+2x)^{\frac{3}{x}} =\left[(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\right]^{6} \to e^6 $$
例5
$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} $$
这是 $1^\infty$ 型。
令
$$ u=\frac{\sin x}{x},\quad v=\frac{1}{x^2} $$
则：
$$ u-1=\frac{\sin x}{x}-1=\frac{\sin x-x}{x} $$
而：
$$ \sin x-x\sim -\frac16x^3 $$
所以：
$$ v(u-1)=\frac{1}{x^2}\cdot \frac{\sin x-x}{x} \sim \frac{1}{x^2}\cdot \frac{-\frac16x^3}{x} =-\frac16 $$
因此：
$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} =e^{-\frac16} $$
例6
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1 $$
例7
$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x} $$
解：
$$ e^x-1\sim x,\quad \sin x\sim x $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{\sin x}=1 $$
例8
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x} $$
解：
$$ \sqrt{1+x}-1\sim \frac12x $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac12 $$
例9
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} $$
错误做法：
$$ \tan x\sim x,\quad \sin x\sim x $$
得到分子为 0，错误。
正确做法：
$$ \tan x=x+\frac13x^3+o(x^3) $$
$$ \sin x=x-\frac16x^3+o(x^3) $$
所以：
$$ \tan x-\sin x=\frac12x^3+o(x^3) $$
因此：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\frac12 $$
例10
$$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2} $$
解：
$$ \ln(1+x)=x-\frac12x^2+o(x^2) $$
所以：
$$ x-\ln(1+x)=\frac12x^2+o(x^2) $$
因此：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\frac12 $$
例11
$$ \lim_{x\to 0^+}x^x $$
解：
$$ x^x=e^{x\ln x} $$
而：
$$ \lim_{x\to 0^+}x\ln x=0 $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0^+}x^x=e^0=1 $$
例12
$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac1x} $$
这是 $1^\infty$ 型。
令：
$$ u=\frac{1+x}{1-x},\quad v=\frac1x $$
则：
$$ u-1=\frac{1+x}{1-x}-1=\frac{2x}{1-x} $$
所以：
$$ v(u-1)=\frac1x\cdot \frac{2x}{1-x}=\frac{2}{1-x}\to 2 $$
因此：
$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1+x}{1-x}\right)^{\frac1x}=e^2 $$
例13
$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{\sin x^2} $$
解：
$$ e^x-1-x\sim \frac12x^2 $$
$$ \sin x^2\sim x^2 $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{\sin x^2} =\frac12 $$
若用洛必达：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{2x\cos x^2} $$
再等价：
$$ e^x-1\sim x $$
得到：
$$ \frac{x}{2x\cos x^2}\to \frac12 $$
两种方法一致，但等价无穷小更快。
错误：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} =\lim_{x\to 0}\frac{x-x}{x^3}=0 $$
正确：
$$ \frac12 $$
口诀：乘除可换，加减慎换；加减要换，泰勒来办。
错误：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{3x}=1 $$
正确：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{3x} =\frac23\lim_{x\to 0}\frac{\sin 2x}{2x} =\frac23 $$
必须保证分子中的角与分母一致。
错误：
$$ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{2}{x}}=e $$
正确：
$$ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac{2}{x}}=e^2 $$
$1^\infty$ 型的结果是：
$$ e^{\lim v(u-1)} $$
不是简单的 $e$。
错误：
$$ x-\sin x\sim x $$
正确：
$$ x-\sin x\sim \frac16x^3 $$
因为 $x-\sin x$ 的主部是三阶项，不是一阶项。
例如：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{x^2}}{x} $$
不能直接写成：
$$ \frac{x}{x}=1 $$
因为：
$$ \sqrt{x^2}=|x| $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0^+}\frac{|x|}{x}=1,\quad \lim_{x\to 0^-}\frac{|x|}{x}=-1 $$
左右极限不等，极限不存在。
例如：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x-x}{x^3} $$
若只展开到一阶：
$$ \sin x=x+o(x) $$
分子变成 $o(x)$，无法得到结果。
必须展开到三阶：
$$ \sin x=x-\frac16x^3+o(x^3) $$
所以：
$$ \sin x-x=-\frac16x^3+o(x^3) $$
结果：
$$ -\frac16 $$
原则：展开到分母同阶或更高一阶。
常见形式：
$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}} $$
$$ \lim_{x\to \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^x $$
$$ \lim_{x\to 0}\left(\frac{1+\tan x}{1+\sin x}\right)^{\frac{1}{x^3}} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3} $$
$$ \lim_{x\to 0}\frac{x-\ln(1+x)}{x^2} $$
$$ \lim_{x\to 0}\frac{e^x-1-x}{x^2} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x \ln(1+t)dt}{x^2} $$
处理方法：
解：
$$ \int_0^x \ln(1+t)dt\sim \int_0^x tdt=\frac12x^2 $$
所以：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\int_0^x \ln(1+t)dt}{x^2}=\frac12 $$
必须背熟的等价无穷小：
$$ \sin x\sim x,\quad \tan x\sim x,\quad \arcsin x\sim x,\quad \arctan x\sim x $$
$$ \ln(1+x)\sim x,\quad e^x-1\sim x,\quad 1-\cos x\sim \frac12x^2 $$
$$ (1+x)^\alpha-1\sim \alpha x $$
必须背熟的高阶差：
$$ x-\sin x\sim \frac16x^3 $$
$$ \tan x-x\sim \frac13x^3 $$
$$ \tan x-\sin x\sim \frac12x^3 $$
$$ x-\ln(1+x)\sim \frac12x^2 $$
$$ e^x-1-x\sim \frac12x^2 $$
两个重要极限：
$$ \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 $$
$$ \lim_{x\to 0}(1+x)^{\frac1x}=e $$
$1^\infty$ 型：
$$ \lim u^v=e^{\lim v(u-1)} $$
口诀：
乘除等价换，加减泰勒算；
$1^\infty$ 取对数，指数减一乘。
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