$$ \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} +\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial x} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y} =\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} +\frac{\partial z}{\partial v}\cdot\frac{\partial v}{\partial y} $$

即：

$$ z_x=f_u u_x+f_v v_x $$

$$ z_y=f_u u_y+f_v v_y $$

（3）多层复合：

设

$$ z=f(u,v),\quad u=u(s,t),\quad v=v(s,t),\quad s=s(x,y),\quad t=t(x,y) $$

则

$$ \frac{\partial z}{\partial x} =\frac{\partial z}{\partial u}\left(\frac{\partial u}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}\right) +\frac{\partial z}{\partial v}\left(\frac{\partial v}{\partial s}\frac{\partial s}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial t}\frac{\partial t}{\partial x}\right) $$

（4）混合情形：

设

$$ z=f(u,v),\quad u=u(x,y),\quad v=v(y) $$

则

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=f_u u_x $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y}=f_u u_y+f_v v' $$

注意：

链式法则的关键是画出变量关系图，沿路径相乘，分路径相加。

2. 全微分形式不变性

设 $z=f(u,v)$ 可微，$u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$ 可微，则

$$ dz=f_u du+f_v dv $$

无论 $u$、$v$ 是自变量还是中间变量，全微分形式相同。

应用：

利用全微分形式不变性，可以方便地求偏导数。

3. 隐函数求导（一个方程）

（1）一元隐函数：

设方程

$$ F(x,y)=0 $$

确定 $y=y(x)$，且 $F$ 可微，$F_y\neq0$，则

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

（2）二元隐函数：

设方程

$$ F(x,y,z)=0 $$

确定 $z=z(x,y)$，且 $F$ 可微，$F_z\neq0$，则

$$ \frac{\partial z}{\partial x}=-\frac{F_x}{F_z} $$

$$ \frac{\partial z}{\partial y}=-\frac{F_y}{F_z} $$

（3）隐函数存在定理：

若 $F(x_0,y_0,z_0)=0$，$F$ 在 $(x_0,y_0,z_0)$ 的某个邻域内有连续偏导数，且

$$ F_z(x_0,y_0,z_0)\neq0 $$

则方程 $F(x,y,z)=0$ 在 $(x_0,y_0)$ 的某个邻域内唯一确定一个连续可微函数 $z=z(x,y)$，且

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z},\quad z_y=-\frac{F_y}{F_z} $$

4. 隐函数组求导（方程组）

设方程组

$$ \begin{cases} F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0 \end{cases} $$

确定 $u=u(x,y)$、$v=v(x,y)$。

求 $\frac{\partial u}{\partial x}$、$\frac{\partial v}{\partial x}$：

对方程组两边对 $x$ 求偏导：

$$ \begin{cases} F_x+F_u u_x+F_v v_x=0\\ G_x+G_u u_x+G_v v_x=0 \end{cases} $$

解此线性方程组，得 $u_x$、$v_x$。

雅可比行列式：

$$ J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v\ G_u & G_v \end{vmatrix} $$

若 $J\neq0$，则

$$ u_x=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,v)} $$

$$ v_x=-\frac{1}{J}\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,x)} $$

即：

$$ u_x=-\frac{ \begin{vmatrix} F_x & F_v\\ G_x & G_v \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix} } $$

$$ v_x=-\frac{ \begin{vmatrix} F_u & F_x\\ G_u & G_x \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix} } $$

同理可求 $u_y$、$v_y$。

5. 常用求导公式

复合函数：

$$ z=f(x,y),\quad y=y(x) $$

则

$$ \frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx} $$

全导数：

$$ \frac{dz}{dt}=f_u\frac{du}{dt}+f_v\frac{dv}{dt} $$

隐函数：

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z},\quad z_y=-\frac{F_y}{F_z} $$

6. 变量关系图

画图原则：

因变量在上，自变量在下；
中间变量在中间；
沿路径相乘，分路径相加。

例：

$$ z=f(u,v),\quad u=u(x,y),\quad v=v(x,y) $$

变量关系图：

$$ z \begin{cases} u \begin{cases} x\\ y \end{cases}\\ v \begin{cases} x\ y \end{cases} \end{cases} $$

