适用：数一、数二、数三通用
地位：积分学的核心，直接支撑定积分计算、变上限积分、反常积分、多元积分
核心任务：理解定积分定义，掌握定积分性质，掌握变上限积分函数与牛顿-莱布尼茨公式
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上有界。将 $[a,b]$ 分成 $n$ 个小区间：
$$ a=x_0<x_1<x_2<\cdots<x_n=b $$
记
$$ \Delta x_i=x_i-x_{i-1},\quad i=1,2,\cdots,n $$
在每个小区间 $[x_{i-1},x_i]$ 上任取一点 $\xi_i$，作和式
$$ S_n=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$
令
$$ \lambda=\max{\Delta x_1,\Delta x_2,\cdots,\Delta x_n} $$
若当 $\lambda\to0$ 时，和式 $S_n$ 的极限存在，且该极限与分法和 $\xi_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，该极限称为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的定积分，记作
$$ \int_a^b f(x)dx $$
即：
$$ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$
其中：
可积的充分条件：
可积的必要条件：
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界。
（1）非负函数：
若 $f(x)\ge0$，则
$$ \int_a^b f(x)dx $$
表示曲线 $y=f(x)$、直线 $x=a$、$x=b$ 与 $x$ 轴所围曲边梯形的面积。
（2）非正函数：
若 $f(x)\le0$，则
$$ \int_a^b f(x)dx $$
表示曲边梯形面积的负值。
（3）一般函数：
$$ \int_a^b f(x)dx $$
表示 $x$ 轴上方面积减去 $x$ 轴下方面积。
（1）规定：
$$ \int_a^a f(x)dx=0 $$
$$ \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx $$
（2）线性性质：
$$ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx =\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx $$
（3）区间可加性：
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx $$
其中 $c$ 可以在 $[a,b]$ 内，也可以在 $[a,b]$ 外。
（4）保号性：
若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge0$，则
$$ \int_a^b f(x)dx\ge0 $$
若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\le g(x)$，则
$$ \int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx $$
（5）绝对值不等式：
$$ \left|\int_a^b f(x)dx\right|\le\int_a^b|f(x)|dx $$
（6）估值定理：
若在 $[a,b]$ 上 $m\le f(x)\le M$，则
$$ m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a) $$
（7）积分中值定理：
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得
$$ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) $$
推广的积分中值定理：
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$g(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积且不变号，则存在 $\xi\in[a,b]$，使得
$$ \int_a^b f(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^b g(x)dx $$
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，定义
$$ \Phi(x)=\int_a^x f(t)dt,\quad x\in[a,b] $$
则 $\Phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可导，且
$$ \Phi'(x)=f(x) $$
即：
$$ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x) $$
更一般形式：
$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $$
重要结论：
设 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数，则
$$ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) $$
记作：
$$ \int_a^b f(x)dx=F(x)\Big|_a^b $$
注意：
（1）奇偶性：
若 $f(x)$ 在 $[-a,a]$ 上连续：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=2\int_0^a f(x)dx $$
$$ \int_{-a}^a f(x)dx=0 $$
（2）周期性：
若 $f(x)$ 以 $T$ 为周期，则
$$ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx $$
（3）常用变换：
$$ \int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)dx $$
$$ \int_0^\pi xf(\sin x)dx=\frac\pi2\int_0^\pi f(\sin x)dx $$
分部积分：
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
即：
$$ \int_a^b u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)\Big|_a^b-\int_a^b u'(x)v(x)dx $$
换元积分：
设 $x=\varphi(t)$ 单调可导，$\varphi(\alpha)=a$，$\varphi(\beta)=b$，则
