适用：数一、数二、数三通用
地位：线性代数的核心概念，直接支撑向量组的秩、线性方程组、特征值
核心任务：理解线性相关与线性无关的定义，掌握判定方法，会求极大无关组
$n$ 维向量：
$n$ 个数 $a_1,a_2,\cdots,a_n$ 组成的有序数组
$$ \alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n) $$
称为 $n$ 维行向量。
$$ \alpha= \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n \end{pmatrix} $$
称为 $n$ 维列向量。
分量：
$a_i$ 称为向量 $\alpha$ 的第 $i$ 个分量。
零向量：
所有分量都是 $0$ 的向量，记作 $\mathbf{0}$。
负向量：
$$ -\alpha=(-a_1,-a_2,\cdots,-a_n) $$
加法：
$$ \alpha+\beta=(a_1+b_1,a_2+b_2,\cdots,a_n+b_n) $$
数乘：
$$ k\alpha=(ka_1,ka_2,\cdots,ka_n) $$
运算性质：
$$ \alpha+\beta=\beta+\alpha $$
$$ (\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma) $$
$$ \alpha+\mathbf{0}=\alpha $$
$$ \alpha+(-\alpha)=\mathbf{0} $$
$$ k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta $$
$$ (k+l)\alpha=k\alpha+l\alpha $$
$$ k(l\alpha)=(kl)\alpha $$
$$ 1\cdot\alpha=\alpha $$
线性组合：
设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是 $n$ 维向量，$k_1,k_2,\cdots,k_s$ 是数，则
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s $$
称为向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 的一个线性组合。
线性表示：
若存在数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得
$$ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s $$
则称 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性表示。
线性表示的矩阵形式：
$$ \beta=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_1\\ k_2\\ \vdots\\ k_s \end{pmatrix} $$
即：
$$ Ax=\beta $$
其中 $A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)$，$x=(k_1,k_2,\cdots,k_s)^T$。
线性表示的条件：
$$ \beta\text{ 可由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示} \iff r(A)=r(A|\beta) $$
其中 $A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$。
线性相关：
设 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 是 $n$ 维向量，若存在不全为零的数 $k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0} $$
则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性相关。
线性无关：
若
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0} $$
当且仅当
$$ k_1=k_2=\cdots=k_s=0 $$
则称向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$ 线性无关。
矩阵形式：
设
$$ A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) $$
则：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性相关} \iff Ax=\mathbf{0}\text{ 有非零解} \iff r(A)<s $$
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff Ax=\mathbf{0}\text{ 只有零解} \iff r(A)=s $$
结论1：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性相关} \iff \text{至少有一个向量可由其余向量线性表示} $$
结论2：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff \text{任一向量都不能由其余向量线性表示} $$
结论3：
若向量组中有一个零向量，则该向量组线性相关。
结论4：
单个向量 $\alpha$ 线性相关 $\iff$ $\alpha=\mathbf{0}$。
结论5：
两个向量 $\alpha$、$\beta$ 线性相关 $\iff$ $\alpha$、$\beta$ 对应分量成比例。
结论6：
$$ \text{部分相关}\Rightarrow\text{整体相关} $$
$$ \text{整体无关}\Rightarrow\text{部分无关} $$
结论7：
$$ m\text{ 个 }n\text{ 维向量} \begin{cases} m>n, & \text{必线性相关}\ m\le n, & \text{可能相关，也可能无关} \end{cases} $$
结论8：
若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，则添加分量后仍线性无关。
若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性相关，则减少分量后仍线性相关。
结论9：
若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，$\beta$ 可由其线性表示，则表示法唯一。
结论10：
若 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 线性无关，而 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s,\beta$ 线性相关，则 $\beta$ 可由 $\alpha_1,\cdots,\alpha_s$ 唯一线性表示。
定义：
向量组 $T$ 的一个部分组 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 满足：
则称 $\alpha_1,\cdots,\alpha_r$ 为 $T$ 的一个极大线性无关组。
性质：
向量组的秩：
向量组的秩等于其极大线性无关组中向量的个数，记作
$$ r(\alpha_1,\cdots,\alpha_s) $$
矩阵的秩与向量组的秩：
$$ r(A)=r(\text{列向量组})=r(\text{行向量组}) $$
方法1：定义法
设
$$ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0} $$
解方程组，判断是否有非零解。
方法2：矩阵法
设
$$ A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s) $$
方法3：行列式法
当 $s=n$ 时：
$$ |\alpha_1,\cdots,\alpha_n|=0\iff\text{线性相关} $$
$$ |\alpha_1,\cdots,\alpha_n|\neq0\iff\text{线性无关} $$
方法4：特殊向量组
方法5：利用结论
标准单位向量组：
$$ \varepsilon_1=(1,0,\cdots,0) $$
$$ \varepsilon_2=(0,1,\cdots,0) $$
$$ \vdots $$
$$ \varepsilon_n=(0,0,\cdots,1) $$
线性无关。
阶梯形向量组：
$$ \alpha_1=(1,0,0) $$
$$ \alpha_2=(1,1,0) $$
$$ \alpha_3=(1,1,1) $$
线性无关。
不同特征值对应的特征向量：
属于不同特征值的特征向量线性无关。
