适用：数一、数二、数三通用
地位：线性代数的核心考点，直接支撑向量组、特征值、二次型
核心任务：理解解的结构，掌握有解判定，会求通解，会讨论参数
一般形式：
$$ \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n=b_1\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cdots+a_{2n}x_n=b_2\\ \cdots\\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+\cdots+a_{mn}x_n=b_m \end{cases} $$
矩阵形式：
$$ Ax=b $$
其中：
$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix}, \quad x= \begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ \vdots\\ x_n \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} b_1\\ b_2\\ \vdots\\ b_m \end{pmatrix} $$
增广矩阵：
$$ \bar{A}=(A|b)= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} & b_1\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} & b_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} & b_m \end{pmatrix} $$
向量形式：
$$ x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+\cdots+x_n\alpha_n=b $$
其中 $\alpha_i$ 为 $A$ 的第 $i$ 列。
有解判定：
$$ Ax=b\text{ 有解} \iff r(A)=r(\bar{A}) $$
无解判定：
$$ Ax=b\text{ 无解} \iff r(A)<r(\bar{A}) $$
唯一解：
$$ Ax=b\text{ 有唯一解} \iff r(A)=r(\bar{A})=n $$
无穷多解：
$$ Ax=b\text{ 有无穷多解} \iff r(A)=r(\bar{A})<n $$
总结：
$$ r(A)=r(\bar{A}) \begin{cases} =n, & \text{唯一解}\\ <n, & \text{无穷多解} \end{cases} $$
$$ r(A)<r(\bar{A})\Rightarrow\text{无解} $$
导出组：
齐次线性方程组
$$ Ax=0 $$
称为非齐次线性方程组 $Ax=b$ 的导出组。
解的结构：
若 $x^*$ 是 $Ax=b$ 的一个特解，$\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_{n-r}$ 是导出组 $Ax=0$ 的基础解系，则 $Ax=b$ 的通解为：
$$ x=x^*+k_1\xi_1+k_2\xi_2+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
其中 $k_1,k_2,\cdots,k_{n-r}$ 为任意常数。
重要结论：
性质1：
若 $x_1$、$x_2$ 是 $Ax=b$ 的解，则 $x_1-x_2$ 是 $Ax=0$ 的解。
性质2：
若 $x^$ 是 $Ax=b$ 的解，$\xi$ 是 $Ax=0$ 的解，则 $x^+\xi$ 是 $Ax=b$ 的解。
性质3：
若 $x_1$、$x_2$ 是 $Ax=b$ 的解，则
$$ k_1x_1+k_2x_2 $$
是 $Ax=b$ 的解当且仅当
$$ k_1+k_2=1 $$
性质4：
若 $x_1,\cdots,x_s$ 是 $Ax=b$ 的解，则
$$ k_1x_1+\cdots+k_sx_s $$
是 $Ax=b$ 的解当且仅当
$$ k_1+\cdots+k_s=1 $$
步骤：
$$ x=x^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
具体操作：
设行最简形为：
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 & b_{11} & \cdots & b_{1,n-r} & c_1\\ 0 & 1 & \cdots & 0 & b_{21} & \cdots & b_{2,n-r} & c_2\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 & b_{r1} & \cdots & b_{r,n-r} & c_r\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
则：
$$ x^*=(c_1,c_2,\cdots,c_r,0,\cdots,0)^T $$
唯一解：
方程组有唯一解，表示超平面交于一点。
无穷多解：
方程组有无穷多解，表示超平面交于一条直线或一个平面。
无解：
方程组无解，表示超平面没有公共交点。
（1）$m<n$ 时：
$$ r(A)\le m<n $$
若 $r(A)=r(\bar{A})$，则有无穷多解；
若 $r(A)<r(\bar{A})$，则无解。
（2）$m=n$ 时：
$$ |A|\neq0\iff\text{唯一解} $$
$$ |A|=0\iff\text{无解或无穷多解} $$
（3）$m>n$ 时：
$$ r(A)\le n $$
若 $r(A)=r(\bar{A})=n$，唯一解；
若 $r(A)=r(\bar{A})<n$，无穷多解；
若 $r(A)<r(\bar{A})$，无解。
（4）特解与导出组：