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$
注意：
$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $$
基本形式：
推广形式：
例1
用定义计算
$$ \int_0^1 xdx $$
解：
将 $[0,1]$ 等分，分点为
$$ x_i=\frac in,\quad i=0,1,\cdots,n $$
取 $\xi_i=\frac in$，则
$$ \Delta x_i=\frac1n $$
和式：
$$ S_n=\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i =\sum_{i=1}^n\frac in\cdot\frac1n =\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n i =\frac{1}{n^2}\cdot\frac{n(n+1)}{2} =\frac{n+1}{2n} $$
所以：
$$ \int_0^1 xdx=\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n}=\frac12 $$
例2
用定义计算
$$ \int_0^1 x^2dx $$
解：
取 $\xi_i=\frac in$，则
$$ S_n=\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\cdot\frac1n =\frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n i^2 =\frac{1}{n^3}\cdot\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} $$
所以：
$$ \int_0^1 x^2dx =\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)(2n+1)}{6n^2} =\frac13 $$
例3
比较
$$ \int_0^1 xdx\quad\text{与}\quad\int_0^1 x^2dx $$
的大小。
解：
当 $0\le x\le1$ 时，
$$ x\ge x^2 $$
所以：
$$ \int_0^1 xdx\ge\int_0^1 x^2dx $$
例4
比较
$$ \int_1^2\ln x\,dx\quad\text{与}\quad\int_1^2(\ln x)^2dx $$
的大小。
解：
当 $1\le x\le2$ 时，
$$ 0\le\ln x\le1 $$
所以：
$$ \ln x\ge(\ln x)^2 $$
因此：
$$ \int_1^2\ln x\,dx\ge\int_1^2(\ln x)^2dx $$
例5
估计
$$ \int_0^1 e^{-x^2}dx $$
的值。
解：
当 $0\le x\le1$ 时，
$$ e^{-1}\le e^{-x^2}\le e^0=1 $$
所以：
$$ e^{-1}\le\int_0^1 e^{-x^2}dx\le1 $$
即：
$$ \frac1e\le\int_0^1 e^{-x^2}dx\le1 $$
例6
估计
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx $$
的值。
解：
当 $0\le x\le1$ 时，
$$ \frac12\le\frac{1}{1+x^2}\le1 $$
所以：
$$ \frac12\le\int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx\le1 $$
例7
求
$$ \frac{d}{dx}\int_0^x\sin t\,dt $$
解：
$$ \frac{d}{dx}\int_0^x\sin t\,dt=\sin x $$
例8
求
$$ \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^t\,dt $$
解：
由变上限积分求导公式：
$$ \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}e^t\,dt =e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2} $$
例9
求
$$ \frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{1+t^2}dt $$
解：
$$ \frac{d}{dx}\int_x^{x^2}\frac{1}{1+t^2}dt =\frac{1}{1+(x^2)^2}\cdot 2x-\frac{1}{1+x^2}\cdot 1 $$
$$ =\frac{2x}{1+x^4}-\frac{1}{1+x^2} $$
例10
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(1+t)dt}{x^2} $$
解：
这是 $\frac00$ 型。
用洛必达：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\ln(1+t)dt}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{2x} =\frac12 $$
例11
$$ \int_0^1 x^2dx $$
解：
$$ \int_0^1 x^2dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^1=\frac13 $$
例12
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx $$
解：
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx=-\cos x\Big|_0^{\frac\pi2} =-0-(-1)=1 $$
例13
$$ \int_1^e\frac1xdx $$
解：
$$ \int_1^e\frac1xdx=\ln x\Big|_1^e=1-0=1 $$
例14
$$ \int_0^1 e^xdx $$
解：
$$ \int_0^1 e^xdx=e^x\Big|_0^1=e-1 $$
例15
$$ \int_{-1}^1 x^3dx $$
解：
$f(x)=x^3$ 为奇函数，积分区间对称，所以
$$ \int_{-1}^1 x^3dx=0 $$
例16
$$ \int_{-1}^1 x^2dx $$
解：
$f(x)=x^2$ 为偶函数，所以
$$ \int_{-1}^1 x^2dx=2\int_0^1 x^2dx =2\cdot\frac13=\frac23 $$
例17
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx $$
