《考研数学核心考点公式大全》

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1 百分冲刺复习计划

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2 函数、极限与连续

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3 一元函数微分学

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4 一元函数积分学

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5 多元函数微分学

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6 多元函数积分学

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7 常微分方程

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8 行列式

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9 矩阵

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10 向量

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11 线性方程组

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12 特征值与特征向量

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13 二次型

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14 随机事件与概率

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15 随机变量及其分布

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16 数字特征

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17 数理统计

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18 附录

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适用：数一、数二、数三通用
地位：一元微分学的计算核心，直接支撑中值定理、导数应用、积分学
核心任务：熟记基本导数公式，掌握四则运算、复合、反函数、隐函数、参数方程求导

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一、核心公式与定义

1. 基本导数公式

以下公式是导数计算的基础，必须熟记：

常数与幂函数：

$$ (C)'=0 $$

$$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$

特别地：

$$ (x)'=1 $$

$$ (x^2)'=2x $$

$$ \left(\frac1x\right)'=-\frac{1}{x^2} $$

$$ (\sqrt{x})'=\frac{1}{2\sqrt{x}} $$

$$ \left(\frac{1}{\sqrt{x}}\right)'=-\frac{1}{2x\sqrt{x}} $$

指数函数：

$$ (a^x)'=a^x\ln a $$

$$ (e^x)'=e^x $$

对数函数：

$$ (\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a} $$

$$ (\ln x)'=\frac1x $$

三角函数：

$$ (\sin x)'=\cos x $$

$$ (\cos x)'=-\sin x $$

$$ (\tan x)'=\sec^2x $$

$$ (\cot x)'=-\csc^2x $$

$$ (\sec x)'=\sec x\tan x $$

$$ (\csc x)'=-\csc x\cot x $$

反三角函数：

$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ (\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$

$$ (\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2} $$

双曲函数（数一了解）：

$$ (\sinh x)'=\cosh x $$

$$ (\cosh x)'=\sinh x $$

$$ (\tanh x)'=\frac{1}{\cosh^2x} $$

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2. 导数的四则运算法则

设 $u=u(x)$，$v=v(x)$ 均可导。

（1）加减法则：

$$ (u\pm v)'=u'\pm v' $$

（2）乘法法则：

$$ (uv)'=u'v+uv' $$

推广到三个函数：

$$ (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw' $$

（3）除法法则：

$$ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2},\quad v\neq0 $$

特别地：

$$ \left(\frac1v\right)'=-\frac{v'}{v^2} $$

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3. 复合函数求导（链式法则）

设 $y=f(u)$，$u=g(x)$，且 $f(u)$ 在 $u$ 处可导，$g(x)$ 在 $x$ 处可导，则复合函数

$$ y=f(g(x)) $$

在 $x$ 处可导，且

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} $$

即：

$$ [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x) $$

多层复合：

若

$$ y=f(u),\quad u=g(v),\quad v=h(x) $$

则

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dv}\cdot\frac{dv}{dx} $$

常用复合求导示例：

$$ (\sin 2x)'=\cos 2x\cdot 2=2\cos 2x $$

$$ (e^{x^2})'=e^{x^2}\cdot 2x=2xe^{x^2} $$

$$ (\ln(1+x^2))'=\frac{1}{1+x^2}\cdot 2x=\frac{2x}{1+x^2} $$

$$ (\sqrt{1+x^2})'=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

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4. 反函数求导

设 $y=f(x)$ 严格单调且可导，且 $f'(x)\neq0$，则其反函数 $x=f^{-1}(y)$ 可导，且

$$ [f^{-1}(y)]'=\frac{1}{f'(x)} $$

即：

$$ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dy}{dx}} $$

写成 $y=f^{-1}(x)$ 的形式：

$$ [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$

常用反函数导数：

$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$

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5. 隐函数求导

设方程

$$ F(x,y)=0 $$

确定 $y=y(x)$，且 $F$ 可微，$F_y\neq0$，则

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

实际操作步骤：

1. 对方程两边同时对 $x$ 求导；
2. 把 $y$ 看作 $x$ 的函数，遇到 $y$ 时用链式法则；
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$。