$$ \text{通解}=\text{特解}+\text{导出组通解} $$
（5）解的差：
$$ x_1-x_2\text{ 是 }Ax=0\text{ 的解} $$
$$ r(A)=r(\bar{A}) $$
$$ r(A)=r(\bar{A})=n $$
$$ r(A)=r(\bar{A})<n $$
$$ r(A)<r(\bar{A}) $$
例1
判断方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=1\\ 2x_1+4x_2+6x_3=2\\ 3x_1+6x_2+9x_3=3 \end{cases} $$
是否有解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 4 & 6 & 2\\ 3 & 6 & 9 & 3 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=1<3 $$
方程组有无穷多解。
例2
判断方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=1\\ 2x_1+4x_2+6x_3=3\\ 3x_1+6x_2+9x_3=5 \end{cases} $$
是否有解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 4 & 6 & 3\\ 3 & 6 & 9 & 5 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=1<r(\bar{A})=2 $$
方程组无解。
例3
判断方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=1\\ 2x_1+5x_2+8x_3=2\\ 3x_1+8x_2+14x_3=3 \end{cases} $$
是否有解。
解：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 8 & 14 & 3 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=3=n $$
方程组有唯一解。
例4
求方程组
$$ \begin{cases} x_1+2x_2+3x_3=1\\ 2x_1+4x_2+6x_3=2 \end{cases} $$
的通解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=1<3 $$
有无穷多解。
原方程等价于：
$$ x_1+2x_2+3x_3=1 $$
即：
$$ x_1=1-2x_2-3x_3 $$
特解：
令 $x_2=x_3=0$：
$$ x^*=(1,0,0)^T $$
导出组 $Ax=0$：
$$ x_1+2x_2+3x_3=0 $$
即：
$$ x_1=-2x_2-3x_3 $$
令 $x_2=1$，$x_3=0$：
$$ \xi_1=(-2,1,0)^T $$
令 $x_2=0$，$x_3=1$：
$$ \xi_2=(-3,0,1)^T $$
通解：
$$ x=x^*+k_1\xi_1+k_2\xi_2 $$
即：
$$ x=(1,0,0)^T+k_1(-2,1,0)^T+k_2(-3,0,1)^T $$
例5
求方程组
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3+x_4=1\\ x_1+2x_2+3x_3+4x_4=2\\ x_1+3x_2+5x_3+7x_4=3 \end{cases} $$
的通解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4 & 2\\ 1 & 3 & 5 & 7 & 3 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 2 & 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
继续化行最简形：
$$ r_1-r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=2<4 $$
有无穷多解。
原方程等价于：
$$ \begin{cases} x_1-x_3-2x_4=0\\ x_2+2x_3+3x_4=1 \end{cases} $$
即：
$$ \begin{cases} x_1=x_3+2x_4\\ x_2=1-2x_3-3x_4 \end{cases} $$
特解：
令 $x_3=x_4=0$：
$$ x^*=(0,1,0,0)^T $$
导出组 $Ax=0$：
$$ \begin{cases} x_1=x_3+2x_4\\ x_2=-2x_3-3x_4 \end{cases} $$
令 $x_3=1$，$x_4=0$：
$$ \xi_1=(1,-2,1,0)^T $$
令 $x_3=0$，$x_4=1$：
$$ \xi_2=(2,-3,0,1)^T $$
通解：
$$ x=(0,1,0,0)^T+k_1(1,-2,1,0)^T+k_2(2,-3,0,1)^T $$
例6
设
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+2x_2+ax_3=2\\ x_1+4x_2+a^2x_3=4 \end{cases} $$
讨论 $a$ 取何值时有唯一解、无穷多解、无解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & a & 2\\ 1 & 4 & a^2 & 4 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & a-1 & 1\\ 0 & 3 & a^2-1 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-3r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & a-1 & 1\\ 0 & 0 & a^2-3a+2 & 0 \end{pmatrix} $$