解：
$\sin x$ 为奇函数，积分区间对称，所以
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\sin x\,dx=0 $$
例18
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos x\,dx $$
解：
$\cos x$ 为偶函数，所以
$$ \int_{-\pi}^{\pi}\cos x\,dx=2\int_0^{\pi}\cos x\,dx =2\sin x\Big|_0^{\pi}=0 $$
例19
$$ \int_{-2}^2(|x|+x)e^{x^2}dx $$
解：
拆开：
$$ \int_{-2}^2|x|e^{x^2}dx+\int_{-2}^2 xe^{x^2}dx $$
第二项：$xe^{x^2}$ 为奇函数，积分区间对称，所以
$$ \int_{-2}^2 xe^{x^2}dx=0 $$
第一项：$|x|e^{x^2}$ 为偶函数，所以
$$ \int_{-2}^2|x|e^{x^2}dx =2\int_0^2 xe^{x^2}dx $$
令 $u=x^2$，$du=2xdx$：
$$ =2\cdot\frac12\int_0^4 e^udu =e^u\Big|_0^4=e^4-1 $$
所以：
$$ \int_{-2}^2(|x|+x)e^{x^2}dx=e^4-1 $$
例20
$$ \int_0^{2\pi}|\sin x|dx $$
解：
$|\sin x|$ 以 $\pi$ 为周期，所以
$$ \int_0^{2\pi}|\sin x|dx =2\int_0^\pi\sin x\,dx =2(-\cos x)\Big|_0^\pi =2(1+1)=4 $$
例21
$$ \int_0^{n\pi}|\sin x|dx $$
其中 $n$ 为正整数。
解：
$$ \int_0^{n\pi}|\sin x|dx =n\int_0^\pi\sin x\,dx =2n $$
例22
证明存在 $\xi\in[0,1]$，使得
$$ \int_0^1 e^xdx=e^\xi $$
证明：
由积分中值定理，存在 $\xi\in[0,1]$，使得
$$ \int_0^1 e^xdx=e^\xi(1-0)=e^\xi $$
例23
证明存在 $\xi\in[0,\pi]$，使得
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=\pi\sin\xi $$
证明：
由积分中值定理，存在 $\xi\in[0,\pi]$，使得
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=\sin\xi\cdot(\pi-0)=\pi\sin\xi $$
而
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=2 $$
所以：
$$ \pi\sin\xi=2 $$
即：
$$ \sin\xi=\frac2\pi $$
例24
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx $$
解：
$$ \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx =\arctan x\Big|_0^1 =\frac\pi4-0=\frac\pi4 $$
例25
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx $$
解：
用降幂公式：
$$ \sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2} $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx =\frac12\int_0^{\frac\pi2}(1-\cos2x)dx $$
$$ =\frac12\left(x-\frac{\sin2x}{2}\right)\Big|_0^{\frac\pi2} =\frac12\cdot\frac\pi2=\frac\pi4 $$
例26
$$ \int_0^1 x\sqrt{1-x^2}dx $$
解：
令
$$ u=1-x^2 $$
则
$$ du=-2xdx $$
当 $x=0$ 时，$u=1$；当 $x=1$ 时，$u=0$。
所以：
$$ \int_0^1 x\sqrt{1-x^2}dx =-\frac12\int_1^0\sqrt{u}du =\frac12\int_0^1 u^{\frac12}du $$
$$ =\frac12\cdot\frac23u^{\frac32}\Big|_0^1 =\frac13 $$
例27
$$ \int_0^1 xe^xdx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=e^xdx $$
则
$$ du=dx,\quad v=e^x $$
$$ \int_0^1 xe^xdx =xe^x\Big|_0^1-\int_0^1 e^xdx $$
$$ =e-e^x\Big|_0^1 =e-(e-1)=1 $$
例28
$$ \int_0^{\frac\pi2}x\cos x\,dx $$
解：
取
$$ u=x,\quad dv=\cos x\,dx $$
则
$$ du=dx,\quad v=\sin x $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}x\cos x\,dx =x\sin x\Big|_0^{\frac\pi2}-\int_0^{\frac\pi2}\sin x\,dx $$
$$ =\frac\pi2-(-\cos x)\Big|_0^{\frac\pi2} =\frac\pi2-1 $$
例29
$$ \int_0^1\ln(1+x)dx $$
解：
取
$$ u=\ln(1+x),\quad dv=dx $$
则
$$ du=\frac{1}{1+x}dx,\quad v=x $$
$$ \int_0^1\ln(1+x)dx =x\ln(1+x)\Big|_0^1-\int_0^1\frac{x}{1+x}dx $$
$$ =\ln2-\int_0^1\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx $$
$$ =\ln2-\left[x-\ln(1+x)\right]\Big|_0^1 $$
$$ =\ln2-(1-\ln2)=2\ln2-1 $$
例30
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t\,dt}{x^2} $$
解：
这是 $\frac00$ 型。
用洛必达：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x\sin t\,dt}{x^2} =\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{2x} =\frac12 $$
