适用：数一、数二、数三通用
地位：定积分的核心应用，直接支撑多元积分、微分方程、物理应用
核心任务：掌握面积、体积、弧长、旋转曲面面积的计算，掌握物理应用建模
（1）直角坐标情形：
由曲线 $y=f(x)$、$y=g(x)$ 与直线 $x=a$、$x=b$ 围成的面积：
$$ S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx $$
若在 $[a,b]$ 上 $f(x)\ge g(x)$，则
$$ S=\int_a^b[f(x)-g(x)]dx $$
（2）$y$ 型区域：
由曲线 $x=\varphi(y)$、$x=\psi(y)$ 与直线 $y=c$、$y=d$ 围成的面积：
$$ S=\int_c^d|\varphi(y)-\psi(y)|dy $$
（3）极坐标情形：
由曲线 $r=r(\theta)$ 与射线 $\theta=\alpha$、$\theta=\beta$ 围成的面积：
$$ S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta $$
（4）参数方程情形：
若曲线由参数方程
$$ \begin{cases} x=\varphi(t)\ y=\psi(t) \end{cases} $$
给出，则面积：
$$ S=\int_\alpha^\beta|\psi(t)\varphi'(t)|dt $$
（1）绕 $x$ 轴旋转：
由 $y=f(x)$、$x=a$、$x=b$、$y=0$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转：
$$ V_x=\pi\int_a^b f^2(x)dx $$
（2）绕 $y$ 轴旋转：
由 $y=f(x)$、$x=a$、$x=b$、$y=0$ 围成的图形绕 $y$ 轴旋转：
$$ V_y=2\pi\int_a^b x|f(x)|dx $$
（3）柱壳法：
绕 $y$ 轴旋转：
$$ V_y=2\pi\int_a^b xf(x)dx $$
（4）圆环法：
由 $y=f(x)$、$y=g(x)$（$f(x)\ge g(x)$）绕 $x$ 轴旋转：
$$ V_x=\pi\int_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx $$
（5）参数方程情形：
若曲线由参数方程给出，绕 $x$ 轴旋转：
$$ V_x=\pi\int_\alpha^\beta\psi^2(t)\varphi'(t)dt $$
（1）直角坐标：
$$ s=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
（2）参数方程：
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
（3）极坐标：
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}d\theta $$
（4）$y$ 型：
$$ s=\int_c^d\sqrt{1+[\varphi'(y)]^2}dy $$
（1）绕 $x$ 轴旋转：
$$ S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
（2）参数方程绕 $x$ 轴旋转：
$$ S=2\pi\int_\alpha^\beta|\psi(t)|\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
（3）极坐标绕 $x$ 轴旋转：
$$ S=2\pi\int_\alpha^\beta r\sin\theta\sqrt{r^2+[r']^2}d\theta $$
（4）绕 $y$ 轴旋转：
$$ S=2\pi\int_a^b|x|\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
（1）变力做功：
$$ W=\int_a^b F(x)dx $$
（2）液体压力：
$$ P=\int_a^b\rho g h(x)L(x)dx $$
其中 $\rho$ 为液体密度，$g$ 为重力加速度，$h(x)$ 为深度，$L(x)$ 为宽度。
（3）质心：
平面薄片的质心坐标：
$$ \bar{x}=\frac{\int_a^b xf(x)dx}{\int_a^b f(x)dx} $$
$$ \bar{y}=\frac{\frac12\int_a^b f^2(x)dx}{\int_a^b f(x)dx} $$
（4）形心：
均匀薄片的形心即质心。
（5）平均值：
函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的平均值：
$$ \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx $$
（6）引力：
$$ F=G\int_a^b\frac{m\rho(x)}{r^2(x)}dx $$
（7）转动惯量：
$$ I=\int_a^b x^2\rho(x)dx $$
圆：
$$ S=\pi r^2,\quad C=2\pi r $$
球：
$$ V=\frac43\pi r^3,\quad S=4\pi r^2 $$
圆锥：
$$ V=\frac13\pi r^2h $$
圆柱：
$$ V=\pi r^2h $$
扇形：
$$ S=\frac12r^2\theta $$
弧长：
$$ l=r\theta $$
例1
求由 $y=x^2$ 与 $y=x$ 围成的面积。
解：
先求交点：
$$ x^2=x\Rightarrow x=0,1 $$
在 $[0,1]$ 上，$x\ge x^2$，所以
$$ S=\int_0^1(x-x^2)dx =\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^1 =\frac12-\frac13=\frac16 $$
例2
求由 $y=\ln x$、$x=e$、$y=0$ 围成的面积。
解：
$$ S=\int_1^e\ln x\,dx =x\ln x-x\Big|_1^e =(e-e)-(0-1)=1 $$
例3
求由 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上与 $x$ 轴围成的面积。
解：
$$ S=\int_0^\pi\sin x\,dx =-\cos x\Big|_0^\pi =2 $$
例4
求由 $y=x^2$ 与 $y=2-x^2$ 围成的面积。
