适用：数一、数三通用
地位：概率论的核心内容，直接支撑大数定律、中心极限定理、参数估计
核心任务：理解期望与方差定义，掌握常用分布期望方差，掌握协方差与相关系数
离散型随机变量的期望：
设离散型随机变量 $X$ 的分布律为
$$ P(X=x_i)=p_i,\quad i=1,2,\cdots $$
若
$$ \sum_{i=1}^\infty|x_i|p_i<+\infty $$
则称
$$ E(X)=\sum_{i=1}^\infty x_ip_i $$
为 $X$ 的数学期望。
连续型随机变量的期望：
设连续型随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)$，若
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}|x|f(x)dx<+\infty $$
则称
$$ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx $$
为 $X$ 的数学期望。
随机变量函数的期望：
离散型：
$$ E[g(X)]=\sum_{i=1}^\infty g(x_i)p_i $$
连续型：
$$ E[g(X)]=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x)dx $$
二维随机变量函数的期望：
离散型：
$$ E[g(X,Y)]=\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty g(x_i,y_j)p_{ij} $$
连续型：
$$ E[g(X,Y)]=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}g(x,y)f(x,y)dxdy $$
性质1：
$$ E(C)=C $$
其中 $C$ 为常数。
性质2：
$$ E(CX)=CE(X) $$
性质3：
$$ E(X+Y)=E(X)+E(Y) $$
推广：
$$ E\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^nE(X_i) $$
性质4：
若 $X$、$Y$ 独立，则
$$ E(XY)=E(X)E(Y) $$
推广：
若 $X_1,\cdots,X_n$ 相互独立，则
$$ E(X_1X_2\cdots X_n)=E(X_1)E(X_2)\cdots E(X_n) $$
性质5：
$$ E(aX+b)=aE(X)+b $$
性质6：
$$ E(X-Y)=E(X)-E(Y) $$
注意：
定义：
设 $X$ 为随机变量，若 $E{[X-E(X)]^2}$ 存在，则称
$$ D(X)=E{[X-E(X)]^2} $$
为 $X$ 的方差。
标准差：
$$ \sqrt{D(X)} $$
计算公式：
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 $$
注意：
离散型：
$$ D(X)=\sum_{i=1}^\infty[x_i-E(X)]^2p_i $$
连续型：
$$ D(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}[x-E(X)]^2f(x)dx $$
性质1：
$$ D(C)=0 $$
其中 $C$ 为常数。
性质2：
$$ D(CX)=C^2D(X) $$
性质3：
$$ D(X+C)=D(X) $$
性质4：
$$ D(aX+b)=a^2D(X) $$
性质5：
若 $X$、$Y$ 独立，则
$$ D(X\pm Y)=D(X)+D(Y) $$
推广：
若 $X_1,\cdots,X_n$ 相互独立，则
$$ D\left(\sum_{i=1}^nX_i\right)=\sum_{i=1}^nD(X_i) $$
性质6：
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 $$
性质7：
$$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2\text{Cov}(X,Y) $$
$$ D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2\text{Cov}(X,Y) $$
注意：
| 分布 | 记号 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|---|
| 0-1 分布 | $B(1,p)$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项分布 | $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松分布 | $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 几何分布 | $G(p)$ | $\dfrac1p$ | $\dfrac{1-p}{p^2}$ |
| 超几何分布 | $H(N,M,n)$ | $\dfrac{nM}{N}$ | $\dfrac{nM(N-M)(N-n)}{N^2(N-1)}$ |
| 均匀分布 | $U(a,b)$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数分布 | $E(\lambda)$ | $\dfrac1\lambda$ | $\dfrac{1}{\lambda^2}$ |
| 正态分布 | $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| $\chi^2$ 分布 | $\chi^2(n)$ | $n$ | $2n$ |
| $t$ 分布 | $t(n)$ | $0$ | $\dfrac{n}{n-2}$（$n>2$） |
| $F$ 分布 | $F(m,n)$ | $\dfrac{n}{n-2}$（$n>2$） | 略 |
定义：
$$ \text{Cov}(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]} $$
计算公式：
$$ \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$
性质：
性质1：
$$ \text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(Y,X) $$
性质2：
$$ \text{Cov}(X,X)=D(X) $$
性质3：
$$ \text{Cov}(aX,bY)=ab\text{Cov}(X,Y) $$
性质4：
$$ \text{Cov}(X_1+X_2,Y)=\text{Cov}(X_1,Y)+\text{Cov}(X_2,Y) $$
性质5：
若 $X$、$Y$ 独立，则
$$ \text{Cov}(X,Y)=0 $$
注意：
定义：
$$ \rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} $$
性质：
性质1：
$$ |\rho_{XY}|\le1 $$
性质2：
$$ |\rho_{XY}|=1 \iff Y=aX+b $$
其中 $a\neq0$。
性质3：
若 $X$、$Y$ 独立，则
$$ \rho_{XY}=0 $$
注意：
不相关的等价条件：
$$ \rho_{XY}=0 \iff \text{Cov}(X,Y)=0 \iff E(XY)=E(X)E(Y) $$