所以：

$$ z_x=f_u u_x+f_v v_x $$

$$ z_y=f_u u_y+f_v v_y $$

二、使用条件

1. 多元复合函数求导的使用条件

外层函数可微；
内层函数可偏导；
链式法则可以多层嵌套。

2. 全微分形式不变性的使用条件

$f$ 可微；
$u$、$v$ 可微。

3. 隐函数求导的使用条件

$F$ 可微；
$F_y\neq0$（一元隐函数）；
$F_z\neq0$（二元隐函数）。

4. 隐函数组求导的使用条件

$F$、$G$ 可微；
雅可比行列式

$$ J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)}\neq0 $$

5. 链式法则的使用条件

每一步求导都要保证函数可导；
复合函数结构要清晰；
不要遗漏中间变量。

三、典型题型

题型1：一元中间变量的复合函数

例1

设

$$ z=u^2+v^2,\quad u=\sin t,\quad v=\cos t $$

求 $\frac{dz}{dt}$。

解：

$$ \frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt}+\frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt} $$

$$ =2u\cos t+2v(-\sin t) $$

$$ =2\sin t\cos t-2\cos t\sin t=0 $$

例2

设

$$ z=e^{uv},\quad u=t^2,\quad v=\sin t $$

求 $\frac{dz}{dt}$。

解：

$$ \frac{dz}{dt}=e^{uv}\cdot v\cdot 2t+e^{uv}\cdot u\cdot\cos t $$

$$ =e^{uv}(2tv+u\cos t) $$

$$ =e^{t^2\sin t}(2t\sin t+t^2\cos t) $$

题型2：多元中间变量的复合函数

例3

设

$$ z=u^2+v^2,\quad u=x+y,\quad v=x-y $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

$$ z_x=2u\cdot1+2v\cdot1=2(u+v)=2(2x)=4x $$

$$ z_y=2u\cdot1+2v\cdot(-1)=2(u-v)=2(2y)=4y $$

例4

设

$$ z=e^{xy},\quad x=u+v,\quad y=u-v $$

求 $z_u$、$z_v$。

解：

$$ z_u=e^{xy}\cdot y\cdot1+e^{xy}\cdot x\cdot1 =e^{xy}(y+x) $$

$$ z_v=e^{xy}\cdot y\cdot1+e^{xy}\cdot x\cdot(-1) =e^{xy}(y-x) $$

例5

设

$$ z=f(x^2+y^2) $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ u=x^2+y^2 $$

则

$$ z=f(u) $$

$$ z_x=f'(u)\cdot2x=2xf'(x^2+y^2) $$

$$ z_y=f'(u)\cdot2y=2yf'(x^2+y^2) $$

题型3：抽象复合函数求导

例6

设

$$ z=f(xy,\frac yx) $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ u=xy,\quad v=\frac yx $$

则

$$ z=f(u,v) $$

$$ u_x=y,\quad u_y=x $$

$$ v_x=-\frac{y}{x^2},\quad v_y=\frac1x $$

所以：

$$ z_x=f_u\cdot y+f_v\cdot\left(-\frac{y}{x^2}\right) =yf_u-\frac{y}{x^2}f_v $$

$$ z_y=f_u\cdot x+f_v\cdot\frac1x =xf_u+\frac1xf_v $$

例7

设

$$ z=f(x+y,xy) $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ u=x+y,\quad v=xy $$

则

$$ z=f(u,v) $$

$$ u_x=1,\quad u_y=1 $$

$$ v_x=y,\quad v_y=x $$

所以：

$$ z_x=f_u+f_v\cdot y $$

$$ z_y=f_u+f_v\cdot x $$

例8

设

$$ z=f(x,y),\quad y=\varphi(x) $$

求 $\frac{dz}{dx}$。

解：

$$ \frac{dz}{dx}=f_x+f_y\varphi'(x) $$

题型4：高阶偏导数

例9

设

$$ z=f(x+y) $$

求 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$。

解：

令

$$ u=x+y $$

则

$$ z=f(u) $$

$$ z_x=f'(u),\quad z_y=f'(u) $$

$$ z_{xx}=f''(u),\quad z_{yy}=f''(u) $$

$$ z_{xy}=f''(u) $$

例10

设

$$ z=f(x^2+y^2) $$

求 $z_{xx}$、$z_{yy}$。

解：

$$ z_x=2xf'(u),\quad u=x^2+y^2 $$

$$ z_{xx}=2f'(u)+2x\cdot f''(u)\cdot2x =2f'(u)+4x^2f''(u) $$

$$ z_{yy}=2f'(u)+4y^2f''(u) $$

题型5：隐函数求导（一元）

例11

设

$$ x^2+y^2=1 $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

令

$$ F(x,y)=x^2+y^2-1 $$

则

$$ F_x=2x,\quad F_y=2y $$

所以：

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y}=-\frac{2x}{2y}=-\frac xy $$

