$$ A= \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} $$

称为 $m\times n$ 矩阵，记作 $A=(a_{ij})_{m\times n}$。

注意：

矩阵是一个数表；
行列式是一个数；
矩阵与行列式不能混淆。

2. 矩阵的基本运算

（1）加法：

同型矩阵才能相加：

$$ (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij} $$

性质：

$$ A+B=B+A $$

$$ (A+B)+C=A+(B+C) $$

（2）数乘：

$$ (kA)_{ij}=ka_{ij} $$

性质：

$$ k(A+B)=kA+kB $$

$$ (k+l)A=kA+lA $$

$$ k(lA)=(kl)A $$

（3）乘法：

设 $A$ 为 $m\times s$ 矩阵，$B$ 为 $s\times n$ 矩阵，则 $AB$ 为 $m\times n$ 矩阵：

$$ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} $$

性质：

$$ (AB)C=A(BC) $$

$$ A(B+C)=AB+AC $$

$$ (A+B)C=AC+BC $$

$$ k(AB)=(kA)B=A(kB) $$

注意：

$AB\neq BA$（矩阵乘法一般不满足交换律）；
$AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$；
$AB=AC$ 且 $A\neq O$ 不能推出 $B=C$。

（4）转置：

$$ (A^T)_{ij}=a_{ji} $$

性质：

$$ (A^T)^T=A $$

$$ (A+B)^T=A^T+B^T $$

$$ (kA)^T=kA^T $$

$$ (AB)^T=B^TA^T $$

（5）方阵的幂：

$$ A^0=E $$

$$ A^{m+n}=A^mA^n $$

$$ (A^m)^n=A^{mn} $$

注意：

$$ (AB)^n\neq A^nB^n $$

3. 特殊矩阵

（1）零矩阵：

所有元素都是 $0$ 的矩阵，记作 $O$。

（2）单位矩阵：

主对角线元素都是 $1$，其余元素都是 $0$ 的方阵：

$$ E= \begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix} $$

性质：

$$ AE=EA=A $$

（3）对角矩阵：

除主对角线外，其余元素都是 $0$ 的方阵：

$$ \Lambda= \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix} $$

记作：

$$ \Lambda=\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) $$

性质：

$$ \text{diag}(a_1,\cdots,a_n)\text{diag}(b_1,\cdots,b_n) =\text{diag}(a_1b_1,\cdots,a_nb_n) $$

（4）数量矩阵：

$$ kE= \begin{pmatrix} k & 0 & \cdots & 0\\ 0 & k & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & k \end{pmatrix} $$

