适用：数一、数三通用
地位：概率论的起点，直接支撑随机变量、数字特征、参数估计
核心任务：掌握古典概型、条件概率、全概率公式、贝叶斯公式、独立性
随机试验：
满足以下三个特点的试验称为随机试验：
样本空间：
随机试验所有可能结果组成的集合，记作
$$ \Omega $$
样本点：
样本空间中的元素，记作
$$ \omega $$
随机事件：
样本空间的子集，记作
$$ A,B,C,\cdots $$
必然事件：
$$ \Omega $$
不可能事件：
$$ \varnothing $$
包含：
$$ A\subset B $$
表示 $A$ 发生必然导致 $B$ 发生。
相等：
$$ A=B\iff A\subset B\text{ 且 }B\subset A $$
并（和）：
$$ A\cup B $$
表示 $A$、$B$ 至少有一个发生。
交（积）：
$$ A\cap B $$
或
$$ AB $$
表示 $A$、$B$ 同时发生。
差：
$$ A-B $$
表示 $A$ 发生而 $B$ 不发生。
对立（逆）：
$$ \bar{A} $$
表示 $A$ 不发生。
互斥（互不相容）：
$$ AB=\varnothing $$
表示 $A$、$B$ 不能同时发生。
完备事件组：
若
$$ A_1,A_2,\cdots,A_n $$
满足：
$$ A_iA_j=\varnothing,\quad i\neq j $$
$$ A_1\cup A_2\cup\cdots\cup A_n=\Omega $$
则称 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 为一个完备事件组。
概率的公理化定义：
设 $P(\cdot)$ 是定义在事件域上的函数，满足：
$$ P(A)\ge0 $$
$$ P(\Omega)=1 $$
若 $A_1,A_2,\cdots$ 两两互斥，则
$$ P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i) $$
则称 $P(A)$ 为事件 $A$ 的概率。
概率的基本性质：
性质1：
$$ P(\varnothing)=0 $$
性质2：
$$ 0\le P(A)\le1 $$
性质3：
$$ P(\bar{A})=1-P(A) $$
性质4（加法公式）：
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$
推广：
$$ P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC) $$
性质5：
若 $A\subset B$，则
$$ P(A)\le P(B) $$
且
$$ P(B-A)=P(B)-P(A) $$
性质6：
$$ P(A-B)=P(A)-P(AB) $$
定义：
若随机试验满足：
则称此试验为古典概型。
概率公式：
$$ P(A)=\frac{A\text{ 包含的样本点数}}{\Omega\text{ 中包含的样本点总数}} $$
常用计数公式：
（1）加法原理：
$$ m_1+m_2+\cdots+m_n $$
（2）乘法原理：
$$ m_1\times m_2\times\cdots\times m_n $$
（3）排列数：
$$ A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} $$
（4）组合数：
$$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} $$
（5）可重复排列：
$$ n^m $$
（6）不全相异元素的排列：
$$ \frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_k!} $$
定义：
设 $A$、$B$ 为两个事件，且 $P(B)>0$，则称
$$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$
为在事件 $B$ 发生的条件下事件 $A$ 发生的条件概率。
性质：
性质1：
$$ P(A|B)\ge0 $$
性质2：
$$ P(\Omega|B)=1 $$
性质3：
若 $A_1,A_2,\cdots$ 两两互斥，则
$$ P\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\bigg|B\right)=\sum_{i=1}^\infty P(A_i|B) $$
性质4：
$$ P(\bar{A}|B)=1-P(A|B) $$
性质5：
$$ P(A\cup C|B)=P(A|B)+P(C|B)-P(AC|B) $$
两事件乘法公式：
$$ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) $$
其中 $P(A)>0$ 或 $P(B)>0$。
三事件乘法公式：
$$ P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) $$
一般乘法公式：
$$ P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1A_2)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1}) $$