例：

设

$$ x^2+y^2=1 $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

两边对 $x$ 求导：

$$ 2x+2y\frac{dy}{dx}=0 $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} $$

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6. 参数方程求导

设

$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\ y=\psi(t) \end{cases} $$

且 $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 可导，$\varphi'(t)\neq0$，则

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} =\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$

二阶导数：

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) =\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\frac{dx}{dt}} $$

即：

$$ \frac{d^2y}{dx^2} =\frac{\psi''(t)\varphi'(t)-\psi'(t)\varphi''(t)}{[\varphi'(t)]^3} $$

例：

设

$$ \begin{cases} x=t^2\ y=t^3 \end{cases} $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

$$ \frac{dx}{dt}=2t,\quad \frac{dy}{dt}=3t^2 $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2} $$

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7. 对数求导法

适用于：

• 幂指函数 $y=u(x)^{v(x)}$；
• 多个因子相乘除的函数。

方法：

1. 两边取对数；
2. 两边对 $x$ 求导；
3. 解出 $y'$。

例：

设

$$ y=x^x $$

求 $y'$。

解：

两边取对数：

$$ \ln y=x\ln x $$

两边对 $x$ 求导：

$$ \frac{y'}{y}=\ln x+1 $$

所以

$$ y'=y(\ln x+1)=x^x(\ln x+1) $$

幂指函数通用公式：

$$ [u(x)^{v(x)}]' =u(x)^{v(x)}\left[v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)}\right] $$

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8. 高阶导数

定义：

$$ f''(x)=[f'(x)]' $$

$$ f^{(n)}(x)=[f^{(n-1)}(x)]' $$

常用高阶导数公式：

$$ (e^x)^{(n)}=e^x $$

$$ (a^x)^{(n)}=a^x(\ln a)^n $$

$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$

$$ \left(\frac1x\right)^{(n)}=\frac{(-1)^nn!}{x^{n+1}} $$

$$ (x^n)^{(n)}=n! $$

$$ (x^n)^{(n+1)}=0 $$

莱布尼茨公式：

$$ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} $$

即：

$$ (uv)^{(n)}=u^{(n)}v+nu^{(n-1)}v'+\frac{n(n-1)}{2}u^{(n-2)}v''+\cdots+uv^{(n)} $$