（5）三角矩阵：

上三角矩阵：主对角线下方元素全为 $0$。

下三角矩阵：主对角线上方元素全为 $0$。

性质：

同类型三角矩阵的和、差、积仍为同类型三角矩阵；
三角矩阵的行列式等于对角线元素之积。

（6）对称矩阵：

$$ A^T=A $$

即：

$$ a_{ij}=a_{ji} $$

性质：

对称矩阵的和、差仍为对称矩阵；
对称矩阵的逆仍为对称矩阵；
$A^TA$ 和 $AA^T$ 都是对称矩阵。

（7）反对称矩阵：

$$ A^T=-A $$

即：

$$ a_{ij}=-a_{ji} $$

性质：

反对称矩阵主对角线元素都是 $0$；
奇数阶反对称矩阵的行列式为 $0$。

（8）正交矩阵：

$$ A^TA=AA^T=E $$

即：

$$ A^{-1}=A^T $$

性质：

正交矩阵的行列式为 $\pm1$；
正交矩阵的逆仍为正交矩阵；
正交矩阵的乘积仍为正交矩阵。

（9）幂等矩阵：

$$ A^2=A $$

（10）对合矩阵：

$$ A^2=E $$

（11）幂零矩阵：

存在正整数 $k$，使得

$$ A^k=O $$

（12）伴随矩阵：

$$ A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} $$

其中 $A_{ij}$ 是 $|A|$ 中元素 $a_{ij}$ 的代数余子式。

注意：

$A^*$ 中元素排列是转置的。

4. 逆矩阵

定义：

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，若存在 $n$ 阶方阵 $B$，使得

$$ AB=BA=E $$

则称 $A$ 可逆，$B$ 为 $A$ 的逆矩阵，记作

$$ B=A^{-1} $$

可逆的充要条件：

$$ |A|\neq0 $$

逆矩阵公式：

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* $$

性质：

$$ (A^{-1})^{-1}=A $$

$$ (kA)^{-1}=\frac1kA^{-1},\quad k\neq0 $$

$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$

$$ (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T $$

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} $$

5. 伴随矩阵

定义：

$$ A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} $$

重要公式：

$$ AA^*=A^*A=|A|E $$

性质：

$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$

$$ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A $$

$$ (A^*)^*=|A|^{n-2}A $$

$$ (kA)^*=k^{n-1}A^* $$

$$ (A^T)^*=(A^*)^T $$

$$ (AB)^*=B^*A^* $$

秩的结论：

$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$

6. 分块矩阵

定义：

将矩阵用若干条横线和竖线分成若干小块，每个小块称为子块。

运算：

（1）加法：

对应子块相加。

（2）数乘：

每个子块乘 $k$。

（3）乘法：

按矩阵乘法规则，子块相乘。

（4）转置：

$$ \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} A^T & C^T\\ B^T & D^T \end{pmatrix} $$

（5）分块对角矩阵：

$$ \begin{pmatrix} A_1 & & \\ & A_2 & \\ & & \ddots \end{pmatrix} $$

性质：

行列式等于各子块行列式之积；
逆矩阵等于各子块逆矩阵；
幂等于各子块幂。

分块三角矩阵：

$$ \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix} $$

行列式：

$$ \begin{vmatrix} A & C\\ O & B \end{vmatrix} =|A||B| $$

逆矩阵：

$$ \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$

7. 矩阵的秩

定义：

矩阵 $A$ 中非零子式的最高阶数称为矩阵的秩，记作 $r(A)$。

性质：

$$ r(A)\le\min{m,n} $$

$$ r(A^T)=r(A) $$

$$ r(kA)=r(A),\quad k\neq0 $$

$$ r(A+B)\le r(A)+r(B) $$

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$

$$ r(A)+r(B)-n\le r(AB) $$

重要结论：

$$ r(A)=n\iff|A|\neq0 $$

$$ r(A)<n\iff|A|=0 $$

8. 矩阵的等价

定义：

若矩阵 $A$ 经过有限次初等变换化为 $B$，则称 $A$ 与 $B$ 等价，记作

$$ A\sim B $$

等价标准形：

$$ \begin{pmatrix} E_r & O\\ O & O \end{pmatrix} $$

其中 $r=r(A)$。

等价条件：

$$ A\sim B\iff r(A)=r(B) $$

二、使用条件

1. 矩阵加法的使用条件

两个矩阵必须同型；
对应元素相加。

2. 矩阵乘法的使用条件

左矩阵的列数等于右矩阵的行数；
结果矩阵的行数等于左矩阵的行数，列数等于右矩阵的列数。

3. 逆矩阵的使用条件

$A$ 为方阵；
$|A|\neq0$。

4. 伴随矩阵的使用条件

$A$ 为方阵；
$AA^=A^A=|A|E$ 恒成立。

5. 分块矩阵的使用条件

分块要合理；
子块运算要满足矩阵运算条件。

6. 正交矩阵的使用条件

$A$ 为方阵；
$A^TA=AA^T=E$。

三、典型题型

题型1：矩阵基本运算

例1

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$

求 $A+B$、$2A$、$AB$。

解：

$$ A+B= \begin{pmatrix} 6 & 8\\ 10 & 12 \end{pmatrix} $$

$$ 2A= \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 6 & 8 \end{pmatrix} $$

$$ AB= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\times5+2\times7 & 1\times6+2\times8\\ 3\times5+4\times7 & 3\times6+4\times8 \end{pmatrix} $$

$$= \begin{pmatrix} 19 & 22\\ 43 & 50 \end{pmatrix} $$

例2

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 & 2 \end{pmatrix} $$

求 $AB$ 和 $BA$。

解：

$$ AB= \begin{pmatrix} 1\times2+2\times1 & 1\times1+2\times2\\ 3\times2+4\times1 & 3\times1+4\times2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 5\\ 10 & 11 \end{pmatrix} $$

$$ BA= \begin{pmatrix} 2\times1+1\times3 & 2\times2+1\times4\\ 1\times1+2\times3 & 1\times2+2\times4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8\\ 7 & 10 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ AB\neq BA $$