定义：
设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是一个完备事件组，且
$$ P(A_i)>0,\quad i=1,2,\cdots,n $$
则对任意事件 $B$，有
$$ P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i) $$
图示理解：
$B$ 被分割成 $n$ 部分：
$$ B=BA_1\cup BA_2\cup\cdots\cup BA_n $$
所以：
$$ P(B)=\sum_{i=1}^n P(BA_i)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i) $$
注意：
定义：
设 $A_1,A_2,\cdots,A_n$ 是一个完备事件组，且
$$ P(A_i)>0,\quad i=1,2,\cdots,n $$
则对任意事件 $B$，且 $P(B)>0$，有
$$ P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)} $$
理解：
注意：
定义：
设 $A$、$B$ 为两个事件，若
$$ P(AB)=P(A)P(B) $$
则称 $A$ 与 $B$ 相互独立。
性质：
多事件独立性：
两两独立：
$$ P(A_iA_j)=P(A_i)P(A_j),\quad i\neq j $$
相互独立：
对任意 $k$ 个事件，都有
$$ P(A_{i_1}A_{i_2}\cdots A_{i_k})=P(A_{i_1})P(A_{i_2})\cdots P(A_{i_k}) $$
注意：
定义：
若试验满足：
则称为 $n$ 重伯努利试验。
二项概率公式：
在 $n$ 重伯努利试验中，事件 $A$ 恰好发生 $k$ 次的概率为：
$$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots,n $$
加法公式：
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$
对立事件：
$$ P(\bar{A})=1-P(A) $$
条件概率：
$$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$
乘法公式：
$$ P(AB)=P(A)P(B|A) $$
全概率公式：
$$ P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i) $$
贝叶斯公式：
$$ P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)} $$
独立性：
$$ P(AB)=P(A)P(B) $$
二项概率：
$$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$
例1
从 $1,2,3,4,5$ 中任取两个数，求两数之和为偶数的概率。
解：
样本空间：
$$ C_5^2=10 $$
两数之和为偶数，则两数同奇偶。
奇数有 $1,3,5$，共 $3$ 个；偶数有 $2,4$，共 $2$ 个。
有利情况：
$$ C_3^2+C_2^2=3+1=4 $$
所以：
$$ P=\frac{4}{10}=\frac25 $$
例2
将一枚硬币抛 $3$ 次，求恰好出现 $2$ 次正面的概率。
解：
样本空间：
$$ 2^3=8 $$
有利情况：
$$ C_3^2=3 $$
所以：
$$ P=\frac38 $$
例3
从 $52$ 张扑克牌中任取 $5$ 张，求恰好有 $2$ 张红桃的概率。
解：
样本空间：
$$ C_{52}^5 $$
有利情况：
$$ C_{13}^2\cdot C_{39}^3 $$
所以：
$$ P=\frac{C_{13}^2C_{39}^3}{C_{52}^5} $$
例4
设
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4,\quad P(AB)=0.2 $$
求 $P(A\cup B)$。
解：
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$
$$ =0.5+0.4-0.2=0.7 $$
例5
设
$$ P(A)=0.6,\quad P(B)=0.5,\quad P(A\cup B)=0.8 $$
求 $P(AB)$。
解：
$$ P(AB)=P(A)+P(B)-P(A\cup B) $$
$$ =0.6+0.5-0.8=0.3 $$
例6
设
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4,\quad P(AB)=0.2 $$
求 $P(\bar{A}\cup\bar{B})$。
解：
$$ P(\bar{A}\cup\bar{B})=P(\overline{AB})=1-P(AB) $$
$$ =1-0.2=0.8 $$
例7
设
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4,\quad P(AB)=0.2 $$
求 $P(A|B)$、$P(B|A)$。
解：