$k$ 阶原点矩：
$$ E(X^k) $$
$k$ 阶中心矩：
$$ E{[X-E(X)]^k} $$
$k+l$ 阶混合矩：
$$ E(X^kY^l) $$
$k+l$ 阶混合中心矩：
$$ E{[X-E(X)]^k[Y-E(Y)]^l} $$
注意：
期望：
$$ E(X)=\sum x_ip_i $$
$$ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx $$
方差：
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 $$
协方差：
$$ \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$
相关系数：
$$ \rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} $$
独立与期望：
$$ X,Y\text{ 独立}\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y) $$
独立与方差：
$$ X,Y\text{ 独立}\Rightarrow D(X\pm Y)=D(X)+D(Y) $$
例1
设 $X$ 的分布律为：
| $X$ | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| $P$ | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=0\times0.2+1\times0.5+2\times0.3=0.5+0.6=1.1 $$
$$ E(X^2)=0^2\times0.2+1^2\times0.5+2^2\times0.3=0.5+1.2=1.7 $$
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=1.7-1.21=0.49 $$
例2
设 $X\sim B(10,0.3)$，求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=np=10\times0.3=3 $$
$$ D(X)=np(1-p)=10\times0.3\times0.7=2.1 $$
例3
设 $X\sim P(2)$，求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=\lambda=2 $$
$$ D(X)=\lambda=2 $$
例4
设 $X$ 的密度为
$$ f(x)= \begin{cases} 2x, & 0<x<1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=\int_0^1x\cdot2x dx=2\int_0^1x^2dx=\frac23 $$
$$ E(X^2)=\int_0^1x^2\cdot2x dx=2\int_0^1x^3dx=\frac12 $$
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac12-\frac49=\frac1{18} $$
例5
设 $X\sim U(0,2)$，求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=\frac{0+2}{2}=1 $$
$$ D(X)=\frac{(2-0)^2}{12}=\frac13 $$
例6
设 $X\sim E(2)$，求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=\frac1\lambda=\frac12 $$
$$ D(X)=\frac{1}{\lambda^2}=\frac14 $$
例7
设 $X\sim N(1,4)$，求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=\mu=1 $$
$$ D(X)=\sigma^2=4 $$
例8
设 $X$ 的分布律为：
| $X$ | -1 | 0 | 1 |
|---|---|---|---|
| $P$ | 0.2 | 0.3 | 0.5 |
求 $E(X^2)$、$E(2X+1)$。
解：
$$ E(X^2)=(-1)^2\times0.2+0^2\times0.3+1^2\times0.5=0.2+0.5=0.7 $$
$$ E(2X+1)=2E(X)+1 $$
$$ E(X)=-1\times0.2+0\times0.3+1\times0.5=-0.2+0.5=0.3 $$
$$ E(2X+1)=2\times0.3+1=1.6 $$
例9
设 $X$ 的密度为
$$ f(x)= \begin{cases} e^{-x}, & x>0\ 0, & x\le0 \end{cases} $$
求 $E(X^2)$。
解：
$$ E(X^2)=\int_0^{+\infty}x^2e^{-x}dx=\Gamma(3)=2!=2 $$
例10
设 $(X,Y)$ 的联合分布律为：
| $X\backslash Y$ | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0.2 |
| 1 | 0.3 | 0.4 |
求 $\text{Cov}(X,Y)$。
解：
$X$ 的边缘分布：
$$ P(X=0)=0.3,\quad P(X=1)=0.7 $$
$Y$ 的边缘分布：
$$ P(Y=0)=0.4,\quad P(Y=1)=0.6 $$
$$ E(X)=0\times0.3+1\times0.7=0.7 $$
$$ E(Y)=0\times0.4+1\times0.6=0.6 $$
$$ E(XY)=0\times0\times0.1+0\times1\times0.2+1\times0\times0.3+1\times1\times0.4=0.4 $$
$$ \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=0.4-0.7\times0.6=0.4-0.42=-0.02 $$
例11
设
$$ f(x,y)= \begin{cases} 4xy, & 0<x<1,\ 0<y<1\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
求 $\text{Cov}(X,Y)$。
解：
$$ E(X)=\int_0^1\int_0^1x\cdot4xy dxdy =\int_0^1\int_0^14x^2y dxdy $$
$$ =\int_0^14x^2dx\int_0^1y dy =\frac43\times\frac12=\frac23 $$
同理：
$$ E(Y)=\frac23 $$
$$ E(XY)=\int_0^1\int_0^1xy\cdot4xy dxdy =4\int_0^1x^2dx\int_0^1y^2dy =4\times\frac13\times\frac13=\frac49 $$
$$ \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=\frac49-\frac23\times\frac23=\frac49-\frac49=0 $$
例12
设 $X\sim N(0,1)$，$Y=2X+1$，求 $\rho_{XY}$。
解：
$$ \text{Cov}(X,Y)=\text{Cov}(X,2X+1)=2D(X)=2 $$