而：
$$ a^2-3a+2=(a-1)(a-2) $$
讨论：
$$ r(A)=r(\bar{A})=3=n $$
有唯一解。
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=r(\bar{A})=2<3 $$
有无穷多解。
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=r(\bar{A})=2<3 $$
有无穷多解。
例7
设
$$ \begin{cases} x_1+x_2+x_3=1\\ x_1+2x_2+3x_3=2\\ x_1+3x_2+ax_3=b \end{cases} $$
讨论 $a$、$b$ 取何值时有唯一解、无穷多解、无解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 3 & a & b \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & a-1 & b-1 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & a-5 & b-3 \end{pmatrix} $$
讨论：
$$ r(A)=r(\bar{A})=3=n $$
有唯一解。
$$ r(A)=r(\bar{A})=2<3 $$
有无穷多解。
$$ r(A)=2<r(\bar{A})=3 $$
无解。
例8
设
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,5,8)^T,\quad \beta=(3,7,11)^T $$
判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
解：
设
$$ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 $$
即：
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\beta $$
构造增广矩阵：
$$ \bar{A}=(\alpha_1,\alpha_2|\beta)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 7\\ 3 & 8 & 11 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=2 $$
$\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
例9
设
$$ \alpha_1=(1,0,0)^T,\quad \alpha_2=(0,1,0)^T,\quad \beta=(1,1,1)^T $$
判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
解：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ r(A)=2,\quad r(\bar{A})=3 $$
$$ r(A)<r(\bar{A}) $$
$\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
例10
设 $A$ 为 $4\times 5$ 矩阵，$r(A)=3$，$r(\bar{A})=3$，求 $Ax=b$ 的解的情况。
解：
$$ r(A)=r(\bar{A})=3<5 $$
方程组有无穷多解。
例11
设 $A$ 为 $3\times 4$ 矩阵，$r(A)=2$，$r(\bar{A})=3$，求 $Ax=b$ 的解的情况。
解：
$$ r(A)=2<r(\bar{A})=3 $$
方程组无解。
例12
设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，$|A|=0$，$r(A)=3$，$r(\bar{A})=3$，求 $Ax=b$ 的解的情况。
解：
$$ r(A)=r(\bar{A})=3<4 $$
方程组有无穷多解。
例13
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，判断 $Ax=b$ 是否有唯一解。
解：
$$ |A|=1\times2\times3=6\neq0 $$
所以：
$$ r(A)=3=n $$
方程组有唯一解。
例14
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,0,0$，判断 $Ax=b$ 解的情况。
解：
$$ r(A)=1 $$
例15
设二次型
$$ f=x_1^2+x_2^2+x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3+2cx_2x_3 $$
的矩阵为 $A$，若 $Ax=b$ 有唯一解，求 $a$、$b$、$c$ 满足的条件。
解：
$Ax=b$ 有唯一解 $\iff$ $|A|\neq0$。
$$ |A|=1+2abc-a^2-b^2-c^2\neq0 $$
所以条件为：
$$ a^2+b^2+c^2-2abc\neq1 $$
例16
设二次型
$$ f=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2+2x_1x_2+2x_1x_3 $$
的矩阵为 $A$，判断 $Ax=b$ 是否有唯一解。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 0\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$
$$ |A|=1(6-0)-1(3-0)+1(0-2)=1\neq0 $$
所以 $Ax=b$ 有唯一解。
例17
设