例12

设

$$ e^y+xy=e $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

令

$$ F(x,y)=e^y+xy-e $$

则

$$ F_x=y,\quad F_y=e^y+x $$

所以：

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{e^y+x} $$

例13

设

$$ \ln y=x+y $$

求 $\frac{dy}{dx}$。

解：

令

$$ F(x,y)=\ln y-x-y $$

则

$$ F_x=-1,\quad F_y=\frac1y-1 $$

所以：

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{-1}{\frac1y-1} =\frac{1}{\frac1y-1} =\frac{y}{1-y} $$

题型6：隐函数求导（二元）

例14

设

$$ x^2+y^2+z^2=1 $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 $$

则

$$ F_x=2x,\quad F_y=2y,\quad F_z=2z $$

所以：

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z}=-\frac{2x}{2z}=-\frac xz $$

$$ z_y=-\frac{F_y}{F_z}=-\frac{2y}{2z}=-\frac yz $$

例15

设

$$ e^z-xyz=0 $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ F(x,y,z)=e^z-xyz $$

则

$$ F_x=-yz,\quad F_y=-xz,\quad F_z=e^z-xy $$

所以：

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z}=\frac{yz}{e^z-xy} $$

$$ z_y=-\frac{F_y}{F_z}=\frac{xz}{e^z-xy} $$

例16

设

$$ z^3-3xyz=1 $$

求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ F(x,y,z)=z^3-3xyz-1 $$

则

$$ F_x=-3yz,\quad F_y=-3xz,\quad F_z=3z^2-3xy $$

所以：

$$ z_x=-\frac{-3yz}{3z^2-3xy} =\frac{yz}{z^2-xy} $$

$$ z_y=-\frac{-3xz}{3z^2-3xy} =\frac{xz}{z^2-xy} $$

题型7：隐函数组求导

例17

设

$$ \begin{cases} x+y+u+v=0\ x^2+y^2+u^2+v^2=1 \end{cases} $$

求 $u_x$、$v_x$。

解：

令

$$ F=x+y+u+v $$

$$ G=x^2+y^2+u^2+v^2-1 $$

则：

$$ F_x=1,\quad F_u=1,\quad F_v=1 $$

$$ G_x=2x,\quad G_u=2u,\quad G_v=2v $$

对方程组两边对 $x$ 求偏导：

$$ \begin{cases} 1+u_x+v_x=0\ 2x+2uu_x+2vv_x=0 \end{cases} $$

即：

$$ \begin{cases} u_x+v_x=-1\\ uu_x+vv_x=-x \end{cases} $$

解此方程组：

$$ u_x=\frac{ \begin{vmatrix} -1 & 1\\ -x & v \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 1 & 1\ u & v \end{vmatrix} } =\frac{-v+x}{v-u} =\frac{x-v}{v-u} $$

$$ v_x=\frac{ \begin{vmatrix} 1 & -1\\ u & -x \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 1 & 1\\ u & v \end{vmatrix} } =\frac{-x+u}{v-u} =\frac{u-x}{v-u} $$

例18

设

$$ \begin{cases} u=f(x,y)\\ v=g(x,y) \end{cases} $$

求 $x_u$、$y_u$。

解：

由反函数组定理：

$$ \frac{\partial x}{\partial u} =\frac{1}{J}\frac{\partial v}{\partial y} $$

$$ \frac{\partial y}{\partial u} =-\frac{1}{J}\frac{\partial v}{\partial x} $$

其中

$$ J=\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y\ v_x & v_y \end{vmatrix} $$

题型8：全微分形式不变性

例19

设

$$ z=f(xy,\frac yx) $$

求 $dz$。

解：

令

$$ u=xy,\quad v=\frac yx $$

则

$$ du=ydx+xdy $$

$$ dv=\frac{xdy-ydx}{x^2} =-\frac{y}{x^2}dx+\frac1xdy $$

所以：

$$ dz=f_udu+f_vdv $$

$$ =f_u(ydx+xdy)+f_v\left(-\frac{y}{x^2}dx+\frac1xdy\right) $$

$$ =\left(yf_u-\frac{y}{x^2}f_v\right)dx+\left(xf_u+\frac1xf_v\right)dy $$

题型9：复合函数与隐函数综合

例20

设

$$ z=z(x,y) $$

由方程

$$ F(x+y,z)=0 $$

确定，求 $z_x$、$z_y$。

解：

令

$$ u=x+y $$

则

$$ F(u,z)=0 $$

对 $x$ 求偏导：

$$ F_u\cdot1+F_z\cdot z_x=0 $$

所以：

$$ z_x=-\frac{F_u}{F_z} $$

对 $y$ 求偏导：

$$ F_u\cdot1+F_z\cdot z_y=0 $$

所以：

$$ z_y=-\frac{F_u}{F_z} $$

例21

设

$$ u=f(x,y,z),\quad z=z(x,y) $$

由方程

$$ F(x,y,z)=0 $$

确定，求 $u_x$、$u_y$。

解：

由链式法则：

$$ u_x=f_x+f_z z_x $$

$$ u_y=f_y+f_z z_y $$

而：

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z},\quad z_y=-\frac{F_y}{F_z} $$