解：
先求交点：
$$ x^2=2-x^2\Rightarrow x^2=1\Rightarrow x=\pm1 $$
在 $[-1,1]$ 上，$2-x^2\ge x^2$，所以
$$ S=\int_{-1}^1(2-2x^2)dx =2\int_0^1(2-2x^2)dx $$
$$ =2\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\Big|_0^1 =2\left(2-\frac23\right) =\frac83 $$
例5
求由 $r=2\cos\theta$ 围成的面积。
解：
$r=2\cos\theta$ 是一个圆，$\theta\in\left[-\frac\pi2,\frac\pi2\right]$。
$$ S=\frac12\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}(2\cos\theta)^2d\theta =2\int_{-\frac\pi2}^{\frac\pi2}\cos^2\theta d\theta $$
由偶函数：
$$ =4\int_0^{\frac\pi2}\cos^2\theta d\theta =4\cdot\frac\pi4=\pi $$
例6
求 $y=x^2$、$x=1$、$y=0$ 绕 $x$ 轴旋转的体积。
解：
$$ V_x=\pi\int_0^1(x^2)^2dx =\pi\int_0^1x^4dx =\pi\cdot\frac15=\frac\pi5 $$
例7
求 $y=\sqrt{x}$、$x=1$、$y=0$ 绕 $x$ 轴旋转的体积。
解：
$$ V_x=\pi\int_0^1(\sqrt{x})^2dx =\pi\int_0^1xdx =\pi\cdot\frac12=\frac\pi2 $$
例8
求 $y=x^2$、$x=1$、$y=0$ 绕 $y$ 轴旋转的体积。
解：
用柱壳法：
$$ V_y=2\pi\int_0^1 x\cdot x^2dx =2\pi\int_0^1x^3dx =2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2 $$
例9
求 $y=x$、$x=1$、$y=0$ 绕 $y$ 轴旋转的体积。
解：
用柱壳法：
$$ V_y=2\pi\int_0^1 x\cdot xdx =2\pi\int_0^1x^2dx =2\pi\cdot\frac13=\frac{2\pi}{3} $$
例10
求 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上与 $x$ 轴围成的图形绕 $x$ 轴旋转的体积。
解：
$$ V_x=\pi\int_0^\pi\sin^2x\,dx =\pi\cdot\frac\pi2=\frac{\pi^2}{2} $$
例11
求圆 $x^2+y^2=r^2$ 绕 $x$ 轴旋转的体积。
解：
上半圆 $y=\sqrt{r^2-x^2}$，$x\in[-r,r]$。
$$ V_x=\pi\int_{-r}^r(r^2-x^2)dx =2\pi\int_0^r(r^2-x^2)dx $$
$$ =2\pi\left(r^2x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_0^r =2\pi\left(r^3-\frac{r^3}{3}\right) =\frac43\pi r^3 $$
例12
求 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的弧长。
解：
$$ y'=2x $$
$$ s=\int_0^1\sqrt{1+4x^2}dx $$
令
$$ 2x=\tan t $$
则
$$ dx=\frac12\sec^2tdt $$
$$ s=\frac12\int_0^{\arctan2}\sec^3tdt $$
计算略。
例13
求 $y=\ln x$ 在 $[1,e]$ 上的弧长。
解：
$$ y'=\frac1x $$
$$ s=\int_1^e\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}dx =\int_1^e\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}dx $$
计算略。
例14
求圆 $x^2+y^2=r^2$ 的周长。
解：
参数方程：
$$ \begin{cases} x=r\cos t\ y=r\sin t \end{cases} $$
$$ s=\int_0^{2\pi}\sqrt{r^2\sin^2t+r^2\cos^2t}dt =\int_0^{2\pi}rdt=2\pi r $$
例15
求摆线
$$ \begin{cases} x=a(t-\sin t)\ y=a(1-\cos t) \end{cases} $$
一拱的弧长。
解：
$$ x'=a(1-\cos t),\quad y'=a\sin t $$
$$ s=\int_0^{2\pi}\sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t}dt $$
利用 $1-\cos t=2\sin^2\frac t2$，$\sin t=2\sin\frac t2\cos\frac t2$：
$$ \sqrt{a^2(1-\cos t)^2+a^2\sin^2t} =a\sqrt{2-2\cos t} =2a\sin\frac t2 $$
所以：
$$ s=\int_0^{2\pi}2a\sin\frac t2dt =2a\cdot2\int_0^\pi\sin u\,du =4a\cdot2=8a $$
例16
求 $y=x^2$ 在 $[0,1]$ 上绕 $x$ 轴旋转的曲面面积。
解：
$$ y'=2x $$
$$ S=2\pi\int_0^1 x^2\sqrt{1+4x^2}dx $$
计算略。
例17
求球面面积。
解：
由圆 $y=\sqrt{r^2-x^2}$ 绕 $x$ 轴旋转：
$$ y'=-\frac{x}{\sqrt{r^2-x^2}} $$
$$ \sqrt{1+(y')^2} =\sqrt{1+\frac{x^2}{r^2-x^2}} =\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}} $$