$$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0.2}{0.4}=0.5 $$
$$ P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}=\frac{0.2}{0.5}=0.4 $$
例8
袋中有 $3$ 个白球、$2$ 个黑球，不放回地取两次，求第一次取到白球且第二次取到黑球的概率。
解：
设 $A$ 为第一次取到白球，$B$ 为第二次取到黑球。
$$ P(A)=\frac35 $$
$$ P(B|A)=\frac24=\frac12 $$
所以：
$$ P(AB)=P(A)P(B|A)=\frac35\times\frac12=\frac3{10} $$
例9
某工厂有甲、乙、丙三条生产线，产量分别占总产量的 $25\%$、$35\%$、$40\%$，次品率分别为 $5\%$、$4\%$、$2\%$，求该厂产品的次品率。
解：
设 $A_1,A_2,A_3$ 分别为甲、乙、丙生产，$B$ 为次品。
$$ P(A_1)=0.25,\quad P(A_2)=0.35,\quad P(A_3)=0.40 $$
$$ P(B|A_1)=0.05,\quad P(B|A_2)=0.04,\quad P(B|A_3)=0.02 $$
由全概率公式：
$$ P(B)=\sum_{i=1}^3 P(A_i)P(B|A_i) $$
$$ =0.25\times0.05+0.35\times0.04+0.40\times0.02 $$
$$ =0.0125+0.014+0.008=0.0345 $$
例10
盒中有 $5$ 个球，其中 $3$ 个白球、$2$ 个黑球。从中任取 $2$ 个球放入另一个空盒中，再从该盒中任取 $1$ 个球，求取到白球的概率。
解：
设 $A_i$ 为第一次取到 $i$ 个白球（$i=0,1,2$），$B$ 为第二次取到白球。
$$ P(A_0)=\frac{C_2^2}{C_5^2}=\frac1{10} $$
$$ P(A_1)=\frac{C_3^1C_2^1}{C_5^2}=\frac6{10} $$
$$ P(A_2)=\frac{C_3^2}{C_5^2}=\frac3{10} $$
$$ P(B|A_0)=0,\quad P(B|A_1)=\frac12,\quad P(B|A_2)=1 $$
由全概率公式：
$$ P(B)=\frac1{10}\times0+\frac6{10}\times\frac12+\frac3{10}\times1 $$
$$ =0+\frac3{10}+\frac3{10}=\frac6{10}=\frac35 $$
例11
在例9中，若取到一件次品，求它来自甲生产线的概率。
解：
$$ P(A_1|B)=\frac{P(A_1)P(B|A_1)}{P(B)} $$
$$ =\frac{0.25\times0.05}{0.0345} =\frac{0.0125}{0.0345} \approx0.362 $$
例12
某地区患某种疾病的概率为 $0.1\%$，化验方法：患病者化验呈阳性的概率为 $99\%$，未患病者化验呈阳性的概率为 $1\%$。若某人化验呈阳性，求他患病的概率。
解：
设 $A$ 为患病，$B$ 为化验阳性。
$$ P(A)=0.001,\quad P(\bar{A})=0.999 $$
$$ P(B|A)=0.99,\quad P(B|\bar{A})=0.01 $$
由贝叶斯公式：
$$ P(A|B)=\frac{P(A)P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(\bar{A})P(B|\bar{A})} $$
$$ =\frac{0.001\times0.99}{0.001\times0.99+0.999\times0.01} $$
$$ =\frac{0.00099}{0.00099+0.00999} =\frac{0.00099}{0.01098} \approx0.090 $$
例13
设
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4,\quad P(AB)=0.2 $$
判断 $A$、$B$ 是否独立。
解：
$$ P(A)P(B)=0.5\times0.4=0.2=P(AB) $$
所以 $A$、$B$ 独立。
例14
设
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4,\quad P(AB)=0.1 $$
判断 $A$、$B$ 是否独立。
解：
$$ P(A)P(B)=0.5\times0.4=0.2\neq0.1=P(AB) $$
所以 $A$、$B$ 不独立。
例15
设 $A$、$B$ 独立，
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4 $$
求 $P(A\cup B)$。
解：
$$ P(AB)=P(A)P(B)=0.5\times0.4=0.2 $$
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$
$$ =0.5+0.4-0.2=0.7 $$
例16
某射手每次射击命中目标的概率为 $0.8$，独立射击 $5$ 次，求恰好命中 $3$ 次的概率。
解：
$$ P_5(3)=C_5^3(0.8)^3(0.2)^2 $$