例3

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $A^T$。

解：

$$ A^T= \begin{pmatrix} 1 & 3\\ 2 & 4 \end{pmatrix} $$

题型2：逆矩阵计算

例4

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $A^{-1}$。

解：

$$ |A|=1\times4-2\times3=4-6=-2\neq0 $$

伴随矩阵：

$$ A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21}\\ A_{12} & A_{22} \end{pmatrix} $$

$$ A_{11}=4,\quad A_{12}=-3,\quad A_{21}=-2,\quad A_{22}=1 $$

所以：

$$ A^*= \begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* =\frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} $$

例5

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} $$

求 $A^{-1}$。

解：

对角矩阵的逆矩阵：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \frac12 & 0\\ 0 & 0 & \frac13 \end{pmatrix} $$

例6

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

求 $A^{-1}$。

解：

用初等行变换：

$$ (A|E)= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_2-2r_3,\quad r_1-3r_3 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ r_1-2r_2 $$

$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\ 0 & 1 & -2\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

题型3：伴随矩阵

例7

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $A^*$。

解：

$$ A_{11}=4,\quad A_{12}=-3,\quad A_{21}=-2,\quad A_{22}=1 $$

$$ A^*= \begin{pmatrix} 4 & -2\\ -3 & 1 \end{pmatrix} $$

例8

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|A^*|$。

解：

$$ |A^*|=|A|^{n-1}=2^2=4 $$

例9

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $(A^*)^{-1}$。

解：

$$ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A=\frac{12}{A} $$

题型4：特殊矩阵

例10

设 $A$ 为 $n$ 阶对称矩阵，$B$ 为 $n$ 阶反对称矩阵，证明 $A+B$ 不是对称矩阵。

证明：

$$ (A+B)^T=A^T+B^T=A-B $$

若 $A+B$ 对称，则

$$ A+B=A-B $$

$$ B=-B $$

$$ B=O $$

所以只有当 $B=O$ 时，$A+B$ 才是对称矩阵。

例11

设 $A$ 为正交矩阵，证明 $|A|=\pm1$。

证明：

$$ A^TA=E $$

$$ |A^TA|=|E| $$

$$ |A^T||A|=1 $$

$$ |A|^2=1 $$

$$ |A|=\pm1 $$

例12

设 $A$ 为幂等矩阵，即 $A^2=A$，证明 $A$ 的特征值只能是 $0$ 或 $1$。

证明：

设 $\lambda$ 为 $A$ 的特征值，$\alpha$ 为对应特征向量：

$$ A\alpha=\lambda\alpha $$

$$ A^2\alpha=\lambda A\alpha=\lambda^2\alpha $$

因为 $A^2=A$：

$$ \lambda^2\alpha=\lambda\alpha $$

$$ (\lambda^2-\lambda)\alpha=0 $$

因为 $\alpha\neq0$：

$$ \lambda^2-\lambda=0 $$

$$ \lambda=0\quad\text{或}\quad\lambda=1 $$

题型5：分块矩阵

例13

设

$$ M= \begin{pmatrix} A & O\ O & B \end{pmatrix} $$

其中 $A$、$B$ 可逆，求 $M^{-1}$。

解：

$$ M^{-1}= \begin{pmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$

例14

设

$$ M= \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix} $$

其中 $A$、$B$ 可逆，求 $M^{-1}$。

解：

$$ M^{-1}= \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$

例15

设

$$ M= \begin{pmatrix} A & O\\ O & B \end{pmatrix} $$

求 $|M|$。

解：

$$ |M|=|A||B| $$

题型6：矩阵的秩

例16

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$

的秩。

解：

$r_2-2r_1$，$r_3-3r_1$：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=1 $$

例17

求

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 4 & 5 & 6\\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$

的秩。

解：

$r_2-4r_1$，$r_3-7r_1$：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix} $$

$r_3-2r_2$：

$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$

所以：

$$ r(A)=2 $$

例18

设 $A$ 为 $m\times n$ 矩阵，$B$ 为 $n\times s$ 矩阵，证明

$$ r(AB)\le\min{r(A),r(B)} $$

证明略。

题型7：矩阵方程

例19

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 5 & 6\\ 7 & 8 \end{pmatrix} $$