$$ D(Y)=4D(X)=4 $$
$$ \rho_{XY}=\frac{2}{\sqrt1\times\sqrt4}=1 $$
例13
设 $X$、$Y$ 独立，
$$ E(X)=1,\quad E(Y)=2,\quad D(X)=3,\quad D(Y)=4 $$
求 $E(2X+3Y)$、$D(2X+3Y)$。
解：
$$ E(2X+3Y)=2E(X)+3E(Y)=2+6=8 $$
$$ D(2X+3Y)=4D(X)+9D(Y)=12+36=48 $$
例14
设 $X$、$Y$ 独立，
$$ E(X)=0,\quad E(Y)=1,\quad D(X)=2,\quad D(Y)=3 $$
求 $E(X^2Y)$。
解：
$$ E(X^2Y)=E(X^2)E(Y) $$
$$ E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=2+0=2 $$
$$ E(X^2Y)=2\times1=2 $$
例15
设 $X\sim N(2,9)$，求 $E(2X-1)$、$D(2X-1)$。
解：
$$ E(2X-1)=2E(X)-1=2\times2-1=3 $$
$$ D(2X-1)=4D(X)=4\times9=36 $$
例16
设 $X\sim N(0,1)$，求 $E(X^2)$、$D(X^2)$。
解：
$$ E(X^2)=D(X)+[E(X)]^2=1+0=1 $$
$X^2\sim\chi^2(1)$，所以：
$$ D(X^2)=2 $$
例17
设 $X$ 的密度为
$$ f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0\ 0, & x\le0 \end{cases} $$
求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=\frac1\lambda $$
$$ E(X^2)=\int_0^{+\infty}x^2\lambda e^{-\lambda x}dx =\frac{2}{\lambda^2} $$
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=\frac{2}{\lambda^2}-\frac{1}{\lambda^2}=\frac{1}{\lambda^2} $$
例18
设 $X\sim B(n,p)$，求 $E(X)$、$D(X)$。
解：
$$ E(X)=np $$
$$ D(X)=np(1-p) $$
例19
设 $X$、$Y$ 独立，且都服从 $N(0,1)$，求 $E(X+Y)$、$D(X+Y)$。
解：
$$ E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0 $$
$$ D(X+Y)=D(X)+D(Y)=2 $$
例20
设 $(X,Y)\sim N(0,0,1,1,\rho)$，求 $\text{Cov}(X,Y)$。
解：
$$ \text{Cov}(X,Y)=\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}=\rho $$
错误。
$$ X,Y\text{ 独立}\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y) $$
反向不成立。
错误。
$$ X,Y\text{ 独立}\Rightarrow D(X\pm Y)=D(X)+D(Y) $$
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 $$
$$ \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$
$$ |\rho_{XY}|\le1 $$
错误。
$$ D(CX)=C^2D(X) $$
错误。
$$ E(CX)=CE(X) $$
$$ X\sim N(\mu,\sigma^2) $$
$$ E(X)=\mu,\quad D(X)=\sigma^2 $$
$$ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx $$
$$ D(X)\ge0 $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ E[g(X)]=? $$
处理方法：
常见形式：
$$ \text{Cov}(X,Y),\quad \rho_{XY} $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
期望：
$$ E(X)=\sum x_ip_i $$
$$ E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx $$
方差：
$$ D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2 $$
协方差：
$$ \text{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y) $$
相关系数：
$$ \rho_{XY}=\frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}} $$
期望性质：
$$ E(C)=C $$
$$ E(CX)=CE(X) $$
$$ E(X+Y)=E(X)+E(Y) $$
$$ X,Y\text{ 独立}\Rightarrow E(XY)=E(X)E(Y) $$
方差性质：
$$ D(C)=0 $$
$$ D(CX)=C^2D(X) $$
$$ D(X+C)=D(X) $$
$$ X,Y\text{ 独立}\Rightarrow D(X\pm Y)=D(X)+D(Y) $$
常用分布期望方差：
| 分布 | 期望 | 方差 |
|---|---|---|
| $B(1,p)$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| $B(n,p)$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| $P(\lambda)$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| $G(p)$ | $\dfrac1p$ | $\dfrac{1-p}{p^2}$ |
| $U(a,b)$ | $\dfrac{a+b}{2}$ | $\dfrac{(b-a)^2}{12}$ |
| $E(\lambda)$ | $\dfrac1\lambda$ | $\dfrac{1}{\lambda^2}$ |
| $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
| $\chi^2(n)$ | $n$ | $2n$ |
独立与不相关：
$$ \text{独立}\Rightarrow\text{不相关} $$
$$ \text{不相关}\nRightarrow\text{独立} $$
二维正态：
$$ \text{不相关}\iff\text{独立} $$
口诀：
期望线性无条件，独立才能拆乘积；
方差平方提系数，独立才能相加和；
协方差等于乘积期望减期望乘积；
相关系数范围负一到一，不相关未必独立。
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