$$ S=2\pi\int_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\cdot\frac{r}{\sqrt{r^2-x^2}}dx =2\pi\int_{-r}^r rdx =2\pi r\cdot2r=4\pi r^2 $$
例18
一物体在力 $F(x)=x^2$ 作用下沿 $x$ 轴从 $x=0$ 运动到 $x=2$，求做功。
解：
$$ W=\int_0^2 x^2dx=\frac{x^3}{3}\Big|_0^2=\frac83 $$
例19
一弹簧原长 $1$ m，每压缩 $0.01$ m 需要力 $2$ N，求从原长压缩到 $0.8$ m 所做的功。
解：
由胡克定律 $F=kx$。
当 $x=0.01$ 时，$F=2$，所以
$$ k=\frac{2}{0.01}=200 $$
$$ W=\int_0^{0.2}200xdx =100x^2\Big|_0^{0.2} =100\cdot0.04=4 $$
所以做功为 $4$ J。
例20
求函数 $f(x)=x^2$ 在 $[0,1]$ 上的平均值。
解：
$$ \bar{f}=\frac{1}{1-0}\int_0^1x^2dx=\frac13 $$
例21
求 $y=x^2$、$x=1$、$y=0$ 围成的图形绕 $x$ 轴旋转所得立体的质心。
解：
体积：
$$ V=\frac\pi5 $$
$$ \bar{x}=\frac{\pi\int_0^1 x(x^2)^2dx}{V} =\frac{\pi\int_0^1x^5dx}{\frac\pi5} =\frac{\pi\cdot\frac16}{\frac\pi5} =\frac56 $$
例22
设由 $y=x^2$、$y=0$、$x=1$ 围成的图形绕 $y$ 轴旋转，求体积。
解：
柱壳法：
$$ V=2\pi\int_0^1 x\cdot x^2dx =2\pi\cdot\frac14=\frac\pi2 $$
例23
求由 $y=\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上与 $x$ 轴围成的图形绕 $y$ 轴旋转的体积。
解：
柱壳法：
$$ V=2\pi\int_0^\pi x\sin x\,dx $$
用分部积分：
$$ \int_0^\pi x\sin x\,dx =-x\cos x\Big|_0^\pi+\int_0^\pi\cos x\,dx =\pi+0=\pi $$
所以：
$$ V=2\pi\cdot\pi=2\pi^2 $$
例24
求由 $y=e^{-x}$、$x=0$、$y=0$ 所围图形绕 $x$ 轴旋转的体积。
解：
$$ V=\pi\int_0^{+\infty}e^{-2x}dx =\pi\cdot\frac12=\frac\pi2 $$
若曲线交叉，需分段积分：
$$ S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx $$
$$ V_x=\pi\int_a^b f^2(x)dx $$
$$ V_y=2\pi\int_a^b xf(x)dx $$
$$ s=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
不要漏掉根号。
$$ S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
$$ S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta $$
物理应用的关键是建立微元，然后积分。
$$ W=\int_a^b F(x)dx $$
若力与位移方向相反，做功为负。
$$ \bar{x}=\frac{\int_a^b xf(x)dx}{\int_a^b f(x)dx} $$
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
绕 $x$ 轴：
$$ V_x=\pi\int_\alpha^\beta\psi^2(t)\varphi'(t)dt $$
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}d\theta $$
$$ \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
平面图形面积：
$$ S=\int_a^b|f(x)-g(x)|dx $$
$$ S=\frac12\int_\alpha^\beta r^2(\theta)d\theta $$
旋转体体积：
绕 $x$ 轴：
$$ V_x=\pi\int_a^b f^2(x)dx $$
绕 $y$ 轴：
$$ V_y=2\pi\int_a^b x|f(x)|dx $$
圆环法：
$$ V_x=\pi\int_a^b[f^2(x)-g^2(x)]dx $$
弧长：
$$ s=\int_a^b\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
$$ s=\int_\alpha^\beta\sqrt{r^2(\theta)+[r'(\theta)]^2}d\theta $$
旋转曲面面积：
$$ S=2\pi\int_a^b|f(x)|\sqrt{1+[f'(x)]^2}dx $$
$$ S=2\pi\int_\alpha^\beta|\psi(t)|\sqrt{[\varphi'(t)]^2+[\psi'(t)]^2}dt $$
物理应用：
做功：
$$ W=\int_a^b F(x)dx $$
液体压力：
$$ P=\int_a^b\rho g h(x)L(x)dx $$
质心：
$$ \bar{x}=\frac{\int_a^b xf(x)dx}{\int_a^b f(x)dx} $$
平均值：
$$ \bar{f}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)dx $$
常用公式：
$$ \int_0^\pi\sin x\,dx=2 $$
$$ \int_0^\pi\sin^2x\,dx=\frac\pi2 $$
$$ \int_0^{\frac\pi2}\sin^2x\,dx=\frac\pi4 $$
口诀：
面积上下定积分，交叉分段取绝对；
旋转体积看轴选，圆盘柱壳要分清；
弧长根号一加导，旋转曲面二派乘；
物理应用建微元，做功压力质心记。
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