例31
求
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\ln(1+t)dt}{x^4} $$
解：
这是 $\frac00$ 型。
用洛必达：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^{x^2}\ln(1+t)dt}{x^4} =\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x^2)\cdot 2x}{4x^3} $$
$$ =\lim_{x\to0}\frac{2x\cdot x^2}{4x^3} =\frac12 $$
例32
设
$$ F(x)=\int_0^x e^{-t^2}dt $$
求 $F'(x)$。
解：
$$ F'(x)=e^{-x^2} $$
例33
设
$$ F(x)=\int_0^{x^2}\frac{1}{1+t^2}dt $$
求 $F'(x)$。
解：
$$ F'(x)=\frac{1}{1+x^4}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^4} $$
$$ \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx $$
若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有间断点，不能直接使用牛顿-莱布尼茨公式。
例如：
$$ \int_{-1}^1\frac1{x^2}dx $$
不能直接计算，因为 $x=0$ 是无穷间断点。
$$ \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}f(t)dt=f(x^2)\cdot 2x $$
不要忘记乘以 $(x^2)'=2x$。
$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $$
不要只写一项。
定积分换元时，必须同时更换积分上下限。
错误：
$$ \int_0^1 x\sqrt{1-x^2}dx $$
换元 $u=1-x^2$ 后仍写 $\int_0^1$。
正确：
$$ \int_1^0\sqrt{u}\cdot\left(-\frac12\right)du $$
积分中值定理中，$\xi\in[a,b]$，可以是端点。
推广形式中，$\xi\in[a,b]$。
若 $m\le f(x)\le M$，则
$$ m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a) $$
注意 $b-a>0$。
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
第一项必须代入上下限。
定积分换元后，不需要回代原变量，直接计算新积分限即可。
常见形式：
$$ \frac{d}{dx}\int_0^x f(t)dt $$
$$ \frac{d}{dx}\int_0^{x^2}f(t)dt $$
$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt $$
处理方法：
常见形式：
$$ \lim_{x\to0}\frac{\int_0^x f(t)dt}{x^n} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx $$
$$ \int_0^{nT}f(x)dx $$
处理方法：
定积分定义：
$$ \int_a^b f(x)dx=\lim_{\lambda\to0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i $$
规定：
$$ \int_a^a f(x)dx=0 $$
$$ \int_a^b f(x)dx=-\int_b^a f(x)dx $$
线性性质：
$$ \int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx =\alpha\int_a^b f(x)dx+\beta\int_a^b g(x)dx $$
区间可加性：
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_a^c f(x)dx+\int_c^b f(x)dx $$
保号性：
$$ f(x)\ge0\Rightarrow\int_a^b f(x)dx\ge0 $$
$$ f(x)\le g(x)\Rightarrow\int_a^b f(x)dx\le\int_a^b g(x)dx $$
绝对值不等式：
$$ \left|\int_a^b f(x)dx\right|\le\int_a^b|f(x)|dx $$
估值定理：
$$ m(b-a)\le\int_a^b f(x)dx\le M(b-a) $$
积分中值定理：
$$ \int_a^b f(x)dx=f(\xi)(b-a) $$
变上限积分求导：
$$ \frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt=f(x) $$
$$ \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)dt =f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x) $$
牛顿-莱布尼茨公式：
$$ \int_a^b f(x)dx=F(b)-F(a) $$
奇偶性：
$$ \int_{-a}^a f(x)dx= \begin{cases} 0, & f(x)\text{ 为奇函数}\ 2\int_0^a f(x)dx, & f(x)\text{ 为偶函数} \end{cases} $$
周期性：
$$ \int_a^{a+T}f(x)dx=\int_0^T f(x)dx $$
常用变换：
$$ \int_0^a f(x)dx=\int_0^a f(a-x)dx $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}f(\sin x)dx=\int_0^{\frac\pi2}f(\cos x)dx $$
分部积分：
$$ \int_a^b u\,dv=uv\Big|_a^b-\int_a^b v\,du $$
换元积分：
$$ \int_a^b f(x)dx=\int_\alpha^\beta f(\varphi(t))\varphi'(t)dt $$
口诀：
定积分是个数，不定积分是函数族；
牛顿-莱布尼茨公式，连续函数才能用；
变上限积分求导，链式法则不能忘；
奇偶对称看区间，周期积分看长度；
换元必须换积分限，分部积分代上下限。
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