求 $X$ 使

$$ AX=B $$

解：

$$ X=A^{-1}B $$

由例4：

$$ A^{-1}= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} $$

$$ X= \begin{pmatrix} -2 & 1\\ \frac32 & -\frac12 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10+7 & -12+8\\ \frac{15}{2}-\frac72 & 9-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4\\ 4 & 5 \end{pmatrix} $$

例20

设

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & 4 \end{pmatrix} $$

求 $X$ 使

$$ XA=A^2 $$

解：

$$ X=A $$

题型8：矩阵与行列式综合

例21

设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|2A|$、$|A^*|$、$|A^{-1}|$。

解：

$$ |2A|=2^3|A|=8\times2=16 $$

$$ |A^*|=|A|^{n-1}=2^2=4 $$

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|}=\frac12 $$

例22

设 $A$ 为 $4$ 阶方阵，$|A|=3$，求 $|A^*|$。

解：

$$ |A^*|=|A|^{n-1}=3^3=27 $$

例23

设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$|A|=2$，求 $|-A|$。

解：

$$ |-A|=(-1)^n|A|=(-1)^n\cdot2 $$

四、易错提醒

易错1：矩阵乘法不满足交换律

$$ AB\neq BA $$

不要随意交换。

易错2：$AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$

例如：

$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B= \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$

$$ AB=O $$

但 $A\neq O$，$B\neq O$。

易错3：$AB=AC$ 不能推出 $B=C$

只有当 $A$ 可逆时才能推出。

易错4：$(AB)^T$ 写成 $A^TB^T$

错误：

$$ (AB)^T=A^TB^T $$

正确：

$$ (AB)^T=B^TA^T $$

易错5：$(AB)^{-1}$ 写成 $A^{-1}B^{-1}$

错误：

$$ (AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1} $$

正确：

$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$

易错6：$(AB)^$ 写成 $A^B^*$

错误：

$$ (AB)^*=A^*B^* $$

正确：

$$ (AB)^*=B^*A^* $$

易错7：$|A^*|$ 公式记错

$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$

易错8：$|kA|$ 写成 $k|A|$

错误：

$$ |kA|=k|A| $$

正确：

$$ |kA|=k^n|A| $$

易错9：伴随矩阵元素排列搞错

$A^*$ 中元素排列是转置的：

$$ A^*= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{21} & \cdots & A_{n1}\\ A_{12} & A_{22} & \cdots & A_{n2}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ A_{1n} & A_{2n} & \cdots & A_{nn} \end{pmatrix} $$

易错10：分块矩阵逆矩阵公式记错

$$ \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$

注意右上角是 $-A^{-1}CB^{-1}$。

易错11：矩阵的秩与行列式关系搞错

$$ r(A)=n\iff|A|\neq0 $$

$$ r(A)<n\iff|A|=0 $$

易错12：正交矩阵性质记错

$$ A^TA=AA^T=E $$

$$ A^{-1}=A^T $$

$$ |A|=\pm1 $$

五、真题链接思路

真题方向1：矩阵运算

常见形式：

$$ AB,\quad A^T,\quad A^{-1},\quad A^* $$

处理方法：

按定义计算；
注意乘法顺序；
注意转置、逆、伴随的性质。

真题方向2：逆矩阵

常见形式：

求 $A^{-1}$；
解矩阵方程 $AX=B$。

处理方法：

判断 $|A|\neq0$；
用初等行变换或伴随矩阵公式；
解方程。

真题方向3：伴随矩阵

常见形式：

$$ |A^*|,\quad (A^*)^{-1},\quad (A^*)^* $$

处理方法：

利用 $AA^*=|A|E$；
利用 $|A^*|=|A|^{n-1}$；
利用 $(A^*)^{-1}=(A^{-1})^*=\frac{1}{|A|}A$。

真题方向4：特殊矩阵

常见形式：

对称矩阵；
反对称矩阵；
正交矩阵；
幂等矩阵。

处理方法：

利用定义；
利用性质；
证明结论。

真题方向5：分块矩阵

常见形式：

$$ \begin{pmatrix} A & O\\ O & B \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix} $$