$$ \beta\text{ 可由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示} \iff r(A)=r(A|\beta) $$
其中 $A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$。
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性相关} \iff r(A)<s $$
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff r(A)=s $$
其中 $A=(\alpha_1,\cdots,\alpha_s)$。
例1
判断向量组
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T $$
是否线性相关。
解：
设
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2=\mathbf{0} $$
即：
$$ k_1(1,2,3)+k_2(2,4,6)=(0,0,0) $$
分量形式：
$$ \begin{cases} k_1+2k_2=0\\ 2k_1+4k_2=0\\ 3k_1+6k_2=0 \end{cases} $$
由第一式：
$$ k_1=-2k_2 $$
取 $k_2=1$，则 $k_1=-2$，满足所有方程。
所以存在不全为零的数，向量组线性相关。
例2
判断向量组
$$ \alpha_1=(1,0,0)^T,\quad \alpha_2=(0,1,0)^T,\quad \alpha_3=(0,0,1)^T $$
是否线性相关。
解：
设
$$ k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=\mathbf{0} $$
即：
$$ (k_1,k_2,k_3)=(0,0,0) $$
所以：
$$ k_1=k_2=k_3=0 $$
向量组线性无关。
例3
判断向量组
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(1,0,1)^T $$
是否线性相关。
解：
以 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 为列构成矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 6 & 1 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\ 0 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2<3 $$
向量组线性相关。
例4
判断向量组
$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,5)^T $$
是否线性相关。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 2 & 4 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2<3 $$
向量组线性相关。
例5
判断向量组
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,5,8)^T,\quad \alpha_3=(3,8,14)^T $$
是否线性相关。
解：
$$ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{vmatrix} $$
计算：
$$ =1\times(70-64)-2\times(28-24)+3\times(16-15) $$
$$ =6-8+3=1\neq0 $$
所以向量组线性无关。
例6
判断向量组
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(3,6,9)^T $$
是否线性相关。
解：
$$ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix} =0 $$
所以向量组线性相关。
例7
设
$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,a)^T $$
讨论 $a$ 取何值时，向量组线性相关。
解：
$$ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & a \end{vmatrix} $$
计算：
$$ =1\times(2a-9)-1\times(a-3)+1\times(3-2) $$
$$ =2a-9-a+3+1=a-5 $$
所以：
例8
设
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(3,-1,2)^T,\quad \alpha_3=(2,3,a)^T $$
讨论 $a$ 取何值时，向量组线性相关。
解：
$$ |\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3|= \begin{vmatrix} 1 & 3 & 2\\ 2 & -1 & 3\\ 3 & 2 & a \end{vmatrix} $$
计算：
$$ =1\times(-a-6)-3\times(2a-9)+2\times(4+3) $$
$$ =-a-6-6a+27+14=-7a+35 $$
所以：
例9
设
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,5,8)^T,\quad \beta=(3,7,11)^T $$
判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
解：
设
$$ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 $$
即：
$$ \begin{cases} k_1+2k_2=3\\ 2k_1+5k_2=7\\ 3k_1+8k_2=11 \end{cases} $$
由前两式：
$$ k_1=3-2k_2 $$
代入第二式：
$$ 2(3-2k_2)+5k_2=7 $$
$$ 6-4k_2+5k_2=7 $$
$$ k_2=1 $$
$$ k_1=1 $$
验证第三式：
$$ 3\times1+8\times1=11 $$
成立。
所以：
$$ \beta=\alpha_1+\alpha_2 $$
例10
设
$$ \alpha_1=(1,0,0)^T,\quad \alpha_2=(0,1,0)^T,\quad \beta=(1,1,1)^T $$
判断 $\beta$ 能否由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
解：
设
$$ \beta=k_1\alpha_1+k_2\alpha_2 $$
即：
$$ (k_1,k_2,0)=(1,1,1) $$
第三分量：
$$ 0=1 $$
矛盾。
所以 $\beta$ 不能由 $\alpha_1,\alpha_2$ 线性表示。
例11
求向量组
$$ \alpha_1=(1,2,3)^T,\quad \alpha_2=(2,4,6)^T,\quad \alpha_3=(1,0,1)^T,\quad \alpha_4=(0,1,1)^T $$
的极大无关组和秩。
解：
以向量为列构成矩阵：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 2 & 4 & 0 & 1\\ 3 & 6 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-2r_1,\quad r_3-3r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & -2 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -2 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2 $$
极大无关组可取 $\alpha_1,\alpha_3$。
例12
求向量组
$$ \alpha_1=(1,1,1)^T,\quad \alpha_2=(1,2,3)^T,\quad \alpha_3=(1,3,5)^T,\quad \alpha_4=(1,4,7)^T $$
的极大无关组和秩。
解：
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3 & 4\\ 1 & 3 & 5 & 7 \end{pmatrix} $$
行变换：
$$ r_2-r_1,\quad r_3-r_1 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} $$
$$ r_3-2r_2 $$
$$ A\to \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
所以：
$$ r(A)=2 $$
极大无关组可取 $\alpha_1,\alpha_2$。