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二、使用条件

1. 四则运算的使用条件

使用四则运算求导时，必须保证：

• $u(x)$、$v(x)$ 在求导点处可导；
• 除法中 $v(x)\neq0$。

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2. 链式法则的使用条件

使用链式法则时，必须保证：

• 外层函数在对应点可导；
• 内层函数在对应点可导。

注意：

链式法则可以多层嵌套，由外向内逐层求导。

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3. 反函数求导的使用条件

使用反函数求导公式时，必须保证：

• 原函数严格单调；
• 原函数可导；
• $f'(x)\neq0$。

若 $f'(x)=0$，则反函数在该点可能不可导。

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4. 隐函数求导的使用条件

使用隐函数求导时，必须保证：

• 方程 $F(x,y)=0$ 能确定隐函数 $y=y(x)$；
• $F$ 可微；
• $F_y\neq0$。

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5. 参数方程求导的使用条件

使用参数方程求导时，必须保证：

• $\varphi(t)$、$\psi(t)$ 可导；
• $\varphi'(t)\neq0$。

若 $\varphi'(t)=0$，则需要单独讨论。

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6. 对数求导法的使用条件

使用对数求导法时，必须保证：

• 函数取对数后有意义，即 $y>0$；
• 若 $y<0$，可以先取绝对值再取对数；
• 幂指函数 $u(x)^{v(x)}$ 要求 $u(x)>0$。

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三、典型题型

题型1：基本公式直接求导

例1

求

$$ y=x^3+2x^2-5x+1 $$

的导数。

解：

$$ y'=3x^2+4x-5 $$

例2

求

$$ y=\sin x+\cos x $$

的导数。

解：

$$ y'=\cos x-\sin x $$

例3

求

$$ y=e^x+\ln x $$

的导数。

解：

$$ y'=e^x+\frac1x $$

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题型2：四则运算求导

例4

求

$$ y=x^2\sin x $$

的导数。

解：

$$ y'=(x^2)'\sin x+x^2(\sin x)' =2x\sin x+x^2\cos x $$

例5

求

$$ y=\frac{\ln x}{x} $$

的导数。

解：

$$ y'=\frac{(\ln x)'x-\ln x\cdot(x)'}{x^2} =\frac{\frac1x\cdot x-\ln x}{x^2} =\frac{1-\ln x}{x^2} $$

例6

求

$$ y=\frac{\sin x}{1+\cos x} $$

的导数。

解：

$$ y'=\frac{\cos x(1+\cos x)-\sin x(-\sin x)}{(1+\cos x)^2} $$

$$ =\frac{\cos x+\cos^2x+\sin^2x}{(1+\cos x)^2} =\frac{\cos x+1}{(1+\cos x)^2} =\frac{1}{1+\cos x} $$

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题型3：复合函数求导

例7

求

$$ y=\sin(2x+1) $$

的导数。

解：

$$ y'=\cos(2x+1)\cdot 2=2\cos(2x+1) $$

例8

求

$$ y=e^{\sin x} $$

的导数。

解：

$$ y'=e^{\sin x}\cdot\cos x $$

例9

求

$$ y=\ln(\sin x) $$

的导数。

解：

$$ y'=\frac{1}{\sin x}\cdot\cos x=\cot x $$

例10

求

$$ y=\sqrt{1+x^2} $$

的导数。

解：

$$ y'=\frac{1}{2\sqrt{1+x^2}}\cdot 2x=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$

例11

求

$$ y=\arctan\frac1x $$

的导数。

解：

$$ y'=\frac{1}{1+\left(\frac1x\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) $$

$$ =\frac{1}{\frac{x^2+1}{x^2}}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) =\frac{x^2}{x^2+1}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right) =-\frac{1}{1+x^2} $$

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题型4：隐函数求导

例12

设

$$ x^2+y^2=1 $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

两边对 $x$ 求导：

$$ 2x+2y\frac{dy}{dx}=0 $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y} $$

例13

设

$$ e^y+xy=e $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

两边对 $x$ 求导：

$$ e^y\frac{dy}{dx}+y+x\frac{dy}{dx}=0 $$

所以

$$ (e^y+x)\frac{dy}{dx}=-y $$

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{e^y+x} $$

例14

设

$$ \ln y=x+y $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

两边对 $x$ 求导：

$$ \frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx} $$

所以

$$ \left(\frac1y-1\right)\frac{dy}{dx}=1 $$

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac1y-1}=\frac{y}{1-y} $$

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题型5：参数方程求导

例15

设

$$ \begin{cases} x=t^2\ y=t^3 \end{cases} $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

$$ \frac{dx}{dt}=2t,\quad \frac{dy}{dt}=3t^2 $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{3t^2}{2t}=\frac{3t}{2} $$

例16

设

$$ \begin{cases} x=a\cos t\ y=b\sin t \end{cases} $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

$$ \frac{dx}{dt}=-a\sin t,\quad \frac{dy}{dt}=b\cos t $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{b\cos t}{-a\sin t}=-\frac{b}{a}\cot t $$

例17

设

$$ \begin{cases} x=t-\sin t\ y=1-\cos t \end{cases} $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

$$ \frac{dx}{dt}=1-\cos t,\quad \frac{dy}{dt}=\sin t $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\sin t}{1-\cos t} $$