处理方法：

利用分块矩阵运算规则；
求行列式、逆矩阵、幂。

真题方向6：矩阵的秩

常见形式：

$$ r(A),\quad r(AB),\quad r(A+B) $$

处理方法：

用初等变换求秩；
利用秩的不等式；
利用秩与行列式关系。

真题方向7：矩阵方程

常见形式：

$$ AX=B,\quad XA=B,\quad AXB=C $$

处理方法：

若 $A$ 可逆，$X=A^{-1}B$；
若 $B$ 可逆，$X=AB^{-1}$；
若 $A$、$B$ 都可逆，$X=A^{-1}CB^{-1}$。

六、记忆清单

矩阵乘法：

$$ (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^s a_{ik}b_{kj} $$

转置：

$$ (AB)^T=B^TA^T $$

逆矩阵：

$$ A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^* $$

$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} $$

伴随矩阵：

$$ AA^*=A^*A=|A|E $$

$$ |A^*|=|A|^{n-1} $$

$$ (A^*)^{-1}=\frac{1}{|A|}A $$

$$ (AB)^*=B^*A^* $$

秩的结论：

$$ r(A^*)= \begin{cases} n, & r(A)=n\\ 1, & r(A)=n-1\\ 0, & r(A)\le n-2 \end{cases} $$

特殊矩阵：

对称：

$$ A^T=A $$

反对称：

$$ A^T=-A $$

正交：

$$ A^TA=AA^T=E $$

幂等：

$$ A^2=A $$

对合：

$$ A^2=E $$

分块矩阵：

$$ \begin{vmatrix} A & O\\ O & B \end{vmatrix} =|A||B| $$

$$ \begin{pmatrix} A & O\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$

$$ \begin{pmatrix} A & C\\ O & B \end{pmatrix}^{-1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & -A^{-1}CB^{-1}\\ O & B^{-1} \end{pmatrix} $$

行列式公式：

$$ |kA|=k^n|A| $$

$$ |AB|=|A||B| $$

$$ |A^{-1}|=\frac{1}{|A|} $$

口诀：

矩阵乘法不交换，转置逆伴随顺序反；
$AA^$ 等于 $|A|E$，$|A^|$ 等于 $|A|^{n-1}$；
正交矩阵逆等于转置，幂等矩阵特征值零一；
分块矩阵求逆要小心，秩的结论记心间。

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# 考点34 矩阵运算与特殊矩阵

一、核心公式与定义

1. 矩阵的定义

2. 矩阵的基本运算

3. 特殊矩阵

4. 逆矩阵

5. 伴随矩阵

6. 分块矩阵

7. 矩阵的秩

8. 矩阵的等价

二、使用条件

1. 矩阵加法的使用条件

2. 矩阵乘法的使用条件

3. 逆矩阵的使用条件

4. 伴随矩阵的使用条件

5. 分块矩阵的使用条件

6. 正交矩阵的使用条件

三、典型题型

题型1：矩阵基本运算

题型2：逆矩阵计算

题型3：伴随矩阵

题型4：特殊矩阵

题型5：分块矩阵

题型6：矩阵的秩

题型7：矩阵方程

题型8：矩阵与行列式综合

四、易错提醒

易错1：矩阵乘法不满足交换律

易错2：$AB=O$ 不能推出 $A=O$ 或 $B=O$

易错3：$AB=AC$ 不能推出 $B=C$

易错4：$(AB)^T$ 写成 $A^TB^T$

易错5：$(AB)^{-1}$ 写成 $A^{-1}B^{-1}$

易错6：$(AB)^*$ 写成 $A^*B^*$

易错7：$|A^*|$ 公式记错

易错8：$|kA|$ 写成 $k|A|$

易错9：伴随矩阵元素排列搞错

易错10：分块矩阵逆矩阵公式记错

易错11：矩阵的秩与行列式关系搞错

易错12：正交矩阵性质记错

五、真题链接思路

真题方向1：矩阵运算

真题方向2：逆矩阵

真题方向3：伴随矩阵

真题方向4：特殊矩阵

真题方向5：分块矩阵

真题方向6：矩阵的秩

真题方向7：矩阵方程

六、记忆清单

评论专区

易错6：$(AB)^$ 写成 $A^B^*$