所以：

$$ u_x=f_x-f_z\frac{F_x}{F_z} $$

$$ u_y=f_y-f_z\frac{F_y}{F_z} $$

题型10：坐标变换

例22

设

$$ u=\frac{x+y}{2},\quad v=\frac{x-y}{2} $$

求

$$ \frac{\partial u}{\partial x},\quad\frac{\partial u}{\partial y},\quad\frac{\partial v}{\partial x},\quad\frac{\partial v}{\partial y} $$

解：

$$ u_x=\frac12,\quad u_y=\frac12 $$

$$ v_x=\frac12,\quad v_y=-\frac12 $$

例23

设

$$ z=f(x,y) $$

令

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$

求 $z_r$、$z_\theta$。

解：

$$ z_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta $$

$$ z_\theta=f_x(-r\sin\theta)+f_y(r\cos\theta) =-rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta $$

四、易错提醒

易错1：链式法则遗漏中间变量

错误：

$$ z=f(u,v),\quad u=u(x,y),\quad v=v(x,y) $$

$$ z_x=f_u u_x $$

正确：

$$ z_x=f_u u_x+f_v v_x $$

易错2：沿路径相乘、分路径相加搞错

链式法则：

沿路径相乘；
分路径相加。

易错3：隐函数求导符号搞错

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

注意有负号。

易错4：隐函数求导中 $F_x$、$F_y$ 求错

求 $F_x$ 时，$y$ 看作常数；

求 $F_y$ 时，$x$ 看作常数。

易错5：隐函数求导中忘记 $z$ 是 $x,y$ 的函数

在

$$ F(x,y,z)=0 $$

中，$z=z(x,y)$。

对 $x$ 求偏导时，$z$ 是 $x$ 的函数，需要链式法则。

易错6：隐函数组求导不设方程组

隐函数组求导时，需要对方程组两边同时求偏导，得到线性方程组，再解出所求偏导。

易错7：雅可比行列式写错

$$ J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v\ G_u & G_v \end{vmatrix} $$

注意顺序。

易错8：全微分形式不变性滥用

全微分形式不变性要求 $f$ 可微，$u$、$v$ 可微。

易错9：复合函数高阶偏导数遗漏项

求 $z_{xx}$ 时，不要遗漏 $f_u$ 对 $x$ 的导数。

易错10：抽象函数求导时记号混淆

$$ f_u $$

表示 $f$ 对第一个变量的偏导数，不是对 $u$ 的偏导数。

易错11：隐函数存在定理条件不验证

使用隐函数求导公式前，必须验证：

$F$ 可微；
$F_y\neq0$ 或 $F_z\neq0$。

易错12：坐标变换中偏导数关系搞错

$$ z_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta $$

$$ z_\theta=-rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta $$

注意 $z_\theta$ 中有 $r$。

五、真题链接思路

真题方向1：抽象复合函数求导

常见形式：

$$ z=f(xy,\frac yx) $$

$$ z=f(x+y,xy) $$

$$ z=f(x^2+y^2) $$

处理方法：

令中间变量 $u$、$v$；
求 $u_x$、$u_y$、$v_x$、$v_y$；
用链式法则；
整理结果。

真题方向2：隐函数求导

常见形式：

$$ F(x,y,z)=0 $$

求 $z_x$、$z_y$。

处理方法：

令 $F(x,y,z)=0$；
求 $F_x$、$F_y$、$F_z$；
套用公式

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z},\quad z_y=-\frac{F_y}{F_z} $$