利用半角公式：

$$ \frac{\sin t}{1-\cos t} =\frac{2\sin\frac t2\cos\frac t2}{2\sin^2\frac t2} =\cot\frac t2 $$

所以

$$ \frac{dy}{dx}=\cot\frac t2 $$

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题型6：对数求导法

例18

求

$$ y=x^x $$

的导数。

解：

两边取对数：

$$ \ln y=x\ln x $$

两边对 $x$ 求导：

$$ \frac{y'}{y}=\ln x+1 $$

所以

$$ y'=x^x(\ln x+1) $$

例19

求

$$ y=\frac{(x+1)^2\sqrt{x-1}}{(x+2)^3} $$

的导数。

解：

两边取对数：

$$ \ln y=2\ln(x+1)+\frac12\ln(x-1)-3\ln(x+2) $$

两边对 $x$ 求导：

$$ \frac{y'}{y}=\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+2} $$

所以

$$ y'=y\left(\frac{2}{x+1}+\frac{1}{2(x-1)}-\frac{3}{x+2}\right) $$

例20

求

$$ y=(\sin x)^x $$

的导数。

解：

两边取对数：

$$ \ln y=x\ln(\sin x) $$

两边对 $x$ 求导：

$$ \frac{y'}{y}=\ln(\sin x)+x\cdot\frac{\cos x}{\sin x} $$

所以

$$ y'=(\sin x)^x\left[\ln(\sin x)+x\cot x\right] $$

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题型7：高阶导数

例21

求

$$ y=xe^x $$

的二阶导数。

解：

$$ y'=e^x+xe^x=(1+x)e^x $$

$$ y''=e^x+(1+x)e^x=(2+x)e^x $$

例22

求

$$ y=x^2e^x $$

的 $n$ 阶导数。

解：

用莱布尼茨公式：

$$ y^{(n)}=(x^2)^{(n)}e^x+n(x^2)^{(n-1)}(e^x)'+\frac{n(n-1)}{2}(x^2)^{(n-2)}(e^x)'' $$