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} $$
求 $Ax=b$ 的通解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 2 & 5 & 8 & 2\\ 3 & 8 & 14 & 3 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 2 & 5 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
继续化行最简形：
$$ r_2-2r_3,\quad r_1-3r_3 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r_1-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=3=n $$
有唯一解：
$$ x=(1,0,0)^T $$
例18
设
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{pmatrix} $$
求 $Ax=b$ 的通解。
解：
增广矩阵：
$$ \bar{A}= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 2\\ 1 & 3 & 5 & 3 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 2 & 4 & 2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ r_1-r_2 $$
$$ \bar{A}\to \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=r(\bar{A})=2<3 $$
有无穷多解。
原方程等价于：
$$ \begin{cases} x_1-x_3=0\\ x_2+2x_3=1 \end{cases} $$
即：
$$ \begin{cases} x_1=x_3\\ x_2=1-2x_3 \end{cases} $$
特解：
令 $x_3=0$：
$$ x^*=(0,1,0)^T $$
导出组 $Ax=0$：
$$ \begin{cases} x_1=x_3\\ x_2=-2x_3 \end{cases} $$
令 $x_3=1$：
$$ \xi=(1,-2,1)^T $$
通解：
$$ x=(0,1,0)^T+k(1,-2,1)^T $$
错误。
$$ r(A)=r(\bar{A})=n\iff\text{唯一解} $$
$$ r(A)=r(\bar{A})<n\iff\text{无穷多解} $$
错误。
$$ r(A)<r(\bar{A})\iff\text{无解} $$
$$ x=x^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
不要漏掉特解 $x^*$。
正确。
特解不唯一，但任意两个特解之差是导出组的解。
导出组基础解系含 $n-r(A)$ 个向量。
错误。
$m<n$ 时，可能无解。
错误。
$|A|=0$ 时，可能无解，也可能有无穷多解。
$$ x_1-x_2\text{ 是 }Ax=0\text{ 的解} $$
$$ x^*+\xi\text{ 是 }Ax=b\text{ 的解} $$
要分情况讨论，不要遗漏特殊值。
令自由未知量全为 $0$，求出主元变量。
通解中任意常数个数 = $n-r(A)$。
常见形式：
$$ Ax=b\text{ 是否有解？} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ Ax=b\text{ 有解，求参数} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \beta\text{ 能否由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示？} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ r(A)=r(\bar{A}) \begin{cases} =n, & \text{唯一解}\\ <n, & \text{无穷多解} \end{cases} $$
$$ r(A)<r(\bar{A})\Rightarrow\text{无解} $$
常见形式：
处理方法：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
非齐次线性方程组：
$$ Ax=b $$
增广矩阵：
$$ \bar{A}=(A|b) $$
有解判定：
$$ r(A)=r(\bar{A}) $$
无解判定：
$$ r(A)<r(\bar{A}) $$
唯一解：
$$ r(A)=r(\bar{A})=n $$
无穷多解：
$$ r(A)=r(\bar{A})<n $$
解的结构：
$$ x=x^*+k_1\xi_1+\cdots+k_{n-r}\xi_{n-r} $$
特解：
令自由未知量全为 $0$。
导出组：
$$ Ax=0 $$
导出组基础解系：
含 $n-r(A)$ 个向量。
解的性质：
$$ x_1-x_2\text{ 是 }Ax=0\text{ 的解} $$
$$ x^*+\xi\text{ 是 }Ax=b\text{ 的解} $$
$m<n$ 时：
可能无解，也可能有无穷多解。
$m=n$ 时：
$$ |A|\neq0\iff\text{唯一解} $$
$$ |A|=0\iff\text{无解或无穷多解} $$
$m>n$ 时：
根据 $r(A)$、$r(\bar{A})$ 判断。
口诀：
非齐次方程组，增广矩阵判有解；
秩相等才有解，秩不等则无解；
秩等且等于 $n$，唯一解；
秩等且小于 $n$，无穷多解；
通解等于特解加导出组通解，特解自由未知量全为零。
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