$$ =10\times0.512\times0.04=0.2048 $$
例17
某射手每次射击命中目标的概率为 $0.8$，独立射击 $5$ 次，求至少命中 $3$ 次的概率。
解：
$$ P=C_5^3(0.8)^3(0.2)^2+C_5^4(0.8)^4(0.2)+C_5^5(0.8)^5 $$
$$ =0.2048+0.4096+0.32768=0.94208 $$
例18
甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲破译的概率为 $0.6$，乙破译的概率为 $0.5$，求密码被破译的概率。
解：
设 $A$ 为甲破译，$B$ 为乙破译。
密码被破译 = $A\cup B$。
$$ P(A\cup B)=1-P(\bar{A})P(\bar{B}) $$
$$ =1-0.4\times0.5=1-0.2=0.8 $$
例19
设某批产品中，甲厂产品占 $60\%$，乙厂产品占 $40\%$，甲厂次品率为 $5\%$，乙厂次品率为 $10\%$。从中任取一件，求：
（1）取到次品的概率；
（2）若取到次品，求它来自甲厂的概率。
解：
设 $A_1$ 为甲厂，$A_2$ 为乙厂，$B$ 为次品。
$$ P(A_1)=0.6,\quad P(A_2)=0.4 $$
$$ P(B|A_1)=0.05,\quad P(B|A_2)=0.10 $$
（1）全概率公式：
$$ P(B)=0.6\times0.05+0.4\times0.10=0.03+0.04=0.07 $$
（2）贝叶斯公式：
$$ P(A_1|B)=\frac{0.6\times0.05}{0.07}=\frac{0.03}{0.07}\approx0.429 $$
例20
设 $A$、$B$、$C$ 相互独立，
$$ P(A)=0.5,\quad P(B)=0.4,\quad P(C)=0.3 $$
求 $P(A\cup B\cup C)$。
解：
$$ P(A\cup B\cup C)=1-P(\bar{A})P(\bar{B})P(\bar{C}) $$
$$ =1-0.5\times0.6\times0.7 $$
$$ =1-0.21=0.79 $$
若 $P(A)>0$，$P(B)>0$，则互斥与独立不能同时成立。
$$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$
注意条件在分母。
$A_1,\cdots,A_n$ 必须是完备事件组。
贝叶斯公式分母是全概率：
$$ \sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j) $$
多事件独立性要求任意 $k$ 个事件都满足。
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$
$$ P(\bar{A})=1-P(A) $$
古典概型要求每个样本点等可能。
伯努利概型要求各次试验相互独立。
$$ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) $$
常见形式：
处理方法：
常见形式：
$$ P(A\cup B)=? $$
处理方法：
常见形式：
$$ P(A|B)=? $$
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
常见形式：
处理方法：
概率基本性质：
$$ P(\varnothing)=0 $$
$$ P(\Omega)=1 $$
$$ 0\le P(A)\le1 $$
$$ P(\bar{A})=1-P(A) $$
加法公式：
$$ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB) $$
条件概率：
$$ P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} $$
乘法公式：
$$ P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B) $$
全概率公式：
$$ P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i) $$
贝叶斯公式：
$$ P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{j=1}^n P(A_j)P(B|A_j)} $$
独立性：
$$ P(AB)=P(A)P(B) $$
二项概率：
$$ P_n(k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k} $$
常用计数公式：
排列：
$$ A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!} $$
组合：
$$ C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!} $$
口诀：
加法公式减交集，条件概率分母条件；
乘法公式算交事件，全概率由因推果；
贝叶斯由果推因，独立性看乘积；
伯努利概型二项公式，古典概型数样本点。
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