因为 $(x^2)'''=0$，所以只有前三项：

$$ y^{(n)}=0+n\cdot 2x\cdot e^x+\frac{n(n-1)}{2}\cdot 2\cdot e^x $$

$$ =2nxe^x+n(n-1)e^x $$

$$ =e^x[2nx+n(n-1)] $$

例23

求

$$ y=\sin x $$

的 $n$ 阶导数。

解：

$$ y^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$

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四、易错提醒

易错1：忘记链式法则

错误：

$$ (\sin 2x)'=\cos 2x $$

正确：

$$ (\sin 2x)'=\cos 2x\cdot 2=2\cos 2x $$

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易错2：乘法法则写成 $u'v'$

错误：

$$ (uv)'=u'v' $$

正确：

$$ (uv)'=u'v+uv' $$

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易错3：除法法则分子顺序写反

错误：

$$ \left(\frac uv\right)'=\frac{uv'-u'v}{v^2} $$

正确：

$$ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} $$

记忆口诀：上导下不导，减去上不导下导，除以分母平方。

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易错4：隐函数求导忘记 $y$ 是 $x$ 的函数

错误：

$$ (x^2+y^2)'=2x+2y $$

正确：

$$ (x^2+y^2)'=2x+2y\frac{dy}{dx} $$

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易错5：参数方程求导直接对 $t$ 求导

错误：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{dt} $$

正确：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}} $$

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易错6：对数求导法忘记乘 $y$

错误：

$$ \frac{y'}{y}=\ln x+1 $$

就认为 $y'=\ln x+1$。

正确：

$$ y'=y(\ln x+1) $$

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易错7：幂指函数直接套幂函数公式

错误：

$$ (x^x)'=x\cdot x^{x-1} $$

正确：

$$ (x^x)'=x^x(\ln x+1) $$

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易错8：反函数求导忘记取倒数

错误：

$$ [f^{-1}(x)]'=f'(x) $$

正确：

$$ [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$

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易错9：高阶导数与低阶导数混淆

$$ f''(x)\neq [f(x)]^2 $$

$$ f^{(n)}(x)\neq [f(x)]^n $$

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易错10：莱布尼茨公式项数写错

$$ (uv)^{(n)} $$

共有 $n+1$ 项，从 $k=0$ 到 $k=n$。

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五、真题链接思路

真题方向1：复合函数求导

常见形式：

• 多层复合；
• 含三角函数、指数函数、对数函数；
• 与极限、积分综合。

处理方法：

1. 由外向内逐层求导；
2. 每层乘以内层导数；
3. 最后化简。

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真题方向2：隐函数求导

常见形式：

$$ F(x,y)=0 $$

求 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

处理方法：

1. 两边对 $x$ 求导；
2. 把 $y$ 看作 $x$ 的函数；
3. 解出 $\frac{dy}{dx}$；
4. 若求二阶导，再对 $\frac{dy}{dx}$ 求导。

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真题方向3：参数方程求导

常见形式：

$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\\ y=\psi(t) \end{cases} $$

求 $\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

处理方法：

1. 分别求 $\frac{dx}{dt}$、$\frac{dy}{dt}$；
2. 用公式

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$

1. 二阶导用

$$ \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right)}{\varphi'(t)} $$

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真题方向4：对数求导法

常见形式：

• 幂指函数 $u(x)^{v(x)}$；
• 多个因子相乘除。

处理方法：

1. 两边取对数；
2. 两边对 $x$ 求导；
3. 解出 $y'$。

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真题方向5：高阶导数

常见形式：

• 求 $f^{(n)}(x)$；
• 求某点处的 $n$ 阶导数；
• 用莱布尼茨公式。

处理方法：

1. 识别是否为常见函数的高阶导数；
2. 若是乘积，用莱布尼茨公式；
3. 若是复合，先求几阶找规律。

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真题方向6：导数与极限综合

常见形式：

$$ \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x} $$

其中 $f(x)$ 可导。

处理方法：

1. 由可导得连续；
2. 用导数定义转化；
3. 计算极限。

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六、记忆清单

基本导数公式：

$$ (C)'=0 $$

$$ (x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1} $$

$$ (a^x)'=a^x\ln a $$

$$ (e^x)'=e^x $$

$$ (\ln x)'=\frac1x $$

$$ (\sin x)'=\cos x $$

$$ (\cos x)'=-\sin x $$

$$ (\tan x)'=\sec^2x $$

$$ (\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} $$

$$ (\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2} $$

四则运算：

$$ (u\pm v)'=u'\pm v' $$

$$ (uv)'=u'v+uv' $$

$$ \left(\frac uv\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2} $$

链式法则：

$$ [f(g(x))]'=f'(g(x))\cdot g'(x) $$

反函数求导：

$$ [f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(f^{-1}(x))} $$

隐函数求导：

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

参数方程求导：

$$ \frac{dy}{dx}=\frac{\psi'(t)}{\varphi'(t)} $$

对数求导法：

$$ (\ln y)'=\frac{y'}{y} $$

幂指函数：

$$ [u^v]'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right) $$

高阶导数：

$$ (\sin x)^{(n)}=\sin\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ (\cos x)^{(n)}=\cos\left(x+\frac{n\pi}{2}\right) $$

$$ (e^x)^{(n)}=e^x $$

$$ (\ln x)^{(n)}=\frac{(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^n} $$

莱布尼茨公式：

$$ (uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(n-k)}v^{(k)} $$

口诀：

基本公式要背熟，四则运算分清楚；
复合由外向内导，隐函数中 $y$ 是函数；
参数方程上下除，幂指函数取对数；
高阶导数找规律，莱布尼茨乘积用。

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