例13
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，证明 $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$ 线性无关。
证明：
设
$$ k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=\mathbf{0} $$
整理：
$$ (k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=\mathbf{0} $$
因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以：
$$ \begin{cases} k_1+k_3=0\\ k_1+k_2=0\\ k_2+k_3=0 \end{cases} $$
解得：
$$ k_1=k_2=k_3=0 $$
所以 $\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3+\alpha_1$ 线性无关。
例14
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，证明 $\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 线性无关。
证明：
设
$$ k_1\alpha_1+k_2(\alpha_1+\alpha_2)+k_3(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3)=\mathbf{0} $$
整理：
$$ (k_1+k_2+k_3)\alpha_1+(k_2+k_3)\alpha_2+k_3\alpha_3=\mathbf{0} $$
因为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，所以：
$$ \begin{cases} k_1+k_2+k_3=0\\ k_2+k_3=0\\ k_3=0 \end{cases} $$
由第三式：
$$ k_3=0 $$
代入第二式：
$$ k_2=0 $$
代入第一式：
$$ k_1=0 $$
所以 $\alpha_1,\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ 线性无关。
例15
设
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 4 & 6\\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$
讨论 $Ax=0$ 的解的情况。
解：
由例3：
$$ r(A)=1<3 $$
所以 $Ax=0$ 有非零解。
基础解系含：
$$ n-r(A)=3-1=2 $$
个向量。
例16
设
$$ A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 2 & 5 & 8\\ 3 & 8 & 14 \end{pmatrix} $$
讨论 $Ax=0$ 的解的情况。
解：
$$ |A|=1\neq0 $$
所以：
$$ r(A)=3 $$
$Ax=0$ 只有零解。
例17
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,2,3$，证明 $A$ 的列向量组线性无关。
证明：
$$ |A|=\lambda_1\lambda_2\lambda_3=1\times2\times3=6\neq0 $$
所以：
$$ r(A)=3 $$
$A$ 的列向量组线性无关。
例18
设 $A$ 为 $3$ 阶方阵，特征值为 $1,0,0$，讨论 $A$ 的列向量组线性相关性。
解：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数}=1 $$
所以：
$$ r(A)=1<3 $$
$A$ 的列向量组线性相关。
例19
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1-\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2-\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3-\alpha_1$，证明 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性相关。
证明：
$$ \beta_1+\beta_2+\beta_3=(\alpha_1-\alpha_2)+(\alpha_2-\alpha_3)+(\alpha_3-\alpha_1)=\mathbf{0} $$
所以 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性相关。
例20
设 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 线性无关，$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2$，$\beta_2=\alpha_2+\alpha_3$，$\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$，证明 $\beta_1,\beta_2,\beta_3$ 线性无关。
证明：
由例13已证。
错误。
含零向量的向量组一定线性相关。
正确。
两个向量线性相关 $\iff$ 对应分量成比例。
错误。
$m>n$ 时，$m$ 个 $n$ 维向量必线性相关。
正确：
$$ \text{部分相关}\Rightarrow\text{整体相关} $$
$$ \text{整体无关}\Rightarrow\text{部分无关} $$
行列式法只适用于向量个数等于向量维数，即 $s=n$。
极大无关组不唯一，但所含向量个数唯一。
$$ r(A)=r(\text{列向量组})=r(\text{行向量组}) $$
两者相等，但含义不同。
正确。
线性无关组添加分量后仍线性无关。
线性相关组减少分量后仍线性相关。
$$ Ax=0\text{ 有非零解}\iff A\text{ 的列向量组线性相关} $$
设 $k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0}$，要证明 $k_1=\cdots=k_s=0$。
常见形式：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 是否线性相关？} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性相关，求参数} $$
处理方法：
常见形式：
$$ \beta\text{ 能否由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示？} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
$$ r(A)=\text{非零特征值的个数} $$
常见形式：
处理方法：
线性组合：
$$ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s $$
线性表示：
$$ \beta=k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s $$
线性相关：
存在不全为零的 $k_1,\cdots,k_s$，使
$$ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0} $$
线性无关：
$$ k_1\alpha_1+\cdots+k_s\alpha_s=\mathbf{0} \Rightarrow k_1=\cdots=k_s=0 $$
矩阵形式：
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性相关} \iff r(A)<s $$
$$ \alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性无关} \iff r(A)=s $$
重要结论：
线性表示条件：
$$ \beta\text{ 可由 }\alpha_1,\cdots,\alpha_s\text{ 线性表示} \iff r(A)=r(A|\beta) $$
极大无关组：
向量组的秩 = 极大无关组中向量个数。
行列式法：
$$ |\alpha_1,\cdots,\alpha_n|=0\iff\text{线性相关} $$
$$ |\alpha_1,\cdots,\alpha_n|\neq0\iff\text{线性无关} $$
常用线性无关组：
口诀：
线性相关有非零解，线性无关只有零解；
含零必相关，$m>n$ 必相关；
部分相关整体相关，整体无关部分无关；
矩阵求秩判相关，行列式法方阵用；
线性表示看增广，秩相等则有解。
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