真题方向3：隐函数组求导

常见形式：

$$ \begin{cases} F(x,y,u,v)=0\\ G(x,y,u,v)=0 \end{cases} $$

求 $u_x$、$v_x$。

处理方法：

对方程组两边对 $x$ 求偏导；
得到关于 $u_x$、$v_x$ 的线性方程组；
解方程组。

真题方向4：复合函数与隐函数综合

常见形式：

$$ u=f(x,y,z),\quad z=z(x,y) $$

由 $F(x,y,z)=0$ 确定。

处理方法：

用链式法则：

$$ u_x=f_x+f_z z_x $$

用隐函数求导：

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z} $$

代入。

真题方向5：坐标变换

常见形式：

直角坐标与极坐标；
直角坐标与球坐标；
线性变换。

处理方法：

写出变换关系；
用链式法则求偏导；
化简。

真题方向6：全微分形式不变性

常见形式：

$$ dz=f_udu+f_vdv $$

处理方法：

求 $du$、$dv$；
代入全微分公式；
整理成 $dz=Adx+Bdy$ 的形式。

真题方向7：高阶偏导数

常见形式：

$$ z=f(x+y) $$

$$ z=f(x^2+y^2) $$

求 $z_{xx}$、$z_{yy}$、$z_{xy}$。

处理方法：

先求一阶偏导；
再求二阶偏导；
注意链式法则。

六、记忆清单

链式法则（一元中间变量）：

$$ \frac{dz}{dt}=f_u\frac{du}{dt}+f_v\frac{dv}{dt} $$

链式法则（多元中间变量）：

$$ z_x=f_u u_x+f_v v_x $$

$$ z_y=f_u u_y+f_v v_y $$

全微分形式不变性：

$$ dz=f_udu+f_vdv $$

一元隐函数：

$$ \frac{dy}{dx}=-\frac{F_x}{F_y} $$

二元隐函数：

$$ z_x=-\frac{F_x}{F_z} $$

$$ z_y=-\frac{F_y}{F_z} $$

隐函数组：

$$ \begin{cases} F_x+F_u u_x+F_v v_x=0\ G_x+G_u u_x+G_v v_x=0 \end{cases} $$

雅可比行列式：

$$ J=\frac{\partial(F,G)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} F_u & F_v\ G_u & G_v \end{vmatrix} $$

极坐标变换：

$$ x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta $$

$$ z_r=f_x\cos\theta+f_y\sin\theta $$

$$ z_\theta=-rf_x\sin\theta+rf_y\cos\theta $$

常用公式：

$$ z=f(x,y),\quad y=y(x) \Rightarrow \frac{dz}{dx}=f_x+f_y\frac{dy}{dx} $$

口诀：

复合函数画关系图，沿路径相乘分路径加；
隐函数求导带负号，$F_x$ 除以 $F_z$；
隐函数组设方程，解线性方程组；
全微分形式不变性，高阶偏导别漏项。

_{本教程共58节，当前为第23节!}
_{本教程最新修订时间为：2026-10-03 12:42:51}

评论专区

评论加载中...

✨ 复制成功！

以文会友，打造好学人设！

# 考点20 多元复合函数与隐函数求导

一、核心公式与定义

1. 多元复合函数求导（链式法则）

2. 全微分形式不变性

3. 隐函数求导（一个方程）

4. 隐函数组求导（方程组）

5. 常用求导公式

6. 变量关系图

二、使用条件

1. 多元复合函数求导的使用条件

2. 全微分形式不变性的使用条件

3. 隐函数求导的使用条件

4. 隐函数组求导的使用条件

5. 链式法则的使用条件

三、典型题型

题型1：一元中间变量的复合函数

题型2：多元中间变量的复合函数

题型3：抽象复合函数求导

题型4：高阶偏导数

题型5：隐函数求导（一元）

题型6：隐函数求导（二元）

题型7：隐函数组求导

题型8：全微分形式不变性

题型9：复合函数与隐函数综合

题型10：坐标变换

四、易错提醒

易错1：链式法则遗漏中间变量

易错2：沿路径相乘、分路径相加搞错

易错3：隐函数求导符号搞错

易错4：隐函数求导中 $F_x$、$F_y$ 求错

易错5：隐函数求导中忘记 $z$ 是 $x,y$ 的函数

易错6：隐函数组求导不设方程组

易错7：雅可比行列式写错

易错8：全微分形式不变性滥用

易错9：复合函数高阶偏导数遗漏项

易错10：抽象函数求导时记号混淆

易错11：隐函数存在定理条件不验证

易错12：坐标变换中偏导数关系搞错

五、真题链接思路

真题方向1：抽象复合函数求导

真题方向2：隐函数求导

真题方向3：隐函数组求导

真题方向4：复合函数与隐函数综合

真题方向5：坐标变换

真题方向6：全微分形式不变性

真题方向7：高阶偏导数

六、记忆清单

评论专区